Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2020 (page 2/3 : Partie II (questions 13 à 32))

Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, appliquons le principe fondamental de la dynamique à un électron de charge q = -e et de masse effective m^*, animé d'une vitesse \vec{v} = v_x \vec{e}_x + v_y \vec{e}_y dans le plan (\mathrm{O}xy) :

En régime permanent, la vitesse moyenne est constante, soit \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0} :

La densité surfacique de courant associée au gaz bidimensionnel d'électrons s'écrit :

En substituant cette relation dans l'équation du mouvement permanent, on obtient :

En multipliant par \frac{e N_{\text{s}}\tau}{m^*} et en introduisant la conductivité \sigma_0 = \frac{N_{\text{s}}e^2\tau}{m^*} et la pulsation cyclotron \omega_{\text{c}} = \frac{e B_0}{m^*} avec \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z :

Puisque \vec{j}_{\text{S}} \wedge \vec{e}_z = (j_{\text{S}x}\vec{e}_x + j_{\text{S}y}\vec{e}_y)\wedge \vec{e}_z = j_{\text{S}y}\vec{e}_x - j_{\text{S}x}\vec{e}_y, la projection sur les axes \mathrm{O}x et \mathrm{O}y donne :

Le déterminant de la matrice 2 \times 2 vaut \det = 1 + (\omega_{\text{c}}\tau)^2 \neq 0. En inversant cette matrice, il vient :

Cette relation s'identifie bien à la forme matricielle demandée \begin{pmatrix} j_{\text{S}x} \\ j_{\text{S}y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} avec :

D'après la relation matricielle établie à la question précédente (Q13) :

En l'absence de champ magnétique extérieur (\vec{\mathrm{B}}_0 = \vec{0}, soit \omega_{\mathrm{c}} = 0), la matrice de conductivité devient diagonale proportionnelle à l'identité, et la loi d'Ohm locale surfacique s'écrit :

Ainsi, \sigma_0 représente la conductivité électrique surfacique (ou bidimensionnelle) du gaz d'électrons en champ magnétique nul, selon le modèle de Drude.

L'origine de la tension transversale V_{\text{H}} s'explique par les mécanismes microscopiques suivants :

• Déflexion magnétique : Les électrons de conduction, de charge q = -e, animés d'une vitesse moyenne d'entraînement longitudinale \vec{v} = v_x \vec{e}_x (avec v_x < 0 pour un courant orienté selon +\vec{e}_x), subissent sous l'action du champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z une force de Lorentz magnétique :

  \vec{F}_{\text{m}} = q\,\vec{v} \times \vec{B}_0 = (-e)(v_x \vec{e}_x) \times (B_0 \vec{e}_z) = e v_x B_0 \,\vec{e}_y

  Comme v_x < 0, cette force est dirigée selon -\vec{e}_y et dévie les électrons vers le bord inférieur.

• Accumulation de charges et champ de Hall : Cette déviation entraîne une accumulation d'électrons sur la face inférieure et un défaut d'électrons (charges positives nettes non compensées du réseau) sur la face supérieure. Cette séparation de charges génère un champ électrique transverse dit champ de Hall \vec{E}_{\text{H}} = E_y \vec{e}_y (orienté vers les y décroissants, soit E_y < 0).

• Établissement du régime permanent : L'apparition de ce champ engendre une force électrostatique \vec{F}_{\text{e}} = -e \vec{E}_{\text{H}} qui s'oppose à la force magnétique. En régime stationnaire, la composante transverse du courant s'annule (j_{\text{S}y} = 0), ce qui correspond à la compensation moyenne des forces transverses :

  \vec{F}_{\text{e}} + \vec{F}_{\text{m}} = \vec{0}

• Tension de Hall : La circulation de ce champ électrique transverse \vec{E}_{\text{H}} entre les deux faces latérales opposées de la sonde produit une différence de potentiel mesurable, la tension de Hall V_{\text{H}} :

  \boxed{V_{\text{H}} = -\int_{\text{face 1}}^{\text{face 2}} \vec{E}_{\text{H}} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}}

1. Définition de l'impédance d'entrée

L'impédance d'entrée Z_e d'un appareil de mesure (ou d'un quadripôle récepteur) est définie par le rapport, en régime sinusoïdal, entre la tension appliquée à ses bornes d'entrée et le courant qui y pénètre :

