Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2020 (page 3/3 : Partie II (questions 33 à 36) et partie III)

D'après le modèle classique de conduction établi à la question Q18, la résistance de Hall s'exprime par :

On attend donc théoriquement une relation linéaire entre R_{\mathrm{H}} et le champ magnétique B, c'est-à-dire une droite passant par l'origine de pente constante :

Au vu de la courbe expérimentale (figure 5) obtenue à très basse température (T = 0{,}1\text{ K}) :

• À champ magnétique modéré (B \lesssim 4\text{ T}), la résistance R_{\mathrm{H}} croît de façon linéaire avec B, en parfait accord avec le modèle classique de Drude.
• À champ magnétique plus intense (B \gtrsim 4\text{ T}), la courbe s'écarte nettement du comportement linéaire classique et fait apparaître des paliers horizontaux (autour de 6{,}45\text{ k}\Omega, 8{,}6\text{ k}\Omega, 12{,}9\text{ k}\Omega\dots) où la résistance de Hall reste rigoureusement constante sur des intervalles de champ B.
• Les transitions entre ces paliers successifs s'effectuent par de brusques sauts de résistance : c'est la manifestation de l'effet Hall quantique entier.

D'après la question Q18, le modèle classique de l'effet Hall prédit une relation linéaire entre la résistance de Hall et le champ magnétique :

La pente de la droite dans le domaine des champs modérés (B \leqslant 4\text{ T}) s'écrit donc :

Sur la figure 5, dans la région linéaire précédant l'apparition des premiers plateaux quantiques :

• pour B = 0\text{ T}, R_{\text{H}} = 0\,\Omega ;
• pour B = 4\text{ T}, on lit R_{\text{H}} \simeq 3{,}2\text{ k}\Omega = 3{,}2 \times 10^3\,\Omega (soit 1{,}6\text{ k}\Omega à B = 2\text{ T}).

La pente vaut ainsi :

On en déduit l'expression de la charge élémentaire :

Application numérique avec N_{\text{s,exp}} = 8 \times 10^{15}\text{ m}^{-2} :

On retrouve bien l'ordre de grandeur de la charge élémentaire fournie dans les constantes usuelles (e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}).

Dans le système international d'unités (MKSA), déterminons les dimensions des grandeurs physiques mises en jeu :

• L'énergie s'exprime en joules (\mathrm{J}), soit [\mathcal{E}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}. La constante de Planck h, homogène à une action (\mathrm{J}\cdot\mathrm{s}), a pour dimension :

  [h] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

• La charge élémentaire e s'exprime en coulombs (\mathrm{C} = \mathrm{A}\cdot\mathrm{s}), d'où :

  [e] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T}

• La puissance dissipée par effet Joule dans une résistance R s'écrit \mathcal{P} = R\,I^2, de dimension [\mathcal{P}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}. La dimension d'une résistance électrique est donc :

  [R] = \frac{[\mathcal{P}]}{[I]^2} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\mathrm{I}^{-2}

On cherche une expression de la forme R_{\text{u}} = C\,h^\alpha e^\beta, où C = 1 est une constante sans dimension :

Par identification des exposants :

• Sur la masse \mathrm{M} (ou la longueur \mathrm{L}) : \alpha = 1 ;
• Sur l'intensité \mathrm{I} : \beta = -2 ;
• Sur le temps \mathrm{T} : -\alpha + \beta = -1 - 2 = -3, ce qui est bien vérifié.

On en déduit l'expression de la résistance universelle :

Application numérique : avec h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C},

L'utilisation de l'effet Hall quantique pour définir un étalon de résistance présente des avantages métrologiques majeurs :

• Universalité et indépendance matérielle : la résistance sur les paliers quantifiés est donnée par :

  R_{\text{H}} = \frac{R_{\text{u}}}{\nu} = \frac{h}{\nu e^2} \quad (\nu \in \mathbb{N}^*)

  Elle ne dépend que de constantes fondamentales de la nature (h et e), et est rigoureusement indépendante du matériau semi-conducteur utilisé (GaAs, silicium, graphène), de la géométrie de l'échantillon et de ses impuretés résiduelles.

