Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2025

La relation (1) s'écrit sous la forme :

Par identification avec le théorème de Pythagore, cette relation traduit le fait que l'énergie totale E est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont le produit pc et l'énergie de masse au repos mc^2.

Concernant les unités usuelles dans le Système international (SI) :

• L'impulsion p a la dimension d'une quantité de mouvement [p] = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-1}}, son unité SI est donc le kilogramme-mètre par seconde (\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}), équivalent au newton-seconde (\mathrm{N\cdot s}).
• Le produit pc a la dimension d'une énergie [pc] = [p]\cdot [c] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-2}}, son unité SI est le joule (\mathrm{J}).

D'après la relation relativiste (1), l'énergie totale E d'une particule libre de masse m_p vérifie :

Par définition, l'énergie de repos E_0 correspond à une impulsion nulle (p = 0). Comme l'énergie est positive, on obtient :

Application numérique :
D'après les données de l'énoncé, l'énergie équivalente à la masse au repos du proton vaut m_p c^2 = 940\text{ MeV}. Avec deux chiffres significatifs :

En exprimant ce résultat dans le système international à l'aide de 1\text{ eV} = 1,6 \times 10^{-19}\text{ J} :

D'après la relation (1) et le résultat de la question Q2 (E_0 = mc^2) :

Dans la limite classique, E_c = E - E_0 \ll E_0, ce qui implique \left(\frac{p}{mc}\right)^2 \ll 1. En effectuant un développement limité d'ordre 1 au voisinage de 0 selon \sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2}u + o(u) avec u = \left(\frac{p}{mc}\right)^2, on obtient :

On en déduit l'expression de l'énergie cinétique au premier ordre non nul :

En mécanique classique, l'énergie cinétique s'écrit E_c = \frac{1}{2}mv^2. Par identification avec E_c = \frac{p^2}{2m}, il vient p = mv. La vitesse et l'impulsion étant colinéaires et de même sens, on a :

Le rapport des énergies s'écrit alors :

La condition \dfrac{E_c}{E_0} < 1\,\% = 1{,}0 \times 10^{-2} se traduit par :

On observe que ce rapport est totalement indépendant de la masse de la particule. Par conséquent, la vitesse maximale admissible est la même pour le proton et pour l'électron :

Cette valeur maximale est identique pour un électron :

D'après la relation (3) admise par l'énoncé, la norme de l'impulsion s'écrit :

En élevant au carré et en multipliant par c^2, on obtient :

Sachant que l'énergie de repos est E_0 = m c^2 (question Q2), il vient p^2 c^2 = E_0^2 \, \frac{v^2/c^2}{1 - v^2/c^2}.

En injectant cette expression dans la relation du triangle relativiste (1) :

L'énergie d'une particule étant une grandeur positive, on en déduit l'expression de E = f(E_0, v, c) :

D'après la relation établie à la question Q4, l'énergie d'une particule s'écrit :

Pour un photon se déplaçant à la vitesse v = c, le dénominateur \sqrt{1 - v^2/c^2} s'annule. Afin que l'énergie E du photon reste finie, il est nécessaire que le numérateur s'annule également, soit :

La masse au repos d'un photon est donc rigoureusement nulle.

En injectant m = 0 dans la relation du triangle relativiste (1), il vient :

puisque E > 0 et p > 0. En utilisant la relation de De Broglie (2), p = \dfrac{h}{\lambda}, on en déduit :

Pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide à la célérité c, la longueur d'onde et la fréquence sont reliées par \lambda = \dfrac{c}{\nu}, d'où :

Applications numériques : On utilise la donnée h c \simeq 1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}.

