Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2026

Les deux principaux constituants de l'atmosphère terrestre (air sec) sont :

• le diazote \mathrm{N_2}, dans une proportion molaire (ou volumique) d'environ 78 % (soit près de \frac{4}{5}) ;
• le dioxygène \mathrm{O_2}, dans une proportion molaire (ou volumique) d'environ 21 % (soit près de \frac{1}{5}).

Dans le référentiel géocentrique, repérons la position du point matériel P de masse m par rapport au centre O de la Terre par le vecteur position \vec{r} = \vec{OP} = r\,\vec{e}_r, où \vec{e}_r est le vecteur unitaire radial dirigé de O vers P (r = \|\vec{OP}\| \ge R_{\mathrm{T}}).

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle exercée par la Terre (supposée à répartition sphérique de masse) sur le point matériel P s'écrit :

Cette force étant conservative et à symétrie sphérique, elle dérive d'une énergie potentielle E_{\mathrm{p}}(r) définie par :

On en déduit :

Par intégration :

Avec la condition de référence choisie, à savoir E_{\mathrm{p}}(r \to +\infty) = 0, la constante d'intégration est nulle, d'où :

L'énergie mécanique E_{\mathrm{m}} du point matériel \mathrm{P} de masse m dans le référentiel géocentrique est la somme de son énergie cinétique E_{\mathrm{c}} et de son énergie potentielle de gravitation E_{\mathrm{p}} déterminée à la question précédente :

En notant v la norme de la vitesse de \mathrm{P} dans le référentiel géocentrique et r = \mathrm{OP}, il vient :

Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, le point matériel \mathrm{P} n'est soumis qu'à la force gravitationnelle \vec{F}, qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle E_{\mathrm{p}}.

La puissance des forces non conservatives est donc nulle :

D'après le théorème de l'énergie mécanique, \dfrac{\mathrm{d}E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}(\vec{F}_{\mathrm{nc}}) = 0, donc l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}} est une constante du mouvement.

Le point matériel \mathrm{P} de masse m est soumis à la seule force gravitationnelle \vec{F}, force centrale de centre \mathrm{O} :

Le moment de cette force par rapport au point \mathrm{O} est nul :

Appliquons le théorème du moment cinétique au point matériel \mathrm{P} en \mathrm{O} dans le référentiel géocentrique galiléen :

Le vecteur moment cinétique \vec{L}_{\mathrm{O}} = \vec{OP} \wedge m\vec{v} est donc un vecteur constant au cours du mouvement :

Planéité du mouvement :

• Si \vec{L}_{\mathrm{O}} = \vec{0}, la vitesse \vec{v} est colinéaire à \vec{OP} : le mouvement est rectiligne le long d'une droite passant par \mathrm{O}, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

• Si \vec{L}_{\mathrm{O}} \neq \vec{0}, on a à tout instant :

  \vec{OP} \cdot \vec{L}_{\mathrm{O}} = (\vec{OP} \wedge m\vec{v}) \cdot \vec{OP} = 0.

  Le vecteur position \vec{OP} reste orthogonal au vecteur constant \vec{L}_{\mathrm{O}}. Le point \mathrm{P} se déplace donc dans le plan fixe passant par \mathrm{O} et orthogonal à \vec{L}_{\mathrm{O}} : le mouvement est plan.

Constante des aires : Dans le plan du mouvement, muni de la base polaire orthonormée directe (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z) où \vec{e}_z est unitaire et colinéaire à \vec{L}_{\mathrm{O}}, le vecteur vitesse de \mathrm{P} s'écrit :

Le moment cinétique s'exprime alors par :

Puisque \vec{L}_{\mathrm{O}} et m sont constants, la composante scalaire selon \vec{e}_z, et par suite le produit r^2 \dot{\theta}, est une constante du mouvement appelée constante des aires, notée C :

Le mouvement de la particule étant plan (question Q4), le vecteur vitesse de P s'écrit en coordonnées polaires (r, \theta) :

Le carré de la vitesse est donc :

D'après la question Q4, la constante des aires s'écrit C = r^2\dot{\theta}, ce qui permet d'exprimer la vitesse orthoradiale selon :

D'après les questions Q2 et Q3, l'énergie mécanique du point matériel P s'écrit :

On obtient bien la forme demandée :

avec :

D'après la question Q5, l'énergie potentielle effective s'écrit (en supposant C \neq 0) :

1. Étude de fonction et justification du tracé :

• Limite en r \to 0^+ : le terme centrifuge en 1/r^2 prédomine, donc \lim_{r \to 0^+} E_{\mathrm{p,eff}}(r) = +\infty (barrière centrifuge).
• Limite en r \to +\infty : le terme gravitationnel en -1/r domine, donc \lim_{r \to +\infty} E_{\mathrm{p,eff}}(r) = 0^-.