• Stabilité temporelle : contrairement à un étalon matériel (résistance étalon bobinée sujette au vieillissement, à l'oxydation, à l'humidité ou aux contraintes mécaniques), un étalon fondé sur une constante fondamentale ne dérive pas au cours du temps.
• Reproductibilité et décentralisation : tout laboratoire métrologique disposant du dispositif expérimental approprié (basse température et fort champ magnétique) peut reproduire de façon autonome et avec une exactitude relative remarquable (inférieure à 10^{-9}) la même valeur de référence, s'affranchissant du transport et de la comparaison périodique avec un artefact de référence centralisé.

On applique le principe fondamental de la dynamique à un électron de masse effective m^*, dans le référentiel du conducteur supposé galiléen.

D'après les hypothèses de l'énoncé, le mouvement est unidimensionnel le long de l'axe (Ox) et l'électron n'est soumis qu'à deux forces :

• la force de frottement fluide : \vec{f} = -\dfrac{m^*}{\tau_0} v(t)\,\vec{e}_x ;
• la force aléatoire (force de Langevin) : \vec{f}_{\mathrm{b}} = m^* b(t)\,\vec{e}_x.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_x avec \vec{v}(t) = v(t)\,\vec{e}_x, on obtient :

En divisant par la masse effective m^* \neq 0, on obtient l'équation différentielle canonique du premier ordre :

D'après la question Q37, la vitesse v(t) vérifie l'équation différentielle :

Multiplions cette équation par le facteur intégrant \mathrm{e}^{t/\tau_0} :

Le membre de gauche s'identifie à la dérivée du produit v(t)\,\mathrm{e}^{t/\tau_0} :

En intégrant cette relation entre 0 et t, en utilisant la variable muette u :

Comme v(0) = v_0, il vient :

En multipliant l'ensemble par \mathrm{e}^{-t/\tau_0} et en faisant entrer ce terme sous l'intégrale :

Dans l'expression de la vitesse obtenue à la question Q38 :

1. Terme du régime transitoire :
   Il s'agit du premier terme, dépendant de la condition initiale v(0) = v_0 :

   \boxed{v_{\text{trans}}(t) = v_0 \mathrm{e}^{-t/\tau_0}}

   Ce terme s'amortit exponentiellement et tend vers zéro lorsque le temps augmente, traduisant la perte de mémoire de la vitesse initiale sous l'effet des collisions.

2. Durée \Delta t du régime transitoire :
   La constante de temps caractéristique de cette décroissance exponentielle est \tau_0. Le régime transitoire est usuellement considéré comme achevé au bout de quelques constantes de temps (typiquement pour une atténuation de plus de 99\,\% avec \mathrm{e}^{-5} < 0{,}01) :

   \boxed{\Delta t \approx 3\tau_0 \text{ à } 5\tau_0}

   Au-delà de cette durée (t \gg \tau_0), le terme transitoire est négligeable et la vitesse de l'électron n'est plus régie que par les fluctuations d'origine thermique modélisées par le terme intégral.

D'après l'énoncé, la densité spectrale associée au bruit b(t) s'exprime sous la forme :

En remplaçant la fonction d'autocorrélation temporelle par son expression C_{\text{b}}(\tau) = \Gamma\,\delta(\tau), où \Gamma est une constante, il vient :

D'après la propriété de la fonction impulsion \delta rappelée dans le formulaire, pour toute fonction continue g, \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\,\delta(t - t_0)\,\mathrm{d}t = g(t_0). Ici, avec g(\tau) = \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi f \tau} et t_0 = 0, on a :

On en déduit immédiatement :

La densité spectrale S_{\text{b}}(f) est rigoureusement indépendante de la fréquence f (spectre plat ou uniforme). Cela correspond exactement à la définition d'un bruit blanc, pour lequel toutes les composantes fréquentielles ont la même contribution statistique. L'expression C_{\text{b}}(\tau) = \Gamma\,\delta(\tau) est donc parfaitement cohérente avec cette définition.

