Feuille d'entraînement : Mouvement dans un champ de force centrale

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PC 2026, Q9

   On étudie l'électron (masse m_e, charge -e) dans le référentiel lié au proton fixe en O, supposé galiléen. L'électron est soumis uniquement à la force électrostatique de Coulomb :

   \vec{F} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{e}_r

   1. Planéité de la trajectoire :

   Le moment de cette force par rapport à l'origine fixe O s'écrit :

   \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) = \vec{OM} \wedge \vec{F} = (r\,\vec{e}_r) \wedge \left(-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{e}_r\right) = \vec{0}

   D'après le théorème du moment cinétique appliqué au point O dans un référentiel galiléen :

   \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) = \vec{0} \implies \vec{L}_O = \text{constante}

   À l'instant initial t=0, la position M(0) et le vecteur vitesse \vec{v}(0) appartiennent au plan (xOy), de sorte que :

   \vec{L}_O = \vec{OM}(0) \wedge m_e\,\vec{v}(0) = L_z\,\vec{e}_z \quad \text{avec } L_z \neq 0

   À chaque instant t, le produit scalaire donne :

   \vec{OM}(t) \cdot \vec{L}_O = \vec{OM}(t) \cdot \bigl(\vec{OM}(t) \wedge m_e\,\vec{v}(t)\bigr) = 0

   Le vecteur position \vec{OM}(t) est donc orthogonal en tout temps au vecteur constant \vec{e}_z et passe par l'origine O :

   \boxed{\text{La trajectoire de l'électron reste intégralement contenue dans le plan }(xOy).}

   2. Caractère uniforme du mouvement circulaire :

   Dans le plan (xOy), le repérage en coordonnées polaires (r,\theta) donne :

   \vec{OM} = r\,\vec{e}_r \quad \text{et} \quad \vec{v} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta

   L'orbite étant circulaire de rayon constant noté r, on a \dot{r} = 0, d'où :

   \vec{v} = r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta

   Le moment cinétique s'exprime donc :

   \vec{L}_O = (r\,\vec{e}_r) \wedge (m_e r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta) = m_e r^2 \dot{\theta}\,\vec{e}_z

   Comme \vec{L}_O est constant au cours du temps et que m_e et r sont constants, il vient :

   \dot{\theta} = \text{constante} = \omega

   La norme de la vitesse de l'électron vaut v = \|\vec{v}\| = r|\dot{\theta}| = \text{constante}.

   \boxed{\text{Le mouvement circulaire de l'électron est uniforme.}}

   Résultat

   $$\text{La trajectoire de l’eˊlectron reste inteˊgralement contenue dans le plan }(xOy).$$

   $$\text{Le mouvement circulaire de l’eˊlectron est uniforme.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie PC 2026, Q12

   D'après l'énoncé, le moment cinétique orbital de l'électron est quantifié selon :

   L_O = m_e r_n v_n = n\hbar \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   En élevant au carré et en utilisant l'expression de v_n^2 = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r_n} établie à la question Q10, il vient :

   \begin{aligned} m_e^2 r_n^2 \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r_n}\right) &= n^2\hbar^2 \\ \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0} r_n &= n^2\hbar^2 \end{aligned}

   On en déduit :

   \boxed{r_n = a_0 n^2} \quad \text{avec} \quad \boxed{a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}}

   La grandeur a_0 est le rayon de Bohr (valant numériquement environ 0{,}53\text{ \AA}).

   En injectant l'expression de r_n dans celle de l'énergie mécanique E_n = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n} (question Q11), on obtient :

   \begin{aligned} E_n &= -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0 n^2} = -\frac{E_0}{n^2} \end{aligned}

   avec :

   \boxed{E_n = -\frac{E_0}{n^2}} \quad \text{où} \quad \boxed{E_0 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} = \frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2} = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}}

   (valant numériquement environ 13{,}6\text{ eV}).

   Conséquences physiques de ces expressions :

   1. Quantification de l'énergie et stabilité de l'atome : l'énergie de l'électron ne peut prendre que des valeurs discrètes. En particulier, pour n=1, l'électron atteint l'état fondamental d'énergie minimale E_1 = -E_0 et de rayon minimal r_1 = a_0. Contrairement aux prédictions de l'électrodynamique classique, l'électron ne rayonne pas en continu et ne s'écrase pas sur le noyau, assurant ainsi la stabilité de la matière.
   2. Spectre de raies d'émission et d'absorption : lors d'une transition entre deux niveaux p et n, l'atome n'échange de l'énergie avec le rayonnement que par émission ou absorption d'un photon d'énergie \Delta E = |E_p - E_n| = h\nu, ce qui explique la présence d'un spectre de raies discret caractéristique de l'élément chimique.