• Domaine bleu (\lambda_{\text{bleu}} \sim 400\text{ nm} = 0,40\ \mu\text{m}) :

  E_{\text{bleu}} = \frac{1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0,40\ \mu\text{m}} = \boxed{3{,}0\text{ eV}}

• Domaine rouge (\lambda_{\text{rouge}} \sim 600\text{ nm} = 0,60\ \mu\text{m}) :

  E_{\text{rouge}} = \frac{1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0,60\ \mu\text{m}} = \boxed{2{,}0\text{ eV}}

Le système {atome, photon} est isolé. Avant l'émission, l'atome est au repos, donc l'impulsion totale est nulle :

Après l'émission, l'impulsion totale reste nulle, soit m\vec{v} + \vec{p} = \vec{0}, d'où en norme, sachant que le photon a pour impulsion p = \frac{E}{c} :

Dans le cadre de la description classique adoptée par l'énoncé, l'énergie cinétique de recul de l'atome s'écrit donc :

L'énergie totale du système se conserve lors de l'émission :

Comme E_f = E_i - \Delta E, on obtient :

Multiplions par 2mc^2 pour mettre sous forme canonique :

L'énergie E du photon étant strictement positive, la seule racine physique correspond au signe positif :

On en déduit l'expression attendue :

avec le paramètre adimensionné :

La masse de l'atome d'hydrogène est dominée par celle de son noyau (le proton), la masse de l'électron étant négligeable (m_e/m_p \sim 5 \times 10^{-4}). On a donc :

Pour une transition atomique de l'hydrogène, \Delta E est de l'ordre de quelques électrons-volts (\Delta E \sim 1\text{ à }10\text{ eV}). Le paramètre sans dimension \eta vaut ainsi :

Puisque \eta \ll 1, effectuons un développement limité à l'ordre 1 de l'expression de l'énergie E établie à la question Q6 :

D'après le bilan énergétique global \Delta E = E + E_{c,\text{rec}}, l'énergie cinétique de recul de l'atome s'écrit au premier ordre :

Numériquement, pour \Delta E \sim 10\text{ eV} :

Cette énergie de recul est extraordinairement faible devant \Delta E (fraction relative de l'ordre de 10^{-8}). L'énergie de recul de l'atome est donc parfaitement négligeable, d'où l'égalité usuelle de Bohr :

D'après la question précédente, l'énergie du photon émis lors de la transition d'un état n_i vers un état n_f < n_i s'écrit :

La longueur d'onde de l'onde associée est liée à cette énergie par :

1. Cas de l'état final n_f = 1 :

L'entier n_i vérifie n_i \geqslant 2. L'énergie de transition s'écrit :

Elle est minimale pour la plus petite valeur possible de n_i, soit n_i = 2 :

La longueur d'onde étant inversement proportionnelle à \Delta E, il existe une longueur d'onde maximale :

Avec hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} :

Puisque \lambda \leqslant 120\text{ nm} < 400\text{ nm}, ces raies (série de Lyman) appartiennent au domaine de l'ultraviolet (UV).

2. Cas de l'état final n_f > 2 (n_f \geqslant 3) :

Pour tout n_f \geqslant 3 et n_i > n_f, la différence d'énergie est majorée par la limite d'ionisation n_i \to \infty pour le plus petit état final possible n_f = 3 :

Numériquement :

Par conséquent, la longueur d'onde admet un minorant :

Numériquement :

Puisque \lambda \geqslant 800\text{ nm} > 750\text{ nm}, l'ensemble de ces raies (séries de Paschen, Brackett, Pfund...) se situe dans le domaine de l'infrarouge (IR).

3. Raies dans le domaine visible (raies de Balmer) :

Le spectre visible s'étend typiquement entre 400\text{ nm} et 750-800\text{ nm}. Les transitions vers n_f = 1 sont exclusivement dans l'ultraviolet (\lambda \leqslant 120\text{ nm}) et celles vers n_f \geqslant 3 sont exclusivement dans l'infrarouge (\lambda \geqslant 800\text{ nm}).

Par élimination, les raies de Balmer visibles correspondent nécessairement à :

La lame séparatrice L_1 possède deux faces planes et parallèles, inclinées à 45^\circ :

• la face avant (ou face d'entrée), tournée vers la source lumineuse et le miroir mobile ;
• la face arrière, tournée vers le miroir fixe et l'oculaire.

La lame L_2 est la lame compensatrice. Elle est identique à L_1 (même épaisseur e, même indice n), lui est rigoureusement parallèle, et est placée sur le bras vertical menant au miroir mobile. Tout faisceau faisant l'aller-retour vers le miroir mobile traverse donc la lame L_2 deux fois.