La densité spectrale S_{\text{b}}(f) étant la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation C_{\text{b}}(\tau), ces deux grandeurs vérifient la propriété de réciprocité temps-fréquence inhérente à l'analyse de Fourier :

où \Delta \tau caractérise le temps de corrélation (largeur temporelle de C_{\text{b}}) et \Delta f la largeur de bande spectrale (largeur fréquentielle de S_{\text{b}}).

• Plus un signal présente une corrélation temporelle brève (élargissement temporel de C_{\text{b}}(\tau) étroit), plus son spectre de puissance est étalé en fréquence (élargissement fréquentiel de S_{\text{b}}(f) grand).
• Pour un bruit blanc idéal, la décorrélation est instantanée (C_{\text{b}}(\tau) \propto \delta(\tau), soit \Delta \tau \to 0), ce qui implique un étalement spectral infini (S_{\text{b}}(f) = \text{constante}, soit \Delta f \to \infty).

Cette propriété de réciprocité apparaît dans de nombreux domaines de la physique :

• En optique ultrarapide : les impulsions laser très courtes (impulsions femtoseconde, \Delta t très petit) possèdent nécessairement un spectre optique très large (\Delta \nu \sim 1/\Delta t).
• En mécanique quantique : les relations d'indétermination de Heisenberg (par exemple spatio-fréquentielle \Delta x \cdot \Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} ou énergie-temps \Delta E \cdot \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}) traduisent exactement cette même propriété mathématique appliquée aux fonctions d'onde.
• En diffraction : une fente de faible ouverture spatiale a produit une tache de diffraction très étalée angulairement (\theta \sim \lambda/a).

D'après l'expression établie à la question Q38, la vitesse s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation du régime permanent (t \gg \tau_0), le terme transitoire est négligeable :

En prenant la moyenne temporelle de l'expression et en intervertissant l'intégrale et l'opération de moyenne, on obtient :

Comme le bruit blanc b(t) est centré d'après la section III.1.1 (\langle b(u) \rangle = 0), l'intégrale s'annule identiquement :

D'après les questions Q38 et Q39, pour t \gg \tau_0, le terme transitoire v_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau_0} devient négligeable, de sorte que la vitesse s'écrit :

En élevant cette expression au carré et en introduisant deux variables d'intégration indépendantes u et u', on obtient :

En prenant la moyenne temporelle \langle \dots \rangle et en intervertissant moyenne et intégrales :

En posant le changement de variable suggéré u' = u + \tau (à u fixé, \mathrm{d}u' = \mathrm{d}\tau), la corrélation temporelle s'identifie à celle d'un bruit blanc définie dans l'énoncé :

Pour tout u \in ]0, t[, la singularité de la fonction impulsion \delta(u' - u) se situe à l'intérieur de l'intervalle d'intégration u' \in [0, t]. D'après la propriété de Dirac rappelée dans le formulaire :

Il reste alors à intégrer sur u :

Puisque t \gg \tau_0, le terme exponentiel \mathrm{e}^{-2t/\tau_0} est totalement négligeable devant 1, d'où :

Dans le modèle unidimensionnel considéré, le mouvement des électrons s'effectue selon l'axe (Ox) avec la vitesse \vec{v}(t) = v(t)\vec{e}_x. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie appliqué à ce seul degré de liberté de translation, l'énergie cinétique moyenne s'écrit :

On en déduit la vitesse quadratique moyenne à l'équilibre thermique :

Cette valeur est d'ailleurs parfaitement cohérente avec l'expression de la fonction d'autocorrélation C_v(\tau) fournie par l'énoncé pour la suite, pour laquelle C_v(0) = \langle v^2(t) \rangle = \frac{k_{\text{B}} T}{m^*}.