• Dérivée :

  \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r}(r) = -\frac{m C^2}{r^3} + \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r^2} = \frac{m}{r^2}\left(G M_{\mathrm{T}} - \frac{C^2}{r}\right)

  La dérivée s'annule en un unique point :

  r_0 = \frac{C^2}{G M_{\mathrm{T}}}

  Pour r < r_0, \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r} < 0, et pour r > r_0, \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r} > 0. La fonction présente donc un minimum global :

  E_{\mathrm{p,eff}}(r_0) = \frac{m C^2}{2 r_0^2} - \frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r_0} = -\frac{G^2 M_{\mathrm{T}}^2 m}{2 C^2} = E_{\min} < 0

  Elle s'annule également pour r = \frac{r_0}{2}.

2. Raisonnement graphique et état de diffusion : D'après l'équation (1), l'énergie cinétique radiale est :

Le mouvement n'est donc possible que dans les domaines où la droite horizontale d'ordonnée E_{\mathrm{m}} se situe au-dessus de la courbe E_{\mathrm{p,eff}}(r) :

• Si E_{\min} \le E_{\mathrm{m}} < 0 : le mouvement radial est borné, r \in [r_{\min}, r_{\max}]. Le point P reste au voisinage de la Terre : c'est un état lié (trajectoire elliptique ou circulaire).
• Si E_{\mathrm{m}} \ge 0 : le domaine accessible est semi-infini, r \in [r'_{\min}, +\infty[. Le point P peut s'éloigner indéfiniment de la Terre (r \to +\infty) avec une vitesse résiduelle non nulle (ou nulle si E_{\mathrm{m}} = 0) : il s'agit d'un état de diffusion (trajectoire parabolique pour E_{\mathrm{m}}=0, hyperbolique pour E_{\mathrm{m}}>0).

Dans le cas particulier où C = 0 (mouvement purement radial), E_{\mathrm{p,eff}}(r) = -\frac{G M_{\mathrm{T}} m}{r}, la condition pour atteindre l'infini reste strictement la même.

Par conséquent, le point P peut échapper à l'attraction de la Terre si et seulement si :

D'après la question Q6, pour qu'un corps puisse échapper définitivement à l'attraction gravitationnelle de la Terre (état de diffusion), son énergie mécanique doit être positive ou nulle :

Au moment du lancement depuis la surface terrestre, le corps se trouve à une distance r = R_{\mathrm{T}} et possède une vitesse de norme v. Son énergie mécanique s'écrit (question Q3) :

La vitesse de libération v_{\ell} étant la vitesse minimale permettant l'échappement, elle correspond au cas limite d'une énergie mécanique nulle (E_{\mathrm{m}} = 0) :

On en déduit l'expression de la vitesse de libération :

Application numérique :

Avec l'aide numérique \sqrt{1,4} \approx 1,2, on obtient :

Le modèle microscopique du gaz parfait repose sur les hypothèses suivantes :

1. Particules ponctuelles : le volume propre des entités (atomes ou molécules) est totalement négligeable devant le volume offert au gaz (le covolume est nul) ;
2. Absence d'interactions à distance : les particules n'exercent aucune force mutuelle à distance (pas d'interactions de Van der Waals ni électrostatiques). L'énergie potentielle d'interaction entre particules est donc nulle ;
3. Collisions élastiques et instantanées : les seules interactions prises en compte sont des chocs mécaniques entre les particules ainsi qu'avec les parois de l'enceinte, considérés comme élastiques (conservation de l'énergie cinétique) et de durée négligeable devant le temps de vol libre ;
4. Agitation thermique isotrope (chaos moléculaire) : les vitesses des particules sont distribuées de façon aléatoire et isotrope dans l'espace.

La vitesse quadratique moyenne u est définie comme la racine carrée de la moyenne du carré de la norme de la vitesse des particules microscopiques :

Pour un atome d'hélium de masse m, l'énergie cinétique microscopique moyenne est :

D'après la théorie cinétique des gaz, pour un gaz parfait monoatomique ne possédant que trois degrés de liberté de translation, l'énergie cinétique moyenne par particule est reliée à la température thermodynamique T par :

où k_{\mathrm{B}} est la constante de Boltzmann. Il vient ainsi :

En introduisant la constante des gaz parfaits R = \mathcal{N}_{\mathrm{A}} k_{\mathrm{B}} et la masse molaire de l'hélium M_{\mathrm{He}} = \mathcal{N}_{\mathrm{A}} m (avec \mathcal{N}_{\mathrm{A}} le nombre d'Avogadro), on obtient :

D'après l'expression établie à la question Q9, la vitesse quadratique moyenne des atomes d'hélium s'écrit :

Avec les données numériques :

• R = 8,0\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T = 300\text{ K} ;
• \mathcal{M}_{\mathrm{He}} = 4,0 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

On calcule le terme sous le radical :

En utilisant l'aide numérique \sqrt{1,8} \approx 1,3 :

D'après le résultat de la question Q7, la vitesse de libération terrestre vaut v_{\ell} \approx 1,2 \cdot 10^{4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, d'où :

On constate que :

Le critère d'échappement admis par l'énoncé est donc vérifié : les atomes d'hélium peuvent s'échapper continuellement de l'attraction terrestre vers l'espace interplanétaire. Cela explique pourquoi l'hélium ne s'accumule pas dans l'atmosphère et n'y est présent qu'à l'état de traces (environ 5 ppm en volume), malgré sa libération permanente par désintégration radioactive dans la croûte terrestre.

