Mines Physique 1 PC 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

Du spectre à la structure de l'hydrogène

Pas encore noté

Faisable en Sup

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 14 questions sur 25, parties I et II en entier. Autres questions faisables en PCSI

Autres premières années : PTSI 9 · MP2I 11 · TSI1 9 · BCPST1 8 questions.

Détail par partie

Partie I : Les raies d'émission de l'hydrogène atomique5/5Faisable
Partie II : Le modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène7/7Faisable
Partie III : Ondes de matière en physique microscopique2/13En partie
- Question 18
- Question 19

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Physique quantique et atomique : spectre de l'hydrogène, modèle de Bohr, équation de Schrödinger et diffraction des électrons

Le problème étudie progressivement plusieurs aspects fondamentaux de la physique quantique et atomique : spectre de l'atome d'hydrogène, modèle de Bohr, équation de Schrödinger et diffraction des électrons. Il met en évidence la dualité onde-corpuscule et la quantification des états microscopiques. La difficulté croît au fil des questions, et la dernière partie porte sur l'équation de Schrödinger en trois dimensions.

1Spectre de l'atome d'hydrogèneÀ partir des longueurs d'onde des raies, on établit la formule de Balmer, on calcule l'énergie E0 et on encadre les longueurs d'onde des séries de raies.
2Modèle de BohrOn établit l'énergie potentielle coulombienne, on étudie le mouvement à force centrale et l'énergie potentielle effective, puis on quantifie les orbites et on relie le résultat au rayon de Bohr.
3Équation de Schrödinger et diffraction des électronsOn étudie les états stationnaires, un puits de potentiel infini et ses niveaux d'énergie, puis la diffraction d'un faisceau d'électrons par un cristal de nickel et le courant de probabilité.
4Dernière partie : équation de Schrödinger en trois dimensionsUne fonction d'onde à symétrie sphérique de l'atome d'hydrogène conduit à la densité radiale de probabilité et à la taille de l'atome.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet cohérent et relativement dense, de difficulté croissante, dont la dernière partie, plus délicate, a été peu abordée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Applications numériques inabouties · Affine n'est pas proportionnel · Énergie potentielle coulombienne

Le sujet associait applications directes du cours, raisonnements physiques et interprétations qualitatives, et sa progressivité a bien distingué les niveaux. Les candidats maîtrisant le cours et les outils mathématiques ont généralement réussi ; les questions proches du cours (Q6 à Q9, Q13 et Q14) permettaient de dépasser la note moyenne. Le jury souligne en revanche de nombreuses insuffisances dans les applications numériques.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Applications numériques inaboutiesQ3, Q4, Q5, Q17
Le jury attend deux chiffres significatifs, sans calculatrice, en utilisant l'aide au calcul fournie. Une erreur à la question 3 compromettait les suivantes.
« résultats laissés sous forme de fractions, erreurs sur les puissances de dix ou absence de valeur numérique exploitable »
2
Affine n'est pas proportionnelQ2
La relation entre 1/λ et 1/(k+2)² est affine ; l'étude du rapport entre ordonnée à l'origine et pente était valorisée.
« On rappelle qu’une fonction affine ne traduit pas une relation de proportionnalité. »
3
Énergie potentielle coulombienneQ6
Expression de la force mal connue, intégration incorrecte, erreurs de signe, confusion entre champ et énergie potentielle et égalités entre vecteurs et scalaires.
4
Théorème du moment cinétique mal appliquéQ7
La condition sur le point fixe manque souvent, et certains supposent le mouvement plan en coordonnées polaires pour ensuite démontrer qu'il est plan.
« La condition d’application du théorème du moment cinétique (point fixe du référentiel galiléen) est trop souvent absente. »
5
Densité de probabilité et probabilitéQ13
Le carré du module de la fonction d'onde est une densité de probabilité de présence, pas une probabilité.
« De nombreux candidats confondent densité de probabilité de présence et probabilité de présence. »
6
Conditions aux limites du puitsQ16, Q19
Sans conditions aux limites correctes, l'expression des niveaux d'énergie restait inaccessible. À la question 19, l'énergie totale a souvent été prise pour l'énergie cinétique.
« Beaucoup de candidats n’ont pas su correctement écrire les conditions aux limites »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 a donné lieu à beaucoup de bonnes réponses.
La question 13, proche du cours, a été globalement bien traitée.
Lorsque la courbe d'énergie potentielle effective était connue, les trajectoires et les états liés ou libres ont été bien placés (Q9).
La dimension du vecteur densité de courant de probabilité a dans l'ensemble été donnée correctement (Q20), et les unités sont en général présentes.