En identifiant cette expression avec celle établie à la question Q43, \langle v^2(t) \rangle \simeq \dfrac{\Gamma \tau_0}{2}, il vient :

ce qui donne la relation recherchée :

Par analogie avec la définition de la densité spectrale du bruit S_b(f) introduite dans le préambule de la sous-partie III.1.1, la densité spectrale de la vitesse S_v(f) est la transformée de Fourier de sa fonction d'autocorrélation C_v(\tau) :

En injectant l'expression de la fonction d'autocorrélation C_v(\tau) = \dfrac{k_{\mathrm{B}} T}{m^*} \exp\left(-\left|\dfrac{\tau}{\tau_0}\right|\right) valable pour t \gg \tau_0 :

En posant le changement de variable u = \dfrac{\tau}{\tau_0}, soit \mathrm{d}\tau = \tau_0\,\mathrm{d}u, il vient :

D'après l'intégrale particulière fournie dans le formulaire, avec F = f\tau_0 :

On en déduit l'expression littérale de la densité spectrale de vitesse :

D'après le résultat de la question précédente (Q45), la densité spectrale de la vitesse s'écrit :

En posant S_{v0} = \dfrac{2 k_{\text{B}} T \tau_0}{m^*} et la fréquence caractéristique f_{\text{c}} = \dfrac{1}{2\pi \tau_0}, l'expression devient :

La grandeur à tracer est :

Étudions les comportements asymptotiques :

• Basse fréquence (f \ll f_{\text{c}}) :

  20\log S_v(f) \simeq 20\log S_{v0} = \text{cte}

  L'asymptote est une droite horizontale d'ordonnée 20\log S_{v0}.

• Haute fréquence (f \gg f_{\text{c}}) :

  20\log S_v(f) \simeq 20\log S_{v0} - 20\log\left[\left(\frac{f}{f_{\text{c}}}\right)^2\right] = 20\log S_{v0} - 40\log\left(\frac{f}{f_{\text{c}}}\right)

  L'asymptote est une droite oblique de pente -40\text{ dB/décade} (soit -12\text{ dB/octave}).

• À la coupure (f = f_{\text{c}}) : Les deux asymptotes se coupent en f = f_{\text{c}} (où \log(f/f_{\text{c}}) = 0), et la valeur réelle vaut :

  20\log S_v(f_{\text{c}}) = 20\log S_{v0} - 20\log 2 \simeq 20\log S_{v0} - 6\text{ dB}

  La courbe réelle passe donc environ 6\text{ dB} en dessous du point de rencontre des asymptotes.

On en déduit l'allure du diagramme de Bode :

D'après l'expression établie à la question Q45 :

L'asymptote basse fréquence et l'asymptote haute fréquence tracées à la question Q46 se coupent au point d'abscisse vérifiant 2\pi \tau_0 f_{\text{c}} = 1. La fréquence de coupure à l'intersection des asymptotes (correspondant également à une atténuation de 6\text{ dB} du niveau de densité spectrale puisque S_v(f_{\text{c}}) = \frac{1}{2}S_v(0)) est donc donnée par :

Pour des fréquences très inférieures à la fréquence de coupure, f \ll f_{\text{c}}, on a :

Le dénominateur tend vers 1, d'où :

Dans ce domaine de fréquences, la densité spectrale de la vitesse des électrons est indépendante de la fréquence : le bruit de vitesse y est blanc.

D'après la question Q47, la fréquence de coupure s'écrit :

Avec la majoration donnée par l'énoncé \tau_0 < 10\text{ ns} = 10^{-8}\text{ s}, on obtient pour la fréquence de coupure :

En séances de travaux pratiques d'électricité ou d'électronique, les signaux étudiés et les bandes passantes des appareils de mesure usuels (générateurs basse fréquence, multimètres, oscilloscopes standards) dépassent rarement quelques mégahertz, et se situent le plus souvent entre le domaine continu et quelques centaines de kilohertz (f \lesssim 100\text{ kHz} \ll 16\text{ MHz}).

Le gaz bidimensionnel d'électrons occupe une surface carrée de côté L dans le plan (xOy).