Testons les deux hypothèses de traitement :

1. Si la couche semi-réfléchissante est sur la face avant :

   • Voie 2 (miroir mobile) : le faisceau se réfléchit sur la face avant sans entrer dans L_1 (0 traversée). Il traverse L_2 à l'aller puis au retour (2 traversées), puis pénètre par la face avant de L_1 et en ressort par la face arrière vers l'oculaire (1 traversée). Soit un total de :

     0 + 2 + 1 = 3 \text{ traversées de verre.}

   • Voie 1 (miroir fixe) : le faisceau traverse L_1 de la face avant vers la face arrière (1^{\text{re}} traversée), va vers le miroir fixe, revient, entre par la face arrière (2^{\mathrm{e}} traversée), se réfléchit sur la face interne du dépôt semi-réfléchissant, et retraverse L_1 pour sortir par la face arrière vers l'oculaire (3^{\mathrm{e}} traversée). Soit un total de :

     3 \text{ traversées de verre.}

   Les deux faisceaux traversent exactement la même épaisseur de verre (3e) sous la même incidence (45^\circ). La différence de marche introduite par le verre est rigoureusement nulle quelle que soit la longueur d'onde : la compensation chromatique est assurée.

2. Si la couche semi-réfléchissante était sur la face arrière :

   • Le faisceau 1 ne traverserait L_1 qu'une seule fois à l'aller, se réfléchissant sur la face arrière externe directement vers l'oculaire (1 traversée au total).
   • Le faisceau 2 traverserait L_1 à l'aller, s'y réfléchirait sur la face arrière interne, la retraverserait (2 traversées), traverserait L_2 deux fois, puis retraverserait L_1 au retour vers l'oculaire (1 traversée supplémentaire), soit 5 traversées au total.

   La présence de L_2 dans le bras vertical aggraverait le déséquilibre au lieu de le compenser.

Lorsque les miroirs fixe et mobile sont rendus rigoureusement perpendiculaires, l'image du miroir fixe donnée par la séparatrice est rigoureusement parallèle au miroir mobile : l'interféromètre est réglé en lame d'air à faces parallèles.

La différence de marche entre les deux rayons émergeant sous un angle d'inclinaison \theta par rapport à la normale commune s'écrit :

où e est l'épaisseur de la lame d'air équivalente.

• Par invariance par rotation autour de l'axe optique (O, \vec{e}_z), la différence de marche ne dépend que de l'angle d'incidence \theta : ce sont des franges d'égale inclinaison.
• Dans le plan focal d'observation de l'oculaire, l'ensemble des points d'égal éclairement correspond à \theta = \text{cte}, ce qui se traduit par des anneaux concentriques (anneaux de Haidinger) centrés sur l'axe optique.

Influence du déréglage de l'oculaire : Ces franges d'égale inclinaison sont localisées à l'infini, car des rayons issus d'un même point source ayant la même inclinaison \theta n'interfèrent qu'à l'infini.

• Si l'oculaire est déréglé et met au point sur un plan situé à distance finie, en un point donné de ce plan se superposent des rayons ayant des inclinaisons différentes (donc des différences de marche différentes), ce qui conduit à un brouillage des franges : l'image devient floue et les franges disparaissent.
• Si le déréglage de l'oculaire est faible et projette l'image à distance finie en avant de l'œil, un observateur dont l'œil accommode entre son punctum proximum et son punctum remotum peut encore les observer nettement ; en revanche, si le déréglage est trop important ou si l'image est virtuelle en arrière de l'œil (inaccessible à l'accommodation), les franges ne sont plus observables.

Au centre du champ d'observation, les rayons lumineux émergent parallèlement à l'axe optique, ce qui correspond à une incidence normale (\theta = 0).

