Feuille d'entraînement : Mouvement dans un champ de force centrale

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2026, Q4

   Le point matériel \mathrm{P} de masse m est soumis à la seule force gravitationnelle \vec{F}, force centrale de centre \mathrm{O} :

   \vec{F} = F(r)\,\vec{e}_r \quad \text{avec} \quad \vec{OP} = r\,\vec{e}_r.

   Le moment de cette force par rapport au point \mathrm{O} est nul :

   \vec{\mathcal{M}}_{\mathrm{O}}(\vec{F}) = \vec{OP} \wedge \vec{F} = r\,\vec{e}_r \wedge F(r)\,\vec{e}_r = \vec{0}.

   Appliquons le théorème du moment cinétique au point matériel \mathrm{P} en \mathrm{O} dans le référentiel géocentrique galiléen :

   \frac{\mathrm{d}\vec{L}_{\mathrm{O}}}{\mathrm{d}t} = \vec{\mathcal{M}}_{\mathrm{O}}(\vec{F}) = \vec{0}.

   Le vecteur moment cinétique \vec{L}_{\mathrm{O}} = \vec{OP} \wedge m\vec{v} est donc un vecteur constant au cours du mouvement :

   \vec{L}_{\mathrm{O}} = \vec{\text{cste}}.

   Planéité du mouvement :

   • Si \vec{L}_{\mathrm{O}} = \vec{0}, la vitesse \vec{v} est colinéaire à \vec{OP} : le mouvement est rectiligne le long d'une droite passant par \mathrm{O}, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

   • Si \vec{L}_{\mathrm{O}} \neq \vec{0}, on a à tout instant :

     \vec{OP} \cdot \vec{L}_{\mathrm{O}} = (\vec{OP} \wedge m\vec{v}) \cdot \vec{OP} = 0.

     Le vecteur position \vec{OP} reste orthogonal au vecteur constant \vec{L}_{\mathrm{O}}. Le point \mathrm{P} se déplace donc dans le plan fixe passant par \mathrm{O} et orthogonal à \vec{L}_{\mathrm{O}} : le mouvement est plan.

   Constante des aires : Dans le plan du mouvement, muni de la base polaire orthonormée directe (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z) où \vec{e}_z est unitaire et colinéaire à \vec{L}_{\mathrm{O}}, le vecteur vitesse de \mathrm{P} s'écrit :

   \vec{v} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta.

   Le moment cinétique s'exprime alors par :

   \vec{L}_{\mathrm{O}} = (r\,\vec{e}_r) \wedge m(\dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta) = m r^2 \dot{\theta}\,\vec{e}_z.

   Puisque \vec{L}_{\mathrm{O}} et m sont constants, la composante scalaire selon \vec{e}_z, et par suite le produit r^2 \dot{\theta}, est une constante du mouvement appelée constante des aires, notée C :

   \boxed{r^2 \dot{\theta} = C = \text{cste}}

   Résultat

   $$r^2\dot{\theta }=C=\text{cste}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MP 2026, Q5

   Le mouvement de la particule étant plan (question Q4), le vecteur vitesse de P s'écrit en coordonnées polaires (r, \theta) :

   \vec{v} = \dot{r} \vec{e}_r + r\dot{\theta} \vec{e}_\theta

   Le carré de la vitesse est donc :

   v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2

   D'après la question Q4, la constante des aires s'écrit C = r^2\dot{\theta}, ce qui permet d'exprimer la vitesse orthoradiale selon :

   r\dot{\theta} = \frac{C}{r}

   D'après les questions Q2 et Q3, l'énergie mécanique du point matériel P s'écrit :

   \begin{aligned} E_{\mathrm{m}} &= \frac{1}{2}m v^2 + E_{\mathrm{p}}(r) \\ &= \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + \frac{C^2}{r^2} \right) - \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r} \\ &= \frac{1}{2}m \dot{r}^2 + \left( \frac{m C^2}{2r^2} - \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r} \right) \end{aligned}

   On obtient bien la forme demandée :

   E_{\mathrm{m}} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + E_{\mathrm{p,eff}}(r)

   avec :