En régime continu, cette impédance est purement résistive et correspond à la résistance d'entrée :

2. Nécessité d'une impédance d'entrée très grande

Un voltmètre se branche toujours en dérivation (en parallèle) entre les deux points dont on souhaite mesurer la différence de potentiel. Deux raisons imposent que son impédance d'entrée soit la plus élevée possible :

• Non-perturbation du circuit (absence d'effet de charge) : le courant prélevé par l'appareil est I_e = \frac{U_e}{Z_e}. Pour que l'insertion du voltmètre ne modifie pas le fonctionnement du système, ce courant doit être rigoureusement négligeable devant les courants circulant dans le dipôle étudié, ce qui exige Z_e \gg R_{\text{Th}}, où R_{\text{Th}} est la résistance équivalente de Thévenin entre les deux bornes de mesure.
• Mesure de la tension de Hall en circuit ouvert : la tension de Hall V_{\mathrm{H}} n'atteint sa valeur d'équilibre que si la densité de courant transverse s'annule strictement (j_{\mathrm{S}y} = 0). Si l'impédance d'entrée était finie, un courant transverse non nul circulerait à travers le voltmètre, limitant l'accumulation de charges sur les flancs latéraux ; le champ électrique transverse E_y ne compenserait alors plus totalement la force de Lorentz magnétique, et la tension mesurée serait inférieure à la tension de Hall théorique à vide.

Le voltmètre d'impédance d'entrée infinie branché selon la direction transversale Oy n'absorbe aucun courant. Le régime permanent implique donc une densité surfacique de courant strictement longitudinale :

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Oy établi à la question Q13, les composantes de la densité surfacique de courant vérifient :

En injectant la condition j_{\text{S}y} = 0, on obtient directement :

Ce que l'on peut également retrouver en inversant le système matriciel \vec{j}_{\text{S}} = \underline{\underline{\sigma}} \, \vec{E} obtenu à la question Q13 :

puis en réinjectant dans j_{\text{S}x} :

On en déduit la relation d'effet Hall :

ou de manière équivalente :

Le courant total I circulant selon \vec{e}_x traverse un segment de longueur L selon la direction \vec{e}_y. Le champ de courant étant uniforme dans le plan :

D'autre part, la tension transversale de Hall V_{\mathrm{H}} mesurée entre les deux bords opposés selon l'axe Oy, distants de L, est reliée au champ électrique uniforme E_y par circulation du champ électrostatique :

avec la convention habituelle où la borne positive du voltmètre se trouve au potentiel le plus élevé (en y = L).

D'après le résultat de la question Q17, le champ de Hall s'écrit :

On en déduit l'expression de la tension de Hall :

La résistance de Hall R_{\mathrm{H}} = V_{\mathrm{H}}/I s'écrit donc :

Le courant total I circulant selon l'axe Ox à travers la section transverse de largeur L (selon Oy) du gaz d'électrons bidimensionnel s'exprime par :

D'après le résultat de la question Q18, la tension de Hall s'écrit en fonction du champ magnétique B :

Par définition, la sensibilité de la sonde de Hall est la dérivée de la tension mesurée par rapport au champ magnétique :

On en déduit immédiatement :

D'après l'expression établie à la question Q19, la sensibilité de la sonde de Hall s'écrit :

Les grandeurs numériques fournies par l'énoncé sont :

• j_{\text{S}} = 200\text{ A}\cdot\text{m}^{-1} ;
• L = 5\ \mu\text{m} = 5 \times 10^{-6}\text{ m} ;
• N_{\text{s}} = 8 \times 10^{15}\text{ m}^{-2} ;
• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}.

