Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MPI 2025 (page 2/3 : Partie B)

Le filament est un conducteur cylindrique homogène de longueur L, de rayon r_{\mathrm{f}} et de conductivité électrique \gamma. Sa section droite vaut :

D'après la loi de Pouillet (résistance d'un conducteur cylindrique en régime continu), sa résistance électrique s'écrit :

Application numérique :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Le filament étant soumis à la tension continue U_{\mathrm{f}}, la puissance électrique reçue (dissipée par effet Joule) s'exprime par :

Application numérique :

Soit :

Il existe trois modes de transfert thermique :

• la conduction (ou diffusion) thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de matière ;
• la convection thermique : transfert d'énergie accompagné d'un déplacement macroscopique de matière, propre aux fluides (liquides ou gaz) ;
• le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques (photons), ne nécessitant aucun milieu matériel pour se propager.

Le tube électronique est sous vide : l'espace séparant le filament chauffant de la cathode est dépourvu de milieu matériel. En l'absence de fluide, la convection est impossible ; de même, en l'absence de contact solide continu ou de gaz interstitiel, la conduction thermique dans cet espace est exclue.

Le chauffage de la cathode par le filament est donc assuré par rayonnement thermique.

Dans la loi de Stefan-Boltzmann \phi = \sigma T^4 :

• La grandeur \phi représente la densité surfacique de flux thermique émis (ou émittance énergétique, ou encore exitance) par la surface du corps noir à la température T.
• Il s'agit de la puissance thermique totale rayonnée par unité d'aire de la surface émettrice, intégrée sur l'ensemble du spectre électromagnétique (toutes les longueurs d'onde) et dans tout le demi-espace vers l'extérieur.

Considérons le système fermé constitué par le filament de tungstène entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Le filament est modélisé par une phase condensée indilatable et incompressible de température uniforme T(t).

Sa masse s'exprime en fonction de son rayon r_{\mathrm{f}} et de sa longueur L par :

Sa capacité thermique est donc :

La variation de son énergie interne entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Pendant cette durée \mathrm{d}t, le filament échange de l'énergie avec l'extérieur :

• Il reçoit un travail électrique (effet Joule) :

  \delta W = P_{\text{él}}\,\mathrm{d}t

• Il émet un flux thermique radiatif par sa surface extérieure. Le rayon r_{\mathrm{f}} étant très petit devant la longueur L (r_{\mathrm{f}}/L = 5{,}0\times 10^{-3} \ll 1), la surface d'échange se réduit à sa surface latérale :

  S_{\mathrm{f}} \approx 2\pi r_{\mathrm{f}} L

  D'après la loi de Stefan-Boltzmann et en négligeant le flux reçu du milieu extérieur, le transfert thermique s'écrit :

  \delta Q = - \phi S_{\mathrm{f}}\,\mathrm{d}t = - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4\,\mathrm{d}t

D'après le premier principe de la thermodynamique :

Soit, en divisant par \mathrm{d}t et en explicitant C :

Ce qui conduit à l'équation différentielle :

En régime stationnaire, la température du filament est constante au cours du temps, soit :

L'équation différentielle établie à la question Q22 se réduit alors à l'équilibre entre la puissance électrique reçue et la puissance rayonnée :

On en déduit l'expression de la température d'équilibre T_{\text{éq}} :

En remplaçant la puissance électrique P_{\text{él}} = \dfrac{U_{\mathrm{f}}^2}{R_{\mathrm{f}}} = \dfrac{\pi \gamma r_{\mathrm{f}}^2 U_{\mathrm{f}}^2}{L} par son expression obtenue à la question Q19, on obtient :

soit finalement :

Application numérique : Avec les valeurs numériques fournies :

• \gamma = 8{,}9 \times 10^6\ \mathrm{S\cdot m^{-1}} ;
• r_{\mathrm{f}} = 0{,}20\ \mathrm{mm} = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m} ;
• U_{\mathrm{f}} = 1{,}5\ \mathrm{V} ;
• \sigma = 5{,}7 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}} ;
• L = 4{,}0\ \mathrm{cm} = 4{,}0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}.

