Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2023, Q45

   1. Définition de la convention récepteur

   Un dipôle est orienté en convention récepteur lorsque la flèche représentant la tension U à ses bornes et la flèche indiquant le sens de comptage positif de l'intensité I sont de sens opposés : le courant entre par la borne correspondant au potentiel le plus élevé dans la définition de U.

   Pour une tension U = V_1 - V_2, le courant I entre par la borne 1 et ressort par la borne 2.

   2. Expression de la loi d'Ohm

   Dans cette convention, la loi d'Ohm pour une résistance électrique R_e s'écrit :

   \boxed{U = V_1 - V_2 = R_e I}

   3. Puissance algébrique reçue par un récepteur

   La puissance électrique algébrique reçue par un dipôle récepteur est donnée par le produit de la tension à ses bornes et du courant qui le traverse :

   \boxed{\mathcal{P} = U \cdot I}

   Pour une résistance ohmique vérifiant la loi d'Ohm, cette puissance s'exprime également sous la forme \mathcal{P} = R_e I^2 \ge 0, illustrant la dissipation d'énergie par effet Joule.

   Résultat

   $$U=V_1-V_2=R_{e}I$$

   $$\mathcal{P}=U\cdot I$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2023, Q46

   1. Association en série

   Deux résistances sont associées en série lorsqu'elles sont traversées par le même courant électrique I.

   Par additivité des tensions (loi des mailles) :

   U = V_A - V_B = (V_A - V_M) + (V_M - V_B) = U_1 + U_2

   En appliquant la loi d'Ohm en convention récepteur à chaque conducteur ohmique (rappelée à la question précédente) :

   U_1 = R_{e,1} I \quad \text{et} \quad U_2 = R_{e,2} I

   Il vient :

   U = (R_{e,1} + R_{e,2}) I

   Par identification avec la relation définissant la résistance équivalente U = R_{e,\mathrm{\acute{e}q}} I, on obtient :

   \boxed{R_{e,\mathrm{\acute{e}q}} = R_{e,1} + R_{e,2}}

   2. Association en parallèle

   Deux résistances sont associées en parallèle lorsqu'elles sont soumises à la même différence de potentiel U = V_A - V_B.

   D'après la loi des nœuds au point A :

   I = I_1 + I_2

   En appliquant la loi d'Ohm à chacune des deux branches :

   I_1 = \frac{U}{R_{e,1}} \quad \text{et} \quad I_2 = \frac{U}{R_{e,2}}

   Il vient :

   I = \left(\frac{1}{R_{e,1}} + \frac{1}{R_{e,2}}\right) U

   Par identification avec I = \frac{U}{R_{e,\mathrm{\acute{e}q}}}, on obtient la loi d'association en parallèle :

   \boxed{\frac{1}{R_{e,\mathrm{\acute{e}q}}} = \frac{1}{R_{e,1}} + \frac{1}{R_{e,2}} \quad \text{soit} \quad R_{e,\mathrm{\acute{e}q}} = \frac{R_{e,1} R_{e,2}}{R_{e,1} + R_{e,2}}}

   Résultat

   $$R_{e,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{q}}=R_{e,1}+R_{e,2}$$

   $$\frac{1}{R_{e,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{q}}}=\frac{1}{R_{e,1}}+\frac{1}{R_{e,2}}\text{soit}{R}_{e,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{q}}=\frac{R_{e,1}{R}_{e,2}}{R_{e,1}+R_{e,2}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2023, Q47

   Le schéma inspiré de la figure 15, faisant apparaître les grandeurs électriques, est représenté ci-dessous :

   D'après les hypothèses de l'énoncé, le champ électrique \vec{E} = E \vec{e}_x et la densité de courant \vec{j} = j \vec{e}_x sont unidirectionnels et uniformes dans tout le volume du barreau.

   En orientant le vecteur déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}x\,\vec{e}_x du point 1 (x=0) au point 2 (x=\ell), la relation (7) donne :

   \begin{aligned} V_1 - V_2 &= \int_0^\ell \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^\ell E\,\mathrm{d}x = E\,\ell \end{aligned}

   soit :

   \begin{aligned} E &= \frac{V_1 - V_2}{\ell} \end{aligned}

   D'après la loi d'Ohm locale, on a \vec{j} = \gamma \vec{E}, d'où j = \gamma E.