   Résultat

   $$r_n=a_0{n}^2$$

   $$a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}=\frac{{\epsilon }_0{h}^2}{\pi m_e{e}^2}$$

   $$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$$

   $$E_0=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{a}_0}=\frac{m_e{e}^4}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2{\hslash }^2}=\frac{m_e{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 PC 2026, Q7

   Dans le référentiel galiléen d'origine O, l'électron ponctuel M de masse m_e et d'impulsion \vec{p} = m_e \vec{v} = m_e \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} n'est soumis qu'à la force coulombienne exercée par le noyau :

   \vec{F} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_r

   où \vec{u}_r = \frac{\vec{r}}{r}. La force est donc centrale de centre O, colinéaire à \vec{r}.

   Dérivons le moment cinétique \vec{s} = \vec{r} \wedge \vec{p} par rapport au temps :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\vec{s}}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \wedge \vec{p} + \vec{r} \wedge \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} \\ &= \vec{v} \wedge (m_e \vec{v}) + \vec{r} \wedge \vec{F} \end{aligned}

   Or, le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est nul (\vec{v} \wedge \vec{v} = \vec{0}) et \vec{F} est colinéaire à \vec{r} (\vec{r} \wedge \vec{F} = \vec{0}). Il vient ainsi :

   \frac{\mathrm{d}\vec{s}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}

   \boxed{\vec{s} = \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{\text{cste}}}

   Le moment cinétique par rapport à l'origine O est donc une constante du mouvement.

   Nature du mouvement : Par propriété du produit vectoriel, le vecteur position \vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}(t) est orthogonal à tout instant au moment cinétique :

   \vec{r}(t) \cdot \vec{s} = \vec{r}(t) \cdot (\vec{r}(t) \wedge \vec{p}) = 0

   • Si \vec{s} \neq \vec{0}, le vecteur \vec{s} fixe une direction invariable de l'espace. Le point M(t) reste confiné dans le plan orthogonal à \vec{s} passant par O.
   • Si \vec{s} = \vec{0}, \vec{r} et \vec{v} sont colinéaires à tout instant : le mouvement est purement rectiligne suivant une droite passant par O (qui appartient à une infinité de plans contenant O).

   Dans tous les cas, le mouvement est plan et le plan de la trajectoire contient la position O du noyau.

   Résultat

   $$\vec{s}=\vec{r}\wedge \vec{p}=\overrightarrow{\text{cste}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 PC 2026, Q8

   Le mouvement de l'électron a lieu dans le plan (Oxy). En coordonnées polaires planes (r, \theta), le vecteur vitesse de l'électron s'écrit :

   \vec{v} = \dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta

   L'énergie cinétique de l'électron vaut donc :

   E_c = \frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 + \frac{1}{2}m_e r^2 \dot{\theta}^2

   Le moment cinétique par rapport à O s'exprime par :

   \vec{s} = \vec{r} \wedge (m_e \vec{v}) = r\,\vec{u}_r \wedge m_e\big(\dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta\big) = m_e r^2 \dot{\theta}\,\vec{u}_z

   En prenant la norme de cette grandeur constante (d'après la question Q7), on a :

   s = \|\vec{s}\| = m_e r^2 |\dot{\theta}| \implies r|\dot{\theta}| = \frac{s}{m_e r}

   Le terme d'énergie cinétique orthoradiale s'exprime donc exclusivement en fonction de r et de la constante s :

   \frac{1}{2}m_e r^2 \dot{\theta}^2 = \frac{s^2}{2 m_e r^2}

   L'énergie potentielle d'interaction électrostatique s'écrit, d'après la question Q6 :

   E_p(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}

   L'énergie mécanique totale de l'électron est alors :

   E = E_c + E_p(r) = \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 + \frac{s^2}{2 m_e r^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}

   Cette énergie se met bien sous la forme demandée E = \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 + U(r), où l'énergie potentielle effective U(r) est définie par :

   \boxed{U(r) = \frac{s^2}{2 m_e r^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}}

   Résultat

   $$U(r)=\frac{s^2}{2m_e{r}^2}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PC 2026, Q33

   Le noyau ponctuel de charge +Ze est fixe à l'origine O. L'électron, de charge -e et de masse m_e, est repéré par sa position \overrightarrow{OM} = r\,\widehat{e}_r.

