Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2026

Lors de la transition radiative de l'électron d'un niveau d'énergie initial E_i vers un niveau d'énergie final E_f < E_i, la conservation de l'énergie impose que le photon émis emporte l'énergie :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon associé à une onde lumineuse de fréquence \nu et de longueur d'onde dans le vide \lambda_0 s'écrit :

En égalant ces deux expressions, on obtient :

D'après la relation établie à la question 1, la longueur d'onde du photon émis vérifie :

En injectant l'expression proposée des niveaux d'énergie E_n = -\dfrac{E_0}{n^2} pour l'état initial n_i = k+2 et l'état final n_f = 2 :

L'énergie cédée au photon lors de la désexcitation s'écrit donc :

On en déduit l'expression de l'inverse de la longueur d'onde :

En posant la variable d'abscisse X = \dfrac{1}{(k+2)^2} et la variable d'ordonnée Y = \dfrac{1}{\lambda_0}, cette équation s'écrit :

Il s'agit de l'équation d'une fonction affine décroissante de 1/(k+2)^2, ce qui correspond précisément à la droite en pointillés observée sur la figure 1. La loi proposée est donc pleinement compatible avec les observations de Balmer.

D'après la question Q2, l'expression de 1/\lambda_0 en fonction de X = 1/(k+2)^2 est :

Il s'agit de l'équation d'une droite de pente -E_0/(hc) et d'ordonnée à l'origine :

Sur la figure 1 :

• L'axe des ordonnées porte des graduations principales espacées de 0,2\ \mu\text{m}^{-1}, subdivisées en 10 intervalles, soit 0,02\ \mu\text{m}^{-1} par division.

• Pour X = 0, la droite en pointillés coupe l'axe des ordonnées à deux divisions au-dessus de 2,70\ \mu\text{m}^{-1}, soit :

  y_0 \simeq 2,74\ \mu\text{m}^{-1}

On peut également évaluer la pente de la droite : pour X = 0,10, on lit y \simeq 1,64\ \mu\text{m}^{-1}, d'où une pente :

On en déduit :

Avec hc \simeq 1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} et y_0 \simeq 2,74\ \mu\text{m}^{-1} :

Avec deux chiffres significatifs, on obtient :

D'après la question 1, un photon émis lors d'une transition entre un niveau initial d'énergie E_{n_i} et un niveau final d'énergie E_{n_f} (n_i > n_f) a pour longueur d'onde dans le vide :

En utilisant la loi des niveaux d'énergie E_n = -\dfrac{E_0}{n^2}, la différence d'énergie s'écrit :

On en déduit immédiatement la relation de Rydberg :

Par identification avec la relation (3) de l'énoncé, on obtient l'expression de la constante de Rydberg :

Il s'ensuit que :

Pour le calcul numérique, l'énoncé fournit la donnée hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} = 1{,}2 \times 10^3\text{ eV}\cdot\text{nm}. Avec la valeur de E_0 \simeq 13\text{ eV} obtenue à la question 3 :

1. Cas de l'état final n_f = 1 (série de Lyman) :

D'après la formule de Rydberg établie à la question Q4 :

Comme n_{i} \in \mathbb{N} avec n_{i} > n_{f} = 1, on a n_{i} \geqslant 2, d'où :

On en déduit :

Avec 1/R_{\infty} \simeq 92\text{ nm} (question Q4) :

Puisque toutes ces longueurs d'onde vérifient \lambda_{0} \leqslant 120\text{ nm} < 400\text{ nm}, ce domaine spectral correspond à l'ultraviolet (UV).

2. Cas de l'état final n_f > 2 (séries de Paschen, Brackett, etc.) :

Puisque n_f est un entier, n_f > 2 équivaut à n_f \geqslant 3. Pour une transition d'émission, n_i > n_f, donc :

On a donc :

Numériquement :

Puisque toutes ces raies ont une longueur d'onde supérieure à 800\text{ nm}, ce domaine spectral correspond à l'infrarouge (IR).

3. Raies observables dans le visible :

Le domaine de la lumière visible s'étend approximativement de 400\text{ nm} à 800\text{ nm} :

• pour n_f = 1, \lambda_0 \leqslant 120\text{ nm} : toutes les raies sont dans l'ultraviolet ;
• pour n_f \geqslant 3, \lambda_0 \geqslant 830\text{ nm} : toutes les raies sont dans l'infrarouge.

