Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2020

Le domaine du spectre visible s'étend pour l'œil humain d'environ 400\text{ nm} (violet) à 750\text{ nm} (rouge). Le domaine des ultraviolets (UV) s'étend immédiatement en deçà du visible, pour des longueurs d'onde comprises entre 10\text{ nm} et 400\text{ nm}. L'intervalle de longueurs d'onde représenté sur la figure 2 s'étend de 200\text{ nm} à 350\text{ nm} : il est intégralement inclus dans la gamme des UV (subdivisée en UVc, UVb et UVa).

L'énergie portée par un photon associé à une onde électromagnétique de longueur d'onde \lambda est donnée par la relation de Planck-Einstein :

Pour \lambda \in [200\text{ nm}, 350\text{ nm}], l'énergie d'un photon vaut typiquement :

Un rayonnement est qualifié d'ionisant lorsque l'énergie individuelle des quanta (photons) incidents est suffisante pour arracher un électron aux atomes ou molécules de la matière avec laquelle il interagit, formant ainsi des ions.

Les photons ultraviolets (en particulier les UVc et les UVb de courtes longueurs d'onde, voire les UV extrêmes) possèdent une énergie photonique suffisante pour excéder le potentiel d'ionisation de certaines molécules biologiques ou organiques et rompre des liaisons covalentes par ionisation directe.

D'après la figure 2, la couche d'ozone absorbe la quasi-totalité des rayonnements ultraviolets les plus énergétiques émis par le Soleil :

• 100\,\% des rayons UVc (\lambda < 280\text{ nm}), les plus ionisants et létaux ;
• environ 90\,\% des rayons UVb (280\text{ nm} \leqslant \lambda \leqslant 315\text{ nm}).

Les photons correspondants possèdent une énergie suffisante pour rompre des liaisons covalentes au sein des molécules biologiques fondamentales (notamment les liaisons de la molécule d'ADN et des protéines), provoquant des mutations génétiques, des cancers cutanés et la destruction cellulaire.

En filtrant ces rayonnements hautement nocifs, la couche d'ozone agit comme un bouclier biologique indispensable au maintien et au développement de la vie terrestre hors du milieu aquatique profond.

D'après les données fournies en fin d'énoncé, le numéro atomique de l'oxygène est Z = 8. L'atome d'oxygène neutre possède donc 8 électrons à répartir sur les sous-couches électroniques selon la règle de Klechkowski et le principe d'exclusion de Pauli :

• la sous-couche 1s accueille au maximum 2 électrons ;
• la sous-couche 2s accueille au maximum 2 électrons ;
• la sous-couche 2p accueille les 4 électrons restants.

La configuration électronique de l'oxygène dans son état fondamental s'écrit donc :

D'après la question Q3, chaque atome d'oxygène (Z = 8) possède 6 électrons de valence (couche 2s^2 2p^4).

Pour la molécule de dioxygène \mathrm{O}_2, le nombre total d'électrons de valence est :

ce qui correspond à un ensemble de n_d = \frac{12}{2} = 6 doublets électroniques.

Pour que chaque atome d'oxygène satisfasse à la règle de l'octet (entouré de 4 doublets, soit 8 électrons) sans porter de charge formelle, les deux atomes partagent deux doublets liants (formation d'une liaison double) et conservent chacun deux doublets non liants.

La représentation de Lewis de la molécule de dioxygène est donc :

soit formellement :

D'après la question Q3, chaque atome d'oxygène possède n_v = 6 électrons de valence. Pour la molécule \mathrm{O}_3, le nombre total d'électrons de valence à répartir est :

L'oxygène appartenant à la deuxième période du tableau périodique, il ne peut pas être hypervalent et doit respecter la règle de l'octet. La molécule n'étant pas cyclique, elle présente un atome d'oxygène central lié à deux atomes d'oxygène terminaux.

Pour satisfaire l'octet sur chaque atome avec 9 doublets :

• L'un des atomes terminaux est lié par une double liaison et porte 2 doublets non liants (charge formelle nulle).
• L'atome central est lié par une double liaison et une liaison simple, et porte 1 doublet non liant (charge formelle +e).
• Le second atome terminal est lié par une simple liaison et porte 3 doublets non liants (charge formelle -e).

La molécule est décrite par deux formes mésomères limites de même poids statistique :

D'après les formes mésomères limites établies à la question Q5 :

l'hybride de résonance fait apparaître :

• une charge partielle positive +\delta sur l'atome d'oxygène central ;
• une charge partielle négative -\delta/2 sur chacun des deux atomes d'oxygène terminaux (avec \delta \approx 1).

Bien que les trois atomes soient chimiquement identiques (oxygène), la délocalisation électronique entraîne une dissymétrie de charge entre le centre et la périphérie.

La molécule adopte une géométrie coudée (angle de valence de 117^\circ \neq 180^\circ) de symétrie C_{2v} :

• Le barycentre G_+ des charges positives se situe sur l'atome d'oxygène central.
• Le barycentre G_- des charges partielles négatives portées par les deux atomes terminaux se situe sur l'axe de symétrie (bissectrice de l'angle \widehat{\mathrm{OOO}}), au milieu du segment reliant les deux oxygènes terminaux.

Ces deux barycentres G_+ et G_- ne sont pas confondus (G_+ \neq G_-) : la molécule possède donc un moment dipolaire permanent non nul \vec{\mu} \neq \vec{0}.

