Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2026

Lors de la désexcitation de l'électron du niveau d'énergie initial E_i vers le niveau d'énergie final E_f < E_i, la conservation de l'énergie impose que le photon émis emporte une énergie :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence \nu et de longueur d'onde dans le vide \lambda_0 s'écrit :

On en déduit immédiatement :

D'après la relation établie à la question Q1, la longueur d'onde \lambda_0 du photon émis lors de la transition d'un état d'énergie E_i vers un état d'énergie E_f vérifie :

En utilisant l'expression proposée pour l'énergie des niveaux E_n = -\dfrac{E_0}{n^2}, avec l'état initial n_i = k+2 et l'état final n_f = 2, les énergies respectives s'écrivent :

La différence d'énergie emportée par le photon s'exprime donc sous la forme :

On en déduit l'expression de l'inverse de la longueur d'onde :

En posant y = \dfrac{1}{\lambda_0} et x = \dfrac{1}{(k+2)^2}, cette relation est de la forme affine :

La grandeur 1/\lambda_0 est donc une fonction affine décroissante de 1/(k+2)^2, ce qui correspond bien à la droite représentée en pointillés sur la figure 1.

D'après la question 2, la relation de Balmer s'écrit sous la forme :

En posant y = \frac{1}{\lambda_0} (en \mu\text{m}^{-1}) et x = \frac{1}{(k+2)^2}, la droite représentée en pointillés a pour équation :

Par lecture graphique sur la figure 1 :

• L'ordonnée à l'origine (pour x = 0) se lit directement :

  y_0 \simeq 2{,}73\text{ }\mu\text{m}^{-1}

• On peut vérifier la cohérence avec la pente a en relevant un second point, par exemple en x = 0{,}10, où y \simeq 1{,}64\text{ }\mu\text{m}^{-1} :

  a = \frac{1{,}64 - 2{,}73}{0{,}10} = -10{,}9\text{ }\mu\text{m}^{-1} \simeq -4\,y_0

On en déduit l'expression de la constante E_0 :

L'énoncé donne hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}, d'où l'application numérique avec deux chiffres significatifs :

D'après la question Q1, lors de la transition d'un état d'énergie E_i vers un état d'énergie E_f < E_i, la longueur d'onde émise vérifie :

En utilisant la quantification des niveaux d'énergie de l'hydrogène donnée par la relation (2) de l'énoncé, E_n = -\dfrac{E_0}{n^2}, avec n_i > n_f, la différence d'énergie s'écrit :

On en déduit :

Ceci démontre la relation de Rydberg :

par identification de la constante de Rydberg :

Pour calculer numériquement 1/R_\infty en nanomètres, on exprime :

Avec h c \simeq 1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} = 1,2 \times 10^3\text{ eV}\cdot\text{nm} et E_0 \simeq 13\text{ eV} d'après la question Q3 :

D'après la relation de Rydberg établie à la question Q4 :

1. Cas n_f = 1 (série de Lyman) : L'entier n_i vérifie n_i \geqslant 2, donc \frac{1}{n_i^2} \leqslant \frac{1}{4}. Il vient :

La longueur d'onde vérifie donc \lambda_0 \leqslant \lambda_{\text{max}} avec :

Numériquement, avec 1/R_\infty \simeq 92\text{ nm} :

Toutes les raies de cette série vérifient \lambda_0 \leqslant 120\text{ nm} < 400\text{ nm} : elles appartiennent au domaine des ultraviolets (UV).

2. Cas n_f > 2 soit n_f \geqslant 3 (séries de Paschen, Brackett, etc.) : Comme n_i > n_f \geqslant 3, on a \frac{1}{n_i^2} > 0 et n_f^2 \geqslant 9, d'où :

On en déduit que \lambda_0 > \lambda_{\text{min}} (ou \lambda_0 \geqslant \lambda_{\text{min}} au sens large) avec :

Numériquement :

Toutes ces raies vérifient \lambda_0 \geqslant 830\text{ nm} > 800\text{ nm} : elles se situent dans le domaine de l'infrarouge (IR).