Dans la configuration en lame d'air équivalente d'épaisseur e, la différence de marche s'écrit \delta = 2 e \cos\theta. Au centre (\theta = 0), elle vaut :

Un déplacement du miroir mobile d'une distance \Delta z le long de l'axe (O, \vec{e}_z) modifie l'épaisseur de la lame d'air de \Delta e = \Delta z, car la lumière effectue un aller-retour dans ce bras. La différence de marche au centre varie donc de :

L'ordre d'interférence au centre est défini par p_0 = \frac{\delta_0}{\lambda_0}. Deux franges sombres consécutives correspondent à une variation de l'ordre d'interférence d'une unité, c'est-à-dire à une variation de différence de marche égale à la longueur d'onde \lambda_0.

Le nombre \Delta N de franges sombres qui défilent au centre lors du déplacement \Delta z est donc donné par :

soit :

L'interféromètre de Michelson réglé avec des miroirs perpendiculaires est équivalent à une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur e = \Delta z (séparant le miroir réel M_1 et le miroir virtuel M'_2, image de M_2 par la séparatrice).

Considérons une onde plane incidente sous un angle d'incidence \theta par rapport à la normale aux miroirs :

Le rayon (1) se réfléchit sur la face M'_2 en A. Le rayon (2) traverse la lame d'air, se réfléchit sur le miroir M_1 en B, puis ressort de la lame en C.

Le plan d'onde perpendiculaire aux deux rayons parallèles émergents passe par C et coupe le rayon (1) en H. La différence de marche géométrique entre le rayon (2) et le rayon (1) s'écrit :

Dans le triangle rectangle formé par la normale issue de A et le segment AB :

Dans le triangle ACH, rectangle en H, l'angle \widehat{CAH} vaut \theta :

On en déduit :

Comme les réflexions sur M_1 et M_2 introduisent les mêmes déphasages éventuels, la différence de marche s'exprime en fonction de l'écart \Delta z par :

L'ordre d'interférence en un point du champ repéré par l'angle \theta vaut :

Au centre de la figure (\theta = 0), l'ordre d'interférence est maximal :

Pour les faibles inclinaisons (\theta \ll 1), un développement limité donne :

L'ordre décroît lorsqu'on s'éloigne du centre. La première frange de même nature (brillante si le centre est brillant, sombre si le centre est sombre) apparaît pour un angle \Delta\theta vérifiant :

On en déduit l'expression de l'écart angulaire \Delta\theta :

D'après la relation établie à la question Q11, la longueur d'onde de la radiation s'exprime par :

L'application numérique donne :

Cette longueur d'onde appartient au domaine rouge du spectre visible (environ 600\text{--}700\text{ nm}). D'après le préambule de la partie III, H_\alpha est rouge et H_\beta est bleue :

Le nombre de franges défilées N étant un comptage entier exempt d'incertitude, la précision relative sur \lambda_0 est directement donnée par celle sur le déplacement \Delta z :

Numériquement :

D'après le résultat de la question Q12, l'écart angulaire séparant le centre de la figure du premier anneau de même nature s'écrit :

Numériquement :

Commentaire : L'angle sous-tendant le premier anneau est très faible (environ 1{,}4^\circ). Les anneaux sont extrêmement serrés dès que l'épaisseur de la lame d'air dépasse le millimètre, ce qui justifie pleinement l'utilisation d'un système optique afocal grossissant (l'oculaire mentionné en III.A) pour permettre leur observation et la résolution visuelle des franges au centre du champ.

L'interféromètre superpose en un point d'observation deux ondes issues de la même source, ayant parcouru chacune une voie et présentant une différence de marche \delta. Le déphasage entre ces deux ondes vaut :

Puisque chaque voie apporte la même intensité lumineuse I_0, la formule de Fresnel pour les interférences à deux ondes s'écrit :

soit également :

Le facteur de contraste (ou visibilité de Michelson) est défini par :

où I_{\max} et I_{\min} sont respectivement les intensités maximale et minimale du système de franges.