Selon la convention de la physique (adoptée au programme), le vecteur moment dipolaire est orienté du barycentre des charges négatives vers le barycentre des charges positives :

Il est porté par l'axe de symétrie moléculaire (bissectrice de l'angle) et dirigé des oxygènes terminaux vers l'oxygène central.

L'équation de la réaction s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de réaction à T = 298\text{ K} vaut :

Le dioxygène \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} étant le corps simple de référence pour l'élément oxygène dans son état standard, \Delta_f H^\circ(\mathrm{O}_2) = 0. Il vient :

L'entropie standard de réaction s'exprime selon :

L'enthalpie libre standard de la réaction à T = 298\text{ K} est alors :

La constante d'équilibre thermodynamique K^\circ est reliée à \Delta_r G^\circ par :

Application numérique avec R = 8{,}314\text{ J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{mol}^{-1} et T = 298\text{ K} :

d'où :

À l'équilibre thermodynamique à T = 298\text{ K} (25\text{ }^\circ\mathrm{C}) pour la réaction 3\,\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} = 2\,\mathrm{O}_{3(\mathrm{g})}, la loi d'action de masse s'écrit :

où P^\circ = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} est la pression standard.

On en déduit l'expression de la pression partielle en ozone :

Au niveau du sol, la pression atmosphérique totale vaut P_{\mathrm{atm}} \approx 1{,}0\text{ bar} \approx P^\circ. Le dioxygène représentant une fraction molaire x_{\mathrm{O}_2} \approx 0{,}21 de l'air, sa pression partielle est :

En utilisant la constante d'équilibre calculée à la question Q7 (K^\circ \approx 1{,}2 \times 10^{-57}) :

D'où la pression partielle en ozone au niveau du sol :

L'équilibre considéré est :

Le quotient réactionnel s'exprime en fonction des fractions molaires x_i et de la pression totale P :

À l'équilibre, le rapport molaire vaut donc :

1. Dans la troposphère (de 0 à environ 12 km d'altitude) :

• Effet de la température : d'après la figure 1, la température diminue avec l'altitude (de \approx 15\text{ }^\circ\mathrm{C} au sol à \approx -55\text{ }^\circ\mathrm{C} à la tropopause). Or, la réaction est endothermique (\Delta_r H^\circ > 0), donc selon la loi de van 't Hoff :

  \frac{\mathrm{d}\ln K^\circ}{\mathrm{d}T} = \frac{\Delta_r H^\circ}{R\,T^2} > 0

  La constante K^\circ(T) diminue lorsque la température baisse : le refroidissement déplace l'équilibre dans le sens endothermique inverse (sens indirect, c'est-à-dire dissociation de \mathrm{O}_3).

• Effet de la pression : la pression totale P diminue avec l'altitude. Selon le principe de modération de Le Chatelier, une diminution de pression favorise le sens conduisant à une augmentation de la quantité de matière gazeuse (\Delta_r\nu_g = -1 < 0), soit le sens indirect (destruction de \mathrm{O}_3).

Les deux effets agissent de concert :

2. Dans la stratosphère (d'environ 12 km à 50 km d'altitude) :

• D'après la figure 1, la température y augmente avec l'altitude (jusqu'à environ 0\text{ }^\circ\mathrm{C} vers 50 km). Cette hausse de température tend à déplacer l'équilibre dans le sens direct (formation de \mathrm{O}_3).
• En revanche, la pression atmosphérique continue de décroître avec l'altitude, ce qui favorise le sens indirect.

D'après le mécanisme réactionnel proposé :

• La première étape (I.1) nécessite des photons ultra-violets énergétiques (\lambda < 240\text{ nm}) pour dissocier \mathrm{O}_2 et produire les radicaux \mathrm{O}^\bullet ;
• La seconde étape (I.2) requiert la rencontre entre un radical \mathrm{O}^\bullet et une molécule de dioxygène \mathrm{O}_2 pour former \mathrm{O}_3.

Ces deux éléments varient de façon antagoniste avec l'altitude z :

1. À haute altitude (au-dessus de 50\text{ km}, dans la mésosphère et la thermosphère), le flux solaire UV incident est très intense car il n'a pas encore été atténué par l'atmosphère. En revanche, la densité atmosphérique décroît exponentiellement avec l'altitude : la concentration en molécules de dioxygène [\mathrm{O}_2] y est extrêmement faible. Les chocs entre \mathrm{O}^\bullet et \mathrm{O}_2 sont donc très rares, limitant la formation de \mathrm{O}_3.
2. À basse altitude (dans la troposphère, z < 15\text{ km}), la densité en dioxygène [\mathrm{O}_2] est maximale. Toutefois, le rayonnement UV de courte longueur d'onde (\lambda < 240\text{ nm}) a été presque intégralement absorbé par les couches supérieures de l'atmosphère (phénomène de filtration UV). La dissociation photochimique du dioxygène n'a donc quasiment plus lieu, ce qui rend la concentration en radicaux \mathrm{O}^\bullet quasi nulle et empêche la synthèse d'ozone par cette voie.

La dissociation photochimique du dioxygène s'écrit selon la réaction d'équilibre (I.1) :

En modélisant les espèces gazeuses par des gaz parfaits, l'activité d'un constituant gazeux i s'exprime par :

où P^\circ = 1\text{ bar} est la pression standard de référence.