3. Raies observables dans le visible : Le domaine visible s'étendant d'environ 400\text{ nm} à 800\text{ nm} :

• les transitions vers n_f = 1 sont toutes dans l'UV ;
• les transitions vers n_f \geqslant 3 sont toutes dans l'IR.

Par conséquent, les seules raies du spectre d'émission de l'hydrogène atomique observables dans le visible correspondent nécessairement à un état final :

Il s'agit de la série de Balmer, et plus précisément des cinq premières raies présentées dans le tableau de l'énoncé : \mathrm{H}_\alpha, \mathrm{H}_\beta, \mathrm{H}_\gamma, \mathrm{H}_\delta et \mathrm{H}_\epsilon (pour n_i allant de 3 à 7).

Le noyau ponctuel situé en O, de charge +e, exerce sur l'électron situé en M, de charge -e, la force électrostatique de Coulomb :

où \vec{u}_r = \frac{\vec{r}}{r} désigne le vecteur unitaire radial dirigé de O vers M.

Cette force centrale conservative dérive d'une énergie potentielle E_p(r) telle que \vec{F} = -\vec{\nabla} E_p. En coordonnées sphériques, la composante radiale s'écrit :

Par intégration par rapport à r, on obtient :

La convention imposant E_p(r \to \infty) = 0 fixe la constante d'intégration à zéro, d'où :

Dans le référentiel galiléen d'origine O, l'électron ponctuel M de masse m_e et d'impulsion \vec{p} = m_e \vec{v} = m_e \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} n'est soumis qu'à la force coulombienne exercée par le noyau :

où \vec{u}_r = \frac{\vec{r}}{r}. La force est donc centrale de centre O, colinéaire à \vec{r}.

Dérivons le moment cinétique \vec{s} = \vec{r} \wedge \vec{p} par rapport au temps :

Or, le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est nul (\vec{v} \wedge \vec{v} = \vec{0}) et \vec{F} est colinéaire à \vec{r} (\vec{r} \wedge \vec{F} = \vec{0}). Il vient ainsi :

Le moment cinétique par rapport à l'origine O est donc une constante du mouvement.

Nature du mouvement : Par propriété du produit vectoriel, le vecteur position \vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}(t) est orthogonal à tout instant au moment cinétique :

• Si \vec{s} \neq \vec{0}, le vecteur \vec{s} fixe une direction invariable de l'espace. Le point M(t) reste confiné dans le plan orthogonal à \vec{s} passant par O.
• Si \vec{s} = \vec{0}, \vec{r} et \vec{v} sont colinéaires à tout instant : le mouvement est purement rectiligne suivant une droite passant par O (qui appartient à une infinité de plans contenant O).

Dans tous les cas, le mouvement est plan et le plan de la trajectoire contient la position O du noyau.

Le mouvement de l'électron a lieu dans le plan (Oxy). En coordonnées polaires planes (r, \theta), le vecteur vitesse de l'électron s'écrit :

L'énergie cinétique de l'électron vaut donc :

Le moment cinétique par rapport à O s'exprime par :

En prenant la norme de cette grandeur constante (d'après la question Q7), on a :

Le terme d'énergie cinétique orthoradiale s'exprime donc exclusivement en fonction de r et de la constante s :

L'énergie potentielle d'interaction électrostatique s'écrit, d'après la question Q6 :

L'énergie mécanique totale de l'électron est alors :

Cette énergie se met bien sous la forme demandée E = \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 + U(r), où l'énergie potentielle effective U(r) est définie par :

D'après la question Q8, l'énergie potentielle effective s'écrit :

1. Étude et allure de U(r)

• Lorsque r \to 0^+, le terme répulsif centrifuge domine : U(r) \sim \frac{s^2}{2 m_e r^2} \to +\infty.
• Lorsque r \to +\infty, le terme attractif coulombien domine : U(r) \sim -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \to 0^-.

