Feuille d'entraînement : Mouvement d'une particule chargée dans E et B

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2026, Q22

   On applique le principe fondamental de la dynamique à l'ion de masse m et de charge e > 0 dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le poids étant négligé, l'ion est uniquement soumis à la force de Lorentz magnétique :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = e\,\vec{v} \wedge \vec{B}.

   D'après les questions Q20 et Q21, le vecteur vitesse et le champ magnétique s'écrivent :

   \vec{v}(t) = v_x(t)\,\vec{e}_x + v_y(t)\,\vec{e}_y \quad \text{et} \quad \vec{B} = B\,\vec{e}_z.

   Le produit vectoriel s'explicite selon :

   \vec{v} \wedge \vec{B} = \left(v_x\,\vec{e}_x + v_y\,\vec{e}_y\right) \wedge \left(B\,\vec{e}_z\right) = - v_x B\,\vec{e}_y + v_y B\,\vec{e}_x.

   L'équation du mouvement s'écrit alors :

   m \left(\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_x + \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_y\right) = e B v_y\,\vec{e}_x - e B v_x\,\vec{e}_y.

   En posant la pulsation cyclotron \omega = \dfrac{eB}{m}, la projection sur les axes \vec{e}_x et \vec{e}_y donne les deux équations différentielles couplées :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = \omega v_y \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = -\omega v_x}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{v}_x}{\mathrm{d}t}=\omega v_y\text{et}\frac{\mathrm{d}{v}_y}{\mathrm{d}t}=-\omega v_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MP 2026, Q26

   D'après les équations horaires établies à la question Q25, les coordonnées de l'ion vérifient :

   \begin{aligned} x(t) &= \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t) \\ y(t) + \frac{v_0}{\omega} &= \frac{v_0}{\omega}\cos(\omega t) \end{aligned}

   En élevant au carré puis en sommant ces deux expressions, il vient :

   \begin{aligned} x(t)^2 + \left(y(t) + \frac{v_0}{\omega}\right)^2 &= \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 \left(\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\right) \\ &= \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 \end{aligned}

   On reconnaît l'équation cartésienne d'un cercle situé dans le plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y), de centre C\left(0, -\frac{v_0}{\omega}\right) et de rayon :

   R = \frac{v_0}{\omega}

   Sachant que \omega = \dfrac{eB}{m} (question Q22), on obtient pour le rayon de courbure de la trajectoire :

   \boxed{R = \frac{m v_0}{e B}}

   Résultat

   $$R=\frac{m{v}_0}{eB}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q11

   On étudie le mouvement d'un électron (masse m_e, charge q = -e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'électron est soumis à la seule force de Lorentz :

   \vec{F}_L = -e\,\vec{v}\wedge\vec{B}

   le poids étant totalement négligeable devant cette force magnétique.

   La puissance développée par la force magnétique est nulle à tout instant :

   \mathcal{P} = \vec{F}_L \cdot \vec{v} = -e\,(\vec{v}\wedge\vec{B})\cdot\vec{v} = 0

   D'après le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique de l'électron est constante, et sa vitesse a donc une norme constante égale à sa vitesse initiale : v = v_0. Il en est de même pour la norme de sa quantité de mouvement :

   p = m_e v_0 = \text{cte}

   Puisque la trajectoire est circulaire de rayon R_B parcourue à la vitesse constante v_0, le vecteur accélération dans la base de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N) est purement centripète :

   \vec{a} = \frac{v_0^2}{R_B}\,\vec{u}_N

   Par ailleurs, la vitesse étant orthogonale au champ magnétique (\vec{v} \perp \vec{B} car la vitesse initiale est selon \vec{e}_z et le champ selon \vec{e}_y), la force de Lorentz est contenue dans le plan de trajectoire et sa norme s'écrit :

   \|\vec{F}_L\| = |-e|\,\|\vec{v}\wedge\vec{B}\| = e\,v_0 B_0

   La relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'électron et projetée sur l'axe normal \vec{u}_N donne :

   m_e \frac{v_0^2}{R_B} = e\,v_0 B_0 \iff m_e v_0 = e B_0 R_B

   En identifiant p = m_e v_0, on obtient la relation demandée :