La loi d'action des masses appliquée à cet équilibre s'écrit :

Les pressions partielles étant des grandeurs strictement positives, on en déduit :

Si les pressions partielles sont directement exprimées en bars (P^\circ = 1\text{ bar}), cette relation se simplifie en :

D'après l'énoncé, la réaction (I.2) :

obéit à la loi de van't Hoff. La vitesse de formation de \mathrm{O}_3 s'écrit donc :

Pour un mélange de gaz parfaits à température T, la concentration d'une espèce i est directement proportionnelle à sa pression partielle : [i] = \frac{P_i}{R T}. La vitesse peut ainsi s'exprimer en fonction des pressions partielles sous la forme :

D'après le résultat de la question Q11, l'équilibre photochimique rapide (I.1) impose :

En reportant cette expression dans la vitesse de formation de l'ozone, on obtient :

L'exposant de P_{\mathrm{O}_2} dans la loi de vitesse globale est donc égal à 3/2.

Notons D_{TE} la distance séparant la Terre de Proxima du Centaure. D'après l'inégalité triangulaire appliquée au triangle Soleil–Terre–Étoile, cette distance est encadrée par :

L'écart relatif maximal entre la distance Terre–étoile et la distance Soleil–étoile s'écrit donc :

À l'aide des données de l'énoncé (D_E = 3,99 \times 10^{13}\text{ km} et D_{TS} = 1,50 \times 10^{8}\text{ km}) :

Cet écart relatif est de l'ordre de 4 \times 10^{-6}, soit environ 0{,}0004\,\%, ce qui est totalement négligeable devant la précision à trois chiffres significatifs avec laquelle est donnée la distance de l'étoile (4{,}22\text{ a.l.}).

L'étoile Proxima Centauri est située à une distance D_E \approx 4{,}22\text{ a.l.} \approx 4{,}0 \times 10^{16}\text{ m} de l'instrument d'optique, ce qui est immensément grand devant la distance focale f'_1 = 8\text{ m} de la lentille objectif L_1. L'étoile constitue donc un objet situé à l'infini sur l'axe optique (\overline{O_1 A} \to -\infty).

La relation de conjugaison de Descartes avec origines au centre optique s'écrit :

Comme \lim_{\overline{O_1 A} \to -\infty} \frac{1}{\overline{O_1 A}} = 0, on obtient directement :

Le point A_1, image du centre A de l'étoile, est donc confondu avec le foyer principal image F'_1 de la lentille L_1.

Par conséquent, l'image intermédiaire A_1 B_1 est située dans le plan focal image de la lentille objectif L_1 :

Le centre A de l'étoile étant situé sur l'axe optique et B désignant un point situé sur le bord (limbe) de l'étoile, la distance AB correspond au rayon R_E de l'étoile.

La distance D_E séparant l'étoile de l'instrument étant gigantesque devant R_E, le rayon angulaire \theta sous lequel est vu le rayon de l'étoile s'écrit, dans le cadre de l'approximation des petits angles :

Le rayon lumineux issu de B passant par le centre optique O_1 de la lentille L_1 n'est pas dévié et émerge en faisant un angle \theta avec l'axe optique.

Ce rayon coupe le plan focal image de la lentille L_1, où se forme l'image intermédiaire (d'après la question Q14), au point image B_1. Dans le triangle rectangle O_1 A_1 B_1 (rectangle en A_1 = F'_1), on a :

En utilisant l'approximation des petits angles (\theta \ll 1\text{ rad}), il vient immédiatement :

Application numérique :

L'image intermédiaire A_1B_1 joue le rôle d'objet pour la lentille divergente L_2. Le grandissement transversal associé à L_2 est donné par :

L'image définitive A'B' devant être non inversée par rapport à A_1B_1 et agrandie d'un facteur 4, le grandissement est strictement positif et vaut :

On en déduit la relation entre les positions image et objet :

Injectons cette relation dans la formule de conjugaison de Descartes appliquée à la lentille L_2 de distance focale f'_2 :

Il vient ainsi :

Avec f'_2 = -0{,}02\text{ m} = -2{,}0\text{ cm}, on obtient :

On vérifie au passage la réalité de l'image :

L'image A'B' se forme bien après la lentille L_2 dans le sens de propagation de la lumière ; elle est donc bien réelle.

D'après la question Q14, l'image intermédiaire est située dans le plan focal image de la première lentille, soit \overline{O_1 A_1} = f'_1 = 8\text{ m}. Par relation de Chasles :

En effectuant l'application numérique :

La distance séparant les deux lentilles est donc :

D'après les résultats de la question Q16 :

• la lentille L_2 est divergente, de foyers \overline{O_2 F'_2} = f'_2 = -2{,}0\text{ cm} et \overline{O_2 F_2} = -f'_2 = +2{,}0\text{ cm} ;
• A_1 B_1 est un objet virtuel pour L_2, situé entre la lentille et son foyer objet : \overline{O_2 A_1} = +1{,}5\text{ cm} ;
• A' B' est une image réelle, droite et agrandie : \overline{O_2 A'} = +6{,}0\text{ cm} avec un grandissement \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A_1B_1}} = +4.