   \boxed{E_{\mathrm{p,eff}}(r) = \frac{m C^2}{2r^2} - \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r}}

   Résultat

   $$E_{\mathrm{p},\mathrm{eff}}(r)=\frac{m{C}^2}{2r^2}-\frac{G{M}_{\mathrm{T}}m}{r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2026, Q6

   D'après la question Q5, l'énergie potentielle effective s'écrit (en supposant C \neq 0) :

   E_{\mathrm{p,eff}}(r) = \frac{m C^2}{2r^2} - \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r}

   1. Étude de fonction et justification du tracé :

   • Limite en r \to 0^+ : le terme centrifuge en 1/r^2 prédomine, donc \lim_{r \to 0^+} E_{\mathrm{p,eff}}(r) = +\infty (barrière centrifuge).
   • Limite en r \to +\infty : le terme gravitationnel en -1/r domine, donc \lim_{r \to +\infty} E_{\mathrm{p,eff}}(r) = 0^-.

   • Dérivée :

     \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r}(r) = -\frac{m C^2}{r^3} + \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r^2} = \frac{m}{r^2}\left(G M_{\mathrm{T}} - \frac{C^2}{r}\right)

     La dérivée s'annule en un unique point :

     r_0 = \frac{C^2}{G M_{\mathrm{T}}}

     Pour r < r_0, \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r} < 0, et pour r > r_0, \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r} > 0. La fonction présente donc un minimum global :

     E_{\mathrm{p,eff}}(r_0) = \frac{m C^2}{2 r_0^2} - \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r_0} = -\frac{G^2 M_{\mathrm{T}}^2 m}{2 C^2} = E_{\min} < 0

     Elle s'annule également pour r = \frac{r_0}{2}.

   2. Raisonnement graphique et état de diffusion : D'après l'équation (1), l'énergie cinétique radiale est :

   \frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E_{\mathrm{m}} - E_{\mathrm{p,eff}}(r) \ge 0 \iff E_{\mathrm{m}} \ge E_{\mathrm{p,eff}}(r)

   Le mouvement n'est donc possible que dans les domaines où la droite horizontale d'ordonnée E_{\mathrm{m}} se situe au-dessus de la courbe E_{\mathrm{p,eff}}(r) :

   • Si E_{\min} \le E_{\mathrm{m}} < 0 : le mouvement radial est borné, r \in [r_{\min}, r_{\max}]. Le point P reste au voisinage de la Terre : c'est un état lié (trajectoire elliptique ou circulaire).
   • Si E_{\mathrm{m}} \ge 0 : le domaine accessible est semi-infini, r \in [r'_{\min}, +\infty[. Le point P peut s'éloigner indéfiniment de la Terre (r \to +\infty) avec une vitesse résiduelle non nulle (ou nulle si E_{\mathrm{m}} = 0) : il s'agit d'un état de diffusion (trajectoire parabolique pour E_{\mathrm{m}}=0, hyperbolique pour E_{\mathrm{m}}>0).

   Dans le cas particulier où C = 0 (mouvement purement radial), E_{\mathrm{p,eff}}(r) = -\frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r}, la condition pour atteindre l'infini reste strictement la même.

   Par conséquent, le point P peut échapper à l'attraction de la Terre si et seulement si :

   \boxed{E_{\mathrm{m}} \ge 0}

   Résultat

   $$E_{\mathrm{m}}\ge 0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 MP 2026, Q7

   On étudie l'électron M, assimilé à un point matériel de masse m_e, dans le référentiel galiléen lié au noyau fixe en O. Il est soumis à la seule force électrostatique de Coulomb :

   \vec{F} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \vec{u}_r = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}

   Le moment cinétique de l'électron par rapport au point O est \vec{s} = \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{r} \wedge (m_e \vec{v}). Calculons sa dérivée temporelle :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\vec{s}}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \wedge \vec{p} + \vec{r} \wedge \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} \\ &= \vec{v} \wedge (m_e \vec{v}) + \vec{r} \wedge \vec{F} \end{aligned}

   D'une part, le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est nul : \vec{v} \wedge (m_e \vec{v}) = \vec{0}.
   D'autre part, la force d'interaction coulombienne est une force centrale de centre O, donc colinéaire à \vec{r} :

   \vec{r} \wedge \vec{F} = \vec{r} \wedge \left(-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}\right) = \vec{0}

   On en déduit :

   \frac{\mathrm{d}\vec{s}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}

   \boxed{\vec{s} = \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{\text{cste}}}

   Le moment cinétique par rapport à O est donc bien une constante du mouvement.