• La dérivée première s'annule en un unique extremum r_c :

  \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(r) = -\frac{s^2}{m_e r^3} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = 0 \iff r_c = \frac{4\pi\varepsilon_0 s^2}{m_e e^2}

  Cette valeur correspond au minimum absolu de potentiel : U_{\min} = U(r_c) < 0.

2. Description des 4 types d'orbites

L'énergie cinétique radiale \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 = E - U(r) \geqslant 0 impose que le mouvement s'effectue dans le domaine E \geqslant U(r) :

1. Niveau E = U_{\min} < 0 : \dot{r} = 0 à chaque instant, le rayon reste fixe r = r_c. La trajectoire est un cercle centré en O (état lié). Le rayon caractéristique est le rayon de l'orbite circulaire r_c.
2. Niveau U_{\min} < E < 0 : le mouvement radial est borné entre deux points tournants r_{\min} \leqslant r \leqslant r_{\max} où \dot{r}=0. La trajectoire est une ellipse dont O est un foyer (état lié). Les rayons caractéristiques sont les distances au périastre r_{\min} et à l'apoastre r_{\max}.
3. Niveau E = 0 : le domaine accessible est r \in [r_{\min}, +\infty[ avec une vitesse à l'infini nulle. La trajectoire est une parabole (état de diffusion). Le rayon caractéristique est la distance minimale d'approche r_{\min}.
4. Niveau E > 0 : le domaine accessible est r \in [r_{\min}, +\infty[ avec une vitesse non nulle à l'infini. La trajectoire est une branche d'hyperbole (état de diffusion). Le rayon caractéristique est la distance minimale d'approche r_{\min}.

3. Expressions pour les trajectoires circulaires

Pour une trajectoire circulaire de rayon constant r_c(s), le potentiel effectif est minimal :

L'énergie mécanique E_c(s) correspond au minimum du potentiel effectif :

En remplaçant r_c par son expression :

Pour un mouvement circulaire, le vecteur position \vec{r} et la quantité de mouvement \vec{p}_c sont orthogonaux à chaque instant, donc s = \|\vec{r} \wedge \vec{p}_c\| = r_c p_c, d'où :

D'après l'hypothèse de quantification énoncée, le périmètre 2\pi r_c d'une orbite circulaire stable doit être un multiple entier de la longueur d'onde de de Broglie associée à l'électron, \lambda = \frac{h}{p_c} :

Pour une trajectoire circulaire centrée en O, la vitesse (et donc l'impulsion \vec{p}) est orthogonale au rayon vecteur \vec{r}, ce qui implique :

En injectant cette relation dans la condition de quantification, on obtient :

soit :

D'après la question Q10, le moment cinétique est quantifié selon :

En substituant cette relation dans les expressions du rayon r_c(s), de l'impulsion p_c(s) et de l'énergie E_c(s) obtenues à la question Q9, on déduit :

• Rayon des orbites circulaires :

  \begin{aligned} r_c(n) &= \frac{4\pi\varepsilon_0}{m_e e^2} \left(n\frac{h}{2\pi}\right)^2 = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2 h^2}{4\pi^2 m_e e^2} \end{aligned}
  \boxed{r_c(n) = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2} \, n^2}

• Impulsion sur ces orbites :

  \begin{aligned} p_c(n) &= \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 \left(n\dfrac{h}{2\pi}\right)} \end{aligned}
  \boxed{p_c(n) = \frac{m_e e^2}{2 \varepsilon_0 h} \, \frac{1}{n}}

• Énergie mécanique des états quantifiés :

  \begin{aligned} E_c(n) &= -\frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2 \left(n\dfrac{h}{2\pi}\right)^2} = -\frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2 \dfrac{n^2 h^2}{4\pi^2}} \end{aligned}
  \boxed{E_c(n) = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \, \frac{1}{n^2}}

Comparaison avec la relation (2) :

La relation empirique (2) s'écrit E_n = -\dfrac{E_0}{n^2}. L'expression de E_c(n) obtenue par le modèle semi-classique de Bohr reproduit exactement cette dépendance en -1/n^2, avec une constante E_0 exprimée à partir des constantes fondamentales de la physique :

D'après l'expression obtenue à la question Q11 :

La suite (r_c(n)) étant strictement croissante avec n, le rayon minimal correspond au plus petit entier non nul, soit n = 1 :

Ce rayon minimal correspond au rayon de la première orbite de Bohr (souvent noté a_0).