On peut citer trois applications de technologies laser dans des domaines variés :

1. Médecine et chirurgie : chirurgie réfractive de l'œil (correction de la myopie par LASIK), photocoagulation rétinienne ou ablation de tissus par scalpel laser.
2. Industrie : découpe, perçage, gravure et soudage de précision de métaux et polymères grâce à la très grande densité d'énergie et à la directivité du faisceau laser.
3. Télécommunications et vie quotidienne : transmission d'informations à très haut débit par impulsions lumineuses guidées dans des fibres optiques, ou lecture optique (lecteurs de codes-barres, disques optiques).

Un conducteur parfait est modélisé par une conductivité électrique infinie :

D'après la loi d'Ohm locale, la densité volumique de courant s'écrit \vec{\jmath} = \gamma \vec{E}. La puissance volumique dissipée par effet Joule au sein du conducteur s'exprime donc par :

Pour que l'énergie dissipée par effet Joule reste finie (ce qui est imposé par les principes de la thermodynamique et la conservation de l'énergie), la puissance volumique \mathcal{P}_{\text{J}} ne peut pas diverger. Avec \gamma \to +\infty, il est donc nécessaire que :

au sein du conducteur parfait.

Dans une région de l'espace vide de charges et de courants (\rho = 0 et \vec{j} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En utilisant l'identité vectorielle donnée et le fait que \mathrm{div}\,\vec{E} = 0 :

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère et en posant c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, il vient :

On obtient l'équation de d'Alembert :

L'onde lumineuse se propageant selon l'axe x, le champ scalaire E(x, t) = f(x)\sin(\omega t) dépend uniquement de x pour ses variables spatiales (\Delta E = \frac{\partial^2 E}{\partial x^2}). Calculons les dérivées partielles :

En reportant dans l'équation de d'Alembert :

Cette égalité étant vérifiée à tout instant t, la fonction f satisfait l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique spatial :

D'après la question Q13, la fonction f(x) vérifie :

La solution générale de cette équation différentielle harmonique s'écrit :

Le champ électrique étant nul dans les conducteurs parfaits (Q12), la continuité de E(x, t) = f(x)\sin(\omega t) aux interfaces impose, pour tout instant t :

Pour obtenir une onde non identiquement nulle (B \neq 0), la pulsation \omega doit vérifier la condition de quantification :

Or k_n = \frac{\omega_n}{c} = \frac{2\pi \nu_n}{c}, d'où l'expression des fréquences propres des modes de la cavité :

On en déduit l'expression de l'Intervalle Spectral Libre (ISL) :

À l'aide de la barre d'échelle de 2\text{ cm} fournie sur la figure 1, la longueur hors-tout du tube laser est mesurée à environ 7 fois le segment étalon, soit :

D'après la relation obtenue à la question Q14, l'intervalle spectral libre vaut :

Avec c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et L \approx 14\text{ cm} :

Cette valeur est en excellent accord avec la spécification du fabricant (1\,090\text{ MHz}), l'écart relatif n'étant que de l'ordre de 1\,\%, ce qui confirme la validité de l'ordre de grandeur estimé.

Dans un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air d'épaisseur e, la différence de marche au centre des anneaux (sous incidence normale i = 0) s'écrit, à une constante près liée aux éventuels déphasages à la réflexion :

Lorsque l'un des miroirs est translaté à vitesse constante V_0 pendant une durée \tau, la variation d'épaisseur de la lame d'air est :

La variation correspondante de la différence de marche au centre s'élève donc à :

Le passage d'un anneau brillant au suivant correspond à une variation d'une unité de l'ordre d'interférence p = \delta / \lambda. Le défilement de k anneaux brillants consécutifs correspond ainsi à une variation de l'ordre d'interférence \Delta p = k, soit :

En égalant les deux expressions de \Delta\delta, on obtient la relation :

soit encore :

D'après la question précédente Q16, la longueur d'onde s'exprime sous la forme :

En supposant les variables V_0, \overline{\tau} et k indépendantes, la loi de composition des incertitudes-types relatives pour une fonction monôme conduit à :

On en déduit l'expression littérale de l'incertitude-type u(\lambda) :

L'écart normalisé (z-score) entre la valeur mesurée \lambda = 633,7\text{ nm} et la valeur de référence \lambda_{\text{ref}} = 632,8\text{ nm} s'écrit :

Avec les valeurs numériques fournies :

Puisque |z| < 2 (et même très largement inférieur à 1), la valeur expérimentale est parfaitement compatible avec la valeur attendue : les écarts constatés sont uniquement attribuables aux fluctuations aléatoires de mesure.