   Planéité du mouvement : Supposons \vec{s} \neq \vec{0} (le cas \vec{s} = \vec{0} correspond à un mouvement rectiligne passant par O, qui est une droite et donc inclus dans un plan contenant O).
   Par définition du produit vectoriel, le vecteur \vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}(t) est orthogonal à \vec{s} à tout instant :

   \overrightarrow{OM}(t) \cdot \vec{s} = (\vec{r} \wedge \vec{p}) \cdot \vec{r} = 0

   Le vecteur \vec{s} étant constant et non nul au cours du temps, la relation \overrightarrow{OM}(t) \cdot \vec{s} = 0 caractérise l'équation d'un plan passant par l'origine O et de vecteur normal \vec{s}.

   Le mouvement de l'électron est donc plan, et ce plan contient nécessairement la position O du noyau.

   Résultat

   $$\vec{s}=\vec{r}\wedge \vec{p}=\overrightarrow{\text{cste}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 MP 2026, Q8

   Le mouvement de l'électron a lieu dans le plan (Oxy) contenant le noyau O. En coordonnées polaires (r, \theta) de base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), le vecteur position et le vecteur vitesse s'écrivent :

   \vec{r} = r\,\vec{u}_r \quad \text{et} \quad \vec{v} = \dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta

   L'énergie cinétique de l'électron vaut donc :

   E_c = \frac{1}{2} m_e v^2 = \frac{1}{2} m_e \dot{r}^2 + \frac{1}{2} m_e r^2 \dot{\theta}^2

   Le moment cinétique par rapport à O s'exprime par :

   \vec{s} = \vec{r} \wedge (m_e \vec{v}) = r\,\vec{u}_r \wedge m_e (\dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta) = m_e r^2 \dot{\theta}\,\vec{u}_z

   Sa norme s = \|\vec{s}\| = m_e r^2 |\dot{\theta}| étant constante au cours du temps d'après la question Q7, on en déduit :

   \dot{\theta}^2 = \frac{s^2}{m_e^2 r^4}

   Le terme orthoradial de l'énergie cinétique s'écrit alors uniquement en fonction de r :

   \frac{1}{2} m_e r^2 \dot{\theta}^2 = \frac{s^2}{2 m_e r^2}

   D'après la question Q6, l'énergie potentielle d'interaction s'écrit E_p(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. L'énergie mécanique totale E = E_c + E_p est donc :

   \begin{aligned} E &= \frac{1}{2} m_e \dot{r}^2 + \frac{s^2}{2 m_e r^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \end{aligned}

   Elle se met bien sous la forme annoncée E = \frac{1}{2} m_e \dot{r}^2 + U(r), avec l'énergie potentielle effective :

   \boxed{U(r) = \frac{s^2}{2 m_e r^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}}

   Résultat

   $$U(r)=\frac{s^2}{2m_e{r}^2}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MP 2026, Q9

   D'après la question Q8, l'énergie potentielle effective s'écrit :

   U(r) = \frac{s^2}{2 m_e r^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}

   Elle est définie pour r > 0 (avec s > 0). Ses comportements asymptotiques sont :

   \begin{aligned} \lim_{r \to 0^+} U(r) &= +\infty \quad \text{(barrière centrifuge dominante en } 1/r^2\text{)} \\ \lim_{r \to +\infty} U(r) &= 0^- \quad \text{(terme coulombien attractif dominant en } -1/r\text{)} \end{aligned}

   La dérivée par rapport à r s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(r) = -\frac{s^2}{m_e r^3} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{1}{r^3}\left(-\frac{s^2}{m_e} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}r\right)

   La fonction U(r) admet donc un unique extremum en r = r_c(s) tel que \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(r_c) = 0, soit :

   \boxed{ r_c(s) = \frac{4\pi\varepsilon_0 s^2}{m_e e^2} }

   Puisque U'(r) < 0 pour r < r_c et U'(r) > 0 pour r > r_c, ce point correspond au minimum absolu de U(r), noté E_c(s) = U(r_c).