   1. Expression de la force coulombienne

   La force électrostatique subie par l'électron s'écrit :

   \boxed{\vec{F}_{\text{coul}} = -\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}\,\widehat{e}_r}

   2. Caractère uniforme du mouvement

   Sur une orbite circulaire de rayon r = \text{cte}, le vecteur vitesse de l'électron est purement orthoradial :

   \vec{v} = r\dot{\theta}\,\widehat{e}_\theta

   La force coulombienne étant purement radiale, elle est orthogonale à la trajectoire à chaque instant :

   \mathcal{P} = \vec{F}_{\text{coul}} \cdot \vec{v} = 0

   D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'électron dans le référentiel d'étude galiléen :

   \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P} = 0 \implies \mathcal{E}_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2}m_e v^2 = \text{cte}

   La norme de la vitesse v = \|\vec{v}\| est constante : le mouvement de l'électron est uniforme.

   3. Vitesse v et période T de l'orbite

   L'accélération d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v est centripète :

   \vec{a} = -\frac{v^2}{r}\,\widehat{e}_r

   Le principe fondamental de la dynamique projeté selon \widehat{e}_r donne :

   -m_e \frac{v^2}{r} = -\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} \implies \frac{m_e v^2}{r} = \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}

   On en déduit l'expression de la vitesse orbitale :

   \boxed{v = \sqrt{\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}}}

   Le parcours d'une révolution complète correspond à un périmètre 2\pi r parcouru à la vitesse constante v. La période T vaut donc :

   T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m_e r}{Ze^2}}

   soit :

   \boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m_e r^3}{Ze^2}}}

   En élevant cette expression au carré, on obtient :

   \frac{T^2}{r^3} = \frac{16\pi^3 \epsilon_0 m_e}{Ze^2} = \text{cte}

   Cette relation est l'analogue coulombien de la troisième loi de Kepler (ou loi des périodes).

   4. Énergie mécanique \mathcal{E} de l'électron

   L'énergie cinétique vaut :

   \mathcal{E}_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 r}

   L'énergie potentielle électrostatique, choisie nulle à l'infini (\mathcal{E}_{\mathrm{p}}(\infty) = 0), dérive de \vec{F}_{\text{coul}} = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}r}\widehat{e}_r :

   \mathcal{E}_{\mathrm{p}}(r) = -\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}

   L'énergie mécanique totale \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\mathrm{c}} + \mathcal{E}_{\mathrm{p}} s'écrit alors :

   \mathcal{E} = \frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 r} - \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}

   d'où :

   \boxed{\mathcal{E} = -\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 r}}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\text{coul}}=-\frac{Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{\hat{e}}_r$$

   $$v=\sqrt{\frac{Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{m}_{e}r}}$$

   $$T=2\pi \sqrt{\frac{4\pi {ϵ}_0{m}_e{r}^3}{Z{e}^2}}$$

   $$\mathcal{E}=-\frac{Z{e}^2}{8\pi {ϵ}_{0}r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique PC 2025, Q27

   Dans le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j supposé galiléen, la sonde P de masse m n'est soumise qu'à la force gravitationnelle exercée par Jupiter :

   \vec{F} = -\frac{\mathcal{G} m M_J}{r^2}\,\vec{u}_r

   où \vec{JP} = r\vec{u}_r. Le point J étant fixe dans \mathcal{R}_j, le théorème du moment cinétique appliqué en J s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}\vec{L}_J}{\mathrm{d}t} = \vec{\mathcal{M}}_J(\vec{F}) = \vec{JP} \wedge \vec{F}

   La force \vec{F} étant centrale de centre J, elle est colinéaire au rayon vecteur \vec{JP}, de sorte que le moment résultant est nul :

   \vec{\mathcal{M}}_J(\vec{F}) = r\vec{u}_r \wedge \left(-\frac{\mathcal{G} m M_J}{r^2}\,\vec{u}_r\right) = \vec{0}

   On en déduit immédiatement la conservation du moment cinétique :

   \boxed{\vec{L}_J = \vec{\text{cste}}}

   Par définition, le moment cinétique s'écrit \vec{L}_J = \vec{JP} \wedge m\vec{v}(P).