Par conséquent, les seules raies d'émission susceptibles d'être observées dans le domaine visible appartiennent nécessairement à la série de Balmer (n_f = 2).

D'après le tableau de l'énoncé, pour n_f = 2 :

• n_i = 3 donne \mathrm{H}_{\alpha} (\lambda_0 = 660\text{ nm}),
• n_i = 4 donne \mathrm{H}_{\beta} (\lambda_0 = 490\text{ nm}),
• n_i = 5 donne \mathrm{H}_{\gamma} (\lambda_0 = 440\text{ nm}),
• n_i = 6 donne \mathrm{H}_{\delta} (\lambda_0 = 410\text{ nm}),
• n_i = 7 donne \mathrm{H}_{\epsilon} (\lambda_0 = 400\text{ nm}, à l'extrême limite du violet).

Pour n_i \geqslant 8, les raies passent sous la barre des 400\text{ nm} (la limite de la série étant \lambda_{\text{lim}} = 4/R_\infty \simeq 370\text{ nm} dans le proche UV).

Les seules raies observables dans le visible sont donc les premières raies de la série de Balmer :

Le noyau ponctuel de charge +e est fixé à l'origine O. L'électron M de charge -e est repéré par son vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{OM} = r\,\vec{u}_r (avec r = \|\vec{r}\|).

D'après la loi de Coulomb, la force électrostatique exercée par le noyau sur l'électron s'écrit :

Cette force est conservative et dérive de l'énergie potentielle E_p(r) selon \vec{F} = -\vec{\nabla}E_p. En coordonnées sphériques, du fait de la symétrie centrale, on a :

En intégrant par rapport à r :

où C est une constante réelle.

D'après la convention choisie par l'énoncé, l'origine de l'énergie potentielle est prise à l'infini :

On obtient finalement :

On étudie l'électron M, assimilé à un point matériel de masse m_e, dans le référentiel galiléen lié au noyau fixe en O. Il est soumis à la seule force électrostatique de Coulomb :

Le moment cinétique de l'électron par rapport au point O est \vec{s} = \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{r} \wedge (m_e \vec{v}). Calculons sa dérivée temporelle :

D'une part, le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est nul : \vec{v} \wedge (m_e \vec{v}) = \vec{0}.
D'autre part, la force d'interaction coulombienne est une force centrale de centre O, donc colinéaire à \vec{r} :

On en déduit :

Le moment cinétique par rapport à O est donc bien une constante du mouvement.

Planéité du mouvement : Supposons \vec{s} \neq \vec{0} (le cas \vec{s} = \vec{0} correspond à un mouvement rectiligne passant par O, qui est une droite et donc inclus dans un plan contenant O).
Par définition du produit vectoriel, le vecteur \vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}(t) est orthogonal à \vec{s} à tout instant :

Le vecteur \vec{s} étant constant et non nul au cours du temps, la relation \overrightarrow{OM}(t) \cdot \vec{s} = 0 caractérise l'équation d'un plan passant par l'origine O et de vecteur normal \vec{s}.

Le mouvement de l'électron est donc plan, et ce plan contient nécessairement la position O du noyau.

Le mouvement de l'électron a lieu dans le plan (Oxy) contenant le noyau O. En coordonnées polaires (r, \theta) de base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), le vecteur position et le vecteur vitesse s'écrivent :

L'énergie cinétique de l'électron vaut donc :

Le moment cinétique par rapport à O s'exprime par :

Sa norme s = \|\vec{s}\| = m_e r^2 |\dot{\theta}| étant constante au cours du temps d'après la question Q7, on en déduit :

Le terme orthoradial de l'énergie cinétique s'écrit alors uniquement en fonction de r :

D'après la question Q6, l'énergie potentielle d'interaction s'écrit E_p(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. L'énergie mécanique totale E = E_c + E_p est donc :

Elle se met bien sous la forme annoncée E = \frac{1}{2} m_e \dot{r}^2 + U(r), avec l'énergie potentielle effective :

D'après la question Q8, l'énergie potentielle effective s'écrit :

Elle est définie pour r > 0 (avec s > 0). Ses comportements asymptotiques sont :

La dérivée par rapport à r s'écrit :

La fonction U(r) admet donc un unique extremum en r = r_c(s) tel que \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(r_c) = 0, soit :

Puisque U'(r) < 0 pour r < r_c et U'(r) > 0 pour r > r_c, ce point correspond au minimum absolu de U(r), noté E_c(s) = U(r_c).