   Comme l'énergie cinétique radiale \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 = E - U(r) est nécessairement positive ou nulle, le mouvement n'est possible que dans les domaines où E \geqslant U(r).

   On distingue ainsi quatre types d'orbites selon le niveau de l'énergie mécanique E :

   1. Niveau E = E_c(s) (orbite circulaire) : état lié, la vitesse radiale est identiquement nulle (\dot{r} = 0). La distance au centre est constante, égale au rayon caractéristique r = r_c. La trajectoire est un cercle.
   2. Niveau E_c(s) < E < 0 (orbite elliptique) : état lié, le mouvement est borné entre deux points d'arrêt radiaux (\dot{r}=0), le périastre r_{\min} et l'apoastre r_{\max}. La trajectoire est une ellipse dont le noyau occupe l'un des foyers.
   3. Niveau E = 0 (orbite parabolique) : état de diffusion (limite de libération). Le mouvement est non borné avec r \in [r_{\min}, +\infty[, et la vitesse radiale tend vers zéro à l'infini. La trajectoire est une parabole.
   4. Niveau E > 0 (orbite hyperbolique) : état de diffusion. Le mouvement est non borné avec r \in [r_{\min}, +\infty[, la particule arrive de l'infini et s'en retourne avec une vitesse non nulle à l'infini (\dot{r} \to \sqrt{2E/m_e}). La trajectoire est une branche d'hyperbole.

   Pour une trajectoire circulaire de rayon r = r_c(s), le vecteur vitesse est purement orthoradial : \vec{v}_c = r_c \dot{\theta}\,\vec{u}_\theta, d'où \|\vec{r}_c \wedge \vec{p}_c\| = r_c p_c = s. On en déduit l'impulsion :

   p_c(s) = \frac{s}{r_c(s)}

   Soit, en remplaçant r_c(s) par son expression :

   \boxed{ p_c(s) = \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 s} }

   L'énergie mécanique de la trajectoire circulaire s'obtient en évaluant U(r) en r = r_c :

   E_c(s) = U(r_c) = \frac{s^2}{2m_e r_c^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_c}

   En remarquant que \frac{s^2}{m_e r_c^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_c}, il vient :

   E_c(s) = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_c} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_c} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_c(s)}

   En injectant l'expression de r_c(s), on obtient finalement :

   \boxed{ E_c(s) = -\frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2 s^2} }

   Résultat

   $$r_c(s)=\frac{4\pi {\epsilon }_0{s}^2}{m_e{e}^2}$$

   $$p_c(s)=\frac{m_e{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}s}$$

   $$E_c(s)=-\frac{m_e{e}^4}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2{s}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q14

   On se place dans le référentiel galactocentrique lié au centre T de la galaxie, supposé galiléen. L'étoile E de masse M_\odot, assimilée à un point matériel, est soumise à la seule force de gravitation exercée par le trou noir ponctuel T de masse M_T :

   \vec{F} = -\frac{G M_T M_\odot}{r^2}\,\widehat{u}_r

   où \overrightarrow{TM} = r\,\widehat{u}_r dans la base polaire du plan du disque (T, XY).

   1. Nature uniforme du mouvement

   La force gravitationnelle étant centrale de centre T, elle est orthogonale à chaque instant au vecteur vitesse \vec{v} = v\,\widehat{u}_\theta (la trajectoire étant circulaire de rayon r fixé, \dot{r} = 0). Sa puissance est donc identiquement nulle :

   \mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = 0

   D'après le théorème de la puissance cinétique appliqué à l'étoile :

   \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}M_\odot v^2\right) = 0 \implies v = \text{cte}

   La norme de la vitesse étant constante le long de la trajectoire circulaire, le mouvement de l'étoile est circulaire et uniforme.