Les deux modes propres émis par la cavité laser possèdent des fréquences distinctes \nu_1 et \nu_2 = \nu_1 + \mathrm{ISL}, de sorte qu'ils sont mutuellement incohérents. Leurs intensités lumineuses s'ajoutent donc sur l'écran.

Pour une différence de marche \delta comptée à partir du contact optique (\delta = 0), l'ordre d'interférence au centre de la figure d'interférence s'écrit pour chaque radiation :

Au contact optique (\delta = 0), on a p_1 = p_2 = 0 : les deux systèmes de franges présentent un maximum d'intensité au centre et sont en phase (contraste maximal).

Lorsque l'on augmente \delta, le premier brouillage (annulation du contraste) survient dès lors qu'un maximum d'intensité du mode 2 correspond à un minimum d'intensité du mode 1 au centre de l'écran, ce qui correspond à un décalage d'un demi-ordre d'interférence :

En remplaçant par les expressions des ordres d'interférence :

On en déduit l'expression de la différence de marche de premier brouillage :

D'après le résultat de la question Q18, la différence de marche correspondant au premier brouillage est :

Avec les valeurs numériques fournies :

• c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \mathrm{ISL} = 1,1\text{ GHz} = 1,1 \cdot 10^9\text{ s}^{-1}.

On obtient :

Comparaison et conclusion :

• En configuration lame d'air, la différence de marche au centre vaut \delta = 2e, où e est le déplacement du miroir mobile à partir du contact optique. Atteindre \delta_{\mathrm{b}} \approx 14\text{ cm} nécessite donc un déplacement du miroir de :

  e = \frac{\delta_{\mathrm{b}}}{2} \approx 7\text{ cm}
• Sur un interféromètre de Michelson usuel de travaux pratiques, la course maximale de la vis micrométrique déplaçant le miroir est couramment de 25\text{ mm} (voire quelques centimètres au plus), ce qui donne une gamme de différences de marche accessible de l'ordre de 0 à 5\text{ cm}.
• Conclusion : La différence de marche de brouillage \delta_{\mathrm{b}} est supérieure à la course usuelle d'un interféromètre de Michelson de TP (ou se situe à la limite supérieure pour les chariots à plus grande course). Ainsi, dans les conditions habituelles de laboratoire, le laser He-Ne peut être considéré comme monochromatique : le contraste des franges reste excellent et l'on n'observe pas de brouillage.

Le système étudié est l'ion de masse m et de charge e > 0, assimilé à un point matériel. L'étude est menée dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base orthonormée directe (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

Le poids étant négligé, l'ion n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

avec un champ magnétique uniforme de direction \vec{e}_z, soit \vec{B} = B_z\,\vec{e}_z (avec |B_z| = B).

D'après le principe fondamental de la dynamique :

Par propriété du produit vectoriel, la force magnétique est orthogonale à \vec{B}, donc orthogonale à \vec{e}_z :

En projetant l'équation du mouvement selon la direction \vec{e}_z, on obtient :

Or, à l'instant initial t=0 :

• la vitesse initiale est \vec{v}(0) = \vec{v}_0 = v_0\,\vec{e}_x, d'où v_z(0) = 0 ;
• l'ion est en \mathrm{O}, d'où z(0) = 0.

On en déduit que :

L'ion de masse m et de charge e > 0 est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le poids étant négligé, il n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

1. Mouvement uniforme

La puissance développée par la force magnétique s'écrit :

car le produit vectoriel \vec{v} \wedge \vec{B} est orthogonal à \vec{v} à chaque instant.

D'après le théorème de la puissance cinétique :

La masse m étant constante, la norme de la vitesse reste constante au cours du temps :

Le mouvement de l'ion est donc uniforme.

2. Sens du champ magnétique

À l'instant initial t = 0, la vitesse de l'ion est \vec{v}_0 = v_0\,\vec{e}_x avec v_0 > 0. Écrivons le champ magnétique sous la forme \vec{B} = B_z\,\vec{e}_z avec B_z = \pm B. La force magnétique initiale s'exprime par :

D'après la figure 2, la trajectoire s'incurve vers le bas, c'est-à-dire vers les ordonnées décroissantes : l'accélération initiale \vec{a}(0) = \frac{\vec{F}(0)}{m} est donc dirigée selon -\vec{e}_y.

Comme e > 0 et v_0 > 0, la condition \vec{F}(0) \cdot \vec{e}_y < 0 impose :

Le champ magnétique est donc orienté dans le sens de \vec{e}_z :

Il est dirigé vers l'avant, sortant du plan de la figure.