Pour construire l'image du point objet virtuel B_1, on utilise deux rayons lumineux incidents (issus de la lentille L_1) convergeant vers B_1 :

1. un rayon incident passant par le centre optique O_2 en direction de B_1, qui traverse la lentille sans être dévié et émerge en direction de B' ;
2. un rayon incident parallèle à l'axe optique à la hauteur de B_1, qui convergeait vers B_1 en l'absence de L_2 ; après traversée de la lentille divergente, il émerge en semblant provenir du foyer principal image F'_2 et coupe le premier rayon au point B'.

L'image définitive A'B' se forme bien par intersection effective des rayons lumineux réfractés en aval de la lentille : elle est réelle, droite (\gamma > 0) et agrandie.

D'après la question Q15, la demi-taille (rayon) de l'image intermédiaire est :

La lentille de projection L_2 réalise un grandissement transversal de \gamma = 4 (question Q16). La taille du rayon de l'image définitive A'B' sur la plaque est donc :

Le diamètre géométrique total de l'image de l'étoile vaut ainsi :

La plaque photographique est constituée de cristaux de chlorure d'argent de taille élémentaire :

On constate que la dimension géométrique de l'image est très inférieure à la résolution spatiale intrinsèque du détecteur :

L'image géométrique de l'étoile est entièrement contenue à l'intérieur d'un seul grain d'émulsion photographique : elle ne peut pas être résolue spatialement.

Le capteur CCD possède une surface totale égale à celle de la plaque photographique originelle :

Ce capteur comporte N = 100\text{ millions} = 1{,}00 \times 10^8\text{ pixels}. En supposant des pixels carrés de côté p, la surface élémentaire d'un pixel s'écrit :

La taille d'un pixel est donc :

D'après les questions Q15 et Q18, le diamètre géométrique de l'image définitive de l'étoile est :

On constate que la taille géométrique de l'image est nettement inférieure aux dimensions d'un pixel du capteur :

L'image géométrique est entièrement contenue à l'intérieur d'un seul pixel.

Soit \mathcal{E}_{\odot} l'émittance énergétique surfacique du Soleil dans le visible et \Pi_{\odot} = 600\text{ W}\cdot\mathrm{m}^{-2} la puissance surfacique reçue sur Terre. En assimilant le rayonnement à une émission isotrope dans le demi-espace extérieur :

En faisant l'hypothèse d'une émittance énergétique dans le visible comparable pour Proxima Centauri (\mathcal{E}_E \approx \mathcal{E}_{\odot}), la puissance surfacique reçue sur Terre en provenance de Proxima Centauri s'écrit :

Application numérique :

D'où la puissance surfacique reçue de l'étoile :

La surface collectrice de la lentille d'entrée L_1 de diamètre D_1 = 50\text{ cm} = 0{,}50\text{ m} est :

La puissance totale reçue par l'instrument est donc :

L'énergie d'un photon à la longueur d'onde moyenne d'observation \lambda_{\text{obs}} = 600\text{ nm} vaut :

Le débit de photons incidents est ainsi remarquablement proche d'une valeur ronde :

Pour une durée d'exposition \Delta t = 12\text{ min} = 720\text{ s} et une efficacité quantique \mathrm{QE} = 30\% = 0{,}30, le nombre d'électrons générés dans le signal est :

La charge électrique totale correspondante produite par le capteur est :

La lentille d'entrée L_1, de contour circulaire de diamètre D_1 = 50\text{ cm}, diaphragme l'onde incidente et donne lieu au phénomène de diffraction à l'infini (figure d'Airy).

Le demi-angle au sommet du premier anneau sombre (rayon angulaire de la tache d'Airy) s'écrit :

Avec \lambda_{\text{obs}} = 600\text{ nm} et D_1 = 0{,}50\text{ m} :

Or, le diamètre angulaire apparent de Proxima Centauri vaut (d'après les données de la partie II.C) :

On constate que \theta_{\text{diff}} \gg \alpha (la limite de diffraction est environ 300 fois plus grande que l'étoile).

Au niveau du plan du capteur, après le grandissement transversal |\gamma_2| = 4 imposé par la lentille L_2, le diamètre de la tache d'Airy vaut :

Cette tache s'étend sur une dizaine de grains photographiques (d_{\text{grain}} = 10\text{ }\mu\mathrm{m}) ou sur une trentaine de pixels du capteur CCD (p \approx 2{,}9\text{ }\mu\mathrm{m}).

D'après la figure 4 et le texte de l'énoncé, la parallaxe P_E mesure l'écart angulaire total observé pour Proxima Centauri entre deux positions O_1 et O_2 diamétralement opposées de la Terre sur son orbite. Le triangle O_1 S E est rectangle en S, le côté opposé à l'angle en E est le rayon de l'orbite terrestre S O_1 = D_{TS}, et l'angle sous-tendu par ce rayon depuis l'étoile est la demi-parallaxe \theta = \frac{P_E}{2}.

