Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2025 (page 2/3 : Partie II)

Le module thermoélectrique fonctionne comme un moteur thermique :

• Il reçoit de l'énergie thermique de la source chaude à température T_C, d'où :

  \boxed{\mathcal{P}_C > 0}

• Il cède nécessairement une partie de cette énergie thermique à la source froide à température T_F < T_C, d'où :

  \boxed{\mathcal{P}_F < 0}

• Il fournit de la puissance électrique à la résistance de charge R_c extérieure ; la puissance électrique algébrique reçue par le module est donc négative :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{él}} < 0}

Le rendement \eta est défini par le rapport entre la puissance utile cédée au circuit extérieur, -\mathcal{P}_{\text{él}}, et la puissance thermique coûteuse fournie par la source chaude, \mathcal{P}_C :

1. Variations d'énergie interne et d'entropie en régime stationnaire

En régime stationnaire, toutes les grandeurs d'état locales et globales décrivant le module sont indépendantes du temps. L'énergie interne U et l'entropie S du module sont donc rigoureusement constantes :

2. Application des principes et rendement de Carnot

Le premier principe appliqué au module entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Le second principe appliqué au module sur le même intervalle donne :

où \delta S_c \ge 0 est l'entropie créée par les irréversibilités. On en déduit l'inégalité de Clausius :

En injectant \mathcal{P}_F = -\mathcal{P}_C - \mathcal{P}_{\text{él}} issu du premier principe :

En multipliant par T_F > 0 et en divisant par \mathcal{P}_C > 0, il vient :

Le rendement admet ainsi une borne supérieure :

3. Condition d'atteinte de la limite de Carnot

Ce rendement limite n'est atteint que pour une création d'entropie nulle (\delta S_c = 0), c'est-à-dire pour un fonctionnement réversible du convertisseur thermoélectrique (absence d'effet Joule, pas de conduction thermique irréversible liée à des gradients finis de température non convertis, etc.).

D'après la figure 5, la flèche indiquant I > 0 est orientée de gauche à droite à travers la résistance de charge R_c. La fermeture du circuit électrique impose donc le sens de circulation suivant :

• dans la jambe de type p, le courant électrique circule de haut en bas, c'est-à-dire de la source chaude (T_C) vers la source froide (T_F), soit dans le sens de +\vec{u}_x ;
• dans la jambe de type n, le courant électrique circule de bas en haut, c'est-à-dire de la source froide (T_F) vers la source chaude (T_C), soit dans le sens de -\vec{u}_x.

Le vecteur densité de courant électrique volumique est relié à la vitesse moyenne \vec{v}_q des porteurs de charge de densité volumique n et de charge q par \vec{j}_{\text{él}} = n q \vec{v}_q :

• Semi-conducteur de type p : les porteurs majoritaires sont les trous de charge q = +e > 0. La vitesse de dérive des trous est dans le même sens que le courant :

  \boxed{\text{Les trous se déplacent de la source chaude vers la source froide (selon }+\vec{u}_x\text{).}}

• Semi-conducteur de type n : les porteurs majoritaires sont les électrons de charge q = -e < 0. La vitesse de dérive des électrons est de sens opposé à celui du courant : le courant étant dirigé vers le haut,

  \boxed{\text{Les électrons se déplacent également de la source chaude vers la source froide (selon }+\vec{u}_x\text{).}}

Possibilité d'utiliser des semi-conducteurs de même type :

Non, on ne peut pas faire fonctionner efficacement un module avec des jambes de même type. En effet, sous l'effet du même gradient de température entre T_C et T_F, les porteurs diffusent dans les deux jambes du chaud vers le froid.

• Si les deux jambes étaient constituées du même semi-conducteur (même coefficient \alpha), les forces électromotrices induites dans chaque jambe auraient même valeur et même polarité relative aux sources. Comme les jambes sont reliées en série par la source chaude, ces deux f.é.m. apparaîtraient en opposition dans la boucle électrique :

  e_{\text{tot}} = (\alpha_1 - \alpha_2)\Delta T = 0

  Aucun courant ne pourrait circuler dans la charge R_c.

• L'utilisation conjointe d'un dopage p (\alpha_p > 0) et d'un dopage n (\alpha_n < 0) permet au contraire aux f.é.m. de s'ajouter :

  e_{\text{tot}} = (\alpha_p - \alpha_n)\Delta T > 0

Par définition, l'intensité I du courant électrique traversant une section droite S de la jambe de semi-conducteur orientée par le vecteur normal \vec{u}_x s'écrit :

Le vecteur densité de courant électrique étant supposé uniforme sur la section et colinéaire à l'axe du cylindre (\vec{j}_{\text{él}} = j_{\text{él}} \vec{u}_x), l'intégrale se simplifie en :

On en déduit l'expression vectorielle de la densité de courant électrique :

Considérons le système fermé constitué de la matière contenue dans la tranche de jambe comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t+\mathrm{d}t.