On applique le principe fondamental de la dynamique à l'ion de masse m et de charge e > 0 dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le poids étant négligé, l'ion est uniquement soumis à la force de Lorentz magnétique :

D'après les questions Q20 et Q21, le vecteur vitesse et le champ magnétique s'écrivent :

Le produit vectoriel s'explicite selon :

L'équation du mouvement s'écrit alors :

En posant la pulsation cyclotron \omega = \dfrac{eB}{m}, la projection sur les axes \vec{e}_x et \vec{e}_y donne les deux équations différentielles couplées :

D'après la question Q22, les composantes de la vitesse vérifient le système couplé :

avec \omega = \dfrac{eB}{m}.

En dérivant par rapport au temps la variable complexe \underline{u} = v_y + \mathrm{j}v_x, on obtient :

Or, en utilisant la propriété \mathrm{j}^2 = -1, on peut réécrire -\omega v_x sous la forme :

ce qui donne :

On en déduit immédiatement que la variable \underline{u} vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

L'équation différentielle linéaire du premier ordre établie à la question Q23 s'écrit :

Sa solution générale est de la forme :

où \underline{u}_0 \in \mathbb{C} est une constante déterminée par les conditions initiales à t = 0.

D'après l'énoncé, la vitesse initiale s'écrit \vec{v}(0) = v_0\,\vec{e}_x, ce qui donne pour ses composantes cartésiennes :

Par définition de la grandeur complexe \underline{u} = v_y + \mathrm{j}v_x, on a à t = 0 :

On en déduit l'expression temporelle de la vitesse complexe :

En identifiant respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de \underline{u}(t) = v_y(t) + \mathrm{j}v_x(t), on obtient :

Les composantes du vecteur vitesse sont reliées à la position par :

D'après les résultats de la question Q24, on a :

Par intégration par rapport au temps, il vient :

où x_0 et y_0 sont des constantes d'intégration déterminées par les conditions initiales en t = 0. L'ion entre dans le champ magnétique au point \mathrm{O} origine du repère, soit x(0) = 0 et y(0) = 0 :

On en déduit finalement les équations horaires :

D'après les équations horaires établies à la question Q25, les coordonnées de l'ion vérifient :

En élevant au carré puis en sommant ces deux expressions, il vient :

On reconnaît l'équation cartésienne d'un cercle situé dans le plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y), de centre C\left(0, -\frac{v_0}{\omega}\right) et de rayon :

Sachant que \omega = \dfrac{eB}{m} (question Q22), on obtient pour le rayon de courbure de la trajectoire :

D'après la question Q26, le rayon de la trajectoire d'un ion de masse m, de charge e et de vitesse initiale v_0 dans le champ magnétique B s'écrit :

L'énergie cinétique initiale des ions est E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2} m v_0^2, ce qui donne v_0 = \sqrt{\dfrac{2 E_{\mathrm{c}}}{m}}. En reportant cette expression dans celle de R, on obtient :

À charge e, champ B et énergie cinétique E_{\mathrm{c}} fixés, le rayon de courbure est donc proportionnel à la racine carrée de la masse :

Classons les masses molaires des espèces ioniques présentes :

• Ions légers (\mathrm{H}_2^+, ^3\mathrm{He}^+) : M \approx 2\text{ à }3\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} < M_{\mathrm{He}} ;
• Ions hélium (^4\mathrm{He}^+) : M_{\mathrm{He}} \approx 4\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• Ions lourds (\mathrm{N}_2^+, \mathrm{O}_2^+, \mathrm{Ar}^+, \mathrm{CO}_2^+) : M \ge 28\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} > M_{\mathrm{He}}.

Par conséquent, les rayons de courbure respectifs vérifient :

D'après le schéma de la figure 2, la trajectoire (1) présente le plus petit rayon de courbure, la trajectoire (2) correspond au rayon sélectionné qui atteint le détecteur, et la trajectoire (3) présente le plus grand rayon de courbure. On en déduit l'association :

Le mouvement de l'ion étant circulaire uniforme à la pulsation cyclotron \omega = \dfrac{eB}{m} (questions Q21 et Q24), la période associée à un tour complet est :

Pour décrire un quart de cercle, l'angle balayé est \Delta\theta = \dfrac{\pi}{2}. La durée de passage \tau s'écrit donc :

La masse d'un atome (ou ion) d'hélium est reliée à sa masse molaire par m = \dfrac{M_{\mathrm{He}}}{\mathcal{N}_{\mathrm{A}}}, ce qui donne :

Application numérique :

• M_{\mathrm{He}} = 4,0 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 6,0 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}
• e = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C}
• B = 0,10\text{ T}
• \pi \approx 3,14

On calcule le dénominateur :

D'où :

D'après la question Q26, le rayon de la trajectoire circulaire vérifie :

D'après la question Q28, la pulsation cyclotron vaut :

Pour un rayon typique de quelques centimètres, par exemple R \sim 5\text{ cm} = 5 \cdot 10^{-2}\text{ m} :

Comparons cette vitesse à la célérité de la lumière c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Le facteur de Lorentz \gamma = \big(1 - v_0^2/c^2\big)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}(v_0/c)^2 ne diffère de l'unité que de l'ordre de 10^{-7}.