On a donc :

L'angle étant extrêmement petit (P_E \ll 1\text{ rad}), on effectue l'approximation \tan\left(\frac{P_E}{2}\right) \approx \frac{P_E}{2} :

Convertissons la parallaxe P_E en radians :

Avec D_{TS} = 1{,}50 \times 10^{8}\text{ km} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m} :

Convertissons cette distance en années-lumière (1\text{ an} \approx 365{,}25\text{ j} = 3{,}156 \times 10^{7}\text{ s}) :

Cette valeur est en excellent accord avec celle fournie dans le préambule de la partie II (D_E = 3{,}99 \times 10^{13}\text{ km} = 4{,}22\text{ a.l.}), l'écart relatif n'étant que de :

D'après la première loi de Kepler, dans le référentiel de Copernic (héliocentrique, supposé galiléen), la Terre décrit une trajectoire fermée qui est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

En coordonnées polaires (r, \theta) de pôle le foyer solaire et d'axe orienté vers le périhélie, la distance Terre-Soleil s'exprime par :

où p est le paramètre de la conique et e son excentricité (0 < e < 1).

L'orbite terrestre n'étant pas parfaitement circulaire (l'excentricité vaut e \approx 0{,}0167 \neq 0), la distance r varie continûment au cours d'une révolution annuelle :

• elle passe par un minimum au périhélie (début janvier) :

  r_{\min} = a(1 - e) \approx 1{,}47 \times 10^8\text{ km}

• elle passe par un maximum à l'aphélie (début juillet) :

  r_{\max} = a(1 + e) \approx 1{,}52 \times 10^8\text{ km}

où a \approx D_{TS} = 1{,}50 \times 10^8\text{ km} est le demi-grand axe de l'orbite.

La source ponctuelle S étant située à l'infini sur l'axe optique, les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique et atteignent les deux ouvertures T_1 et T_2 en phase :

Les trous T_1 et T_2 diffractent la lumière dans toutes les directions. Les rayons lumineux qui convergent au point M, situé à l'ordonnée x dans le plan focal image de la lentille convergente L_1, forment avant la lentille un faisceau de rayons parallèles entre eux, faisant avec l'axe optique un angle \theta donné par les conditions de Gauss :

D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde associées à ce faisceau sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation \theta. Le chemin optique entre un tel plan d'onde \Sigma et le foyer secondaire M est identique pour tous les rayons :

En traçant le plan d'onde passant par T_1, celui-ci coupe le rayon issu de T_2 en un point noté H, tel que (T_1 H) est perpendiculaire à ce rayon. On a alors [T_1 M] = [H M]. La différence de marche entre les deux rayons au point M s'écrit donc :

Dans le triangle rectangle T_1 T_2 H, l'angle en T_1 vaut \theta, d'où :

Par définition, l'ordre d'interférence en un point M éclairé par une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda est le quotient de la différence de chemin optique \delta_S(M) par \lambda :

La source S étant située à l'infini sur l'axe optique, l'onde incidente est plane et arrive en incidence normale sur le plan des trous d'Young T_1 et T_2, de sorte que :

D'après le résultat de la question Q24, les deux rayons émergent de la lentille avec un angle d'inclinaison \theta \simeq \frac{x}{f'_1} dans les conditions de Gauss et convergent au point M du plan focal image. La différence de marche géométrique entre ces deux rayons s'écrit :

On en déduit l'expression de l'ordre d'interférence produit par la source S en tout point M d'abscisse x :

D'après l'expression de l'ordre d'interférence établie à la question Q25 :

on déduit les caractéristiques géométriques de la figure d'interférences dans le plan focal image de L_1 :

• Lignes d'égal ordre d'interférence : p_S(M) ne dépend que de la coordonnée x. Les lignes d'intensité constante sont donc des droites rectilignes perpendiculaires à la direction joignant les deux trous T_1 et T_2.
• Franges brillantes et sombres : les franges brillantes correspondent à p_S(M) = k avec k \in \mathbb{Z} et les franges sombres à p_S(M) = k + \frac{1}{2}. On observe ainsi une alternance régulière de franges brillantes et sombres.
• Frange centrale : en x = 0 (foyer image F'_1), p_S(0) = 0, la frange centrale est brillante et achromatique.
• Interfrange : la distance séparant deux franges brillantes consécutives est constante et s'écrit :

La figure d'interférences est donc constituée de franges rectilignes, équidistantes, parallèles entre elles et perpendiculaires à la ligne joignant les deux trous T_1 et T_2.

Les deux trous d'Young T_1 et T_2 étant de taille identique, ils émettent chacun une onde de même intensité I_1 = I_2 = \dfrac{I_0}{2}, où I_0 représente l'intensité lumineuse moyenne dans le plan d'observation.

D'après la formule de Fresnel pour des interférences à deux ondes synchrones et cohérentes, le déphasage entre les deux ondes en un point M s'écrit :

où p_S(M) est l'ordre d'interférence établi en question Q25 et i = \dfrac{\lambda f'_1}{a} l'interfrange défini en question Q26.