   • Si \vec{L}_J \neq \vec{0}, pour tout instant t, on a :

     \vec{JP}(t) \cdot \vec{L}_J = (\vec{JP} \wedge m\vec{v}) \cdot \vec{JP} = 0

     Le rayon vecteur \vec{JP} reste constamment orthogonal au vecteur fixe non nul \vec{L}_J. La trajectoire de la sonde est donc entièrement contenue dans le plan passant par J et orthogonal à \vec{L}_J.

   • Si \vec{L}_J = \vec{0}, la vitesse est en permanence colinéaire à \vec{JP} : le mouvement est rectiligne passant par J, cas dégénéré d'un mouvement plan.

   Le mouvement de la sonde est donc bien plan.

   En coordonnées cylindriques (r, \theta, z=0) dans le plan du mouvement, avec l'axe (J, \vec{u}_z) choisi de sorte que \vec{L}_J = \|\vec{L}_J\|\vec{u}_z, le vecteur vitesse s'exprime par :

   \vec{v} = \dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta

   Le moment cinétique en J s'écrit alors :

   \begin{aligned} \vec{L}_J &= (r\vec{u}_r) \wedge m(\dot{r}\vec{u}_r + r\dot{\theta}\vec{u}_\theta) \\ &= m r^2 \dot{\theta}\,\vec{u}_z \end{aligned}

   Comme \vec{L}_J = \|\vec{L}_J\|\vec{u}_z est un vecteur constant, sa projection sur l'axe (J, \vec{u}_z) est constante :

   m r^2 \dot{\theta} = \|\vec{L}_J\| = \text{cste}

   La masse m de la sonde étant constante, on en déduit que la constante des aires C est conservée :

   \boxed{C = r^2\dot{\theta} = \frac{\|\vec{L}_J\|}{m} = \text{cste}}

   Résultat

   $${\vec{L}}_J=\overrightarrow{\text{cste}}$$

   $$C=r^2\dot{\theta }=\frac{\Vert {\vec{L}}_J\Vert }{m}=\text{cste}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique PC 2025, Q29

   1. Conservation de l'énergie mécanique

   Dans le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j supposé galiléen, la sonde P n'est soumise qu'à la force gravitationnelle exercée par Jupiter. Cette force étant conservative (elle dérive de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r) établie à la question Q28) et en l'absence de forces non conservatives, le théorème de l'énergie mécanique assure que :

   \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p(r) = \text{constante au cours du temps.}

   2. Équation radiale et énergie potentielle effective

   Le mouvement étant plan d'après la question Q27, le vecteur vitesse s'exprime en coordonnées polaires (r, \theta) par :

   \vec{v} = \dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta

   L'énergie cinétique de la sonde s'écrit donc :

   \mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2

   En utilisant la constante des aires C = r^2\dot{\theta} (question Q27), soit \dot{\theta} = \frac{C}{r^2}, le terme orthoradial devient :

   \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}mr^2\left(\frac{C}{r^2}\right)^2 = \frac{mC^2}{2r^2}

   L'énergie mécanique se met alors sous la forme :

   \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \left[\frac{mC^2}{2r^2} + \mathcal{E}_p(r)\right]

   Par identification avec l'expression demandée \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r), on obtient :

   \boxed{\mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) = \mathcal{E}_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2}}

   En remplaçant \mathcal{E}_p(r) par son expression (question Q28), il vient explicitement :

   \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) = -\frac{\mathcal{G}M_J m}{r} + \frac{mC^2}{2r^2}

   3. Représentation qualitative et discussion des états

   Pour C \neq 0 :

   • lorsque r \to 0^+, \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \sim +\frac{mC^2}{2r^2} \to +\infty (barrière centrifuge répulsive) ;
   • lorsque r \to +\infty, \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \sim -\frac{\mathcal{G}M_J m}{r} \to 0^- (attraction gravitationnelle dominante) ;
   • la fonction présente un minimum strict négatif en r_0 = \frac{C^2}{\mathcal{G}M_J}, valant \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} = -\frac{m(\mathcal{G}M_J)^2}{2C^2}.