Le champ électrique étant uniforme et dirigé selon \vec{e}_x, la différence de potentiel U entre les deux extrémités distantes de L s'écrit :

La loi d'Ohm locale sous forme surfacique donne la densité de courant surfacique :

L'intensité totale I traversant une section transversale de largeur L (le long de l'axe Oy) s'obtient par intégration :

On en déduit la résistance R_0 du conducteur :

En remplaçant \sigma_{\text{s}} par son expression donnée dans l'énoncé, on obtient :

D'après l'expression de la différence de potentiel donnée par l'énoncé :

on identifie pour chaque électron i :

La fonction d'autocorrélation temporelle de la grandeur V_i(t) s'écrit alors :

où l'on a utilisé le fait que tous les électrons ont les mêmes propriétés statistiques de vitesse, soit C_{v_i}(\tau) = C_v(\tau).

Par définition de la densité spectrale (théorème de Wiener-Khintchine) :

On en déduit immédiatement la relation liant les deux densités spectrales :

Le gaz d'électrons est bidimensionnel et de forme carrée de côté L. Le nombre total d'électrons s'écrit donc :

D'après la relation admise et le résultat de la question Q50, la densité spectrale de la tension globale V(t) vaut :

Dans le domaine des fréquences usuelles de mesure, la condition f \ll f_{\text{c}} est pleinement satisfaite (question Q48). On utilise donc l'expression de la question Q47 :

En reportant cette expression dans S_V(f), il vient :

Or, d'après la question Q49, la résistance du carré s'écrit R_0 = \dfrac{m^*}{N_{\text{s}} e^2 \tau_0}, d'où :

On obtient ainsi directement la formule de Johnson-Nyquist :

Commentaire sur les mesures de précision à basse température :

La densité spectrale des fluctuations thermiques de tension est directement proportionnelle à la température absolue T.

• Travailler à de très basses températures (températures cryogéniques, typiquement de l'ordre de quelques kelvins ou fractions de kelvin, comme 0{,}1\text{ K} mentionné dans la section II.3) permet de réduire drastiquement l'amplitude des fluctuations de tension d'origine thermique (réduction d'un facteur d'environ 3000 par rapport à la température ambiante de 300\text{ K}).
• Cela maximise le rapport signal sur bruit et permet d'atteindre des niveaux d'incertitude extrêmement faibles, indispensables en métrologie quantique.

D'après le diagramme de Bode tracé à la question Q46 et la fréquence de coupure déterminée à la question Q47, la bande passante à -3\text{ dB} du système s'étend de 0 à f_{\mathrm{c}}, soit :

Sur cette bande passante, la condition f \leqslant f_{\mathrm{c}} assure que la densité spectrale de tension reste quasi uniforme et égale à sa valeur basse fréquence donnée par la relation de Johnson-Nyquist (question Q51) :

L'expression de la tension efficace du bruit thermique devient ainsi :

Application numérique :

• Constante de Boltzmann : k_{\mathrm{B}} = 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} ;
• Température ambiante : T \simeq 300\text{ K} ;
• Résistance : R_0 = 300\ \Omega ;
• Temps caractéristique : \tau_0 = 10\text{ ns} = 10^{-8}\text{ s} ;

• Bande passante associée :

  \Delta f = \frac{1}{2\pi \times 10^{-8}} \simeq \frac{1}{6{,}28 \times 10^{-8}} \simeq 1{,}6 \times 10^7\text{ Hz} = 16\text{ MHz}

La densité spectrale de puissance vaut :

On en déduit la tension efficace :

Commentaires :

• À l'échelle macroscopique habituelle (signaux de l'ordre du volt), une fluctuation de quelques microvolts est parfaitement négligeable et « invisible à l'oscilloscope ».
• En revanche, pour des mesures de haute précision comme celles envisagées dans ce sujet (mesures de tension de Hall à \pm 1\text{ nV} près, cf. question Q21), ce bruit thermique est prépondérant de plus de trois ordres de grandeur devant le signal utile à température ambiante sur cette large bande.

• Pour s'affranchir de cette limitation en métrologie, deux leviers fondamentaux apparaissent clairement :

  1. Abaisser drastiquement la température T (utilisation de cryostats à 0{,}1\text{ K} comme mentionné en section II.3) ;
  2. Réduire drastiquement la bande passante de mesure \Delta f autour de la fréquence du signal utile (filtrage sélectif, détection synchrone).