L'intensité lumineuse au point M s'exprime donc par :

ou, sous forme équivalente :

La différence de marche totale entre le rayon (2) passant par T_2 et le rayon (1) passant par T_1 s'écrit :

• En amont : les rayons incidents issus de S' forment un faisceau parallèle incliné d'un angle \theta_0 = \alpha/2. La surface d'onde incidente \Sigma_1 passant par T_1 est un plan orthogonal à ces rayons. En notant H_1 le projeté orthogonal de T_1 sur le rayon incident passant par T_2, la différence de marche amont s'identifie à la longueur du segment :

  \delta_{\text{amont}} = H_1 T_2 \simeq a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \simeq a\,\frac{\alpha}{2}

• En aval : d'après le théorème de Malus appliqué au stigmatisme rigoureux entre une onde plane inclinée de \theta \simeq x/f'_1 et son point de convergence M dans le plan focal image, le chemin optique depuis un plan d'onde fictif \Sigma_2 orthogonal à cette direction jusqu'au point M est constant. En notant H_2 le projeté orthogonal de T_1 sur cette direction, la différence de marche aval s'identifie à :

  \delta_{\text{aval}} = [T_2 M] - [T_1 M] = H_2 T_2 \simeq a \sin\theta \simeq a\,\frac{x}{f'_1}

La différence de marche totale entre les deux rayons interférant en M est ainsi représentée par :

L'ordre d'interférence produit en un point M par une onde monochromatique de longueur d'onde \lambda est défini par :

où \delta_{S'}(M) = [S' T_2 M] - [S' T_1 M] est la différence de chemin optique entre les deux rayons issus de S' et interférant en M.

Comme établi à la question Q28, cette différence de marche se décompose en une contribution amont et une contribution aval :

• En amont : l'onde plane issue de S' arrive sur le plan des trous d'Young avec un angle d'incidence \theta_0 = \alpha/2 par rapport à l'axe optique. Le front d'onde atteint la fente T_1 avant la fente T_2, d'où :

  \delta_{\text{amont}} = (S' T_2) - (S' T_1) = a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \simeq a \, \frac{\alpha}{2}

  dans l'approximation des petits angles (\alpha \ll 1).

• En aval : d'après le théorème de Malus et le résultat de la question Q24 pour un point M situé à la cote x dans le plan focal image de L_1 :

  \delta_{\text{aval}} = [T_2 M] - [T_1 M] \simeq a \, \frac{x}{f'_1}

La différence de marche totale vaut ainsi :

On en déduit l'expression de l'ordre d'interférence :

Les deux sources ponctuelles S et S' étant situées en deux points distincts de l'étoile, leurs émissions lumineuses sont mutuellement incohérentes. L'intensité totale observée au point M s'obtient donc par sommation des intensités issues de chaque source :

D'après la question Q27, chaque source prise individuellement donne un système de franges rectilignes de même interfrange i = \frac{\lambda \, f'_1}{a} et de même contraste :

L'intensité résultante s'écrit alors :

Le contraste des franges d'interférence s'annule, ce qui correspond à un brouillage complet, lorsque le facteur modulateur s'annule :

Physiquement, les maxima d'intensité du système de franges produit par S coïncident avec les minima du système produit par S'. La plus petite valeur positive non nulle de l'écart d'ordre d'interférence est :

En utilisant le résultat de la question Q29, p_{S'}(M) - p_S(M) = \frac{a\,\alpha}{2\lambda}, on obtient :

La plus petite distance a entre les ouvertures conduisant au brouillage est donc :

D'après la question Q30, la plus petite valeur de la distance a entre les ouvertures conduisant au brouillage est :

Convertissons le diamètre angulaire \alpha en radians :

Avec \lambda_{\mathrm{obs}} = 600\text{ nm} = 6{,}00 \times 10^{-7}\text{ m} :

En tenant compte de l'incertitude sur \alpha (\Delta \alpha / \alpha \simeq 0{,}08 / 1{,}02 \simeq 8\,\%, soit \Delta a \simeq 10\text{ m}) :

Commentaires :

• Cette distance a \sim 120\text{ m} est de l'ordre de la centaine de mètres. Il est techniquement impossible de fabriquer un télescope à miroir unique (monolithique) d'une telle envergure (les plus grands miroirs monolithiques actuels atteignent environ 8\text{ à }10\text{ m} de diamètre).
• C'est tout l'intérêt de l'interférométrie stellaire (mode interférométrique du VLT, le VLTI) : en combinant de façon cohérente les faisceaux lumineux issus de plusieurs télescopes distincts distants de plus d'une centaine de mètres, on synthétise une ouverture équivalente géante de diamètre a, ce qui permet de mesurer des diamètres angulaires extrêmement faibles (de l'ordre du millième de seconde d'arc).

Une étoile réelle est une source étendue spatialement incohérente : deux points sources distincts n'ont aucune relation de phase fixe, si bien que l'intensité lumineuse totale dans le plan d'observation résulte de la superposition des intensités (et non des amplitudes) produites par chaque point de l'étoile :

Chaque point source d'abscisse angulaire \theta \in [-\alpha/2,\, +\alpha/2] engendre un système de franges rectilignes de même interfrange i = \frac{\lambda f'_1}{a}, mais décalé spatialement de \Delta x(\theta) = -f'_1 \theta.

Pour la valeur a \simeq \frac{\lambda}{\alpha}, deux points distants angulairement de \Delta \theta = \frac{\alpha}{2} (comme le centre S et le bord S') produisent deux systèmes de franges décalés d'un demi-interfrange :

Les maxima lumineux de l'un coïncident alors exactement avec les minima de l'autre.

Or, on peut décomposer par la pensée le disque stellaire en couples de régions homologues distantes de l'ordre de \alpha/2 : pour chacune de ces paires de sous-sources, les figures d'interférences se compensent mutuellement, ce qui conduit à une uniformisation de l'éclairement et donc au brouillage global de la figure d'interférences.

