Feuille d'entraînement : Effet tunnel

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 MP 2025, Q23

   1. Nature de l'onde dans le domaine x \in [0, a] : Dans cette région, le potentiel est constant et vaut V_0 > E. L'équation de Schrödinger indépendante du temps pour la partie spatiale \underline{\psi}(x) s'écrit :

      -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + V_0\,\underline{\psi}(x) = E\,\underline{\psi}(x) \quad\iff\quad \frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} = \kappa^2\,\underline{\psi}(x)

      en posant \kappa = \dfrac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \in \mathbb{R}^{+*}.

      La solution générale est de la forme \underline{\psi}(x) = A\mathrm{e}^{-\kappa x} + B\mathrm{e}^{\kappa x}. L'onde est donc évanescente (ou non propagative) dans la barrière.

   2. Relations permettant de déterminer \underline{R} et \underline{T} : Le potentiel V(x) présentant des discontinuités de première espèce en x = 0 et x = a, les relations assurant la détermination des coefficients sont les conditions de continuité de la fonction d'onde spatiale et de sa dérivée première :

      \begin{cases} \underline{\psi}(0^-) = \underline{\psi}(0^+) \quad \text{et} \quad \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(0^-) = \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(0^+) \\[8pt] \underline{\psi}(a^-) = \underline{\psi}(a^+) \quad \text{et} \quad \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(a^-) = \dfrac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(a^+) \end{cases}

      Ces quatre équations linéaires permettent d'éliminer les constantes d'intégration A et B et d'obtenir les coefficients de réflexion \underline{R} et de transmission \underline{T}.

   3. Phénomène physique mis en évidence : Il s'agit de l'effet tunnel quantique : une particule dont l'énergie totale E est inférieure à la hauteur V_0 de la barrière de potentiel a une probabilité non nulle de traverser cette région classiquement interdite.

   4. Interprétation physique de |\underline{T}|^2 : Le milieu étant identique pour x < 0 et x > a (V = 0, même impulsion p et même vitesse de groupe), le coefficient de transmission énergétique coïncide avec le rapport des densités de courant de probabilité transmise et incidente :

      \boxed{|\underline{T}|^2 = \mathcal{T}}

      |\underline{T}|^2 représente le coefficient de transmission de la barrière, c'est-à-dire la probabilité pour une particule incidente de franchir la barrière par effet tunnel.

   Résultat

   $$|\underline{T}{|}^2=\mathcal{T}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2023, Q3

   Pour x > 0, l'équation de Schrödinger indépendante du temps régissant la partie spatiale \psi(x) de la particule d'énergie E s'écrit :

   -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}(x) + V \psi(x) = E \psi(x)

   Comme V > E, on réécrit cette équation sous la forme :

   \frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}(x) - K^2 \psi(x) = 0 \quad \text{avec} \quad K = \frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} > 0

   La solution générale est une combinaison linéaire d'exponentielles réelles :

   \psi(x) = A\,\mathrm{e}^{-Kx} + B\,\mathrm{e}^{Kx}

   La région x > 0 étant non bornée vers les x positifs, la fonction d'onde doit rester bornée lorsque x \to +\infty afin d'être physiquement admissible, ce qui impose B = 0.

   Par continuité de \psi en x = 0, on a \psi(0) = A. Il vient ainsi :

   \psi(x) = \psi(0)\,\mathrm{e}^{-Kx} \quad \text{pour } x > 0

   On en déduit l'expression du rapport demandé :

   \boxed{t(x) = \frac{\psi(x)}{\psi(0)} = \exp\left(-\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\,x\right)}

   Résultat

   $$t(x)=\frac{\psi (x)}{\psi (0)}=\exp \left(-\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }x\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 MP 2025, Q24

   Dans le domaine x \in [0, a], le potentiel est constant et vaut V(x) = V_0. Pour une onde monochromatique de pulsation \omega = E/\hbar, la dépendance temporelle est en \mathrm{e}^{-\mathrm{i}Et/\hbar}, de sorte que l'opérateur temporel s'applique selon :

   \left(\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} - V_0\right) \underline{\Psi}(x,t) = (E - V_0)\,\underline{\Psi}(x,t) = \varepsilon\,\underline{\Psi}(x,t)

   avec \varepsilon = E - V_0. L'équation de Klein–Gordon (5) unidimensionnelle devient alors pour \underline{\psi}(x) :

   \hbar^2 c^2 \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + \varepsilon^2 \underline{\psi}(x) = m^2 c^4 \underline{\psi}(x)

   soit, en regroupant les termes :

   \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + \frac{q^2}{\hbar^2}\,\underline{\psi}(x) = 0 \quad \text{avec} \quad q^2 = \frac{\varepsilon^2 - m^2 c^4}{c^2} = \frac{(\varepsilon - mc^2)(\varepsilon + mc^2)}{c^2}