Conseils du jury

S'entraîner aux calculs numériques sans calculatrice et donner les résultats avec deux chiffres significatifs.
Donner une unité correcte : une unité fausse ou de type « SI » ne rapporte pas de point.
Justifier toute réponse ; une affirmation isolée ne constitue pas une démonstration.
Faire un schéma juste pour les questions de trajet optique, comme à la question 21.
Rédiger dans l'ordre de l'énoncé, numéroter les copies et laisser de la place pour revenir sur une question.
Soigner les questions proches du cours, particulièrement valorisées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

25 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

25 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Du spectre à la structure de l'hydrogène

Le sujet comporte trois parties I, II et III qui, si elles constituent une progression logique, peuvent néanmoins être abordées de manière presque totalement indépendante sous réserve d'admettre éventuellement les résultats affirmés par l'énoncé.
Le sujet décrit certains aspects de la construction historique de la mécanique quantique, à partir de l'observation de spectres de raies pour l'émission de lumière par les lampes à gaz jusqu'à l'étude des fonctions d'onde des particules élémentaires. Un paramètre essentiel du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique est l'impulsion. Ce terme désigne, dans le langage général, l'élan initial qu'on donne à un objet qui poursuit ensuite son mouvement. Il a un sens plus spécifique en physique, depuis son introduction sous le nom impetus au Moyen Âge : en mécanique classique, un point matériel de masse

m

et de vitesse

v⃗

a l'impulsion

p⃗ = mv⃗

et, dans le cadre de la dualité onde-corpuscule, cette même particule est associée à une onde de longueur d'onde

λ

donnée par la relation de De Broglie (1924) :

λ = h/p

p = ‖p⃗‖

désigne le module de l'impulsion et

h

la constante de Planck.
Pour éviter toute confusion, l'énoncé emploiera la notation

λ

pour les longueurs d'onde des ondes de matière, et

λ_0

pour les longueurs d'onde des ondes électromagnétiques, en particulier, lumineuses.

Dans l'énoncé des questions posées, exprimer signifie donner une expression littérale et calculer signifie donner une valeur numérique; sauf indication locale, toutes les applications numériques seront réalisées avec seulement deux chiffres significatifs. Enfin, donner la dimension d'une grandeur signifie expliciter celle-ci en fonction des fondamentaux : masse

M

, longueur

L

, durée

T

, intensité du courant électrique

I

, température

θ

et quantité de matière

n

. Ainsi, la dimension d'une vitesse est

[v⃗] = L \cdot T^(- 1)

et celle de la constante molaire des gaz parfaits est

[R] = M \cdot L^2 \cdot T^(- 2) \cdot θ^(- 1) \cdot n^(- 1)

. Les vecteurs seront surmontés d'une flèche,

p⃗

v⃗

. Les grandeurs complexes seront soulignées,

Ψ_-

z_-

sauf i tel que

i^2 = - 1

. Un tableau de données numériques figure en fin d'énoncé.

I Les raies d'émission de l'hydrogène atomique

L'atome d'hydrogène est le plus simple de la classification périodique car il n'est doté que d'un seul électron. Son noyau peut être considéré comme fixe. L'observation, à partir de 1862 par Ångströм de spectres de raies pour l'émission par les lampes à vapeurs d'hydrogène atomique, a conduit au développement de la mécanique quantique. On considère pour cela que l'énergie

E

de l'électron ne peut prendre que des valeurs discrètes et que la transition de l'électron d'un état initial d'énergie

E_i

à un état final d'énergie

E_f < E_i

s'accompagne de l'émission de lumière, de longueur d'onde

λ_0

. L'onde lumineuse est elle-même quantifiée, formée de particules (les photons) qui emportent l'énergie