La surface latérale étant calorifugée, les transferts d'énergie avec l'extérieur se font uniquement :

• par conduction thermique à travers les sections en x et x+\mathrm{d}x :

  \begin{aligned} \delta Q &= \Phi_{\text{th}}(x)\,\mathrm{d}t - \Phi_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[j_{\text{th}}(x) - j_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\right] S\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• par apport d'énergie électrique : le champ électrique cède aux porteurs de charge une puissance volumique p_v, transférée au réseau cristallin, soit un travail électrique reçu :

  \delta W_{\text{él}} = p_v\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche s'écrit :

Le régime étant stationnaire, la température de la tranche est indépendante du temps, d'où \mathrm{d}U = 0. Il vient alors :

En simplifiant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et la durée \mathrm{d}t, on obtient l'équation différentielle :

Le problème étant unidimensionnel suivant l'axe (Ox), le gradient de température s'écrit :

D'après la question Q16, le courant électrique est uniforme et s'écrit \vec{j}_{\text{él}} = j_{\text{él}}\vec{u}_x = \frac{I}{S}\vec{u}_x.

Les lois phénoménologiques couplées s'écrivent pour la jambe de type p :

La composante selon \vec{u}_x de la densité de courant thermique est donc :

Les grandeurs \alpha_p, \lambda_p et j_{\text{él}} étant indépendantes de x (et de T), la dérivation par rapport à x donne :

D'autre part, la puissance volumique p_v = \vec{j}_{\text{él}} \cdot \vec{E} s'exprime sous la forme :

En reportant ces expressions dans l'équation issue du bilan thermique (question Q17), \frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = p_v :

Le terme convectif thermoélectrique \alpha_p j_{\text{él}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} se simplifie de part et d'autre, ce qui conduit à :

En remplaçant j_{\text{él}} par \frac{I}{S}, on obtient :

avec :

Tous les paramètres I^2, \sigma_p, \lambda_p et S^2 étant strictement positifs, la constante k est bien strictement positive.

D'après la question Q18, l'équation différentielle vérifiée par la température dans la jambe s'écrit :

Par intégration successive par rapport à x, il vient :

où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

• En x = 0, T(0) = T_C, d'où :

  B = T_C

• En x = L, T(L) = T_F = T_C - \Delta T, d'où :

  \begin{aligned} -\frac{1}{2} k L^2 + A L + T_C &= T_C - \Delta T \\ A L &= -\Delta T + \frac{1}{2} k L^2 \\ A &= -\frac{\Delta T}{L} + \frac{1}{2} k L \end{aligned}

En réinjectant ces constantes dans l'expression de T(x), on obtient :

ou, sous forme développée :

La puissance thermique \mathcal{P}_{\text{th},p}(x=0) fournie par la source chaude correspond au flux sortant de la source chaude et entrant dans le semi-conducteur à travers la section droite située en x=0, orientée selon +\vec{u}_x :

D'après la loi locale de Fourier généralisée fournie par l'énoncé et l'expression \vec{j}_{\text{él}} = \frac{I}{S}\vec{u}_x établie en Q16, la composante de la densité de flux thermique s'écrit :

En x=0, où T(0) = T_C, la puissance thermique s'exprime donc sous la forme :

Or, d'après la question Q19, le profil de température s'écrit :

En dérivant par rapport à x :

En injectant cette dérivée dans l'expression de la puissance thermique :

Rappelons les expressions des résistances thermique et électrique d'un cylindre (Q1 et Q2) ainsi que de la constante k (Q18) :

Le dernier terme se simplifie alors :

On obtient bien la relation demandée :

La source chaude échange de la chaleur avec les deux branches semi-conductrices montées en parallèle thermique. La puissance thermique totale \mathcal{P}_C fournie au module par la source chaude s'écrit donc :

En utilisant les expressions données à la question précédente :

En sommant ces deux contributions, on obtient :

On identifie :

• le coefficient Seebeck global du module : \alpha = \alpha_p - \alpha_n ;

• la résistance électrique équivalente des deux jambes montées électriquement en série :

  \boxed{R_{\text{él}} = R_{\text{él},p} + R_{\text{él},n}}

• la résistance thermique équivalente des deux jambes montées thermiquement en parallèle :

  \frac{1}{R_{\text{th}}} = \frac{1}{R_{\text{th},p}} + \frac{1}{R_{\text{th},n}} \implies \boxed{R_{\text{th}} = \frac{R_{\text{th},p} R_{\text{th},n}}{R_{\text{th},p} + R_{\text{th},n}}}