   2. Expressions de v(r) et de la période \tau

   Dans la base polaire (\widehat{u}_r, \widehat{u}_\theta), l'accélération d'un point en mouvement circulaire uniforme de rayon r est purement centripète :

   \vec{a} = -\frac{v^2}{r}\,\widehat{u}_r

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'étoile E, M_\odot \vec{a} = \vec{F}, s'écrit en projection selon -\widehat{u}_r :

   M_\odot \frac{v^2}{r} = \frac{G M_T M_\odot}{r^2} \implies v^2 = \frac{G M_T}{r}

   On en déduit l'expression de la vitesse orbitale :

   \boxed{v(r) = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}}

   Le mouvement étant uniforme sur un cercle de périmètre 2\pi r, la période \tau vérifie 2\pi r = v \tau, d'où la troisième loi de Kepler :

   \boxed{\tau = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}}

   3. Cas du Soleil

   Le Soleil est situé à une distance r = 8\text{ kpc} = 8 \times 10^3 \times 3 \times 10^{16}\text{ m} = 2{,}4 \times 10^{20}\text{ m}. La masse du trou noir vaut :

   M_T = 4 \times 10^6 M_\odot = 4 \times 10^6 \times 2 \times 10^{30}\text{ kg} = 8 \times 10^{36}\text{ kg}

   Calculons la vitesse orbitale correspondante :

   v^2 = \frac{6{,}7 \times 10^{-11} \times 8 \times 10^{36}}{2{,}4 \times 10^{20}} \simeq \frac{53{,}6 \times 10^{25}}{2{,}4 \times 10^{20}} \simeq 2{,}2 \times 10^{6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2}

   Ce qui donne, avec 1 chiffre significatif :

   v \simeq 1{,}5 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 1\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} \quad (\text{ou } 2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1})

   Cette vitesse théorique est deux ordres de grandeur plus faible que les 200\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} observés (v \ll v_{\text{obs}}). Par conséquent, le trou noir central seul ne peut absolument pas être la cause du mouvement de rotation du Soleil : la majeure partie de la masse intérieure à l'orbite solaire provient d'autres composantes (matière du bulbe, disque, et matière noire).

   Résultat

   $$v(r)=\sqrt{\frac{G{M}_T}{r}}$$

   $$\tau =\frac{2\pi r}{v}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G{M}_T}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q16

   1. Symétries et invariances du champ gravitationnel
   La distribution de matière du bulbe présente une symétrie sphérique de centre T (le disque étant assimilé au vide) :

   • Tout plan contenant T et le point M est un plan de symétrie de la distribution : le champ \vec{g}(M) est contenu dans l'intersection de tous ces plans, il est donc radial :

     \vec{g}(M) = g(r)\,\widehat{u}_r
   • La distribution est invariante par rotation autour de T selon \theta et \varphi, donc la composante radiale ne dépend que de r : g(r).

   2. Application du théorème de Gauss
   On choisit pour surface de Gauss S la sphère de centre T et de rayon r. Le vecteur unitaire normal sortant est \widehat{n} = \widehat{u}_r, d'où :

   \oiint_S \vec{g} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S} = \oiint_S g(r)\,\mathrm{d}S = g(r) \times 4\pi r^2

   D'après le théorème de Gauss (question Q15) :

   g(r) \times 4\pi r^2 = -4\pi G M_{\text{int}}(r) \implies \vec{g}(r) = -\frac{G M_{\text{int}}(r)}{r^2}\,\widehat{u}_r

   Calculons la masse intérieure M_{\text{int}}(r) selon le domaine :

   • Pour r \le R_b (dans le bulbe de densité volumique uniforme \mu_0) :

     M_{\text{int}}(r) = \mu_0 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = M_b \left(\frac{r}{R_b}\right)^3

     puisque M_b = \mu_0 \frac{4}{3}\pi R_b^3. Il vient :

     \boxed{ \vec{g}(r) = -\frac{G M_b\,r}{R_b^3}\,\widehat{u}_r \quad (r \le R_b) }

   • Pour R_b \le r \le R_d (dans le disque, où la matière est négligée) :

     M_{\text{int}}(r) = M_b

     Il vient immédiatement :