   L'énoncé précise que la barrière est très haute : V_0 - E > mc^2, ce qui équivaut à :

   \varepsilon = E - V_0 < -mc^2

   Les deux facteurs (\varepsilon - mc^2) et (\varepsilon + mc^2) sont donc tous deux strictement négatifs, ce qui assure :

   q^2 > 0

   Par conséquent, q = \sqrt{q^2} et le vecteur d'onde k = q/\hbar sont des grandeurs purement réelles. La solution spatiale s'écrit comme combinaison linéaire d'exponentielles imaginaires pures :

   \underline{\psi}(x) = \underline{A}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{q}{\hbar}x} + \underline{B}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{q}{\hbar}x}

   L'onde totale \underline{\Psi}(x,t) dans la région x \in [0, a] est donc la superposition de deux ondes planes progressives se propageant en sens inverses :

   \boxed{\text{Dans le domaine } x \in [0, a]\text{, l'onde est de nature \textbf{propagative} (ou oscillante, non évanescente).}}

   Résultat

   $$\text{Dans le domaine }x\in [0,a]\text{, l’onde est de nature propagative (ou oscillante, non eˊvanescente).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 MP 2025, Q25

   D'après l'expression fournie par l'énoncé, le module au carré du coefficient de transmission s'écrit :

   \begin{aligned} |\underline{T}|^2 &= \frac{1}{|\cos\varphi - \mathrm{i}\alpha\sin\varphi|^2} \\ &= \frac{1}{\cos^2\varphi + \alpha^2 \sin^2\varphi} \end{aligned}

   En utilisant la relation trigonométrique \cos^2\varphi = 1 - \sin^2\varphi, il vient :

   |\underline{T}|^2 = \frac{1}{1 + (\alpha^2 - 1)\sin^2\varphi}

   Par ailleurs, le facteur \alpha vérifie :

   \alpha = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right) \geqslant 1

   avec égalité si et seulement si p = q. Par conséquent, \alpha^2 - 1 \geqslant 0.

   La fonction f(\varphi) = 1 + (\alpha^2 - 1)\sin^2\varphi atteint sa valeur minimale, égale à 1, lorsque \sin\varphi = 0, c'est-à-dire pour :

   \varphi = \frac{qa}{\hbar} = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   On en déduit immédiatement la valeur maximale :

   \boxed{|\underline{T}|^2_{\max} = 1}

   Commentaires :

   • Transparence totale et résonance : Pour certaines épaisseurs de la barrière telles que a = n\frac{\pi\hbar}{q} = n\frac{\lambda_q}{2} (où \lambda_q = 2\pi\hbar/q est la longueur d'onde de de Broglie dans la barrière), la barrière de potentiel devient totalement transparente (|\underline{T}|^2 = 1). C'est un phénomène analogue aux résonances de transmission d'un interféromètre de Fabry-Pérot ou à l'effet Ramsauer-Townsend.
   • Rupture avec la mécanique classique et l'effet tunnel non relativiste : En mécanique classique, la réflexion est totale (T = 0) dès que E < V_0. En mécanique quantique non relativiste (équation de Schrödinger, cf. question Q23), la particule subit une onde évanescente dans la barrière et le facteur de transmission décroît exponentiellement vers zéro avec l'épaisseur a (|\underline{T}|^2 \propto \mathrm{e}^{-2\kappa a}). Ici, dans le cadre relativiste de Klein–Gordon avec V_0 - E > mc^2, le facteur de transmission ne s'éteint jamais à l'infini : il oscille périodiquement entre |\underline{T}|^2_{\min} = 1/\alpha^2 > 0 et |\underline{T}|^2_{\max} = 1.
   • Le paradoxe de Klein : Ce résultat contre-intuitif constitue une illustration du paradoxe de Klein. En théorie quantique des champs relativiste, un champ potentiel électrostatique aussi intense (V_0 - E > mc^2, ou plus rigoureusement V_0 - E > 2mc^2) est capable d'arracher des paires particule-antiparticule au vide à l'interface ; les antiparticules se propagent dans la région de potentiel élevé en transportant le courant, expliquant ainsi la persistance d'une transmission macroscopique sans atténuation spatiale.

   Résultat

   $$|\underline{T}{|}_{\max }^2=1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique MP 2023, Q2

   Il s'agit de l'effet tunnel (ou effet tunnel quantique).