Comme l'énergie cinétique radiale \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 = E - U(r) est nécessairement positive ou nulle, le mouvement n'est possible que dans les domaines où E \geqslant U(r).

On distingue ainsi quatre types d'orbites selon le niveau de l'énergie mécanique E :

1. Niveau E = E_c(s) (orbite circulaire) : état lié, la vitesse radiale est identiquement nulle (\dot{r} = 0). La distance au centre est constante, égale au rayon caractéristique r = r_c. La trajectoire est un cercle.
2. Niveau E_c(s) < E < 0 (orbite elliptique) : état lié, le mouvement est borné entre deux points d'arrêt radiaux (\dot{r}=0), le périastre r_{\min} et l'apoastre r_{\max}. La trajectoire est une ellipse dont le noyau occupe l'un des foyers.
3. Niveau E = 0 (orbite parabolique) : état de diffusion (limite de libération). Le mouvement est non borné avec r \in [r_{\min}, +\infty[, et la vitesse radiale tend vers zéro à l'infini. La trajectoire est une parabole.
4. Niveau E > 0 (orbite hyperbolique) : état de diffusion. Le mouvement est non borné avec r \in [r_{\min}, +\infty[, la particule arrive de l'infini et s'en retourne avec une vitesse non nulle à l'infini (\dot{r} \to \sqrt{2E/m_e}). La trajectoire est une branche d'hyperbole.

Pour une trajectoire circulaire de rayon r = r_c(s), le vecteur vitesse est purement orthoradial : \vec{v}_c = r_c \dot{\theta}\,\vec{u}_\theta, d'où \|\vec{r}_c \wedge \vec{p}_c\| = r_c p_c = s. On en déduit l'impulsion :

Soit, en remplaçant r_c(s) par son expression :

L'énergie mécanique de la trajectoire circulaire s'obtient en évaluant U(r) en r = r_c :

En remarquant que \frac{s^2}{m_e r_c^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_c}, il vient :

En injectant l'expression de r_c(s), on obtient finalement :

Sur une trajectoire circulaire de rayon r, la quantité de mouvement \vec{p} est orthoradiale, c'est-à-dire orthogonale au rayon vecteur \vec{r} = \overrightarrow{OM}. La norme du moment cinétique s'écrit donc simplement :

D'après l'énoncé, l'onde stationnaire associée à l'électron boucle constructivement sur elle-même si le périmètre de la trajectoire circulaire contient un nombre entier n \in \mathbb{N}^* de longueurs d'onde de de Broglie \lambda = \frac{h}{p} :

En réarrangeant les termes, on obtient :

Comme s = rp, il vient la quantification du moment cinétique :

D'après la question Q10, le moment cinétique est quantifié selon :

Rayon des orbites circulaires permises D'après la question Q9, le rayon s'écrit r_c(s) = \frac{4\pi\varepsilon_0 s^2}{m_e e^2}. En remplaçant s par son expression quantifiée, il vient :

Impulsion de l'électron D'après la question Q9, l'impulsion s'écrit p_c(s) = \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 s}. Il vient immédiatement :

Énergie mécanique D'après la question Q9, l'énergie mécanique s'écrit E_c(s) = -\frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2 s^2}. En injectant s^2 = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2}, on obtient :

Comparaison à la relation (2) L'expression obtenue est strictement de la forme de la relation (2), E_n = -\frac{E_0}{n^2}, avec une constante E_0 positive exprimée uniquement à l'aide des constantes fondamentales de la physique :

Le modèle semi-classique de Bohr fournit ainsi une justification théorique à la formule phénoménologique de Balmer.

D'après la question Q11, le rayon des trajectoires circulaires s'écrit, pour tout entier n \in \mathbb{N}^* :

La fonction n \mapsto r_c(n) est strictement croissante sur \mathbb{N}^*. Le rayon minimal est donc atteint pour l'état fondamental, c'est-à-dire pour n = 1 :

Effectuons l'application numérique avec les données de l'énoncé :

• \varepsilon_0 = 8{,}9 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• h = 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C} ;
• \pi \simeq 3{,}14.