On calcule séparément le numérateur et le dénominateur :

On en déduit :

La sensibilité de la sonde relie une variation de champ magnétique \delta B à la variation de tension de Hall mesurée \delta V_{\text{H}} selon :

Le champ magnétique minimal détectable B_{\min} correspond à la plus petite variation de tension mesurable par le voltmètre, soit \delta V_{\text{H},\min} = 1\text{ nV} :

En reprenant l'expression de la sensibilité issue des questions Q19 et Q20, s = \frac{1}{1{,}28}\text{ V}\cdot\text{T}^{-1} \simeq 0{,}78\text{ V}\cdot\text{T}^{-1}, le calcul conduit directement à :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Dans un milieu matériel présentant une aimantation \vec{M} (moment magnétique volumique), le vecteur excitation magnétique \vec{H} est défini par la relation fondamentale :

où :

• \vec{B} est le champ magnétique (en teslas, \text{T}) ;
• \mu_0 est la perméabilité magnétique du vide (\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}) ;
• \vec{M} est le vecteur aimantation du milieu (en \text{A}\cdot\text{m}^{-1}) ;
• \vec{H} s'exprime en ampères par mètre (\text{A}\cdot\text{m}^{-1}).

1. Définition de l'ARQS magnétique

L'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) est valide lorsque la dimension caractéristique D du système étudié est très petite devant la longueur d'onde \lambda = c/f associée à la fréquence f des signaux, ou de façon équivalente lorsque le temps de propagation de l'onde électromagnétique est négligeable devant la période T des grandeurs variables :

Dans le cadre de l'ARQS magnétique (qui s'applique aux conducteurs et circuits magnétiques où les courants de conduction dominent largement les effets capacitifs) :

• Le courant de déplacement de Maxwell est négligé devant la densité de courant de conduction des charges libres :

  \left\| \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \right\| \ll \|\vec{j}\|
• Le terme d'induction temporelle -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} dans l'équation de Maxwell-Faraday est en revanche conservé, ce qui permet de rendre compte des phénomènes d'induction (loi de Faraday, f.é.m. induite, courants de Foucault).

2. Équations de Maxwell dans l'ARQS magnétique

En présence de matière et de charges/courants libres de densités \rho et \vec{j}, les équations de Maxwell s'écrivent :

Un milieu ferromagnétique est dit doux lorsqu'il possède un cycle d'hystérésis très étroit :

• son champ coercitif H_{\mathrm{c}} est très faible (typiquement H_{\mathrm{c}} \lesssim 100\text{ A}\cdot\text{m}^{-1}), ce qui signifie qu'il s'aimante et se désaimante très facilement ;
• l'aire du cycle d'hystérésis étant très petite, l'énergie dissipée sous forme thermique par cycle (pertes par hystérésis) est minime ;
• sa perméabilité magnétique relative \mu_{\mathrm{r}} est très grande devant 1.

L'ordre de grandeur de la perméabilité relative \mu_{\mathrm{r}} se situe typiquement entre 10^3 et 10^5. Selon le milieu choisi :

• pour le fer doux ou un alliage fer-silicium (utilisé dans les tôles de transformateurs et machines électriques) :

  \boxed{\mu_{\mathrm{r}} \sim 10^3 \text{ à } 5\times 10^3}

• pour le permalloy ou le mu-métal (alliages fer-nickel utilisés notamment pour le blindage magnétique) :

  \mu_{\mathrm{r}} \sim 2\times 10^4 \text{ à } 10^5

L'approximation linéaire des milieux ferromagnétiques doux repose sur deux simplifications physiques majeures :

1. Négligence de l'hystérésis : le matériau étant doux, son cycle d'hystérésis est très étroit (champ coercitif H_{\mathrm{c}} \approx 0 et aimantation rémanente quasi-nulle). On assimile le cycle à une caractéristique unique et réversible passant par l'origine ;

2. Linéarisation avant saturation : en régime de fonctionnement sous excitation modérée, loin du seuil de saturation magnétique (B_{\mathrm{f}} \ll B_{\mathrm{sat}}), la courbe d'aimantation est assimilée à sa tangente à l'origine. L'aimantation \vec{M}_{\mathrm{f}} est alors directement proportionnelle à l'excitation magnétique \vec{H}_{\mathrm{f}} :

   \vec{M}_{\mathrm{f}} = \chi_{\mathrm{m}} \vec{H}_{\mathrm{f}}

   où la susceptibilité magnétique \chi_{\mathrm{m}} est une constante scalaire (pour un milieu isotrope).