   En mécanique classique, deux noyaux possédant une énergie mécanique E inférieure au sommet de la barrière de répulsion coulombienne rebroussent chemin au point tournant et ne peuvent jamais s'approcher à une distance inférieure. En mécanique quantique, la fonction d'onde ne s'annule pas à l'entrée de la barrière de potentiel mais s'y atténue de manière exponentielle, ce qui confère une probabilité non nulle de traverser cette barrière même avec E < V.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MP 2023, Q4

   D'après la question Q3, la fonction t(x) sous la barrière (x \ge 0) s'écrit :

   t(x) = \exp(-Kx) \quad \text{avec} \quad K = \frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}

   Dans le cadre de l'approximation proposée, on a :

   \Theta(E) \simeq |t(L)|^2 = \exp(-2KL) = \exp\left(-\frac{2\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} L\right)

   La condition \Theta(E) \ll 1 s'écrit donc :

   2KL \gg 1 \iff KL \gg 1

   soit, en fonction des données du problème :

   \boxed{\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} L \gg 1}

   Ce qui signifie que l'épaisseur L de la barrière est grande devant la longueur d'atténuation caractéristique \delta = 1/K = \hbar/\sqrt{2m(V-E)}.

   Définition du coefficient de transmission :
   Le coefficient de transmission \Theta(E) est défini comme le rapport entre la norme du courant de densité de probabilité transmis j_{\mathrm{trans}} (pour x > L) et celle du courant incident j_{\mathrm{inc}} (pour x < 0) :

   \boxed{\Theta(E) = \frac{j_{\mathrm{trans}}}{j_{\mathrm{inc}}}}

   Le potentiel étant le même de part et d'autre de la barrière (V(x) = 0 pour x < 0 et x > L), les particules transmises et incidentes possèdent le même vecteur d'onde k = \sqrt{2mE}/\hbar et donc la même vitesse ; le rapport des courants s'identifie ainsi au rapport des densités de présence |A_{\mathrm{trans}}|^2 / |A_{\mathrm{inc}}|^2.

   Origine du caractère approximatif de l'expression :
   L'expression proposée n'est qu'approximative pour deux raisons physiques :

   • Sous une barrière de largeur finie L, la fonction d'onde est une superposition de deux termes : une onde évanescente en \mathrm{e}^{-Kx} et une composante réfléchie à l'interface de sortie x = L en \mathrm{e}^{+Kx}. L'expression de la question Q3 correspond à une marche semi-infinie sans réflexion en x = L.
   • Le raccordement des fonctions d'onde et de leurs dérivées aux deux discontinuités de potentiel (x = 0 et x = L) fait apparaître un facteur pré-exponentiel dépendant de E et de V (de l'ordre de 16\frac{E}{V}(1-\frac{E}{V})), lié à la désadaptation d'impédance quantique entre les milieux propagatifs et la région évanescente.

   Lorsque KL \gg 1, l'atténuation exponentielle domine largement et le préfacteur polynomial est d'ordre 1, ce qui justifie l'approximation exponentielle.

   Résultat

   $$\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }L\gg 1$$

   $$\Theta (E)=\frac{j_{\mathrm{trans}}}{j_{\mathrm{inc}}}$$

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7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2020, Q39

   Commentaire de la figure 6 :

   • Dans le vide amont (x < 0) : la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne naissance à un régime d'ondes partiellement stationnaires. La courbe présente une modulation spatiale périodique résultant des interférences entre les deux ondes se propageant en sens inverses, oscillant entre des ventres et des nœuds.
   • Dans la voile métallique (0 < x < a) : l'onde pénètre dans le conducteur sous forme d'onde atténuée. La grandeur décroît de façon exponentielle en fonction de x, caractéristique de l'effet de peau sur une longueur caractéristique \delta. L'épaisseur a de la voile étant du même ordre de grandeur que l'épaisseur de peau \delta, l'onde n'est pas totalement amortie lorsqu'elle atteint la face de sortie en x = a.
   • Dans le vide aval (x > a) : l'onde transmise au-delà de la voile se propage sous la forme d'une onde plane progressive pure dans le sens des x croissants. En l'absence d'onde réfléchie revenant de l'infini, il n'y a pas d'interférence et la puissance transportée est uniforme (valeur constante strictement positive).

   Phénomène analogue :

   Cette situation est directement analogue à :

   • L'effet tunnel en mécanique quantique, où une fonction d'onde associée à une particule d'énergie E < V_0 traverse une barrière de potentiel rectangulaire d'épaisseur finie a grâce au raccordement d'une onde évanescente dans la barrière, conférant une probabilité de transmission non nulle au-delà de celle-ci ;
   • La réflexion totale frustrée en optique (ou effet tunnel photonique), où une onde évanescente établie dans un milieu d'indice plus faible d'épaisseur micrométrique est convertie en onde progressive transmise dans un troisième milieu diélectrique.