Ici, comme la fonction cosinus oscille entre -1 et +1, on a :

On en déduit immédiatement :

Les deux radiations de longueurs d'onde \lambda_1 et \lambda_2 sont mutuellement incohérentes car de fréquences distinctes. L'intensité totale observée est donc la somme des intensités associées à chaque radiation :

En notant I_0 l'intensité envoyée par chaque radiation sur chaque voie de l'interféromètre (d'après le résultat de la question Q14) :

En sommant ces deux expressions :

L'identité trigonométrique \cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right) conduit à :

Comme \Delta\lambda = |\lambda_2 - \lambda_1| \ll \lambda_0, avec \lambda_0 = \frac{1}{2}(\lambda_1 + \lambda_2), on a au premier ordre en \Delta\lambda/\lambda_0 :

On obtient ainsi l'expression de l'intensité observée :

Remarque : Si I_0 désigne l'intensité totale (somme des deux composantes) sur chaque voie, le préfacteur devient 2I_0.

Facteur de contraste :

Puisque \Delta\lambda \ll \lambda_0, le terme \cos\left(\frac{\pi\delta\Delta\lambda}{\lambda_0^2}\right) varie très lentement par rapport aux oscillations rapides de \cos\left(\frac{2\pi\delta}{\lambda_0}\right). Localement, les extrema de l'intensité s'écrivent :

Le facteur de contraste C = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} vaut donc :

Mesure de \lambda_0/\Delta\lambda :

Le contraste s'annule (phénomène de « brouillage » des franges, où C=0 et le champ est uniforme) pour :

La variation de différence de marche séparant deux brouillages consécutifs est donc :

On en déduit immédiatement :

Expérimentalement, au centre du champ (\theta = 0), on a \delta = 2\Delta z (d'après la question Q12). La mesure du déplacement \Delta z_b = \frac{\Delta\delta_b}{2} du miroir mobile entre deux brouillages successifs permet donc de déterminer le rapport :

C'est également le nombre de franges qui défilent entre deux positions de brouillage consécutives.

Les deux radiations de longueurs d'onde \lambda_1 et \lambda_2 étant mutuellement incohérentes, les intensités s'ajoutent. Pour chaque radiation k \in \{1, 2\}, le signal d'interférence s'écrit, par analogie avec la question Q14 :

L'intensité totale observée vaut donc :

En posant \phi_0 = \frac{2\pi\delta}{\lambda_0} et \Delta\phi = \frac{\pi\delta\Delta\lambda}{\lambda_0^2}, avec \Delta\lambda = |\lambda_2 - \lambda_1| \ll \lambda_0, on a :

L'amplitude des oscillations rapides en \phi_0 s'obtient par la somme quadratique des composantes en quadrature :

L'intensité moyenne étant I_{\text{moy}} = 2(I_1 + I_2), le facteur de contraste des franges est :

Comme I_2 < I_1, le rapport \frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} est strictement inférieur à 1. Le contraste C(\delta) est donc minimal lorsque le terme en \cos^2 s'annule, soit pour :

soit pour les valeurs de différence de marche :

En ces points, le contraste atteint sa valeur minimale :

Le brouillage des franges n'est que partiel (C_{\min} > 0) en raison de la dissymétrie des intensités.

Mise en évidence du doublet H_\alpha : Pour la raie H_\alpha, \lambda_0 \simeq 656\text{ nm} \simeq 6{,}6\times 10^{-7}\text{ m} (d'après la question Q13) et \Delta\lambda = 1{,}4\times 10^{-11}\text{ m}. Le premier minimum de contraste (k=0) est obtenu pour :

Au centre du champ (\theta = 0), la différence de marche est liée au déplacement \Delta z du miroir mobile depuis le contact optique par \delta = 2\Delta z, d'où :

• Si l'on se restreint à la course micrométrique utilisée à la question Q13 (\Delta z \simeq 1\text{ mm}), ce premier minimum ne peut pas être atteint (\Delta z_{\min} > 1\text{ mm}).
• En revanche, une vis micrométrique de chariotage standard sur un interféromètre de Michelson possède usuellement une course de 10 à 25\text{ mm}. Il est donc tout à fait possible de déplacer le miroir de 7{,}7\text{ mm} et ainsi de mettre en évidence ce dédoublement spectral par la méthode du contraste (comme l'a historiquement réalisé Michelson en 1892).