D'après la relation liant \vec{B}, \vec{H} et \vec{M} rappelée à la question Q22, on a :

où \mu_{\mathrm{r}} = 1 + \chi_{\mathrm{m}} désigne la perméabilité relative (constante et très grande devant 1).

En projetant le long des lignes de champ orientées dans le sens de circulation :

Pour que les lignes de champ magnétique restent parallèles entre elles et ne s'épanouissent pas aux bords de l'entrefer (absence d'effets de bord ou de fuites latérales), il faut que la longueur de l'entrefer \ell soit très petite devant les dimensions transversales caractéristiques des pièces polaires (de section S_{\text{e}} ou S_{\text{f}}) :

Sous cette condition d'« entrefer étroit », le champ magnétique peut être considéré comme uniforme dans l'entrefer et perpendiculaire aux faces polaires.

L'observation de la figure 4 montre que les lignes de champ magnétique sont presque intégralement confinées à l'intérieur du matériau ferromagnétique et traversent l'entrefer sans fuite notable vers l'extérieur : le flux magnétique est canalisé par le circuit magnétique.

L'équation de Maxwell-Thomson, \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, traduit le caractère conservatif du flux du champ magnétique. Le circuit magnétique se comportant comme un tube de flux sans fuites latérales, le flux magnétique \Phi à travers une section droite quelconque est conservé le long de la structure :

où \Phi_{\text{f}} désigne le flux à travers une section du matériau ferromagnétique et \Phi_{\text{e}} le flux à travers une section de l'entrefer.

Dans le cadre de l'ARQS magnétique (établi à la question Q23), on applique le théorème d'Ampère au vecteur excitation magnétique \vec{H} le long du contour fermé \mathcal{C} orienté suivant les lignes de champ (représenté sur la figure 3) :

Le contour \mathcal{C} se décompose en une partie dans le matériau ferromagnétique (de longueur L) et une partie dans l'entrefer (de longueur \ell). Les champs étant considérés uniformes et colinéaires au contour dans chaque tronçon :

D'après les lois de comportement :

• dans le matériau ferromagnétique doux (question Q25) : B_{\text{f}} = \mu_0 \mu_{\text{r}} H_{\text{f}}, soit H_{\text{f}} = \dfrac{B_{\text{f}}}{\mu_0 \mu_{\text{r}}} ;
• dans l'entrefer (assimilé au vide) : B_{\text{e}} = \mu_0 H_{\text{e}}, soit H_{\text{e}} = \dfrac{B_{\text{e}}}{\mu_0}.

De plus, d'après la conservation du flux magnétique le long du circuit sans fuites (question Q27) :

On en déduit l'expression de H_{\text{f}} en fonction de B_{\text{e}} :

En reportant dans le théorème d'Ampère :

Le champ magnétique dans l'entrefer vérifie donc bien B_{\text{e}} = \alpha \, i, avec :

La sonde à effet Hall est placée dans l'entrefer de manière à ce que les lignes de champ magnétique, supposées uniformes et parallèles entre elles (d'après les questions Q26 et Q28), traversent perpendiculairement la surface active du capteur. Dans le cadre de l'ARQS magnétique (établie à la question Q23), le champ magnétique instantané dans l'entrefer s'écrit à tout instant :

où l'expression de \alpha a été déterminée à la question Q28 :

D'après la question Q18, la résistance de Hall du gaz bidimensionnel d'électrons s'exprime par :

Lorsque la sonde est alimentée par un courant continu d'intensité I fixé et parfaitement contrôlé, la tension transversale de Hall recueillie vaut donc :

La tension V_{\text{H}}(t) est ainsi strictement proportionnelle à l'intensité i(t) du courant circulant dans le bobinage :

avec pour coefficient de proportionnalité :

Les pertes dites « pertes fer » (dissipées au sein du circuit magnétique sous forme de chaleur) regroupent deux phénomènes distincts :

1. Les pertes par hystérésis :

   • Origine microscopique : sous l'effet du champ excitateur variable \vec{H}(t), l'aimantation du matériau évolue par déplacement des parois des domaines magnétiques (domaines de Weiss) et rotation des moments magnétiques atomiques. Ces déplacements rencontrent des impuretés et des défauts du réseau cristallin (centres de piégeage), rendant le processus d'aimantation irréversible.