   \boxed{B_0 = \frac{p}{e R_B}}

   Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R_B à la vitesse v_0, la pulsation de rotation \omega_B (aussi appelée pulsation cyclotron) s'exprime par \omega_B = \frac{v_0}{R_B}. En utilisant v_0 = \frac{e B_0 R_B}{m_e}, on en déduit :

   \boxed{\omega_B = \frac{e B_0}{m_e}}

   Résultat

   $$B_0=\frac{p}{e{R}_B}$$

   $${\omega }_B=\frac{e{B}_0}{m_e}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2021, Q24

   La force électromagnétique exercée par l'onde sur un électron libre de charge q = -e et de vitesse \vec{v}(M,t) s'écrit d'après la loi de Lorentz :

   \vec{F}_{\mathrm{em}} = -e \left( \vec{E}(M,t) + \vec{v}(M,t) \times \vec{B}(M,t) \right).

   Compte tenu des conditions au repos (\vec{E}_0 = \vec{0}, \vec{B}_0 = \vec{0} et \vec{v}_0 = \vec{0}), les grandeurs au premier ordre s'écrivent \vec{E} = \vec{E}_1, \vec{B} = \vec{B}_1 et \vec{v} = \vec{v}_1. La composante magnétique de la force de Lorentz s'exprime donc par :

   \vec{F}_{\mathrm{mag}} = -e \, \vec{v}_1(M,t) \times \vec{B}_1(M,t).

   Deux arguments complémentaires justifient son absence dans l'équation linéarisée (III.1) :

   • Cadre de l'approximation linéaire : La vitesse \vec{v}_1 et le champ magnétique \vec{B}_1 sont tous deux des grandeurs de perturbation d'ordre 1. Leur produit vectoriel \vec{v}_1 \times \vec{B}_1 est donc une grandeur du second ordre. Conformément à la démarche de linéarisation au premier ordre précisée dans le texte, ce terme d'ordre 2 est négligé devant la force électrique -e\vec{E}_1, qui est d'ordre 1.

   • Approximation non relativiste : Pour une onde électromagnétique se propageant à une vitesse de l'ordre de c, les amplitudes des champs vérifient la relation d'ordre de grandeur B_1 \sim E_1 / c. Le rapport des normes des forces magnétique et électrique s'estime donc par :

     \frac{\|\vec{F}_{\mathrm{mag}}\|}{\|\vec{F}_{\mathrm{elec}}\|} \sim \frac{e v_1 B_1}{e E_1} \sim \frac{v_1}{c}.

     L'hypothèse d'électrons non relativistes (\|\vec{v}_1\| \ll c) garantit ainsi que la composante magnétique est totalement négligeable devant la composante électrique.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique MP 2026, Q24

   Le noyau atomique est constitué de nucléons (protons et neutrons) dont la masse individuelle vaut m_p \simeq 1{,}67 \cdot 10^{-27}\text{ kg}. Même pour le plus léger des noyaux (le proton pour l'hydrogène), le rapport entre la masse du noyau M_{\text{noyau}} et la masse m de l'électron vaut :

   \frac{M_{\text{noyau}}}{m} \ge \frac{m_p}{m} \simeq \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}} \simeq 1\,836 \gg 1.

   Pour des atomes plus lourds, ce rapport est encore plus grand (de l'ordre de 10^4 à 10^5).

   D'après le principe fondamental de la dynamique, sous l'action de forces d'interaction électrostatique d'intensités comparables, l'accélération subie par une particule est inversement proportionnelle à sa masse :

   \|\vec{a}_{\text{noyau}}\| = \frac{\|\vec{F}\|}{M_{\text{noyau}}} \ll \frac{\|\vec{F}\|}{m} = \|\vec{a}_e\|.

   Le noyau possède ainsi une inertie considérablement plus grande que celle des électrons : son déplacement en réponse aux sollicitations électromagnétiques est négligeable devant celui des électrons.

   Il est donc tout à fait légitime de considérer le noyau comme immobile au centre de l'atome (approximation du noyau fixe).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique MP 2026, Q30

   La force électromagnétique exercée par le rayonnement sur l'électron (de charge q_e = -e) est donnée par la force de Lorentz :

   \vec{f}_{em} = -e\left(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B}\right)

   Elle se décompose en une composante électrique \vec{f}_E = -e\vec{E} et une composante magnétique \vec{f}_B = -e(\vec{v}\wedge\vec{B}).