     \boxed{ \vec{g}(r) = -\frac{G M_b}{r^2}\,\widehat{u}_r \quad (R_b \le r \le R_d) }

   3. Vitesse orbitale v_0(r)
   Dans le référentiel galactocentrique supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une étoile de masse m_* soumise à la seule force de gravitation s'écrit :

   m_* \vec{a} = m_* \vec{g}(r)

   Pour une trajectoire circulaire de rayon r parcourue à la vitesse v_0, l'accélération normale s'écrit \vec{a} = -\frac{v_0^2}{r}\,\widehat{u}_r, d'où :

   \frac{v_0^2}{r} = \|\vec{g}(r)\|

   • Pour r \le R_b :

     \frac{v_0^2}{r} = \frac{G M_b\,r}{R_b^3} \implies \boxed{v_0(r) = \sqrt{\frac{G M_b}{R_b^3}}\,r}

   • Pour R_b \le r \le R_d :

     \frac{v_0^2}{r} = \frac{G M_b}{r^2} \implies \boxed{v_0(r) = \sqrt{\frac{G M_b}{r}}}

   La vitesse est continue en r = R_b et vaut v_0(R_b) = \sqrt{\frac{G M_b}{R_b}}.

   4. Allure de la courbe v_0(r)
   La vitesse croît linéairement de 0 à sa valeur maximale en R_b, puis décroît en 1/\sqrt{r}.

   5. Domaine suivant les lois de Kepler
   Les lois de Kepler s'appliquent à un champ gravitationnel newtonien (en 1/r^2) généré par une masse centrale ponctuelle ou à symétrie sphérique vue depuis l'extérieur. C'est le cas pour le domaine :

   \boxed{ R_b \le r \le R_d }

   En effet, pour R_b \le r \le R_d, la troisième loi de Kepler est bien vérifiée :

   \tau^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v_0^2} = \frac{4\pi^2}{G M_b}\,r^3 \implies \frac{\tau^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_b} = \text{cste}

   Dans le bulbe (r \le R_b), le champ est linéaire en r (champ de type oscillateur harmonique) et la vitesse angulaire \omega = v_0/r est constante (rotation en bloc) : les lois de Kepler ne s'y appliquent pas.

   Résultat

   $$\vec{g}(r)=-\frac{G{M}_{b}r}{R_b^3}{\hat{u}}_r(r\le R_b)$$

   $$\vec{g}(r)=-\frac{G{M}_b}{r^2}{\hat{u}}_r(R_b\le r\le R_d)$$

   $$v_0(r)=\sqrt{\frac{G{M}_b}{R_b^3}}r$$

   $$v_0(r)=\sqrt{\frac{G{M}_b}{r}}$$

   $$R_b\le r\le R_d$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique-SI MP 2026, Q6

   a - Expression de la vitesse angulaire \Omega

   Le système constitué du Soleil (centre S, masse M_S) et de la Terre (centre T, masse M_T) est supposé isolé. Son centre de masse O est fixe dans le référentiel sidéral galiléen \mathcal{R}_s. Par définition du barycentre :

   M_S\,\overrightarrow{OS} + M_T\,\overrightarrow{OT} = \vec{0}

   Comme \vec{R} = \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{OT} - \overrightarrow{OS}, il vient :

   \overrightarrow{OT} = \frac{M_S}{M_S + M_T}\vec{R} = \frac{M_S}{M}\vec{R}

   La Terre décrit dans \mathcal{R}_s une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R_T = \|\overrightarrow{OT}\| = \frac{M_S}{M} R à la vitesse angulaire constante \Omega = \dot{\theta}. Son accélération est purement centripète :

   \vec{a}(T/\mathcal{R}_s) = -\Omega^2 \overrightarrow{OT} = -\Omega^2 \frac{M_S}{M} R\,\vec{e}_x

   où \vec{e}_x = \frac{\vec{R}}{R} est le vecteur unitaire dirigé de S vers T.