ε = E_i - E_f

□
- 1. Exprimer la longueur d'onde $λ_0$ en fonction de $E_i, E_f$ , de la constante de Planck $h$ et de la célérité $c$ de la lumière dans le vide.
Dans le domaine visible les lampes à vapeurs d'hydrogène atomique émettent essentiellement cinq raies dont les longueurs d'onde figurent (avec deux chiffres significatifs) dans le tableau ci-dessous :

Numéro $k$ 1 2 3 4 5

Nom usuel de la raie $H_α$ $H_β$ $H_γ$ $H_δ$ $H_ε$

$λ_0(nm)$ 660 490 440 410 400

Balmer a proposé une interprétation numérique de cette série de valeurs en 1865 en termes de l'entier

k

désignant le numéro des raies, selon la figure 1.

Figure 1 - Tracé de

1/λ_0

en fonction de

1/(k + 2)^2

□- 2. Montrer que la relation de Balmer exprimée figure 1 par la droite en pointillés, est compatible avec l'expression :
$E_n = - (E_0)/(n^2) avec n \in ℕ^*$
où l'état initial est $n_i = k + 2$ et l'état final est $n_f = 2$ et $E_0$ une constante positive.
□- 3. En déduire la valeur numérique de la constante $E_0$ en électronvolt.
La relation de Balmer sera ensuite généralisée par Rydberg en 1888 pour tenir compte des raies d'émission hors du domaine visible (dans l'infrarouge et dans l'ultraviolet) en ne supposant plus que $n_f = 2$ : il suffit en fait que $n_i > n_f$ pour observer une raie d'émission.
□- 4. Montrer la relation de Rydberg :
$1/(λ_0) = R_\infty(1/(n_f^2) - 1/(n_i^2))$
et relier la constante de Rydberg $R_\infty$ à la valeur de $E_0$ puis calculer numériquement $1/R_\infty$ en nanomètres.
□- 5. Lorsque l'état final est $n_f = 1$ , montrer que $λ_0 ⩽ λ_(max)$ et donner une estimation de $λ_(max)$ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission?
Lorsque l'état final est $n_f > 2$ , montrer que $λ_0 ⩾ λ_(min)$ et donner une estimation de $λ_(min)$ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission?
Finalement, quelles sont les seules raies du spectre d'émission d'une lampe à vapeurs d'hydrogène atomique observables dans le visible?
La première interprétation physique des résultats de Balmer et Rydberg a été proposée par Bohr en 1913; elle fait l'objet de la partie II. Cette interprétation a ensuite été abandonnée au profit de la résolution de l'équation de Schrödinger (1922), qui est abordée dans la partie III.

II Le modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène

II.A Énergie potentielle effective

On considère l'atome d'hydrogène comme formé d'un noyau ponctuel, de charge

+ e

, fixe à l'origine

O

des coordonnées d'un référentiel galiléen et d'un électron

M

ponctuel, mobile, de masse

m_e

et de charge

- e

, en mouvement sous la seule action de l'interaction électrostatique entre les deux particules. On note

ε_0

la permittivité diélectrique du vide,

r⃗ = OM^(\to-)

r = ‖r⃗‖

p⃗

l'impulsion de l'électron et

p = ‖p⃗‖

□- 6. Établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction $E_p(r)$ entre l'électron et le noyau en prenant l'origine des énergies potentielles en $r \to \infty$ .
□- 7. Montrer que le moment cinétique $s⃗ = r⃗ \land p⃗$ est une constante du mouvement. En déduire que ce mouvement est plan et que le plan du mouvement contient la position $O$ du noyau.
Dans la suite on étudiera le mouvement dans ce plan $(Oxy)$ et en coordonnées polaires $(r, θ)$ .
□- 8. On note $r˙ = (dr)/(dt)$ . Montrer l'existence d'une fonction $U(r)$ permettant d'exprimer l'énergie mécanique $E$ de l'électron sous la forme $E = 1/2m_e r˙^2 + U(r)$ et exprimer $U(r)$ en fonction de $s = ‖s⃗‖, r, e, m_e$ et $ε_0$ .
□- 9. Esquisser l'allure de la courbe représentative de $U(r)$ . Indiquer sur la courbe, les niveaux d'énergie correspondants aux 4 types d'orbites possibles. On décrira le comportement et le type de trajectoire associée à chacune de ces orbites en précisant les rayons caractéristiques.
À partir de l'étude de cette courbe déterminer les expressions du rayon $r_c(s)$ , de l'impulsion $p_c(s)$ et de l'énergie $E_c(s)$ des trajectoires circulaires (figure 2) en fonction de $s, m_e$ , $e$ et $ε_0$ .