1. Rôle du circuit à circulation d'eau :

   Les décharges électriques à haute tension dissipent une puissance thermique considérable par effet Joule dans le gaz et au niveau des électrodes. Le circuit à circulation d'eau a pour rôle essentiel de refroidir le tube à décharge afin :

   • d'évacuer la chaleur et d'éviter la dégradation ou la rupture thermique du tube en verre ou en quartz ;
   • de maintenir le gaz à une température modérée, ce qui limite l'élargissement Doppler thermique des raies d'émission et préserve leur finesse.

2. Unité de la graduation en abscisse :

   Sur la figure 4, les raies indiquées correspondent à la série de Balmer de l'hydrogène atomique : la raie H_\beta apparaît un peu en dessous de la graduation 5\,000, la raie H_\gamma vers 4\,340 et la raie H_\delta vers 4\,100. Or, les longueurs d'onde correspondantes valent respectivement \lambda(H_\beta) \simeq 486\text{ nm}, \lambda(H_\gamma) \simeq 434\text{ nm} et \lambda(H_\delta) \simeq 410\text{ nm}.

   Les graduations de l'abscisse (2\,600, 3\,000, 4\,000, 5\,000) correspondent donc à des longueurs d'onde exprimées en ångströms (Å) :

   \boxed{1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}}

3. Origine du fond continu :

   Le tube contient initialement du dihydrogène moléculaire \mathrm{H_2}. Alors que les atomes d'hydrogène isolés \mathrm{H} sont responsables du spectre de raies discrètes, le fond continu observé dans le proche ultraviolet provient du spectre moléculaire de \mathrm{H_2}.

   Il s'explique par des transitions radiatives désexcitant la molécule depuis un état électronique lié excité vers un état électronique répulsif (dissociatif), non quantifié. L'énergie cinétique relative emportée par les deux atomes d'hydrogène après dissociation étant continue, l'énergie du photon émis est continue, ce qui engendre un fond spectral continu.

Dans le tube à décharge à vapeur d'eau, la dissociation conduit à la formation de radicaux hydroxyles \mathrm{HO} et d'atomes d'hydrogène \mathrm{H} selon :

La propriété mise à profit est que la molécule hydroxyle \mathrm{HO} n'émet pas de fond continu dans le domaine visible (ses bandes d'émission rovibroniques caractéristiques se situent essentiellement dans le proche ultraviolet, autour de 306\text{--}310\text{ nm}, et dans l'infrarouge).

Le spectre d'émission dans le visible se résume ainsi aux seules raies discrètes d'émission de l'hydrogène atomique (série de Balmer), sans recouvrement par un continuum parasite.

La relation fournie par l'énoncé s'écrit :

Le noyau de l'hydrogène est un proton (m_{\text{H}} = m_p), tandis que celui du deutérium comporte un proton et un neutron, soit une masse m_{\text{D}} \simeq 2m_p. Comme m_{\text{D}} > m_{\text{H}}, on a :

Une diminution de la longueur d'onde correspond à des fréquences plus élevées :

Pour séparer les raies de l'hydrogène et du deutérium, la résolution spectrale du spectromètre doit être au moins égale à l'écart en longueur d'onde \Delta\lambda = \lambda_{\text{H}} - \lambda_{\text{D}} :

Sur la figure 4, l'abscisse de la raie \text{H}_\beta se lit à :

Avec m_e = 0{,}51\text{ MeV}/c^2 et m_p = 940\text{ MeV}/c^2 :

Il faut donc une résolution spectrale (au sens du critère de séparation) meilleure que \mathbf{0{,}13\text{ nm}} (soit un pouvoir de résolution \frac{\lambda}{\Delta\lambda} \gtrsim 3{,}7 \times 10^3).

1. Caractère stationnaire de l'état

La fonction d'onde s'écrit sous forme à variables d'espace et de temps séparées :

La densité de probabilité de présence de la particule vaut :

Cette densité est indépendante du temps t :

2. Sens du mouvement de la particule

La fonction d'onde peut s'écrire sous la forme d'une onde plane monochromatique :

avec une pulsation \omega = \frac{E}{\hbar} > 0 et une composante d'onde k = \frac{p(E)}{\hbar} > 0.

Les plans d'onde d'égale phase vérifient kx - \omega t = \text{cste}, soit :

Comme \frac{\omega}{k} > 0, l'onde se propage dans le sens des x croissants.