Pour la bulle sphérique de rayon r et de volume V_0 :

Son aire de surface extérieure est donc :

Pour la bulle cubique d'arête a et de même volume V_0 :

Son aire de surface est la somme des aires de ses six faces carrées :

Le rapport des deux aires s'écrit alors :

Puisque \pi \approx 3{,}14 < 6, le rapport sous la racine cubique est strictement inférieur à 1, d'où :

Commentaire : L'énergie associée aux interfaces du film de savon est une énergie capillaire de la forme \mathcal{E}_{\mathrm{p}} = 2\gamma S (où \gamma est la tension superficielle du liquide et le facteur 2 tient compte des deux faces interne et externe du film). À volume de gaz fixé, l'état d'équilibre thermodynamique stable correspond à la minimisation de cette énergie libre d'interface, et donc à la minimisation de la surface S. La forme sphérique optimise ce rapport surface/volume (propriété isopérimétrique), ce qui explique la sphéricité observée des bulles de savon.

On étudie la bulle de rayon critique r_{\mathrm{c}}, constituée du gaz hélium enfermé et d'une fine pellicule d'eau savonneuse d'épaisseur e \ll r_{\mathrm{c}}, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Au rayon critique r_{\mathrm{c}}, marquant la transition entre la descente et la montée, la bulle est en équilibre vertical sous l'action de deux forces :

• son poids total \vec{P} = (m_{\mathrm{He}} + m_{\ell})\,\vec{g}, dirigé vers le bas ;
• la poussée d'Archimède \vec{\Pi}_{\mathrm{A}} = - m_{\mathrm{a}}\,\vec{g}, dirigée vers le haut, où m_{\mathrm{a}} est la masse du volume d'air déplacé par la bulle.

À la limite de flottabilité :

Puisque e \ll r_{\mathrm{c}}, le volume total de la bulle (et donc le volume d'air déplacé) s'assimile à celui d'une sphère de rayon r_{\mathrm{c}} :

Le liquide de savon est contenu dans une coquille sphérique d'épaisseur e \ll r_{\mathrm{c}}, de volume :

En substituant ces expressions dans la condition d'équilibre :

En divisant chaque terme par 4\pi r_{\mathrm{c}}^2, il vient :

D'où l'expression littérale de l'épaisseur e :

Application numérique : Avec r_{\mathrm{c}} = 6{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}, \rho_{\mathrm{a}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, \rho_{\mathrm{He}} = 0{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \rho_{\ell} = 1{,}0\cdot 10^{3}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

Considérons une onde issue de la source ponctuelle S incidente sous l'angle i_1 sur la face supérieure de la lame à faces parallèles d'épaisseur e et d'indice n_\ell (l'air ayant un indice n_{\mathrm{air}} = 1) :

• Le rayon (1) se réfléchit au point d'incidence I_1 avec un angle de réflexion i_1.
• Le rayon (2) est réfracté en I_1 sous l'angle i_2, tel que \sin i_1 = n_\ell \sin i_2. Il se propage dans le film jusqu'au point J de la face inférieure, s'y réfléchit, puis atteint la face supérieure au point I_2 où il émerge dans l'air sous l'angle i_1, parallèlement au rayon (1).

Par des considérations géométriques élémentaires :

D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde sont orthogonales aux rayons lumineux. Soit H le projeté orthogonal de I_2 sur le rayon (1). Le plan orthogonal aux rayons émergents passant par I_2 et H constitue un front d'onde commun. Au-delà de ce plan, les deux rayons parcourent le même chemin optique jusqu'à l'infini.

La différence de marche optique \delta entre le rayon (2) et le rayon (1) vaut donc :

Dans le triangle rectangle I_1 H I_2, on a I_1 H = I_1 I_2 \sin i_1. Avec n_{\mathrm{air}} = 1 et \sin i_1 = n_\ell \sin i_2, il vient :

Le déphasage \varphi = \varphi_{(2)} - \varphi_{(1)} à l'infini comporte :

• un terme lié à la différence de marche : \dfrac{2\pi}{\lambda}\delta ;

• les sauts de phase aux réflexions :

  • en I_1, la réflexion externe (air \to liquide, 1 < n_\ell) introduit un déphasage de \pi sur le rayon (1) ;
  • en J, la réflexion interne (liquide \to air, n_\ell > 1) n'introduit aucun déphasage sur le rayon (2).