Procédons à l'application numérique avec les données de l'énoncé :

• au numérateur :

  \varepsilon_0 h^2 \simeq 8{,}9 \times 10^{-12} \times (6{,}6 \times 10^{-34})^2 \simeq 8{,}9 \times 10^{-12} \times 43{,}6 \times 10^{-68} \simeq 3{,}9 \times 10^{-78}\; \text{F}\cdot\text{J}^2\cdot\text{s}^2

• au dénominateur :

  \pi m_e e^2 \simeq 3{,}14 \times 9{,}1 \times 10^{-31} \times (1{,}6 \times 10^{-19})^2 \simeq 3{,}14 \times 2{,}33 \times 10^{-68} \simeq 7{,}3 \times 10^{-68}\; \text{kg}\cdot\text{C}^2

On en déduit :

Avec un seul chiffre significatif :

Commentaire : Cette valeur, de l'ordre de 10^{-10}\; \text{m} (1\; \text{Å} de diamètre), correspond bien à l'ordre de grandeur attendu pour la dimension typique d'un atome dans la matière condensée.

1. L'élément de volume du domaine cylindrique de section droite S est \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}x. La quantité |\underline{\Psi}(x,t)|^2 représente la densité volumique de probabilité de présence de la particule. L'intégrale

   \int_{\mathscr{D}} |\underline{\Psi}(x,t)|^2 S\,\mathrm{d}x

   représente donc la probabilité de trouver la particule dans tout le domaine \mathscr{D} à l'instant t. Si la particule est confinée dans ce domaine, la condition de normalisation impose que cette probabilité vaille 1.

2. Une probabilité étant sans dimension ([1]), la relation précédente donne :

   \left[|\underline{\Psi}|^2\right] [S\,\mathrm{d}x] = 1 \implies \left[|\underline{\Psi}|^2\right] L^3 = 1 \implies [\underline{\Psi}]^2 = L^{-3}

   d'où la dimension de la fonction d'onde :

   \boxed{[\underline{\Psi}(x,t)] = L^{-3/2}}

3. En injectant la forme stationnaire \underline{\Psi}(x,t) = \underline{\psi}(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} dans le membre spatial de l'équation de Schrödinger (4) :

   -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \underline{\Psi}}{\partial x^2} + V(x)\underline{\Psi}(x,t) = E\underline{\Psi}(x,t)

   on obtient, après dérivation par rapport à x et simplification par le facteur temporel \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} non nul :

   \boxed{-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2}(x) + V(x)\underline{\psi}(x) = E\,\underline{\psi}(x)}

   soit encore sous forme canonique :

   \frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{2m}{\hbar^2}\big(E - V(x)\big)\underline{\psi}(x) = 0

4. En utilisant l'égalité temporelle de l'équation (4) :

   \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \underline{\Psi}}{\partial t} = E\underline{\Psi}

   et sachant que \dfrac{\partial \underline{\Psi}}{\partial t} = -\mathrm{i}\omega\,\underline{\psi}(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} = -\mathrm{i}\omega\,\underline{\Psi}(x,t), il vient :

   \mathrm{i}\hbar(-\mathrm{i}\omega)\underline{\Psi} = \hbar\omega\underline{\Psi} = E\underline{\Psi}

   L'énergie de la particule s'exprime donc par la relation de Planck-Einstein :

   \boxed{E = \hbar\omega}

D'après la question Q13, la fonction spatiale \underline{\psi}(x) vérifie pour un potentiel constant V(x) = V_0 :

1. Condition de propagation sans atténuation
Pour obtenir des solutions purement oscillantes (non évanescentes), l'équation caractéristique associée doit posséder des racines imaginaires pures, ce qui impose un coefficient strictement positif :

L'énergie de la particule doit être strictement supérieure à l'énergie potentielle.