   • Conséquence macroscopique : la relation entre \vec{B} et \vec{H} présente un retard décrivant un cycle d'hystérésis. L'énergie volumique dissipée sous forme thermique au cours d'un cycle correspond à l'aire de ce cycle :

     w_{\text{hyst}} = \oint_{\text{cycle}} H \, \mathrm{d}B

     Pour une excitation à la fréquence f, la puissance volumique dissipée est proportionnelle à la fréquence : \mathcal{P}_{\text{hyst}} \propto f.

2. Les pertes par courants de Foucault :

   • Origine : d'après la loi de Faraday-Maxwell (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t), la variation temporelle du champ magnétique au sein du matériau ferromagnétique — qui possède une conductivité électrique \gamma_{\text{fer}} non nulle — induit un champ électromoteur tourbillonnaire.
   • Conséquence : ce champ électrique met en mouvement les porteurs de charge du métal, générant des boucles de courants induits macroscopiques appelés courants de Foucault. Ces courants dissipent de l'énergie thermique par effet Joule avec une puissance volumique moyenne variant en f^2.

Autre type de perte dans le système :

Il existe également les pertes par effet Joule dans le bobinage (communément appelées « pertes cuivre »), associées à la résistance électrique non nulle R_{\text{b}} du fil conducteur enroulé autour du circuit :

D'après la question Q28, dans le cadre de l'approximation linéaire et de la conservation du flux, l'induction magnétique dans le ferromagnétique B_{\text{f}} est proportionnelle à la force magnétomotrice N i(t). L'amplitude de l'induction maximale s'écrit donc :

Examinons la dépendance des deux contributions aux pertes fer vis-à-vis de ces paramètres :

• Pertes par courants de Foucault : La force électromotrice induite dans le matériau conducteur dérive de la loi de Faraday :

  e_{\text{ind}} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \propto f B_{\max} \propto N \times i \times f

  La puissance volumique dissipée par effet Joule par ces courants induits varie comme le carré de cette tension induite :

  P_{\text{Foucault}} \propto e_{\text{ind}}^2 \propto (N \times i \times f)^2

• Pertes par hystérésis : L'énergie dissipée par cycle est proportionnelle à l'aire du cycle d'hystérésis, qui croît avec l'amplitude du champ (loi empirique de Steinmetz : w_{\text{cycle}} \propto B_{\max}^\alpha, avec \alpha \approx 1{,}6\text{ à }2). La puissance moyenne dissipée s'en déduit par multiplication par la fréquence :

  P_{\text{hyst}} = f \, w_{\text{cycle}} \, V_{\text{fer}} \propto f \, B_{\max}^\alpha \propto f \, (N i)^\alpha

Les deux types de pertes augmentent donc de façon monotone avec N i et avec f. En particulier, les pertes par courants de Foucault sont directement proportionnelles au carré du produit (N \times i \times f).

D'après le théorème de Fourier, un courant périodique non-sinusoïdal se décompose en une composante continue et une somme d'harmoniques de fréquences f_n = n f (n \in \mathbb{N}^*) :

Même si l'amplitude globale du courant est faible, des fronts raides (comme dans les signaux carrés ou en modulation de largeur d'impulsion) impliquent des amplitudes I_n non négligeables jusqu'à des rangs n très élevés.

Or, comme analysé à la question Q31, les pertes par courants de Foucault varient comme le carré de la fréquence :

Le facteur pondérateur n^2 f^2 compense alors largement la petitesse des amplitudes I_n, ce qui impose une grande vigilance pour deux raisons principales :

• Échauffement et dérive thermique : la forte dissipation thermique par effet Joule dans le matériau ferromagnétique peut modifier sa perméabilité relative \mu_{\text{r}}, voire échauffer le capteur Hall situé dans l'entrefer et modifier sa sensibilité s (qui dépend de la température via la mobilité et la densité de porteurs N_{\text{s}}).
• Distorsion de mesure et pertes de linéarité : aux fréquences élevées des harmoniques, l'effet de peau magnétique confine le flux à la surface des tôles, le cycle dynamique d'hystérésis s'élargit, et des forces électromotrices d'induction parasites (\propto \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}) viennent polluer la mesure de la tension de Hall V_{\text{H}}(t).