3. Vitesses de phase et de groupe

À l'aide des relations fondamentales de la mécanique ondulatoire :

la vitesse de phase est donnée par le rapport :

La vitesse de groupe s'obtient en dérivant la pulsation par rapport au nombre d'onde :

En notant p'(E) = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}E}(E) la dérivée de p(E) par rapport à l'énergie E, on obtient :

L'équation de Schrödinger unidimensionnelle pour un potentiel V uniforme et indépendant du temps s'écrit :

En dérivant la forme d'onde proposée :

En réinjectant ces dérivées dans l'équation de Schrödinger, on obtient :

Comme cette relation doit être vérifiée pour tout (x,t), on en déduit la relation de dispersion (pour E > V) :

Puisque par convention p(E) > 0 :

D'après le résultat de la question Q20, la vitesse de groupe s'exprime par v_g = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{p'(E)}. En différentiant E(p) = \frac{p^2}{2m} + V par rapport à p :

En fonction de E, on obtient donc :

Caractère du modèle : La relation obtenue, E - V = E_c = \frac{p^2}{2m}, ainsi que la relation entre vitesse de groupe et impulsion, p = m v_g, correspondent exactement aux relations de la mécanique classique newtonienne (non relativiste). De plus, lorsque l'énergie E tend vers l'infini, la vitesse de groupe v_g diverge et peut dépasser la vitesse de la lumière c dans le vide (v_g > c dès que E - V > \frac{1}{2}mc^2), ce qui viole le principe de relativité restreinte.

L'équation de Schrödinger est donc un modèle non relativiste.

Dans un domaine où le potentiel V est uniforme, appliquons les opérateurs différentiels à l'onde proposée :

En injectant ces expressions dans l'équation de Klein–Gordon (5) :

Puisque p(E) > 0, il vient, pour (E - V) \ge mc^2 :

Pour obtenir la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p}, différentions la relation p^2 c^2 = (E - V)^2 - m^2 c^4 :

En remplaçant p par son expression en fonction de E, on obtient :

Caractère relativiste du modèle :

• Pour une particule libre (V = 0), la relation s'écrit E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4, ce qui coïncide rigoureusement avec la relation relativiste d'Einstein (1).
• De plus, la vitesse de groupe vérifie v_g < c pour toute masse non nulle et tend vers c aux très hautes énergies (E \gg mc^2).

Le modèle associé à l'équation de Klein–Gordon est donc un modèle relativiste.

1. Nature de l'onde dans le domaine x \in [0, a] : Dans cette région, le potentiel est constant et vaut V_0 > E. L'équation de Schrödinger indépendante du temps pour la partie spatiale \underline{\psi}(x) s'écrit :

   -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + V_0\,\underline{\psi}(x) = E\,\underline{\psi}(x) \quad\iff\quad \frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} = \kappa^2\,\underline{\psi}(x)

   en posant \kappa = \dfrac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \in \mathbb{R}^{+*}.

   La solution générale est de la forme \underline{\psi}(x) = A\mathrm{e}^{-\kappa x} + B\mathrm{e}^{\kappa x}. L'onde est donc évanescente (ou non propagative) dans la barrière.

2. Relations permettant de déterminer \underline{R} et \underline{T} : Le potentiel V(x) présentant des discontinuités de première espèce en x = 0 et x = a, les relations assurant la détermination des coefficients sont les conditions de continuité de la fonction d'onde spatiale et de sa dérivée première :

   \begin{cases} \underline{\psi}(0^-) = \underline{\psi}(0^+) \quad \text{et} \quad \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(0^-) = \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(0^+) \\[8pt] \underline{\psi}(a^-) = \underline{\psi}(a^+) \quad \text{et} \quad \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(a^-) = \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(a^+) \end{cases}

   Ces quatre équations linéaires permettent d'éliminer les constantes d'intégration A et B et d'obtenir les coefficients de réflexion \underline{R} et de transmission \underline{T}.

3. Phénomène physique mis en évidence : Il s'agit de l'effet tunnel quantique : une particule dont l'énergie totale E est inférieure à la hauteur V_0 de la barrière de potentiel a une probabilité non nulle de traverser cette région classiquement interdite.