Le calcul donne :

D'où :

La capacité thermique du filament s'écrit :

Numériquement :

L'élévation de température du filament de la température ambiante T_0 \approx 300\ \mathrm{K} jusqu'à la température d'équilibre T_{\text{éq}} \approx 2{,}2\times 10^3\ \mathrm{K} requiert une variation d'énergie interne :

La puissance électrique injectée étant P_{\text{él}} \approx 63\ \mathrm{W} et les pertes radiatives étant nulles à l'instant initial pour croître jusqu'à compenser P_{\text{él}} à l'équilibre, le temps de mise en température est de l'ordre de :

Une analyse du temps caractéristique de l'équation différentielle linéarisée au voisinage de T_{\text{éq}} donne de même :

L'ordre de grandeur du temps de chauffage du filament seul est donc de l'ordre d'une fraction de seconde à la seconde :

Commentaire dans le cadre d'un amplificateur audio à tubes : Contrairement aux amplificateurs à transistors qui sont opérationnels quasi-instantanément, un équipement audio à tubes nécessite une phase de préchauffage à l'allumage. Bien que le filament atteigne sa température de fonctionnement en environ une seconde, le transfert thermique par rayonnement vers la cathode environnante (qui possède une masse et une capacité thermique plus grandes) requiert un délai supplémentaire pour stabiliser l'émission thermoïonique (typiquement de quelques secondes à plusieurs dizaines de secondes). C'est pourquoi le son n'est émis qu'après une phase de montée en température caractéristique des appareils à tubes.

D'après le formulaire, la loi de déplacement de Wien s'écrit :

À la température d'équilibre T_{\text{éq}} \approx 2{,}2 \times 10^3\ \mathrm{K} obtenue à la question Q23, la longueur d'onde au sommet du spectre d'émission vaut :

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine du proche infrarouge (\lambda_{\max} > 750\ \mathrm{nm}).

Puisque le spectre d'émission du corps noir est une fonction strictement croissante de la longueur d'onde pour \lambda < \lambda_{\max}, l'émittance spectrale dans le domaine visible (\lambda \in [400\ \mathrm{nm},\, 750\ \mathrm{nm}]) est d'autant plus intense que la longueur d'onde est grande : le rouge et l'orange sont très prédominants par rapport au bleu et au vert.

Le filament présente donc une teinte chaude :

L'émission thermoïonique est un phénomène de transport microscopique d'électrons hors du métal :

• À l'échelle microscopique, les électrons de conduction du métal sont des fermions de spin 1/2, régis par la physique quantique et soumis au principe d'exclusion de Pauli.
• La distribution statistique de ces électrons suit la statistique de Fermi-Dirac, dans laquelle le dénombrement des états quantiques accessibles fait intervenir le volume d'une cellule élémentaire de l'espace des phases, égal à h^3 (ou une densité d'états proportionnelle à h^{-3}).
• Le calcul microscopique du flux d'électrons possédant une énergie cinétique suffisante pour franchir la barrière de potentiel W nécessite donc d'intégrer sur cette densité d'états quantiques.

Ainsi, la constante de Planck h, constante fondamentale de la physique quantique régissant la quantification des états et la densité d'états dans l'espace des phases, intervient nécessairement dans le préfacteur A.

Dans la loi de Richardson, l'argument de l'exponentielle est sans dimension, de sorte que :

où \mathrm{I} désigne la dimension d'intensité électrique, \mathrm{L} la longueur et \Theta la température thermodynamique.

Exprimons les dimensions fondamentales des grandeurs microscopiques considérées :

• Masse de l'électron : [m] = \mathrm{M} ;
• Charge élémentaire : [e] = \mathrm{I\cdot T} ;
• Constante de Boltzmann : k_B T est une énergie ([E] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-2}}), d'où [k_B] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-2}\cdot \Theta^{-1}} ;
• Constante de Planck : h\nu est une énergie avec [\nu] = \mathrm{T^{-1}}, d'où [h] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-1}}.

On cherche une expression de la forme A = 4\pi\, m^\alpha e^\beta k_B^\gamma h^\delta. L'analyse dimensionnelle se traduit par :

Par identification des exposants dimension par dimension :

On vérifie la cohérence sur la dimension temporelle \mathrm{T} : \beta - 2\gamma - \delta = 1 - 4 - (-3) = 0, ce qui est bien vérifié.