Calculons le numérateur :

Calculons le dénominateur :

On en déduit :

Avec un seul chiffre significatif, comme explicitement demandé :

Commentaires :

1. Cette grandeur correspond au rayon de Bohr, traditionnellement noté a_0 \simeq 0{,}53\text{ \AA}. Elle donne l'ordre de grandeur caractéristique de la taille d'un atome (environ un dixième de nanomètre ou un angström).
2. Ce résultat résout le paradoxe de la physique classique selon lequel l'électron accéléré sur son orbite devrait rayonner en continu et s'effondrer sur le noyau en une fraction de seconde : la quantification impose l'existence d'une orbite fondamentale de rayon non nul, assurant ainsi la stabilité de l'atome d'hydrogène.

1. Interprétation physique de l'intégrale :

Le domaine \mathscr{D} étant un cylindre de section constante S dirigé selon (Ox), l'élément de volume s'écrit \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}x. D'après l'interprétation probabiliste de Born, la quantité

représente la probabilité élémentaire de trouver la particule à l'instant t dans la tranche cylindrique comprise entre x et x+\mathrm{d}x.

L'intégrale sur le domaine \mathscr{D} s'interprète donc comme la probabilité totale de trouver la particule dans l'ensemble du domaine de confinement \mathscr{D} à l'instant t. Pour une particule effectivement confinée dans ce domaine, la condition de normalisation impose :

2. Dimension de la fonction d'onde :

Une probabilité étant un nombre sans dimension ([\mathbb{P}] = 1), on a :

On en déduit immédiatement :

3. Équation différentielle vérifiée par \underline{\psi}(x) :

Injectons la forme proposée \underline{\Psi}(x,t) = \underline{\psi}(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} dans la partie spatiale de l'équation de Schrödinger (4) :

En remarquant que \frac{\partial^2 \underline{\Psi}}{\partial x^2} = \frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} et en simplifiant par le facteur temporel non nul \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, on obtient l'équation de Schrödinger stationnaire (indépendante du temps) :

4. Expression de l'énergie de la particule :

La première égalité de l'équation (4) donne :

Or, avec la dépendance temporelle en \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} :

Il vient :

D'où l'expression de l'énergie de la particule :

Pour un potentiel constant V(x) = V_0, l'équation de Schrödinger stationnaire établie à la question Q13 s'écrit :

1. Condition de propagation sans atténuation

Posons k^2 = \frac{2m(E - V_0)}{\hbar^2}.

• Si E < V_0, le terme k^2 est strictement négatif : les solutions spatiales sont de la forme exponentielle réelle \mathrm{e}^{\pm \kappa x} (avec \kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar). Les ondes associées sont stationnaires ou évanescentes, avec atténuation spatiale.
• Si E > V_0, k^2 > 0 et k = \frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar} \in \mathbb{R}^*. La dépendance spatio-temporelle de la fonction d'onde totale \underline{\Psi}(x,t) = \underline{\psi}(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} fait alors intervenir des termes oscillants en \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}kx}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pm kx - \omega t)}, correspondant à des ondes progressives sans amortissement.

La condition nécessaire et suffisante pour avoir propagation sans atténuation est donc :

2. Forme générale de \underline{\psi} et longueur d'onde \lambda

L'équation différentielle linéaire à coefficients constants admet pour solution générale dans \mathbb{C} :

La longueur d'onde de matière associée est la période spatiale de l'onde :

Comme \hbar = \frac{h}{2\pi}, on obtient :

3. Impulsion de la particule pour un sens unique de propagation

Dans le cas d'une propagation dans un sens unique (par exemple selon les x croissants, c'est-à-dire \underline{B} = 0), la relation de De Broglie \lambda = \frac{h}{p} identifie l'impulsion p à :

Soit :

4. Comparaison avec la physique classique

L'énergie cinétique s'écrit K = E - V_0. En mécanique classique non relativiste, l'énergie cinétique d'une particule de masse m et d'impulsion p = mv vaut :

La relation entre impulsion p et énergie cinétique K = E - V(x) est donc exactement la même qu'en physique classique non relativiste.