4. Interprétation physique de |\underline{T}|^2 : Le milieu étant identique pour x < 0 et x > a (V = 0, même impulsion p et même vitesse de groupe), le coefficient de transmission énergétique coïncide avec le rapport des densités de courant de probabilité transmise et incidente :

   \boxed{|\underline{T}|^2 = \mathcal{T}}

   |\underline{T}|^2 représente le coefficient de transmission de la barrière, c'est-à-dire la probabilité pour une particule incidente de franchir la barrière par effet tunnel.

Dans le domaine x \in [0, a], le potentiel est constant et vaut V(x) = V_0. Pour une onde monochromatique de pulsation \omega = E/\hbar, la dépendance temporelle est en \mathrm{e}^{-\mathrm{i}Et/\hbar}, de sorte que l'opérateur temporel s'applique selon :

avec \varepsilon = E - V_0. L'équation de Klein–Gordon (5) unidimensionnelle devient alors pour \underline{\psi}(x) :

soit, en regroupant les termes :

L'énoncé précise que la barrière est très haute : V_0 - E > mc^2, ce qui équivaut à :

Les deux facteurs (\varepsilon - mc^2) et (\varepsilon + mc^2) sont donc tous deux strictement négatifs, ce qui assure :

Par conséquent, q = \sqrt{q^2} et le vecteur d'onde k = q/\hbar sont des grandeurs purement réelles. La solution spatiale s'écrit comme combinaison linéaire d'exponentielles imaginaires pures :

L'onde totale \underline{\Psi}(x,t) dans la région x \in [0, a] est donc la superposition de deux ondes planes progressives se propageant en sens inverses :

D'après l'expression fournie par l'énoncé, le module au carré du coefficient de transmission s'écrit :

En utilisant la relation trigonométrique \cos^2\varphi = 1 - \sin^2\varphi, il vient :

Par ailleurs, le facteur \alpha vérifie :

avec égalité si et seulement si p = q. Par conséquent, \alpha^2 - 1 \geqslant 0.

La fonction f(\varphi) = 1 + (\alpha^2 - 1)\sin^2\varphi atteint sa valeur minimale, égale à 1, lorsque \sin\varphi = 0, c'est-à-dire pour :

On en déduit immédiatement la valeur maximale :

Commentaires :

• Transparence totale et résonance : Pour certaines épaisseurs de la barrière telles que a = n\frac{\pi\hbar}{q} = n\frac{\lambda_q}{2} (où \lambda_q = 2\pi\hbar/q est la longueur d'onde de de Broglie dans la barrière), la barrière de potentiel devient totalement transparente (|\underline{T}|^2 = 1). C'est un phénomène analogue aux résonances de transmission d'un interféromètre de Fabry-Pérot ou à l'effet Ramsauer-Townsend.
• Rupture avec la mécanique classique et l'effet tunnel non relativiste : En mécanique classique, la réflexion est totale (T = 0) dès que E < V_0. En mécanique quantique non relativiste (équation de Schrödinger, cf. question Q23), la particule subit une onde évanescente dans la barrière et le facteur de transmission décroît exponentiellement vers zéro avec l'épaisseur a (|\underline{T}|^2 \propto \mathrm{e}^{-2\kappa a}). Ici, dans le cadre relativiste de Klein–Gordon avec V_0 - E > mc^2, le facteur de transmission ne s'éteint jamais à l'infini : il oscille périodiquement entre |\underline{T}|^2_{\min} = 1/\alpha^2 > 0 et |\underline{T}|^2_{\max} = 1.
• Le paradoxe de Klein : Ce résultat contre-intuitif constitue une illustration du paradoxe de Klein. En théorie quantique des champs relativiste, un champ potentiel électrostatique aussi intense (V_0 - E > mc^2, ou plus rigoureusement V_0 - E > 2mc^2) est capable d'arracher des paires particule-antiparticule au vide à l'interface ; les antiparticules se propagent dans la région de potentiel élevé en transportant le courant, expliquant ainsi la persistance d'une transmission macroscopique sans atténuation spatiale.