On en déduit l'expression de la constante de Richardson A :

Application numérique : Avec les valeurs de l'énoncé :

Considérons la cathode en régime stationnaire. Par hypothèse de l'énoncé :

• la cathode reçoit la totalité de la puissance rayonnée par le filament, elle-même égale en régime stationnaire à la puissance électrique dissipée dans le filament (établie aux questions Q19 et Q23), soit P_{\text{él}} = \dfrac{U_{\mathrm{f}}^2}{R_{\mathrm{f}}} = \sigma T_{\text{éq}}^4 S_{\mathrm{f}} ;
• tout autre transfert thermique reçu est négligé.

La cathode évacue cette puissance par rayonnement thermique depuis sa surface latérale externe vers le reste du tube. Cette surface externe est un cylindre de rayon r_1 et de hauteur H, d'aire :

En assimilant la cathode à un corps noir à la température uniforme T_c, la puissance totale rayonnée vers l'extérieur s'écrit selon la loi de Stefan-Boltzmann :

À l'équilibre stationnaire, la conservation de l'énergie impose P_{\text{ray}} = P_{\text{él}}, ce qui conduit à :

soit encore, en reliant directement T_c à la température d'équilibre du filament T_{\text{éq}} :

D'où l'expression de la température de la cathode :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• P_{\text{él}} \approx 62{,}5\ \mathrm{W} ;
• r_1 = 2{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{m} et H = 45\times 10^{-3}\ \mathrm{m}, d'où S_c = 2\pi \times 2{,}0\times 10^{-3} \times 45\times 10^{-3} \approx 5{,}65\times 10^{-4}\ \mathrm{m}^2 ;
• \sigma = 5{,}7\times 10^{-8}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.

D'après la loi de Richardson, la densité de courant émise par une surface métallique à la température T_c est :

La cathode cylindrique présente une surface émettrice latérale S_c = 2\pi r_1 H = 2\pi \times 2{,}0\times 10^{-3} \times 45\times 10^{-3} \approx 5{,}65\times 10^{-4}\text{ m}^2.

L'énergie thermique à la température T_c \approx 1{,}18\times 10^3\text{ K} vaut :

1. Émission côté filament (face interne en nickel, W_{\mathrm{Ni}} = 4{,}6\text{ eV}) Le rapport énergétique vaut :

La densité de courant d'émission est alors :

L'intensité émise vers l'intérieur (côté filament) est donc :

2. Émission côté anode (face externe recouverte de BaO, W_{\mathrm{BaO}} = 2{,}0\text{ eV}) Le rapport énergétique devient :

La densité de courant d'émission vaut :

L'intensité totale maximale émise (courant de saturation thermoïonique) est ainsi :

3. Comparaison et commentaire On constate que :

D'après l'étude précédente, le comportement réel de la diode à vide fait intervenir la limite imposée par l'émission thermoïonique de la cathode :

• Polarisation inverse (U_{ac} < 0) : le champ électrique repousse les électrons vers la cathode. La cathode n'étant pas une anode collectrice et l'anode froide n'émettant aucun électron, la diode est bloquée :

  I_a = 0

• Régime de charge d'espace (0 < U_{ac} < U_{\text{sat}}) : pour des tensions modérées, le courant est limité par l'effet d'écran créé par le nuage électronique entre les électrodes. C'est le domaine de validité de la loi de Child-Langmuir établie à la question Q10 :

  I_a = \beta U_{ac}^{3/2}

• Régime de saturation thermoïonique (U_{ac} \ge U_{\text{sat}}) : le champ électrique devient suffisamment intense pour capter la totalité des électrons émis par la cathode côté anode. Le courant ne dépend plus de la tension appliquée mais uniquement de la température de la cathode par la loi de Richardson (question Q29). Il atteint le courant de saturation :

  \boxed{I_a = I_{\text{th-A}} = \text{cte}}

La tension de saturation U_{\text{sat}} marquant la frontière entre ces deux derniers régimes vérifie :

Avec I_{\text{th-A}} \approx 3{,}6\text{ A} et \beta = 2{,}2\times 10^{-4}\text{ A}\cdot\text{V}^{-3/2}, on obtient U_{\text{sat}} \approx 6{,}5\times 10^2\text{ V}.