Non, les deux conditions d'ondes stationnaires ne sont pas identiques :

• Modèle de Bohr (figure 3) : la particule évolue sur une trajectoire fermée (un cercle de rayon r). La condition de raccordement est une condition de périodicité spatiale (l'onde doit interférer de manière constructive avec elle-même après un tour complet). Le périmètre du cercle doit donc contenir un nombre entier n de longueurs d'onde entières :

  2\pi r = n\lambda \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*

• Puits unidimensionnel infini (figure 4) : la particule est confinée sur un segment de longueur \ell avec annulation stricte de la fonction d'onde aux deux extrémités (x=0 et x=\ell, conditions aux limites de Dirichlet). La présence d'un nœud à chaque bord impose que la longueur \ell soit un multiple entier de demi-longueurs d'onde :

  \ell = n\frac{\lambda}{2} \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*

La condition de quantification sur le segment fait intervenir des demi-longueurs d'onde (\lambda/2), alors que celle de Bohr sur l'orbite circulaire impose un nombre entier de longueurs d'onde entières (\lambda).

Dans le domaine x \in [0, \ell], le potentiel est nul (V(x) = 0). D'après l'équation (4) pour un état stationnaire \underline{\Psi}(x,t) = \underline{\psi}(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, la composante spatiale \underline{\psi}(x) vérifie :

Pour un état lié confiné dans le segment, l'énergie est strictement positive (E > 0). En posant k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, l'équation différentielle s'écrit :

La solution générale est de la forme :

Les conditions aux limites imposent l'annulation de la fonction d'onde aux deux extrémités du segment :

Pour une solution non triviale (\underline{B} \neq 0), il vient :

ce qui correspond bien à une fonction d'onde s'annulant n-1 fois sur le segment ouvert ]0, \ell[.

On en déduit l'expression du vecteur d'onde k_n = \frac{n\pi}{\ell}, puis celle de l'énergie quantifiée :

En introduisant la constante de Planck h = 2\pi\hbar, on obtient :

D'après le résultat de la question Q16, l'énergie des niveaux quantifiés s'écrit :

L'état fondamental correspond à n = 1 et le premier état excité à n = 2. L'écart d'énergie entre ces deux états vaut ainsi :

On en déduit l'expression de la dimension de confinement \ell :

Procédons à l'application numérique avec les données de l'énoncé :

• h = 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• m_n = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg} ;
• \Delta E = 30\text{ MeV} = 30 \times 10^6 \times 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} = 4{,}8 \times 10^{-12}\text{ J}.

Le dénominateur de la fraction sous la racine vaut :

On calcule alors :

En prenant la racine carrée et en exploitant la donnée \sqrt{5} = 2{,}2 :

Commentaires et interprétation physique :

• Situation physique : La particule considérée étant un neutron confiné dans une région de dimension de l'ordre de quelques femtomètres (1\text{ fm} = 10^{-15}\text{ m}), cette situation modélise un nucléon confiné à l'intérieur d'un noyau atomique.
• Nature de l'interaction : Le neutron ayant une charge électrique nulle, il n'est pas sensible à l'interaction électrostatique. Son confinement est donc assuré par l'interaction forte (interaction nucléaire résiduelle), qui est attractive et à très courte portée (de l'ordre du femtomètre).

1. Conséquence d'une charge du cristal

Si le support du cristal était isolé électriquement, l'impact continu des électrons du faisceau entraînerait une accumulation de charges négatives sur le cristal.

• Cette charge ferait chuter le potentiel électrostatique du cristal et engendrerait un champ électrique répulsif dans l'espace situé en amont.
• Les électrons incidents subiraient alors une décélération et une déviation incontrôlées : leur énergie cinétique, leur quantité de mouvement \vec{p} et donc leur longueur d'onde de De Broglie \lambda = h/p ne seraient plus fixées ni uniformes.
• À terme, la répulsion coulombienne pourrait même empêcher les électrons d'atteindre la cible. Une telle accumulation n'est donc pas souhaitable.

2. Choix de la liaison électrique

Pour évacuer ces charges tout en maintenant des conditions expérimentales maîtrisées, il faut relier électriquement le cristal aux électrodes A et B.