   En ordre de grandeur, les normes de ces deux forces vérifient :

   \frac{\|\vec{f}_B\|}{\|\vec{f}_E\|} \leqslant \frac{v B}{E}

   D'après la relation établie à la question Q29, le champ magnétique de l'onde vérifie \underline{\vec{B}} = \frac{\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}}{\omega}. Les amplitudes des champs sont donc liées par :

   B \sim \frac{|k|}{\omega} E = \frac{E}{v_\varphi}

   où v_\varphi = \frac{\omega}{\mathrm{Re}(k)} est la vitesse de phase de l'onde. Dans un milieu matériel peu dense, l'indice optique est proche de l'unité et la vitesse de phase est de l'ordre de la célérité de la lumière dans le vide : v_\varphi \simeq c. Le rapport des forces s'écrit donc :

   \frac{\|\vec{f}_B\|}{\|\vec{f}_E\|} \sim \frac{v}{c}

   Pour que la force magnétique soit négligeable devant la force électrique (\|\vec{f}_B\| \ll \|\vec{f}_E\|), les conditions requises sont :

   \boxed{v \ll c}

   c'est-à-dire que le mouvement de l'électron au sein de l'atome doit être non relativiste.

   En pratique, cela implique :

   • que le champ incident ne soit pas trop intense (faible irradiance lumineuse), afin de ne pas conférer à l'électron une vitesse proche de c ;
   • que les vitesses électroniques intra-atomiques d'origine quantique restent petites devant c (valable pour les électrons de valence des atomes légers, où v/c \sim \alpha \simeq 1/137).

   Résultat

   $$v\ll c$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2026, Q20

   Le système étudié est l'ion de masse m et de charge e > 0, assimilé à un point matériel. L'étude est menée dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base orthonormée directe (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

   Le poids étant négligé, l'ion n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

   \vec{F} = e\,\vec{v} \wedge \vec{B}

   avec un champ magnétique uniforme de direction \vec{e}_z, soit \vec{B} = B_z\,\vec{e}_z (avec |B_z| = B).

   D'après le principe fondamental de la dynamique :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = e\,\vec{v} \wedge \vec{B}

   Par propriété du produit vectoriel, la force magnétique est orthogonale à \vec{B}, donc orthogonale à \vec{e}_z :

   (\vec{v} \wedge \vec{B}) \cdot \vec{e}_z = 0

   En projetant l'équation du mouvement selon la direction \vec{e}_z, on obtient :

   m \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0 \implies v_z(t) = \text{constante}

   Or, à l'instant initial t=0 :

   • la vitesse initiale est \vec{v}(0) = \vec{v}_0 = v_0\,\vec{e}_x, d'où v_z(0) = 0 ;
   • l'ion est en \mathrm{O}, d'où z(0) = 0.

   On en déduit que :

   \forall t \ge 0, \quad v_z(t) = \dot{z}(t) = 0 \implies z(t) = z(0) = 0

   \boxed{\text{La trajectoire de l'ion est contenue dans le plan } (\mathrm{O}, \vec{e}_x, \vec{e}_y).}

   Résultat

   $$\text{La trajectoire de l’ion est contenue dans le plan }(\mathrm{O},{\vec{e}}_x,{\vec{e}}_y).$$

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8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 1 MP 2026, Q18

   1. Conséquence d'une charge du cristal

   Si le support du cristal était isolé électriquement, l'impact continu des électrons du faisceau entraînerait une accumulation de charges négatives sur le cristal.

   • Cette charge ferait chuter le potentiel électrostatique du cristal et engendrerait un champ électrique répulsif dans l'espace situé en amont.
   • Les électrons incidents subiraient alors une décélération et une déviation incontrôlées : leur énergie cinétique, leur quantité de mouvement \vec{p} et donc leur longueur d'onde de De Broglie \lambda = h/p ne seraient plus fixées ni uniformes.
   • À terme, la répulsion coulombienne pourrait même empêcher les électrons d'atteindre la cible. Une telle accumulation n'est donc pas souhaitable.