   Le courant électrique I traversant une section droite S, orientée par \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_x, s'écrit d'après la relation (7) :

   \begin{aligned} I &= \iint_S \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_S j\,\mathrm{d}S = j\,S = \gamma E\,S = \gamma \frac{V_1 - V_2}{\ell} S \end{aligned}

   En identifiant avec la loi d'Ohm macroscopique V_1 - V_2 = R_{e,\mathrm{Cu}}\,I (rappelée à la question Q45), on en déduit l'expression de la résistance électrique du barreau :

   \boxed{R_{e,\mathrm{Cu}} = \frac{\ell}{\gamma\,S}}

   Résultat

   $$R_{e,\mathrm{Cu}}=\frac{\ell }{\gamma S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2021, Q53

   L'équation différentielle (15) s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}^2 x_m(t)}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 x_m(t) = \omega^2\left(a_i(t - t_i) + b_i\right)

   Cherchons une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 1 de la variable (t - t_i) :

   x_p(t) = A (t - t_i) + B

   où A et B sont des constantes à déterminer. En dérivant deux fois par rapport au temps :

   \frac{\mathrm{d}x_p}{\mathrm{d}t}(t) = A \quad \text{puis} \quad \frac{\mathrm{d}^2 x_p}{\mathrm{d}t^2}(t) = 0

   En substituant x_p(t) dans l'équation différentielle, on obtient :

   0 + \omega^2\left(A(t - t_i) + B\right) = \omega^2\left(a_i(t - t_i) + b_i\right)

   Comme \omega \neq 0, cette égalité est vérifiée pour tout t si et seulement si :

   A = a_i \quad \text{et} \quad B = b_i

   On en déduit l'expression de la solution particulière de degré minimal :

   \boxed{x_p(t) = a_i (t - t_i) + b_i}

   Résultat

   $$x_p(t)=a_i(t-t_i)+b_i$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2021, Q54

   L'équation différentielle linéaire régissant l'abscisse x_m(t) s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}^2 x_m(t)}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 x_m(t) = \omega^2 \left( a_i (t - t_i) + b_i \right)

   L'équation homogène associée est :

   \frac{\mathrm{d}^2 x_h(t)}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 x_h(t) = 0

   Sa solution générale, exprimée avec la variable temporelle t - t_i, est une combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales :

   x_h(t) = A_i \cos\bigl(\omega (t - t_i)\bigr) + B_i \sin\bigl(\omega (t - t_i)\bigr)

   où A_i et B_i sont deux constantes d'intégration réelles fixées par les conditions initiales de la phase considérée (i = l ou r).

   D'après la question Q53, une solution particulière de l'équation avec second membre est :

   x_p(t) = a_i (t - t_i) + b_i

   Par linéarité de l'équation différentielle, la solution générale x_m(t) = x_h(t) + x_p(t) s'exprime donc sous la forme :

   \boxed{x_m(t) = A_i \cos\bigl(\omega(t-t_i)\bigr) + B_i \sin\bigl(\omega(t-t_i)\bigr) + a_i(t-t_i) + b_i}

   En notant x_{0,i} = x_m(t_i) et v_{0,i} = \dot{x}_m(t_i) la position et la vitesse à l'instant initial t_i, les constantes s'identifient par :

   \begin{aligned} x_m(t_i) &= A_i + b_i = x_{0,i} \implies A_i = x_{0,i} - b_i \\ \dot{x}_m(t_i) &= \omega B_i + a_i = v_{0,i} \implies B_i = \frac{v_{0,i} - a_i}{\omega} \end{aligned}

   Résultat

   $$x_m(t)=A_i\cos (\omega (t-t_i))+B_i\sin (\omega (t-t_i))+a_i(t-t_i)+b_i$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2020, Q45

   D'après la question 44, la fonction d'autocorrélation à l'équilibre G_0(\tau) vérifie, pour \tau \geqslant 0, l'équation différentielle linéaire :

   \frac{\mathrm{d}G_0}{\mathrm{d}\tau} + (k' + kc)G_0 = kcp

   La solution générale s'écrit comme la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante G_{0,\mathrm{part}} :

   G_{0,\mathrm{part}} = \frac{kc\,p}{k' + kc} = p \left(\frac{kc}{k' + kc}\right)

   Or, d'après la question 40, la probabilité d'équilibre s'exprime par :

   p = \frac{c}{c + c_{1/2}} = \frac{c}{c + \frac{k'}{k}} = \frac{kc}{k' + kc}

   On en déduit que la solution particulière vaut :