2. Forme générale de \underline{\psi}(x) et longueur d'onde associée
En introduisant le vecteur d'onde réel k > 0 défini par :

l'équation différentielle s'écrit \frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + k^2\underline{\psi} = 0. La forme générale de la solution est une superposition d'ondes progressives se propageant en sens opposés :

En tenant compte du facteur temporel \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, la période spatiale associée définit la longueur d'onde de l'onde de matière :

soit, avec \hbar = \frac{h}{2\pi} :

3. Impulsion de la particule pour une onde se propageant dans un sens unique
Si l'onde se propage dans un sens unique (par exemple vers les x croissants avec \underline{B} = 0), la relation de De Broglie \lambda = \frac{h}{p} (relation 1 de l'énoncé) donne immédiatement :

4. Relation entre impulsion et énergie cinétique
L'énergie cinétique est définie par K = E - V(x) = E - V_0. En élevant au carré l'expression précédente de p :

Oui, la relation entre impulsion et énergie cinétique est rigoureusement identique à la relation de la mécanique classique non relativiste.

Ces deux conditions d'ondes stationnaires ne sont pas identiques :

• Modèle de Bohr (figure 3) : le domaine spatial est une trajectoire fermée (cercle de rayon r et de périmètre 2\pi r), dépourvue d'extrémités ou de parois physiques. La condition de stabilité correspond à une condition aux limites de périodicité (interférence constructive de l'onde avec elle-même après un tour complet) : le périmètre doit contenir un nombre entier de longueurs d'onde entières :

  2\pi r = n \lambda \quad (n \in \mathbb{N}^*).

• Particule confinée sur un segment (figure 4) : le domaine [0, \ell] possède deux extrémités fixes où la fonction d'onde s'annule obligatoirement (\underline{\Psi}(0,t) = \underline{\Psi}(\ell,t) = 0, conditions de Dirichlet). La formation de cette onde stationnaire impose la présence d'un nœud à chaque bord, si bien que la longueur \ell du segment contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde :

  \ell = n \frac{\lambda}{2} \quad (n \in \mathbb{N}^*).

  Pour n=4 (cas illustré sur la figure 4), le segment contient 4 \times \frac{\lambda}{2} = 2\lambda, avec n-1 = 3 nœuds intermédiaires.

Sur l'intervalle [0, \ell], le potentiel est nul (V(x) = 0). D'après l'équation (4) et le résultat de la question Q13, la partie spatiale \underline{\psi}(x) de la fonction d'onde vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire :

où l'on a posé k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}, avec E > 0 pour un état non trivial. La solution générale s'écrit :

Les conditions aux limites imposées aux deux extrémités du segment sont :

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (\underline{A} \neq 0), il vient :

L'entier n correspond bien au mode présentant n-1 nœuds intermédiaires sur ]0, \ell[. On en déduit l'expression du vecteur d'onde quantifié :

L'énergie de la particule au niveau n vaut alors :

En introduisant la constante de Planck h = 2\pi\hbar, on obtient :

D'après la question Q16, les énergies quantifiées de la particule de masse m_n confinée dans le puits de potentiel s'écrivent :

L'état fondamental correspond à n=1 et le premier état excité à n=2. L'écart d'énergie entre ces deux niveaux est donc :

On en déduit l'expression de la dimension de confinement \ell :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs données :

On remarque le rapport remarquable :

En utilisant la donnée \sqrt{5} = 2{,}2, il vient :

Commentaire physique :

• Situation physique : La dimension trouvée, de l'ordre de quelques femtomètres (ou fermis), correspond précisément à la taille caractéristique d'un noyau atomique. Le système modélise donc le confinement d'un nucléon au sein du noyau.
• Nature de l'interaction : Le neutron étant électriquement neutre, il est insensible à l'interaction électromagnétique. Son confinement est assuré par l'interaction forte (interaction nucléaire résiduelle), attractive à très courte portée (environ 1 à 2\text{ fm}).