Figure 2 - Modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène

Dans le cadre de la mécanique classique, les valeurs de

s, r_c(s), p_c(s)

E_c(s)

peuvent être quelconques. L'étude des raies d'émission des lampes à vapeur d'hydrogène a montré qu'il n'en rien : il reste donc à déterminer les valeurs possibles de

s

faisant intervenir un nombre entier

n

II.B L'hypothèse de quantification de Bohr

Pour interpréter la relation (2), Bohr propose une règle arbitraire imposant des valeurs particulières de

s

, et donc de

p(s), r(s)

E(s)

(cf. II.A) en fonction d'un entier

n

non nul : on admet
que seules sont stables les trajectoires circulaires pour lesquelles le périmètre de la trajectoire permet la formation d'une onde stationnaire de longueur d'onde

λ = h/p(s)

; le périmètre de la trajectoire représente exactement

n

longueurs d'onde. Un exemple avec

n = 5

est représenté sur la figure 3.

Figure 3 - Onde stationnaire associée à une trajectoire circulaire pour

n = 5

□ - 10. Exprimer le lien entre

s

, le nombre entier

n

et la constante de Planck.

□- 11. En déduire les relations exprimant $r_c(n), p_c(n)$ et $E_c(n)$ en fonction de $n$ et de $h, e, m_e$ et $ε_0$ . Comparer à la relation (2).
□- 12. Quel est, dans ce modèle, le rayon minimal $r_(c, min)$ d'une trajectoire circulaire?
Calculer numériquement, avec un seul chiffre significatif, ce rayon minimal; commenter. Le modèle semi-classique de Bohr a été ensuite abandonné au profit de la résolution de l'équation de Schrödinger.

III Ondes de matière en physique microscopique

III.A États quantiques stationnaires

On s'intéresse ici à une particule de masse

m

et d'énergie

E

indépendante du temps, confinée dans un domaine

𝒟

assimilé à cylindre infiniment long, d'axe

(Ox)

et de section

S

, décrite en physique quantique par une fonction d'onde

Ψ_-(x, t)

solution de l'équation de Schrödinger qui s'écrit dans le cadre de notre étude

iℏ(\partialΨ_-)/(\partialt) = - (ℏ^2)/(2m)(\partial^2 Ψ)/(\partialx^2) + V(x)Ψ_-(x, t) = EΨ_-

où

ℏ = h/(2π)

V(x)

est une fonction réelle qui décrit les interactions de la particule avec le reste des systèmes physiques. On s'intéresse dans la suite aux seules fonctions de la forme

Ψ_-(x, t) = ψ_-(x)e^(- iωt)

où

ω \in ℝ

est une constante.

□- 13. Quelle est l'interprétation physique de $\int_𝒟|Ψ_-(x, t)|^2 Sdx$ ?
En déduire la dimension de $Ψ_-(x, t)$ .
Quelle est l'équation différentielle vérifiée par $ψ_-(x)$ ?
Donner l'expression de l'énergie de la particule.
Ici, et dans toute la suite, on s'intéresse aux situations telles que $V(x) = V_0$ est une constante.
□- 14. À quelle condition y a-t-il propagation sans atténuation?
Déterminer alors la forme générale de $ψ_-$ et la longueur d'onde $λ$ associée.
En déduire l'impulsion de la particule dans le cas d'un sens unique de propagation.
La relation entre impulsion $p$ et énergie cinétique $K = E - V(x)$ est-elle la même qu'en physique classique?