Le déphasage du rayon (2) par rapport au rayon (1) s'écrit ainsi :

Par identification avec l'expression proposée \varphi = \dfrac{\alpha}{\lambda}\cos i_2 - \pi, on en déduit :

Les interférences sont destructives lorsque les deux ondes lumineuses émergentes sont en opposition de phase, ce qui correspond à un déphasage \varphi multiple impair de \pi :

En utilisant l'expression du déphasage issue de l'équation (5) rappelée à la question Q32 :

ce qui conduit à :

En posant l'entier k = p + 1 (avec k \in \mathbb{N}^* car \alpha > 0, \cos i_2 > 0 et \lambda_k > 0), on obtient :

D'après la question Q33, en incidence normale (i_2 = 0, donc \cos i_2 = 1), les longueurs d'onde correspondant aux extinctions vérifient :

Pour deux minima séparés de p ordres d'interférence (p \in \mathbb{N}^*), avec \lambda_k > \lambda_{k+p} :

Sur le spectre de la figure 5, les extinctions (minima d'intensité I/I_{\max} = 0, repérés par les lignes verticales en pointillés) se situent notamment aux longueurs d'onde suivantes :

• \lambda_k \approx 600\text{ nm} ;
• \lambda_{k+1} \approx 535\text{ nm} ;
• \lambda_{k+2} \approx 485\text{ nm} ;
• \lambda_{k+3} \approx 445\text{ nm} ;
• \lambda_{k+4} \approx 410\text{ nm} (soit p = 4 intervalles).

L'ordre k associé au minimum à 600\text{ nm} peut être estimé par :

On en déduit l'épaisseur optique :

D'où l'épaisseur géométrique du film :

Par la méthode des p = 4 intervalles entre \lambda_{k+4} \approx 410\text{ nm} et \lambda_k \approx 600\text{ nm} :

Comparaison avec la question Q31 : À la question Q31, le bilan mécanique sur la bulle critique avait conduit à :

Les deux valeurs sont en parfait accord. Cela valide l'hypothèse selon laquelle l'épaisseur du film de savon d'une bulle est du même ordre de grandeur que celle du film formé sur le cadre circulaire.

La lumière pénètre sous incidence normale sur la face d'entrée plane de la fibre ; d'après les lois de Snell-Descartes, les rayons ne subissent aucune réfraction et se propagent parallèlement entre eux, selon la direction normale à la face d'entrée.

Plaçons l'origine O au centre de courbure de la fibre. La face d'entrée est située dans le plan méridien radial \theta = 0. Les rayons pénètrent dans le cœur à une distance r de l'axe de courbure, avec r \in [R, \, R+d], où R désigne le rayon de courbure de la face interne du cœur et d le diamètre du cœur.

Chaque rayon se propage en ligne droite à distance constante r de l'axe passant par O et frappe l'interface extérieure cœur-gaine, de rayon R_{\text{ext}} = R + d, en un point M.

Dans le triangle rectangle formé par le centre de courbure O, la projection orthogonale de M sur le plan radial d'entrée, et le point M :

• l'hypoténuse est le rayon de l'interface extérieure : OM = R + d ;
• le côté opposé à l'angle d'incidence i (angle entre le rayon lumineux et la normale locale radiale \vec{OM}) a pour longueur la distance r.

On en déduit :

Le confinement sans atténuation exige une réflexion totale à l'interface cœur-gaine pour l'ensemble des rayons. La condition de réflexion totale s'écrit :

La fonction sinus étant croissante sur [0, \, \pi/2], l'angle d'incidence est minimal pour le rayon le plus proche de l'intérieur de la courbure, c'est-à-dire pour r = R :

Pour que toute la lumière soit confinée, il faut et il suffit que ce rayon critique vérifie la condition de réflexion totale :

Après cette première réflexion, par symétrie de la surface cylindrique, les réflexions successives s'effectuent sous le même angle d'incidence et le rayon reste confiné. Le rayon de courbure minimal est donc :

Application numérique :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

L'envol du ballon s'explique par les points suivants :

• La réaction chimique produit du dihydrogène gazeux \mathrm{H}_{2(\text{g})}, qui vient gonfler l'enveloppe du ballon.

• La masse molaire du dihydrogène, M(\mathrm{H}_2) \approx 2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, est très inférieure à la masse molaire moyenne de l'air, M_{\text{air}} \approx 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}. À température et pression identiques, le modèle du gaz parfait donne :

  \rho = \frac{P M}{R T} \implies \rho_{\mathrm{H}_2} \ll \rho_{\text{air}}

  Le dihydrogène est donc un gaz nettement moins dense que l'air environnant (environ quatorze fois moins dense).

• D'après le principe d'Archimède, la poussée verticale ascendante subie par le ballon correspond au poids du volume d'air déplacé, \Pi = \rho_{\text{air}} V g. Pour un volume V suffisamment grand, cette poussée surpasse le poids total du système (poids du dihydrogène et de l'enveloppe de baudruche) :

  \Pi > (m_{\text{enveloppe}} + \rho_{\mathrm{H}_2} V)g

La force résultante étant orientée vers le haut, le ballon peut effectivement s'envoler.