1. Conséquences de la charge du cristal

Si le cristal métallique n'était pas déchargé, l'accumulation continue d'électrons conduirait à l'apparition d'une charge électrique négative nette à sa surface, ce qui n'est pas souhaitable pour deux raisons physiques majeures :

• Modification du potentiel et de la longueur d'onde : la charge accumulée diminuerait le potentiel électrique du cristal au cours du temps. L'énergie cinétique des électrons atteignant le réseau cristallin ne serait plus fixée de manière reproductible par la seule tension accélératrice ; par suite, l'impulsion p et la longueur d'onde de De Broglie \lambda = h/p dériveraient continûment, empêchant toute condition d'interférence stable.
• Déflexion du faisceau : la répulsion coulombienne créée par cette charge négative freinerait, voire dévierait les électrons incidents, modifiant l'angle d'incidence et dispersant le faisceau.

2. Choix de la liaison électrique

D'après l'énoncé, les électrons ne doivent subir « aucune interaction » dans l'espace compris entre la grille B et le cristal. Le champ électrostatique doit donc y être nul, ce qui impose que cette région soit équipotentielle :

Si le cristal était relié à la masse (V = 0), les électrons, initialement émis par la cathode K au potentiel V_{\text{K}} = 0 avec une vitesse négligeable, subiraient un freinage électrostatique total entre B et le cristal et l'atteindraient avec une énergie cinétique nulle.

Cette liaison maintient le cristal au potentiel V_{\text{A}} tout en permettant l'évacuation des électrons incidents sous forme d'un courant de retour vers le circuit d'alimentation.

On étudie le mouvement d'un électron de masse m_e et de charge q = -e dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, entre la cathode K et l'anode A. Le poids de l'électron est totalement négligeable devant la force électrostatique \vec{F} = -e\vec{E}.

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique à l'électron entre K (où le potentiel est V_{\mathrm{K}} = 0 et la vitesse initiale est négligeable, soit E_c(\mathrm{K}) \simeq 0) et la grille A (au potentiel V_{\mathrm{A}}) :

L'énergie cinétique de l'électron à son arrivée en A vaut donc :

Entre les grilles AB et le cristal, l'énoncé précise que les électrons ne subissent aucune interaction. L'énergie potentielle d'interaction est donc nulle dans cette région (V(x) = 0). L'énergie totale E associée à l'onde de matière s'identifie ainsi à l'énergie cinétique :

Dans le cadre non relativiste (vérifié pour les tensions usuelles de quelques dizaines à centaines de volts), la relation entre l'impulsion p et l'énergie cinétique E s'écrit E = \frac{p^2}{2m_e}. Comme p > 0, on en déduit :

La fonction d'onde \underline{\Psi} décrit une particule dans l'espace à trois dimensions, de sorte que |\underline{\Psi}|^2 représente une densité volumique de probabilité de présence, de dimension [|\underline{\Psi}|^2] = L^{-3}.

Le terme \frac{\vec{p}}{m_e} s'identifie à la vitesse classique \vec{v} de l'électron, de dimension L \cdot T^{-1}. Par conséquent, la dimension du vecteur \vec{J} est :

Interprétation physique : \vec{J} est le vecteur densité de courant de probabilité (analogue à un vecteur densité de courant volumique de particules). À travers une surface élémentaire orientée \mathrm{d}\vec{S}, le flux \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S} représente le taux de passage (ou nombre d'électrons par unité de temps) traversant cette surface.