III.B Ondes stationnaires et états liés

Un dispositif non précisé assure l'annulation de la fonction d'onde

Ψ_-(x, t)

aux deux extrémités

x = 0

x = ℓ

d'un segment de longueur

ℓ

; on admet que

V(x) = 0

sur toute cette longueur. Il se forme donc une onde stationnaire qu'on représente qualitativement comme sur la figure 4; cette onde s'annule

n - 1

fois entre les deux extrémités du segment (soit

n + 1

fois en tout, extrémités comptées) où

n \in ℕ^*

Figure 4 - Onde stationnaire à

n - 1

nœuds intermédiaires (ici

n = 4

)

□ - 15. La condition d'onde stationnaire représentée sur la figure 4 est-elle identique à celle proposée par Bohr pour l'étude de l'atome d'hydrogène (figure 3) ?
□ - 16. Déduire de l'équation (4) l'expression de l'énergie

E_n

de la particule en fonction de

n, ℓ

m

h

.
□ - 17. La particule est un neutron; l'écart entre état fondamental et premier état excité est

ΔE =

30 MeV . Estimer la dimension

ℓ

du segment où le nucléon est confiné. Commenter en précisant la situation physique décrite et la nature de l'interaction qui confine le neutron.

III.C Ondes progressives et diffraction

La confirmation de la réalité physique de l'onde de matière a été apportée notamment par des expériences de diffraction réalisées en 1927 d'un faisceau d'électrons par un cristal de nickel. Le dispositif expérimental est représenté en figure 5 (l'ensemble est disposé dans un vide poussé).

Figure 5 - Schéma de l'expérience de Davisson et Germer, 1927

Une électrode K chauffée et maintenue au potentiel nul émet des électrons (masse

m_e

, charge

- e

) à vitesse négligeable; ils sont ensuite accélérés entre K et A du fait de la présence de l'espace équipotentiel entre deux grilles de potentiel

V_A = V_B

, réglable. L'ensemble envoie vers le cristal de nickel

Φ_0

électrons par unité de section droite et par unité de temps. Entre les grilles AB et le cristal, les électrons ne subissent aucune interaction et on les caractérise donc par l'onde de matière

Ψ_-_(inc)(x, t) = ψ_0 exp[ - i/ℏ(px - Et)]

où on choisit

p, E

ψ_0

réels positifs. L'angle

θ = 50^\circ

reste fixé.

□- 18. Aussi peu intense qu'il soit, le faisceau d'électrons finirait par charger le cristal métallique si son support était isolé électriquement. Pourquoi n'est-ce pas souhaitable?
Pour le décharger, faut-il le relier électriquement à la masse ou bien aux électrodes A et B? Justifier.
□- 19. Par l'étude du mouvement des électrons entre K et A, exprimer $p$ et $E$ en fonction de $V_A$ , $m_e$ et $e$ .
□- 20. Quelles sont la dimension et l'interprétation physique du vecteur $J⃗ = |Ψ_-|^2(p⃗)/(m_e)$ ?
En déduire l'expression de $ψ_0$ en fonction de $Φ_0, p$ et $m_e$ . Y a-t-il eu perte de généralité en supposant $ψ_0 > 0$ ?

L'alignement des atomes de nickel parallèlement à la surface du cristal forme un réseau de plans parallèles, équidistants de

a

, figure 6. Le cristal et le détecteur sont disposés de sorte que le faisceau est réfléchi dans les conditions de la loi de la réflexion de l'optique géométrique, ce qui assure un maximum d'intensité du faisceau réfléchi. L'observation résulte alors de l'interférence entre les faisceaux réfléchis sur ce réseau de plans parallèles.

Figure 6 - Réseau de plans réfléchissant le faisceau d'électrons

□- 21. Exprimer, en fonction de $a$ et $θ$ , la différence de marche $δ$ entre deux «rayons électroniques» diffractés par deux plans réticulaires consécutifs du réseau.
En déduire une relation liant la longueur d'onde $λ$ du faisceau électronique, $a, θ$ et l'ordre $q$ d'interférence pour observer un faisceau diffracté intense.

La figure 7 est un extrait (édité) de la publication originale de Davisson et Germer; elle montre, pour

θ = 50^\circ

fixé, la variation de l'intensité du faisceau détecté en fonction de

\sqrtV

Figure 7 - D'après Davisson et Germer, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1928

□- 22. Expliquer le choix de $\sqrtV$ pour l'axe des abcsisses; en déduire une estimation du paramètre $a$ avec un seul chiffre significatif; commenter cette valeur.