• D'après l'énoncé, les électrons ne doivent subir aucune interaction entre la grille B et le cristal. L'espace de propagation libre doit donc être dépourvu de champ électrostatique (\vec{E} = \vec{0}), ce qui impose une région équipotentielle :

  V_{\text{cristal}} = V_{\mathrm{B}} = V_{\mathrm{A}}
• À l'inverse, si le cristal était relié à la masse (V = 0), il régnerait entre la grille B (au potentiel V_{\mathrm{A}} > 0) et le cristal une différence de potentiel décélératrice. Les électrons, émis par la cathode K à potentiel nul avec une vitesse quasi-nulle, y perdraient toute l'énergie cinétique acquise entre K et A et seraient renvoyés en arrière sans pouvoir sonder le réseau cristallin.

Considérons un électron de masse m_e et de charge q = -e émis en K avec une vitesse initiale négligeable (v_{\mathrm{K}} \simeq 0, soit une énergie cinétique initiale K_{\mathrm{K}} \simeq 0), au potentiel électrique V_{\mathrm{K}} = 0.

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, l'électron est soumis à la seule force électrostatique conservative dérivant du potentiel électrostatique V. Le théorème de l'énergie cinétique entre K et A s'écrit :

Puisque K_{\mathrm{K}} = 0, l'énergie cinétique acquise par l'électron au niveau de la grille A vaut :

En mécanique classique non relativiste, le module de l'impulsion p est relié à l'énergie cinétique par K = \dfrac{p^2}{2m_e}, d'où :

Dans la zone située entre les grilles AB et le cristal, l'énoncé précise que les électrons « ne subissent aucune interaction ». Le milieu est donc considéré comme un espace libre où l'énergie potentielle d'interaction est nulle (V(x) = 0). Dans l'équation de Schrödinger (4) appliquée à cette onde plane progressive \underline{\Psi}_{\text{inc}}(x,t) = \psi_0 \exp\left[-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(px - Et)\right], l'énergie E s'identifie à l'énergie cinétique de la particule :

On obtient ainsi :

1. Dimension et interprétation physique de \vec{J} :

• D'après la question Q13, la densité volumique de probabilité de présence est |\underline{\Psi}|^2, de dimension [\,|\underline{\Psi}|^2\,] = L^{-3}.

• Le terme \frac{\vec{p}}{m_{e}} correspond à la vitesse classique de l'électron, de dimension :

  \left[\frac{\vec{p}}{m_{e}}\right] = L\cdot T^{-1}

  On en déduit la dimension du vecteur \vec{J} :

  \boxed{ [\vec{J}] = L^{-2}\cdot T^{-1} }
• Interprétation physique : \vec{J} est le vecteur densité de courant de probabilité (ou densité de flux de particules). Son flux à travers une surface orientée représente le nombre moyen d'électrons (ou la probabilité) traversant cette surface par unité de temps.

2. Expression de \psi_{0} :

Pour l'onde plane progressive incidente \underline{\Psi}_{\text{inc}}(x,t) = \psi_{0}\,\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(px - Et)}, la densité volumique associée est constante :

L'impulsion étant orientée selon l'axe de propagation \vec{u}_x avec p > 0, le vecteur densité de courant s'écrit :

Le flux d'électrons par unité de section droite et par unité de temps envoyé vers le cristal est \Phi_0, ce qui correspond à la norme du vecteur densité de courant :

Puisque \psi_0 > 0, on obtient directement :

3. Perte de généralité :

Dans le cas le plus général, l'amplitude est un nombre complexe \underline{\psi}_0 = \psi_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}, où \phi \in \mathbb{R} est une phase globale.

Une telle phase globale n'a aucune conséquence physique, car elle disparaît dans le module au carré |\underline{\Psi}|^2 ainsi que dans le vecteur densité de courant \vec{J}. Elle équivaut simplement à une redéfinition de l'origine des temps ou des positions spatiales.

Il n'y a donc aucune perte de généralité à choisir \psi_0 réel et strictement positif.