   2. Choix de la liaison électrique

   Pour évacuer ces charges tout en maintenant des conditions expérimentales maîtrisées, il faut relier électriquement le cristal aux électrodes A et B.

   • D'après l'énoncé, les électrons ne doivent subir aucune interaction entre la grille B et le cristal. L'espace de propagation libre doit donc être dépourvu de champ électrostatique (\vec{E} = \vec{0}), ce qui impose une région équipotentielle :

     V_{\text{cristal}} = V_{\mathrm{B}} = V_{\mathrm{A}}
   • À l'inverse, si le cristal était relié à la masse (V = 0), il régnerait entre la grille B (au potentiel V_{\mathrm{A}} > 0) et le cristal une différence de potentiel décélératrice. Les électrons, émis par la cathode K à potentiel nul avec une vitesse quasi-nulle, y perdraient toute l'énergie cinétique acquise entre K et A et seraient renvoyés en arrière sans pouvoir sonder le réseau cristallin.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 MP 2026, Q19

   Considérons un électron de masse m_e et de charge q = -e émis en K avec une vitesse initiale négligeable (v_{\mathrm{K}} \simeq 0, soit une énergie cinétique initiale K_{\mathrm{K}} \simeq 0), au potentiel électrique V_{\mathrm{K}} = 0.

   Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, l'électron est soumis à la seule force électrostatique conservative dérivant du potentiel électrostatique V. Le théorème de l'énergie cinétique entre K et A s'écrit :

   K_{\mathrm{A}} - K_{\mathrm{K}} = W_{\mathrm{K}\to\mathrm{A}}(\vec{F}) = q(V_{\mathrm{K}} - V_{\mathrm{A}}) = -e(0 - V_{\mathrm{A}}) = e V_{\mathrm{A}}

   Puisque K_{\mathrm{K}} = 0, l'énergie cinétique acquise par l'électron au niveau de la grille A vaut :

   K = e V_{\mathrm{A}}

   En mécanique classique non relativiste, le module de l'impulsion p est relié à l'énergie cinétique par K = \dfrac{p^2}{2m_e}, d'où :

   \boxed{p = \sqrt{2 m_e e V_{\mathrm{A}}}}

   Dans la zone située entre les grilles AB et le cristal, l'énoncé précise que les électrons « ne subissent aucune interaction ». Le milieu est donc considéré comme un espace libre où l'énergie potentielle d'interaction est nulle (V(x) = 0). Dans l'équation de Schrödinger (4) appliquée à cette onde plane progressive \underline{\Psi}_{\text{inc}}(x,t) = \psi_0 \exp\left[-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(px - Et)\right], l'énergie E s'identifie à l'énergie cinétique de la particule :

   E = \frac{p^2}{2m_e} = K

   On obtient ainsi :

   \boxed{E = e V_{\mathrm{A}}}

   Résultat

   $$p=\sqrt{2m_{e}e{V}_{\mathrm{A}}}$$

   $$E=e{V}_{\mathrm{A}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique MP 2025, Q21

    Une particule de charge q animée d'une vitesse \vec{v} dans le plasma est soumise à la force de Lorentz :

    \vec{F}_L = \vec{F}_e + \vec{F}_m = q\vec{E} + q(\vec{v}\wedge\vec{B})

    L'ordre de grandeur de la composante électrique de cette force est :

    \|\vec{F}_e\| = |q| E

    et celui de la composante magnétique est majoré par :

    \|\vec{F}_m\| \le |q| v B

    D'après l'énoncé, le rapport des amplitudes du champ magnétique et du champ électrique dans le plasma est du même ordre de grandeur que dans le vide, soit :

    B \sim \frac{E}{c}

    Le rapport des normes s'écrit alors :

    \frac{\|\vec{F}_m\|}{\|\vec{F}_e\|} \sim \frac{v B}{E} \sim \frac{v}{c}

    Pour que la composante magnétique soit négligeable devant la composante électrique (\|\vec{F}_m\| \ll \|\vec{F}_e\|), la vitesse des particules chargées doit vérifier la condition :

    \boxed{v \ll c}

    Le mouvement des électrons et des cations doit donc être non relativiste.

    Résultat

    $$v\ll c$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question