   La Terre n'étant soumise qu'à l'attraction gravitationnelle du Soleil :

   \vec{F}_{S\to T} = -\frac{G M_S M_T}{R^2}\,\vec{e}_x

   La seconde loi de Newton appliquée à la Terre dans \mathcal{R}_s s'écrit :

   M_T\,\vec{a}(T/\mathcal{R}_s) = \vec{F}_{S\to T} \iff -M_T \Omega^2 \frac{M_S}{M} R\,\vec{e}_x = -\frac{G M_S M_T}{R^2}\,\vec{e}_x

   En simplifiant par le produit M_S M_T, on en déduit :

   \Omega^2 = \frac{GM}{R^3}

   D'où l'expression de la vitesse angulaire :

   \boxed{\Omega = \sqrt{\frac{G M}{R^3}} = \sqrt{\frac{G(M_S + M_T)}{R^3}}}

   b - Interprétation et valeur de la période T

   La grandeur T = \frac{2\pi}{\Omega} représente la période de révolution orbitale du système Soleil-Terre dans le référentiel sidéral (année sidérale), c'est-à-dire le temps nécessaire à la Terre pour effectuer un tour complet autour du Soleil par rapport aux étoiles fixes.

   Dans l'unité la plus naturelle et adaptée à ce mouvement, on a directement :

   \boxed{T \simeq 1\text{ an} \quad (\text{soit environ } 365\text{ jours})}

   Résultat

   $$\Omega =\sqrt{\frac{GM}{R^3}}=\sqrt{\frac{G(M_S+M_T)}{R^3}}$$

   $$T\simeq 1\text{ an}(\text{soit environ }365\text{ jours})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique MP 2025, Q2

    La Terre est modélisée par une distribution de masse à symétrie sphérique de centre O.

    Direction du champ : Tout plan passant par le centre O et le point M est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ de gravitation \overrightarrow{\mathcal{G}}(M) appartenant à l'intersection de tous ces plans, il est dirigé selon la droite (OM) :

    \overrightarrow{\mathcal{G}}(M) = \mathcal{G}(r, \theta, \varphi)\,\vec{u} \quad \text{avec} \quad \vec{u} = \frac{\overrightarrow{OM}}{r}.

    Invariances : La distribution de masse est invariante par toute rotation autour du centre O (invariance selon les coordonnées angulaires \theta et \varphi). Par conséquent, la composante algébrique \mathcal{G} ne dépend que de la coordonnée radiale r = OM :

    \overrightarrow{\mathcal{G}}(M) = \mathcal{G}(r)\,\vec{u}.

    Expression du champ de gravitation : On applique le théorème de Gauss gravitationnel à travers une sphère \Sigma centrée en O et de rayon r > R_T, orientée vers l'extérieur par \vec{u} :

    \Phi = \iint_{\Sigma} \overrightarrow{\mathcal{G}}(M) \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -4\pi G M_{\text{int}}.

    D'une part, le flux s'écrit :

    \Phi = \iint_{\Sigma} \mathcal{G}(r)\,\vec{u} \cdot \vec{u}\,\mathrm{d}S = \mathcal{G}(r) \iint_{\Sigma} \mathrm{d}S = \mathcal{G}(r) \times 4\pi r^2.

    D'autre part, la masse totale contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r > R_T est la masse terrestre : M_{\text{int}} = M_T. On en déduit :

    4\pi r^2 \mathcal{G}(r) = -4\pi G M_T \implies \mathcal{G}(r) = -\frac{G M_T}{r^2}.

    Le champ de gravitation en un point M extérieur à la Terre s'écrit donc :

    \boxed{\overrightarrow{\mathcal{G}}(M) = -\frac{G M_T}{r^2}\vec{u}}

    Force de gravitation : Par définition, la force exercée par la Terre sur le mobile ponctuel de masse m s'écrit :

    \vec{F}_g = m\,\overrightarrow{\mathcal{G}}(M)

    soit :

    \boxed{\vec{F}_g = -\frac{G M_T m}{r^2}\vec{u}}

    Résultat

    $$\overrightarrow{\mathcal{G}}(M)=-\frac{G{M}_T}{r^2}\vec{u}$$

    $${\vec{F}}_g=-\frac{G{M}_{T}m}{r^2}\vec{u}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question