Considérons deux plans réticulaires parallèles consécutifs, distants de a. D'après la figure 6, le faisceau incident et le faisceau réfléchi font chacun un angle \theta/2 avec la normale aux plans réticulaires (l'angle total de déviation étant \theta). L'angle d'incidence par rapport à la normale aux plans est donc :

Le second rayon parcourt un trajet supplémentaire dans le cristal avant de ressortir parallèlement au premier rayon. Par analogie directe avec la réflexion d'une onde plane sur une lame à faces parallèles d'indice n = 1 et d'épaisseur a (lame d'air), la différence de marche géométrique entre les deux rayons électroniques réfléchis s'écrit :

On peut également retrouver ce résultat en projetant géométriquement les fronts d'onde incidents et réfléchis : le retard du second rayon correspond à un aller-retour de longueur 2 \frac{a}{\cos(\theta/2)}, diminué de la projection sur la direction de propagation de l'avance du premier rayon, ce qui donne bien 2 a \cos(\theta/2).

Pour observer un faisceau diffracté d'intensité maximale, les ondes diffusées par les différents plans réticulaires doivent interférer de manière constructive. La différence de marche \delta doit donc être un multiple entier de la longueur d'onde de De Broglie \lambda du faisceau électronique :

où q désigne l'ordre d'interférence. On en déduit la relation de Bragg adaptée à cette paramétrisation :

D'après les questions Q19 et Q21, la longueur d'onde de De Broglie associée aux électrons s'écrit :

La condition d'interférences constructives pour le faisceau réfléchi à l'ordre q \in \mathbb{N}^* est :

Ce qui conduit à :

Choix de l'abscisse en \sqrt{V} : À angle \theta fixé, la grandeur \sqrt{V} est directement proportionnelle à l'ordre d'interférence q. Les pics d'intensité maximale correspondant aux ordres successifs apparaissent donc à intervalles réguliers sur l'axe des abscisses, avec une périodicité :

Estimation de la distance interréticulaire a : Sur la figure 7, on repère une série de pics périodiques situés approximativement à \sqrt{V} \approx 7{,}3\text{ V}^{1/2}, 9{,}8\text{ V}^{1/2}, 12{,}8\text{ V}^{1/2}, 15{,}6\text{ V}^{1/2}, 18{,}5\text{ V}^{1/2}, 21{,}5\text{ V}^{1/2} et 24{,}5\text{ V}^{1/2}.
L'écart moyen entre deux pics consécutifs vaut :

On en déduit l'expression de a :

Calculons le facteur constant :

Avec \cos(25^\circ) = 0{,}91 et \Delta(\sqrt{V}) \simeq 3\text{ V}^{1/2} :

Avec un seul chiffre significatif :

Remarque : si l'on interprétait le premier pic visible (\sqrt{V} \approx 7{,}3\text{ V}^{1/2}, soit V \approx 54\text{ V}) comme correspondant directement au premier ordre q=1, on obtiendrait a \simeq 1 \times 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}, ce qui conserve le même ordre de grandeur.

Commentaire : La valeur trouvée, a \sim 10^{-10}\text{ m} = 1\text{ \AA}, correspond exactement à l'ordre de grandeur de la distance interatomique dans un réseau cristallin métallique (le paramètre de maille du nickel vaut environ 0{,}35\text{ nm}, et les distances interréticulaires sont comprises entre 0{,}1 et 0{,}2\text{ nm}). Cette concordance confirme la réalité physique des ondes de matière de De Broglie : des électrons accélérés sous quelques dizaines de volts possèdent une longueur d'onde de l'ordre de l'angström, leur permettant de diffracter sur un réseau cristallin de la même manière que des rayons X.

La probabilité élémentaire de trouver l'électron dans un élément de volume \mathrm{d}\tau = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi est donnée par :

La probabilité \mathrm{d}\mathbb{P} = \rho(r)\,\mathrm{d}r d'observer l'électron entre les distances r et r+\mathrm{d}r du noyau s'obtient par intégration sur les angles \theta \in [0, \pi] et \varphi \in [0, 2\pi] :

soit \rho(r) = 4\pi \psi_0^2 r^2 \mathrm{e}^{-2r/R}.