   G_{0,\mathrm{part}} = p^2

   La solution générale de l'équation différentielle s'écrit donc, avec A une constante réelle :

   G_0(\tau) = p^2 + A\,\mathrm{e}^{-(k' + kc)\tau}

   En utilisant la condition initiale fournie par l'énoncé en \tau = 0 :

   G_0(0) = p^2 + A = p \implies A = p(1 - p)

   On obtient ainsi l'expression de la fonction de corrélation pour \tau \geqslant 0 :

   \boxed{G_0(\tau) = p^2 + p(1 - p)\,\mathrm{e}^{-(k' + kc)\tau}}

   Résultat

   $$G_0(\tau )=p^2+p(1-p){\mathrm{e}}^{-(k^{\prime }+kc)\tau }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2023, Q55

   L'analogie formelle entre l'hydrodynamique laminaire stationnaire et l'électrocinétique repose sur la loi d'Ohm hydraulique \Delta P = R_{\mathrm{h}} Q_v et la loi d'Ohm électrique U = R_e I. Les correspondances sont les suivantes :

   • la pression P est analogue au potentiel électrique V ;
   • la différence de pression \Delta P = P_1 - P_2 est analogue à la tension électrique U = V_1 - V_2 ;
   • le débit volumique Q_v est analogue à l'intensité du courant électrique I ;
   • la résistance hydraulique R_{\mathrm{h}} est analogue à la résistance électrique R_e.

   Pour le circuit microfluidique étudié :

   • la pression de sortie P_s, prise comme référence de pression et reliée à la masse, correspond au potentiel nul :

     P_s \quad \longleftrightarrow \quad V_S = 0

   • la pression d'entrée P_e correspond au potentiel :

     P_e \quad \longleftrightarrow \quad V_E

   • les pressions des deux canaux d'entraînement P_f = \alpha P_e correspondent au potentiel :

     P_f = \alpha P_e \quad \longleftrightarrow \quad V_{E'} = \alpha V_E

   • la pression au carrefour central N correspond au potentiel du nœud :

     P_N \quad \longleftrightarrow \quad V_N

   Le circuit électrique équivalent est constitué d'un nœud central N relié à :

   • la branche d'entrée de résistance \gamma R, soumise au potentiel V_E en E ;
   • les deux branches d'entraînement identiques, chacune de résistance R, soumises au même potentiel V_{E'} = \alpha V_E en E' ;
   • la branche de sortie de résistance \sigma R, connectée à la masse (V_S = 0) en S.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2023, Q56

   Dans le cadre de l'analogie électrique établie à la question précédente, le nœud N est relié à :

   • l'entrée E au potentiel V_E = P_e par la résistance R_e = \gamma R ;
   • deux entrées d'entraînement E' au même potentiel V_{E'} = P_f = \alpha P_e, chacune via une résistance R ;
   • la sortie S reliée à la masse (V_S = P_s = 0) par la résistance R_s = \sigma R.

   D'après le théorème de Millman au nœud N :

   V_N = \frac{\dfrac{V_E}{\gamma R} + \dfrac{V_{E'}}{R} + \dfrac{V_{E'}}{R} + \dfrac{V_S}{\sigma R}}{\dfrac{1}{\gamma R} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\sigma R}}

   En simplifiant par R et sachant que V_S = 0, le potentiel V_N (associé à la pression P_N) s'écrit :

   P_N = P_e \, \frac{\dfrac{1}{\gamma} + 2\alpha}{\dfrac{1}{\gamma} + 2 + \dfrac{1}{\sigma}}

   Les conditions sur les sens d'écoulement se traduisent par :

   1. Écoulement dans le sens E \to N \implies P_e > P_N :

      \begin{aligned} P_e > P_e \, \frac{\dfrac{1}{\gamma} + 2\alpha}{\dfrac{1}{\gamma} + 2 + \dfrac{1}{\sigma}} &\iff \frac{1}{\gamma} + 2\alpha < \frac{1}{\gamma} + 2 + \frac{1}{\sigma} \\ &\iff 2\alpha < 2 + \frac{1}{\sigma} \\ &\iff \alpha < 1 + \frac{1}{2\sigma} \end{aligned}