Pour l'onde incidente se propageant selon l'axe (Ox) :

L'impulsion étant dirigée selon \vec{u}_x, \vec{p} = p\,\vec{u}_x, le vecteur densité de courant s'écrit :

Le flux d'électrons par unité de section droite et par unité de temps est donné par \Phi_0. En identifiant la norme de \vec{J} à ce flux surfacique incident \Phi_0 :

Puisque \psi_0 > 0, on en déduit :

Perte de généralité : En toute rigueur, l'amplitude pourrait être un nombre complexe \underline{\psi}_0 = \psi_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_0}. Une phase constante \phi_0 correspond à un simple choix de l'origine des temps ou des phases, sans conséquence physique sur les densités de probabilité |\underline{\Psi}|^2 ni sur le courant de probabilité \vec{J}. Il n'y a donc aucune perte de généralité à choisir \psi_0 réel positif.

D'après le texte et la figure 6, le faisceau incident et le faisceau réfléchi font entre eux l'angle \theta. La réflexion sur les plans réticulaires obéit aux lois de Snell-Descartes de la réflexion : la normale aux plans est la bissectrice de l'angle entre le faisceau incident et le faisceau réfléchi. Par conséquent :

• L'angle d'incidence par rapport à la normale aux plans réticulaires est :

  i = \frac{\theta}{2}
• L'angle d'attaque (ou angle de glissement) avec le plan réticulaire est donc \alpha = \frac{\pi}{2} - i = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}.

Considérons deux rayons électroniques parallèles consécutifs réfléchis par deux plans distants de a. Le second rayon parcourt un trajet supplémentaire dans l'espace interréticulaire par rapport au premier. La situation géométrique est strictement analogue à celle d'une lame à faces parallèles d'épaisseur a d'indice n=1 éclairée sous l'angle d'incidence i :

En remplaçant i par \theta/2, la différence de marche entre deux rayons consécutifs s'écrit :

Pour observer un faisceau diffracté intense dans la direction \theta, les ondes diffusées par tous les plans consécutifs doivent interférer de manière constructive. Cela se traduit par le fait que la différence de marche doit être un multiple entier de la longueur d'onde \lambda de De Broglie :

D'où la relation de Bragg adaptée à la géométrie de l'expérience :

D'après la question Q19, l'impulsion des électrons accélérés sous la tension V (avec V = V_{\mathrm{A}}) est :

La longueur d'onde de De Broglie associée s'écrit donc :

En injectant cette expression dans la condition d'interférence constructive obtenue à la question Q21, 2 a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = q \lambda avec q \in \mathbb{N}^*, on obtient :

À angle \theta fixé, les pics de diffraction (correspondant aux ordres successifs q) apparaissent à des valeurs de \sqrt{V} régulièrement espacées d'un pas constant :

Le choix de \sqrt{V} en abscisse permet donc d'obtenir une distribution périodique des maxima d'intensité, ce qui rend l'identification des ordres d'interférence directe et linéaire.

Sur la figure 7, on relève des maxima d'intensité bien marqués aux abscisses :

L'écart moyen entre deux pics consécutifs vaut ainsi :

On en déduit l'expression de la distance interréticulaire a :

Avec \theta = 50^\circ, on a \theta/2 = 25^\circ et la valeur fournie \cos(25^\circ) = 0{,}91. Calculons le terme indépendant de a :

On en déduit :

Avec un seul chiffre significatif :

Cette valeur de l'ordre de quelques dixièmes de nanomètre (soit environ 2 \text{ \AA}) est tout à fait caractéristique de la distance entre plans atomiques dans un cristal métallique (distance interatomique). L'expérience de Davisson et Germer confirme ainsi de manière éclatante la nature ondulatoire des électrons, diffractés par un réseau cristallin de la même façon que les rayons X.