Dans le vide de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell conduisent à l'équation de d'Alembert pour le champ électrique :

avec c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} la célérité de la lumière dans le vide.

L'onde incidente se propageant selon l'axe (Ox) est décrite en notation complexe par :

Le laplacien vectoriel se réduit ici à :

et la dérivée temporelle seconde s'écrit :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde, on obtient :

Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants (k > 0 et \omega > 0), la relation de dispersion s'écrit :

La vitesse de phase de l'onde est donnée par :

Cette vitesse étant indépendante de la pulsation \omega (et égale à la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c), le vide est un milieu non dispersif.

De plus, le vecteur d'onde k étant réel, la propagation s'effectue sans atténuation (ni absorption).

Le champ électromagnétique de l'onde incidente vérifie l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide :

En notation complexe, avec une dépendance temporelle en \exp(j\omega t), cette équation s'écrit :

Pour une onde plane se propageant selon l'axe (Ox), le gradient spatial se résume à \vec{\nabla} \equiv -jk\,\vec{u}_x, de sorte que l'opérateur rotationnel s'identifie à :

Le calcul direct avec \vec{\underline{E}}_i = \underline{E}_0 \exp(j(\omega t - k x))\,\vec{u}_y donne :

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q33, l'onde se propageant dans le vide obéit à la relation de dispersion \omega = c\,k, soit \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}. Par conséquent :

En grandeurs réelles, en posant \underline{E}_0 = E_{0,\mathrm{m}} e^{j\varphi} :

Le vecteur de Poynting instantané associé à l'onde incidente dans le vide est défini par :

En posant \underline{E}_0 = E_{0m} \mathrm{e}^{j\phi_0} avec E_{0m} = |\underline{E}_0|, les champs réels s'écrivent :

Le produit vectoriel donne :

La valeur moyenne temporelle d'un cosinus au carré sur une période étant égale à \frac{1}{2}, on obtient :

puisque c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, d'où \dfrac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c.

En régime harmonique de pulsation \omega, les dérivées temporelles du champ électrique complexe \underline{\vec{E}}_t s'écrivent :

L'équation (III.1) devient ainsi :

Comparons les normes respectives du second terme (associé au courant de déplacement de Maxwell) et du premier terme (associé au courant de conduction d'Ohm) :

Effectuons l'application numérique dans le domaine du visible à \lambda = \lambda_{\text{obs}} = 600\text{ nm} :

Dans le domaine de l'infrarouge, les longueurs d'onde sont supérieures (\lambda > 800\text{ nm}), donc les pulsations sont plus faibles : le rapport \eta est encore plus petit.

Le terme de propagation diélectrique \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_t}{\partial t^2} est donc tout à fait négligeable devant le terme de diffusion ohmique \mu_0 \gamma \frac{\partial \underline{\vec{E}}_t}{\partial t}. L'équation (III.1) se simplifie en une équation de diffusion :

soit, sous forme complexe :

L'onde transmise dans le conducteur s'écrit :

D'après la simplification établie à la question Q36 (régime de l'effet de peau), le champ électrique vérifie dans le métal (x > 0) l'équation de diffusion :

Sachant que \vec{\underline{E}}_t ne dépend spatialement que de x, le laplacien vectoriel se réduit à :

La dérivation temporelle donne :

On en déduit la relation de dispersion dans le métal :

En posant \underline{k}_m = k' - j k'' (avec k', k'' \in \mathbb{R}), le terme spatial s'écrit \exp(-j\underline{k}_m x) = \exp(-k'' x) \exp(-j k' x). L'onde se propageant selon +\vec{u}_x dans le demi-espace x > 0, l'amplitude du champ doit rester bornée et s'atténuer avec la profondeur x, ce qui impose k'' > 0 et k' > 0.

Or, (1 - j)^2 = 1 - 2j - 1 = -2j. On peut donc poser :

de sorte que :

Avec les conditions de signe k' > 0 et k'' > 0, le vecteur d'onde complexe est :

où la longueur caractéristique \delta s'exprime par :

Signification de \delta : La longueur \delta est appelée épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration). L'amplitude du champ s'écrit en effet :

\delta représente la distance caractéristique sur laquelle l'amplitude du champ électrique (et magnétique) est atténuée d'un facteur 1/e \simeq 0{,}37 sous l'effet des pertes par effet Joule dans le conducteur.

D'après la question Q37, l'amplitude du champ électromagnétique décroît en \exp(-x/\delta) dans le conducteur, où l'épaisseur de peau s'écrit :

avec \omega = \frac{2\pi c}{\lambda_{\mathrm{obs}}}.

À la longueur d'onde moyenne d'observation \lambda_{\mathrm{obs}} = 600\text{ nm} = 6{,}00 \times 10^{-7}\text{ m} :

Pour que l'approximation du demi-espace infini soit valable, l'onde doit être fortement atténuée à la traversée de la couche de métal afin que l'onde transmise ne subisse pas de réflexions multiples significatives sur la face arrière. À une profondeur x = 3\delta à 5\delta, la densité de flux d'énergie (décroissant en \exp(-2x/\delta)) est réduite d'un facteur supérieur à e^6 \approx 400 (99{,}7\,\% absorbé ou réfléchi).