La constante \psi_0 est déterminée par la condition de normalisation de la probabilité totale :

En effectuant le changement de variable x = \frac{2r}{R} (d'où r = \frac{R}{2}x et \mathrm{d}r = \frac{R}{2}\mathrm{d}x) :

en utilisant l'intégrale fournie dans les données. La condition de normalisation s'écrit alors :

On en déduit l'expression de la densité radiale de probabilité de présence :

Pour tracer la courbe représentative, étudions la dérivée de \rho(r) par rapport à r :

On constate que :

• \rho(0) = 0 et \lim_{r\to+\infty}\rho(r) = 0 ;
• \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}r} s'annule pour r = R (pour r > 0) ;
• la fonction admet un unique maximum en r = R, de valeur \rho(R) = \frac{4}{\mathrm{e}^2 R} \simeq \frac{0{,}54}{R}.

Interprétation géométrique de R : La constante R représente le rayon le plus probable, c'est-à-dire la distance au noyau où la probabilité de trouver l'électron par unité d'épaisseur radiale est maximale.

L'électron de masse m_e évolue dans le potentiel coulombien créé par le noyau ponctuel de charge +e :

L'équation de Schrödinger tridimensionnelle indépendante du temps vérifiée par la composante spatiale f(r) s'écrit :

La fonction f(r) = \psi_0 \mathrm{e}^{-r/R} ne dépend que de la variable radiale r. En utilisant l'expression du laplacien fournie en coordonnées sphériques :

En réinjectant cette expression dans l'équation de Schrödinger, on obtient pour tout r > 0 :

La fonction f(r) ne s'annulant pas à distance finie, on peut diviser par f(r) :

Cette relation devant être identiquement vérifiée pour tout r > 0, les coefficients de la dépendance en 1/r et du terme constant doivent s'annuler séparément :

En remplaçant \hbar = \frac{h}{2\pi}, on exprime R en fonction des constantes du sujet :

En injectant cette valeur de R dans l'énergie E :

Comparaison avec le modèle de Bohr :

• Énergie de l'état fondamental : la valeur de l'énergie E coïncide rigoureusement avec l'énergie E_c(n=1) = -E_0 obtenue dans le modèle semi-classique de Bohr (question Q11) et avec la constante déduite de la formule empirique de Balmer-Rydberg.
• Échelle spatiale : la constante R est exactement égale au rayon minimal r_{c,\min} = r_c(1) = a_0 de la première orbite circulaire de Bohr (question Q12).
• Différence conceptuelle majeure : dans le modèle de Bohr, l'électron est une particule ponctuelle astreinte à une trajectoire circulaire déterministe de rayon fixe r_{c,\min} avec un moment cinétique orbital s = \hbar. En mécanique quantique ondulatoire, l'électron n'a pas de trajectoire : il est décrit par une onde de probabilité délocalisée dans tout l'espace, R représentant la distance la plus probable au noyau (cf. question Q23), et cet état fondamental à symétrie sphérique possède un moment cinétique orbital nul (l = 0).

L'énergie potentielle d'interaction électrostatique entre le noyau et l'électron s'écrit (question Q6) :

Par définition d'une valeur moyenne et en exploitant la densité radiale de probabilité \rho(r) = \frac{4}{R^3} r^2 \mathrm{e}^{-2r/R} (question Q23) :

En posant le changement de variable sans dimension x = \frac{2r}{R}, soit r = \frac{R}{2}x et \mathrm{d}r = \frac{R}{2}\mathrm{d}x, il vient :

d'après l'intégrale fournie en fin d'énoncé. On en déduit :

En remplaçant R par son expression R = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2} (question Q24) et en rappelant que E = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} = -E_0 :

L'énergie totale stationnaire de l'électron étant la somme des énergies cinétique et potentielle moyennes, E = \langle K \rangle + \langle V \rangle, l'énergie cinétique moyenne s'en déduit directement :

Commentaires :

• L'énergie cinétique moyenne est strictement positive (\langle K \rangle > 0), en parfait accord avec son caractère défini positif.
• On retrouve la relation fondamentale 2\langle K \rangle + \langle V \rangle = 0, qui constitue l'énoncé quantique du théorème du viriel pour un potentiel d'interaction en 1/r proportionnel à une force en 1/r^2.
• Cette répartition énergétique (\langle K \rangle = -E et \langle V \rangle = 2E) est rigoureusement identique à celle obtenue pour une orbite circulaire classique dans le modèle de Bohr (question Q9).