   Puisque \frac{1}{2}m\dot{r}^2 = \mathcal{E}_m - \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) \ge 0, le mouvement n'est possible que dans les domaines où \mathcal{E}_m \ge \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) :

   • \mathcal{E}_m < \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} : état interdit, aucun mouvement physique possible.
   • \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} : état lié, \dot{r} = 0 à tout instant, donc r = r_0 = \text{cste}. La trajectoire est un cercle.
   • \mathcal{E}_{p,\text{eff,min}} < \mathcal{E}_m < 0 : état lié, le rayon varie entre deux points d'arrêt radiaux r_{\min} (périastre) et r_{\max} (apoastre). La trajectoire est une ellipse dont l'un des foyers est J.
   • \mathcal{E}_m = 0 : état de diffusion (non lié), le rayon explore l'intervalle [r_{\min}, +\infty[ avec une vitesse nulle à l'infini. La trajectoire est une parabole.
   • \mathcal{E}_m > 0 : état de diffusion (non lié), r \in [r_{\min}, +\infty[ avec une vitesse résiduelle non nulle à l'infini (v_\infty = \sqrt{2\mathcal{E}_m/m}). La trajectoire est une hyperbole.

   Résultat

   $${\mathcal{E}}_{p,\text{eff}}(r)={\mathcal{E}}_p(r)+\frac{m{C}^2}{2r^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q4

   Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, le mouvement d'une planète de masse m en orbite circulaire de rayon R autour du Soleil de masse M_\odot \gg m est régi par la force gravitationnelle :

   \vec{F} = -\frac{\mathcal{G} M_\odot m}{R^2} \vec{u}_r

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la planète donne l'accélération normale :

   a_n = \frac{v^2}{R} = R \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{\mathcal{G} M_\odot}{R^2}

   On en déduit la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire de rayon R :

   \frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{\mathcal{G} M_\odot}

   Cette constante ne dépendant que de la masse du Soleil, elle est identique pour la Terre (période T_0, rayon a_0) et pour Jupiter (période T_\mathrm{J}, rayon d_\mathrm{JS}) :

   \frac{T_\mathrm{J}^2}{d_\mathrm{JS}^3} = \frac{T_0^2}{a_0^3}

   On en déduit l'expression de la période de révolution de Jupiter :

   \boxed{T_\mathrm{J} = T_0 \left(\frac{d_\mathrm{JS}}{a_0}\right)^{3/2}}

   Remarque : On peut également écrire l'expression directement à l'aide de la constante de gravitation :

   T_\mathrm{J} = 2\pi \sqrt{\frac{d_\mathrm{JS}^3}{\mathcal{G} M_\odot}}

   Application numérique : Avec T_0 = 365\text{ jours}, d_\mathrm{JS} = 7,78 \cdot 10^{11}\text{ m} et a_0 = 1,49 \cdot 10^{11}\text{ m} :

   \frac{d_\mathrm{JS}}{a_0} = \frac{7,78 \cdot 10^{11}}{1,49 \cdot 10^{11}} \simeq 5,22

   T_\mathrm{J} = 365 \times (5,22)^{3/2} \simeq 4,36 \cdot 10^3\text{ jours} \simeq 11,9\text{ ans}

   En secondes (avec 1\text{ jour} = 86\,400\text{ s}) :

   \boxed{T_\mathrm{J} \simeq 3,76 \cdot 10^8\text{ s} \simeq 4,36 \cdot 10^3\text{ jours} \simeq 11,9\text{ ans}}

   Résultat

   $$T_{\mathrm{J}}=T_0{\left(\frac{d_{\mathrm{JS}}}{a_0}\right)}^{3/2}$$

   $$T_{\mathrm{J}}\simeq 3,76\cdot 10^8\text{ s}\simeq 4,36\cdot 10^3\text{ jours}\simeq 11,9\text{ ans}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q8

   D'après l'équation polaire fournie, la distance r(\theta) = \frac{p}{1 + e \cos \theta} atteint ses extrema lorsque la fonction cosinus vaut \pm 1 :