On choisit donc une épaisseur de l'ordre de e \approx 4\delta à 5\delta, soit typiquement :

La voile est assimilée à une feuille plane de surface S = 100\text{ m}^2 et d'épaisseur e. Sa masse volumique vaut \rho = 19{,}3\text{ g}\cdot\mathrm{cm}^{-3} = 19{,}3 \times 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}. Sa masse est alors :

Application numérique avec e = 15\text{ nm} = 1{,}5 \times 10^{-8}\text{ m} :

Commentaire de la figure 6 :

• Dans le vide amont (x < 0) : la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne naissance à un régime d'ondes partiellement stationnaires. La courbe présente une modulation spatiale périodique résultant des interférences entre les deux ondes se propageant en sens inverses, oscillant entre des ventres et des nœuds.
• Dans la voile métallique (0 < x < a) : l'onde pénètre dans le conducteur sous forme d'onde atténuée. La grandeur décroît de façon exponentielle en fonction de x, caractéristique de l'effet de peau sur une longueur caractéristique \delta. L'épaisseur a de la voile étant du même ordre de grandeur que l'épaisseur de peau \delta, l'onde n'est pas totalement amortie lorsqu'elle atteint la face de sortie en x = a.
• Dans le vide aval (x > a) : l'onde transmise au-delà de la voile se propage sous la forme d'une onde plane progressive pure dans le sens des x croissants. En l'absence d'onde réfléchie revenant de l'infini, il n'y a pas d'interférence et la puissance transportée est uniforme (valeur constante strictement positive).

Phénomène analogue :

Cette situation est directement analogue à :

• L'effet tunnel en mécanique quantique, où une fonction d'onde associée à une particule d'énergie E < V_0 traverse une barrière de potentiel rectangulaire d'épaisseur finie a grâce au raccordement d'une onde évanescente dans la barrière, conférant une probabilité de transmission non nulle au-delà de celle-ci ;
• La réflexion totale frustrée en optique (ou effet tunnel photonique), où une onde évanescente établie dans un milieu d'indice plus faible d'épaisseur micrométrique est convertie en onde progressive transmise dans un troisième milieu diélectrique.

Dans le modèle corpusculaire, un photon incident de fréquence \nu possède l'énergie \mathcal{E} = h\nu et la quantité de mouvement :

Considérons une voile plane de surface S, normale à la direction de propagation de l'onde incidente. Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, l'énergie électromagnétique incidente reçue par la voile s'écrit :

où \mathcal{P}_s désigne la puissance surfacique incidente et N_{\text{inc}} le nombre de photons incidents.

Le comportement des photons incidents à l'interface se répartit selon deux voies :

• Une proportion R de photons est réfléchie dans la direction -\vec{u}_x, avec une quantité de mouvement finale \vec{p}_r = -\frac{h\nu}{c}\vec{u}_x. La quantité de mouvement cédée à la voile par un photon réfléchi est donc :

  \delta\vec{p}_{\text{ref}} = \vec{p}_i - \vec{p}_r = 2\frac{h\nu}{c}\vec{u}_x

• Une proportion 1-R de photons est absorbée (la transmission étant négligeable pour une voile opaque d'épaisseur supérieure à la profondeur de peau). La quantité de mouvement cédée par un photon absorbé est :

  \delta\vec{p}_{\text{abs}} = \vec{p}_i - \vec{0} = \frac{h\nu}{c}\vec{u}_x

La quantité de mouvement totale transférée à la voile pendant la durée \mathrm{d}t vaut ainsi :

D'après le principe fondamental de la dynamique, la force de pression de radiation exercée sur la voile est :

Application numérique : À proximité de la Terre, \mathcal{P}_s \approx 1000\text{ W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Pour une voile en or de surface S = 100\text{ m}^2 (introduite à la question Q38), très réfléchissante dans le visible et le proche infrarouge (R \approx 1), avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1} :

La pression de radiation surfacique correspondante est de l'ordre de P_{\text{rad}} = \frac{F}{S} \approx 6{,}7\text{ }\mu\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2} = 6{,}7\text{ }\mu\mathrm{Pa}.

D'après la définition du centre de masse G du système {étoile + planète} :

En décomposant le vecteur \vec{GE} à l'aide de la relation de Chasles en passant par le point P :

L'équation barycentrique devient :

Comme M_E + M_P \neq 0, on obtient directement :

Contrôle de pertinence par l'étude de cas limites :

• Cas d'une étoile très massive devant la planète (M_E \gg M_P) :
  On a \frac{M_E}{M_E + M_P} = \frac{1}{1 + M_P / M_E} \xrightarrow[M_P \to 0]{} 1, soit :

  \vec{GP} \approx \vec{EP} \iff \vec{GE} \approx \vec{0}

  Le centre de masse G est pratiquement confondu avec le centre de l'étoile E, qui peut alors être considérée comme fixe. C'est l'approximation usuelle du corps central fixe.

• Cas hypothétique d'une planète ultra-massive (M_P \gg M_E) :
  Le rapport tend vers zéro, d'où \vec{GP} \approx \vec{0} : le barycentre est confondu avec le centre de la planète P.
• Cas de deux corps de masses égales (M_E = M_P) :
  Le rapport vaut 1/2, donc \vec{GP} = \frac{1}{2}\vec{EP} : le centre de masse G se situe exactement au milieu du segment [EP], ce qui est attendu pour un système symétrique.

L'expression établie est donc parfaitement cohérente.