L'expression de la puissance thermique algébrique \mathcal{P}_C fournie par la source chaude au module est ainsi :

Le module opère en régime stationnaire, son énergie interne est donc constante au cours du temps :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'ensemble du module :

On en déduit l'expression de la puissance électrique algébrique reçue par le module :

En injectant l'expression de \mathcal{P}_C obtenue à la question Q21 et celle de \mathcal{P}_F fournie par l'énoncé :

La somme des puissances thermiques s'écrit :

Par conséquent, la puissance électrique reçue par le module est :

D'après la question Q22, la puissance électrique algébrique reçue par le module s'écrit :

La puissance électrique cédée par le module à la charge de résistance R_c est donc :

Par ailleurs, la puissance électrique reçue et dissipée par effet Joule par la charge de résistance R_c traversée par le courant d'intensité I vaut :

En égalant ces deux expressions :

Comme le module débite un courant non nul en régime stationnaire (I > 0), on simplifie par I pour obtenir :

D'après les questions Q22 et Q23, la puissance électrique reçue par la charge de résistance R_c s'écrit :

En injectant l'expression du courant I = \dfrac{\alpha \Delta T}{R_{\text{él}} + R_c} établie en Q23, on obtient :

Pour R_{\text{él}}, \alpha et \Delta T fixés, étudions la fonction f(R_c) = \dfrac{R_c}{(R_{\text{él}} + R_c)^2} pour R_c > 0. Sa dérivée par rapport à R_c vaut :

Le dénominateur étant strictement positif :

• \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} > 0 si R_c < R_{\text{él}} ;
• \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} = 0 si R_c = R_{\text{él}} ;
• \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} < 0 si R_c > R_{\text{él}}.

La puissance reçue par la charge admet donc un maximum strict en :

En remplaçant R_c par R_{\text{él}} dans l'expression de |\mathcal{P}_{\text{él}}|, on obtient la puissance maximale fournie à la charge :

D'après les questions Q21 et Q24, le coefficient Seebeck global du module vaut :

La résistance électrique équivalente du module est la somme des résistances des deux jambes :

Avec L = 600\ \mu\text{m} = 6{,}0\cdot 10^{-4}\text{ m} et S = 6{,}4\cdot 10^3\ \mu\text{m}^2 = 6{,}4\cdot 10^{-9}\text{ m}^2 :

D'après la question Q24, la puissance électrique maximale délivrée par un module élémentaire en condition d'adaptation d'impédance est :

Pour \Delta T = 1\text{ K} :

Pour alimenter la montre requérant \mathcal{P}_m = 15\ \mu\text{W}, le nombre nécessaire de modules élémentaires à associer est :

1. Intérêt de la maximisation du facteur de mérite

D'après la figure 6, à températures T_C et T_F fixées, le rendement maximal \eta_{\max} est une fonction strictement croissante du facteur de mérite Z_{pn} T_m. Lorsque Z_{pn} T_m \to +\infty, le rendement tend vers le rendement limite de Carnot \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_F}{T_C}. Maximiser ce facteur permet donc de réduire les irréversibilités (conduction thermique pure et dissipation Joule) et de rapprocher le rendement réel de la limite thermodynamique idéale.

2. Estimation du rendement du générateur

La température de la source chaude constituée par les gaz d'échappement vaut :

La source froide étant à T_F = 300\text{ K}, et l'énoncé précisant que dans l'état actuel des technologies le facteur de mérite n'excède pas 1 (Z_{pn} T_m \le 1), on se place sur la courbe Z_{pn} T_m = 1.

Par lecture graphique sur la figure 6 à l'abscisse T_C \approx 773\text{ K} :

3. Commentaire et comparaison

• Comparaison au rendement de Carnot : Le rendement maximal théorique pour ces températures est :

  \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{300}{773} \approx 61\,\%

  Le rendement du générateur thermoélectrique (\approx 15\,\%) ne représente ainsi qu'environ un quart du rendement de Carnot (\eta / \eta_{\text{Carnot}} \approx 0{,}24).

• Comparaison aux machines dithermes usuelles : Les machines dithermes classiques de conversion d'énergie mécanique en électricité (turbines à vapeur, centrales à cycle combiné) présentent des rendements industriels bien supérieurs, couramment compris entre 35\,\% et plus de 55\,\%.
• Le rendement d'un générateur thermoélectrique est donc modeste. Toutefois, son absence totale de pièces mobiles lui confère une grande robustesse, une absence de maintenance et une compacité idéale pour valoriser de la chaleur fatale qui serait sinon intégralement perdue.