La probabilité de trouver l'électron dans un élément de volume \mathrm{d}^3\tau centré en \vec{r} vaut :

En coordonnées sphériques, l'élément de volume s'écrit \mathrm{d}^3\tau = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. En intégrant sur toutes les directions angulaires pour une coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r :

Par identification avec \mathrm{d}\mathbb{P} = \rho(r)\,\mathrm{d}r, on obtient la densité radiale de probabilité :

La probabilité totale de présence de l'électron dans tout l'espace doit être égale à 1 :

À l'aide du changement de variable x = \frac{2r}{R} (soit r = \frac{R}{2}x et \mathrm{d}r = \frac{R}{2}\,\mathrm{d}x), l'intégrale se met sous la forme :

D'après les intégrales données en fin d'énoncé, \int_0^\infty x^2\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 2, d'où :

On en déduit l'expression normalisée de la densité radiale de probabilité :

Étudions les variations de \rho(r) pour r \geqslant 0 :

• En r = 0, \rho(0) = 0 et la tangente est horizontale (\rho'(0) = 0) ;
• Pour 0 < r < R, \rho'(r) > 0, la fonction est strictement croissante ;
• Pour r > R, \rho'(r) < 0, la fonction est strictement décroissante ;
• Lorsque r \to +\infty, \rho(r) \to 0 par croissance comparée.

La fonction \rho(r) admet donc un unique maximum en r = R, de valeur \rho(R) = \frac{4}{\mathrm{e}^2 R}.

Interprétation géométrique de R : Le paramètre R représente le rayon le plus probable, c'est-à-dire la distance au noyau pour laquelle la probabilité de trouver l'électron dans une coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r est maximale.

L'état stationnaire \underline{\Psi}(\vec{r}, t) = f(r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire :

avec l'énergie potentielle coulombienne établie à la question Q6 :

La fonction f(r) = \psi_0 \mathrm{e}^{-r/R} ne dépend que de r. Le laplacien en coordonnées sphériques se réduit à sa partie radiale :

Or :

D'où :

En reportant dans l'équation de Schrödinger et en simplifiant par f(r) \neq 0 :

Cette égalité devant être vérifiée pour tout r > 0, le coefficient du terme en 1/r doit s'annuler identiquement, ce qui fixe la valeur de R :

En remplaçant \hbar = \frac{h}{2\pi}, on obtient :

Le terme constant fournit alors l'énergie E de l'électron :

Soit, en fonction de h :

Comparaison avec le modèle de Bohr :

• Pour le rayon caractéristique : on retrouve exactement le rayon de la première orbite circulaire de Bohr (rayon de Bohr a_0) calculé aux questions Q11 et Q12 :

  R = r_{c,\text{min}} = r_c(1)

  Cependant, la signification physique est radicalement différente : dans le modèle de Bohr, l'électron décrit une orbite circulaire classique de rayon fixe R ; dans l'approche ondulatoire de Schrödinger, l'électron est délocalisé dans tout l'espace et R correspond à la distance au noyau pour laquelle la densité radiale de probabilité de présence est maximale.

• Pour l'énergie : l'énergie de l'état fondamental coïncide rigoureusement avec l'énergie E_c(1) = -E_0 obtenue dans le modèle semi-classique de Bohr :

  E = E_c(1) = -E_0 \simeq -13\text{ eV}

L'énergie potentielle de l'électron dans le champ coulombien du noyau est donnée par (question Q6) :

Par définition de la densité radiale de probabilité de présence \rho(r) (question Q23), la valeur moyenne de l'énergie potentielle s'écrit :

Effectuons le changement de variable sans dimension x = \dfrac{2r}{R}, d'où r = \dfrac{R}{2}x et \mathrm{d}r = \dfrac{R}{2}\mathrm{d}x :

En utilisant l'intégrale fournie dans les données, \displaystyle\int_0^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1, il vient :

En remplaçant le rayon de Bohr R = \dfrac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2} par son expression (question Q24) :

L'état fondamental étant un état stationnaire d'énergie totale bien déterminée E, on a pour l'énergie mécanique E = \langle E \rangle = \langle K \rangle + \langle V \rangle. On en déduit l'énergie cinétique moyenne :

Soit, en utilisant l'expression de E = -\dfrac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} :