   • au périhélie (\theta = 0, point le plus proche du Soleil) :

     r_{\min} = \frac{p}{1 + e}

   • à l'aphélie (\theta = \pi, point le plus éloigné du Soleil) :

     r_{\max} = \frac{p}{1 - e}

   En prenant les inverses de ces deux relations :

   \begin{aligned} \frac{1}{r_{\min}} &= \frac{1+e}{p} \\ \frac{1}{r_{\max}} &= \frac{1-e}{p} \end{aligned}

   Par somme et différence :

   \begin{aligned} \frac{1}{r_{\min}} + \frac{1}{r_{\max}} &= \frac{r_{\max} + r_{\min}}{r_{\min} r_{\max}} = \frac{2}{p} \\ \frac{1}{r_{\min}} - \frac{1}{r_{\max}} &= \frac{r_{\max} - r_{\min}}{r_{\min} r_{\max}} = \frac{2e}{p} \end{aligned}

   On en déduit immédiatement les expressions de p (le paramètre de l'ellipse) et de e (l'excentricité) :

   \boxed{p = \frac{2 r_{\min} r_{\max}}{r_{\max} + r_{\min}}}

   \boxed{e = \frac{r_{\max} - r_{\min}}{r_{\max} + r_{\min}}}

   Application numérique :

   Avec les données de l'énoncé :

   • r_{\min} = 4{,}60 \cdot 10^{10}\text{ m}
   • r_{\max} = 6{,}98 \cdot 10^{10}\text{ m}

   on obtient :

   r_{\max} + r_{\min} = 11{,}58 \cdot 10^{10}\text{ m} \quad \text{et} \quad r_{\max} - r_{\min} = 2{,}38 \cdot 10^{10}\text{ m}

   d'où :

   \boxed{e = \frac{2{,}38}{11{,}58} \simeq 0{,}206}

   \boxed{p = \frac{2 \times 4{,}60 \cdot 10^{10} \times 6{,}98 \cdot 10^{10}}{11{,}58 \cdot 10^{10}} \simeq 5{,}55 \cdot 10^{10}\text{ m}}

   Résultat

   $$p=\frac{2r_{\min }{r}_{\max }}{r_{\max }+r_{\min }}$$

   $$e=\frac{r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}$$

   $$e=\frac{2,38}{11,58}\simeq 0,206$$

   $$p=\frac{2\times 4,60\cdot 10^{10}\times 6,98\cdot 10^{10}}{11,58\cdot 10^{10}}\simeq 5,55\cdot 10^{10}\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q9

    On étudie le point matériel \mathrm{M} (planète Mercure de masse m) dans le référentiel héliocentrique réputé galiléen, repéré par les coordonnées polaires (r, \theta) de base mobile (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta). La seule force prise en compte est l'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil (de masse M_\odot) situé en O :

    \vec{F} = -\frac{\mathcal{G} M_\odot m}{r^2}\vec{u}_r

    D'après la deuxième loi de Newton, m\vec{a} = \vec{F}, d'où l'expression de l'accélération :

    \vec{a} = -\frac{\mathcal{G} M_\odot}{r^2}\vec{u}_r

    Par identification avec la forme demandée \vec{a} = -\dfrac{K}{r^2}\vec{u}_r, on obtient :

    \boxed{K = \mathcal{G} M_\odot}

    En coordonnées polaires dans le plan (Oxy), l'accélération de \mathrm{M} s'écrit de manière générale :

    \vec{a} = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_r + \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^2\dot{\theta}\right)\vec{u}_\theta

    Comme la force est purement centrale, la composante orthoradiale a_\theta de l'accélération est nulle :

    a_\theta = \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^2\dot{\theta}\right) = 0 \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^2\dot{\theta}\right) = 0

    La quantité r^2\dot{\theta} est donc une constante du mouvement au cours du temps, notée \mathcal{C}_a :

    \boxed{r^2 \dot{\theta} = \mathcal{C}_a}

    • \mathcal{C}_a est appelée la constante des aires (liée à la vitesse aréolaire par \dfrac{\mathrm{d}\mathcal{A}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{2}\mathcal{C}_a).

    • L'énoncé précisant que la trajectoire est parcourue dans le sens direct, on a \dot{\theta} > 0. Comme r > 0, la constante \mathcal{C}_a est strictement positive :

      \boxed{\mathcal{C}_a > 0}

    Résultat

    $$K=\mathcal{G}{M}_{\odot }$$

    $$r^2\dot{\theta }={\mathcal{C}}_a$$

    $${\mathcal{C}}_a>0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question