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8. Exercice 8X-ENS Physique MP 2023, Q6

   À grande distance l'un de l'autre (x \to +\infty), le potentiel coulombien tend vers zéro (V(x) \to 0). L'énergie mécanique totale du mouvement relatif s'identifie donc à son énergie cinétique initiale :

   E_{\mathrm{m}} = E

   La zone interdite au sens de la mécanique classique correspond à la région où l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie mécanique, soit V(x) > E. La frontière de cette barrière, correspondant au point d'arrêt (ou de rebroussement classique), est la position x = L telle que :

   V(L) = E

   En utilisant l'expression du potentiel électrostatique obtenue à la question Q5 :

   \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 L} = E

   Puisque la fusion nécessite que les protons atteignent la distance x = 0, la barrière de potentiel s'étend sur le segment [0, L]. Sa longueur est donc donnée par :

   \boxed{L = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 E}}

   Résultat

   $$L=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}E}$$

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9. Exercice 9X-ENS Physique MP 2023, Q7

   D'après les questions Q3 et Q4, le coefficient de transmission pour une barrière rectangulaire s'écrit dans la limite d'effet tunnel faible (\Theta(E) \ll 1) :

   \Theta(E) = \exp\left(-\frac{2\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} L\right)

   En appliquant la substitution proposée par la formule (1) de l'énoncé au cas d'un potentiel continu V(x), on obtient :

   \Theta(E) = \exp\left(-\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar} \int_0^L \sqrt{V(x)-E}\,\mathrm{d}x\right)

   D'après les questions Q5 et Q6, l'énergie potentielle coulombienne s'écrit V(x) = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 x} et la longueur de la barrière vaut L = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 E}, si bien que :

   V(x) - E = E\left(\frac{L}{x} - 1\right)

   L'intégrale se met alors sous la forme :

   I = \int_0^L \sqrt{V(x)-E}\,\mathrm{d}x = \sqrt{E} \int_0^L \sqrt{\frac{L}{x}-1}\,\mathrm{d}x

   En effectuant le changement de variable u = \dfrac{x}{L}, avec \mathrm{d}x = L\,\mathrm{d}u, et en utilisant l'intégrale fournie par la relation (2) :

   I = L\sqrt{E} \int_0^1 \left(\frac{1}{u}-1\right)^{1/2}\mathrm{d}u = L\sqrt{E} \times \frac{\pi}{2}

   En remplaçant L par son expression en fonction de E :

   I = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 E} \sqrt{E} \times \frac{\pi}{2} = \frac{e^2}{8\varepsilon_0\sqrt{E}}

   L'argument de l'exponentielle dans l'expression de \Theta(E) devient ainsi :

   -\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar} I = -\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar} \frac{e^2}{8\varepsilon_0\sqrt{E}} = -\frac{\sqrt{2m}\,e^2}{4\varepsilon_0\hbar\sqrt{E}}

   On met cette expression sous la forme demandée \Theta(E) = \exp\left(-\left(\dfrac{E_G}{E}\right)^{1/2}\right) avec :

   \sqrt{E_G} = \frac{\sqrt{2m}\,e^2}{4\varepsilon_0\hbar}

   En élevant au carré, on obtient l'énergie de Gamow :

   \boxed{E_G = \frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2\hbar^2} = \frac{\pi^2 m e^4}{2\varepsilon_0^2 h^2}}

   Le coefficient de transmission s'écrit bien :

   \boxed{\Theta(E) = \exp\left(-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right)}

   Résultat

   $$E_G=\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{\hslash }^2}=\frac{{\pi }^{2}m{e}^4}{2{\epsilon }_0^2{h}^2}$$

   $$\Theta (E)=\exp \left(-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right)$$

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10. Exercice 10X-ENS Physique MP 2023, Q8

    D'après la question Q7, le coefficient de transmission par effet tunnel s'écrit pour E > 0 :

    \Theta(E) = \exp\left(-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right)

    Étudions les variations de cette fonction :

    • Limites aux bornes :

      \begin{aligned} \lim_{E \to 0^+} \Theta(E) &= 0 \\ \lim_{E \to +\infty} \Theta(E) &= 1 \end{aligned}

      La droite d'équation \Theta = 1 est asymptote horizontale en +\infty.

    • Dérivée première :

      \frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}E}(E) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{E_G}{E^3}} \exp\left(-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right) > 0 \quad \text{pour tout } E > 0

      La fonction \Theta est strictement croissante sur ]0, +\infty[. Par croissances comparées, \lim_{E \to 0^+} \frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}E}(E) = 0 : la courbe admet une tangente horizontale à l'origine.

    • Dérivée seconde et convexité :

      \frac{\mathrm{d}^2\Theta}{\mathrm{d}E^2}(E) = \frac{\sqrt{E_G}}{4 E^{5/2}} \left(\sqrt{\frac{E_G}{E}} - 3\right) \exp\left(-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right)

      La courbe est convexe pour E < \frac{E_G}{9} et concave pour E > \frac{E_G}{9}, présentant un point d'inflexion en E = \frac{E_G}{9} pour lequel \Theta(E_G/9) = \mathrm{e}^{-3} \simeq 0{,}050.

    Indice, stratégie et pièges de cette question