III.D Retour sur l'atome d'hydrogène

On revient maintenant à l'étude d'une onde de matière à trois dimensions, possédant la symétrie sphérique autour de

O

et donc décrite en coordonnées sphériques

(r, θ, φ)

par

Ψ_-(r⃗, t) = f(r)e^(- iωt)

; on cherche à décrire l'état fondamental de l'électron dans l'atome d'hydrogène par

f(r) =

ψ_0 e^(- r/R)

où

ψ_0

R

sont des constantes positives.
La densité radiale de probabilité

ρ(r)

est définie par

dℙ = ρ(r)dr

où

dℙ

est la probabilité d'observer l'électron entre les distances

r

r + dr

du noyau.

□- 23. Exprimer $ρ(r)$ en fonction de $R$ et $r$ puis tracer la courbe représentative de cette fonction. Quelle est l'interprétation géométrique de $R$ ?
□- 24. Exprimer $R$ et l'énergie $E$ de l'électron en fonction des constantes physiques $h, e, m_e$ et $ε_0$ ; comparer au modèle de Bohr.
□- 25. Déterminer l'énergie potentielle moyenne de l'électron $⟨V⟩$ .
En déduire son énergie cinétique moyenne $⟨K⟩$ à partir de la valeur de son énergie totale $E$ ; commenter.

Valeurs numériques et données pour l'ensemble du sujet

Constantes fondamentales

Célérité de la lumière dans le vide	$c = 3, 0 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
Charge élémentaire	$e = 1, 6 \times 10^(- 19)C$
Constante de Planck	$h = 6, 6 \times 10^(- 34) J \cdot Hz^(- 1)$
Masse de l'électron	$m_e = 9, 1 \times 10^(- 31) kg$
Masse du neutron	$m_n = 1, 7 \times 10^(- 27) kg$
Permittivité du vide	$ε_0 = 8, 9 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$

Quelques valeurs numériques

\sqrt2 = 1, 4 \sqrt3 = 1, 7 \sqrt5 = 2, 2; 1eV = 1, 6 \times 10^(- 19) J hc ≃ 1, 2eV \times μm; cos(25^\circ) = 0, 91 sin(25^\circ) = 0, 42 cos(50^\circ) = 0, 64 sin(50^\circ) = 0, 77

Intégrales utiles

\int_(θ = 0)^π\int_(φ = 0)^(2π)sinθdθdφ = 4π \int_0^\inftyxe^(- x)dx = 1 \int_0^\inftyx^2 e^(- x)dx = 2

Laplacien en coordonnées sphériques

Δf = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2(\partialf)/(\partialr)) + 1/(r^2 sinθ)\partial/(\partialθ)(sinθ(\partialf)/(\partialθ)) + 1/(r^2 sin^2 θ)(\partial^2 f)/(\partialφ^2)

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines physique 1 PC 2026 ?

Le sujet porte sur le spectre de l'atome d'hydrogène, le modèle de Bohr et le mouvement à force centrale, l'équation de Schrödinger avec le puits infini, la diffraction des électrons et une fonction d'onde en trois dimensions.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines physique 1 PC 2026 ?

Le jury cite les applications numériques inabouties, les erreurs sur l'énergie potentielle coulombienne, l'oubli des conditions du théorème du moment cinétique, la confusion entre densité de probabilité et probabilité et des conditions aux limites mal écrites.

Le sujet Mines physique 1 PC 2026 était-il difficile ?

Le jury le décrit comme cohérent, relativement dense et de difficulté croissante. La dernière partie, sur l'équation de Schrödinger en trois dimensions, a été peu abordée.

Quelles questions rapportaient le plus en Mines physique 1 PC 2026 ?

Selon le rapport, les questions proches du cours (Q6, Q7, Q8, Q9, Q13 et Q14) étaient particulièrement valorisées et permettaient, bien traitées, de dépasser la note moyenne des candidats.

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Numéro $k$	1	2	3	4	5
Nom usuel de la raie	$H_α$	$H_β$	$H_γ$	$H_δ$	$H_ε$
$λ_0(nm)$	660	490	440	410	400