   2. Écoulement dans le sens E' \to N \implies P_f > P_N, soit \alpha P_e > P_N :

      \begin{aligned} \alpha > \frac{\dfrac{1}{\gamma} + 2\alpha}{\dfrac{1}{\gamma} + 2 + \dfrac{1}{\sigma}} &\iff \alpha\left(\frac{1}{\gamma} + 2 + \frac{1}{\sigma}\right) > \frac{1}{\gamma} + 2\alpha \\ &\iff \alpha\left(\frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\sigma}\right) > \frac{1}{\gamma} \\ &\iff \alpha > \frac{\dfrac{1}{\gamma}}{\dfrac{1}{\gamma} + \dfrac{1}{\sigma}} = \frac{\sigma}{\gamma + \sigma} \end{aligned}

   Dès lors que ces deux conditions sont vérifiées, les débits entrants au nœud N étant strictement positifs, le débit sortant vers S est lui aussi strictement positif (P_N > 0 = P_s), ce qui assure bien l'écoulement dans le sens N \to S.

   On en déduit la condition :

   \boxed{\alpha_{\min} < \alpha < \alpha_{\max}}

   avec :

   \boxed{\alpha_{\min} = \frac{\sigma}{\gamma + \sigma}} \quad \text{et} \quad \boxed{\alpha_{\max} = 1 + \frac{1}{2\sigma}}

   Résultat

   $${\alpha }_{\min }<\alpha <{\alpha }_{\max }$$

   $${\alpha }_{\min }=\frac{\sigma }{\gamma +\sigma }$$

   $${\alpha }_{\max }=1+\frac{1}{2\sigma }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2023, Q58

   D'après la question Q57, les largeurs w_c et w_s s'écrivent :

   w_c = \frac{Q_e}{h\, v_{s,\max}} \quad \text{et} \quad w_s = \frac{Q_e + 2 Q_f}{h\, v_s} = \frac{Q_s}{h\, v_s}

   où Q_s = Q_e + 2 Q_f est le débit volumique total s'écoulant dans le canal de sortie. L'énoncé précise que pour cette géométrie rectangulaire :

   v_s = \frac{2}{3} v_{s,\max} \iff \frac{v_s}{v_{s,\max}} = \frac{2}{3}

   Le rapport des largeurs s'écrit donc :

   \frac{w_c}{w_s} = \frac{v_s}{v_{s,\max}} \frac{Q_e}{Q_s} = \frac{2}{3} \frac{Q_e}{Q_s}

   Par analogie électrique (établie aux questions Q55 et Q56), les débits volumiques Q_e et Q_s s'expriment à partir de la loi d'Ohm hydraulique :

   \begin{aligned} Q_e &= \frac{P_e - P_N}{\gamma R} \\ Q_s &= \frac{P_N - P_s}{\sigma R} = \frac{P_N}{\sigma R} \quad (\text{car } P_s = 0) \end{aligned}

   Le rapport des débits vaut ainsi :

   \frac{Q_e}{Q_s} = \frac{\sigma}{\gamma} \frac{P_e - P_N}{P_N} = \frac{\sigma}{\gamma} \left( \frac{P_e}{P_N} - 1 \right)

   D'après l'expression de la pression P_N au nœud N obtenue à la question Q56 :

   P_N = P_e \frac{\frac{1}{\gamma} + 2\alpha}{\frac{1}{\gamma} + 2 + \frac{1}{\sigma}} = P_e \frac{\sigma (1 + 2\alpha\gamma)}{\gamma(2\sigma + 1) + \sigma}

   On en déduit :

   \frac{P_e}{P_N} - 1 = \frac{\gamma(2\sigma + 1) + \sigma}{\sigma(1 + 2\alpha\gamma)} - 1 = \frac{\gamma(2\sigma + 1 - 2\alpha\sigma)}{\sigma(1 + 2\alpha\gamma)}

   En injectant ce résultat dans le rapport des débits :

   \frac{Q_e}{Q_s} = \frac{2\sigma + 1 - 2\alpha\sigma}{1 + 2\alpha\gamma} = \frac{1 + 2\sigma(1 - \alpha)}{1 + 2\alpha\gamma}

   On obtient finalement :

   \boxed{\frac{w_c}{w_s} = \frac{2}{3} \frac{2\sigma + 1 - 2\alpha\sigma}{1 + 2\alpha\gamma} = \frac{2}{3} \frac{1 + 2\sigma(1 - \alpha)}{1 + 2\alpha\gamma}}

   Résultat

   $$\frac{w_c}{w_s}=\frac{2}{3}\frac{2\sigma +1-2\alpha \sigma }{1+2\alpha \gamma }=\frac{2}{3}\frac{1+2\sigma (1-\alpha )}{1+2\alpha \gamma }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question