Une base forte est une espèce chimique dont la réaction avec l'eau est totale (de constante d'équilibre très grande devant 1). Dans le cas de l'hydroxyde de sodium \mathrm{NaOH}, solide ionique, la dissolution dans l'eau est totale et quantitative :

Pour une solution de concentration c = 0{,}1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, la dissociation totale conduit à :

L'autoprotolyse de l'eau produit une quantité négligeable d'ions hydroxyde devant c (car c \gg 10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}).

À l'aide du produit ionique de l'eau K_{\mathrm{e}} = \left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+\right][\mathrm{HO}^-] / c^{\circ 2} avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, on en déduit :

Avec \mathrm{p}K_{\mathrm{e}} = 14 et c = 0{,}1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} = 10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

1. Nombres d'oxydation de l'élément aluminium

• Dans \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})} (corps pur simple) :

  \text{n.o.}(\mathrm{Al}) = 0

• Dans \mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})} (ion monoatomique) :

  \text{n.o.}(\mathrm{Al}) = +\mathrm{III}

• Dans \mathrm{Al(OH)}_{3(\mathrm{s})} : chaque ion hydroxyde portant une charge -e (\text{n.o.}(\mathrm{O}) = -\mathrm{II}, \text{n.o.}(\mathrm{H}) = +\mathrm{I}), la neutralité électrique impose :

  \text{n.o.}(\mathrm{Al}) + 3 \times (-1) = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Al}) = +\mathrm{III}

• Dans l'ion aluminate \mathrm{Al(OH)}_4^-{}_{(\mathrm{aq})} :

  \text{n.o.}(\mathrm{Al}) + 4 \times (-1) = -1 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Al}) = +\mathrm{III}

2. Attribution des domaines sur le diagramme

• Les degrés d'oxydation les plus élevés se situent à des potentiels supérieurs. Le domaine situé aux potentiels les plus bas correspond donc à l'espèce de nombre d'oxydation nul, \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}.

• Les domaines \mathrm{A}, \mathrm{C} et \mathrm{D} correspondent aux espèces au degré d'oxydation +\mathrm{III}. À degré d'oxydation identique, les espèces se classent par \mathrm{pH} croissant selon leur perte de protons (ou gain d'ions hydroxyde) :

  \mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})} \xrightarrow{+3\,\mathrm{HO}^-} \mathrm{Al(OH)}_{3(\mathrm{s})} \xrightarrow{+\,\mathrm{HO}^-} \mathrm{Al(OH)}_4^-{}_{(\mathrm{aq})}

On attribue ainsi :

3. Domaines d'immunité, de corrosion et de passivation

• Domaine d'immunité : zone où le métal \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})} est thermodynamiquement stable : domaine B.
• Domaine de corrosion : zones où l'aluminium se trouve sous forme d'ions dissous en solution, ce qui entraîne la dégradation du métal : domaines A (corrosion acide) et D (corrosion basique).
• Domaine de passivation : zone où le métal est recouvert d'un solide protecteur peu soluble, ici le précipité d'hydroxyde : domaine C.

1. Estimation du \mathrm{p}K_{\mathrm{s}} de \mathrm{Al(OH)}_{3(\mathrm{s})} :

La frontière verticale entre les domaines A (\mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})}) et C (\mathrm{Al(OH)}_{3(\mathrm{s})}) correspond à l'équilibre de précipitation :

À la frontière, le précipité commence à se former, donc \left[\mathrm{Al}^{3+}\right] = c_{\mathrm{T}} = 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}. Avec \left[\mathrm{HO}^-\right] = \frac{K_{\mathrm{e}}}{\left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+\right]}, le produit de solubilité s'écrit :

En prenant le cologarithme :

Sur la figure 7, la frontière verticale se lit à \mathrm{pH}_{\text{frontière}} \approx 3{,}8. Avec \mathrm{p}K_{\mathrm{e}} = 14 et -\log c_{\mathrm{T}} = 3 :

2. Estimation du potentiel standard E^\circ\left(\mathrm{Al}^{3+}/\mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}\right) :

La frontière horizontale entre les domaines A (\mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})}) et B (\mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}) correspond au couple rédox :

D'après la formule de Nernst à T = 298\text{ K} :

Sur la frontière, \left[\mathrm{Al}^{3+}\right] = c_{\mathrm{T}} = 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, d'où :

Sur la figure 7, la ligne horizontale se situe à E_{\text{frontière}} \approx -1{,}72\text{ V}. On en déduit :

3. Comparaison aux données :

• La valeur estimée \mathrm{p}K_{\mathrm{s}} \approx 33{,}6 est en excellent accord avec la valeur tabulée \mathrm{p}K_{\mathrm{s}} = 33{,}5 (écart relatif inférieur à 0{,}3\,\%) ;
• La valeur estimée E^\circ \approx -1{,}66\text{ V} coïncide parfaitement avec la valeur fournie E^\circ = -1{,}66\text{ V}.

La demi-équation d'oxydoréduction associée au couple \mathrm{Al(OH)}_{4(\mathrm{aq})}^-/\mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}, où l'aluminium passe du nombre d'oxydation +\mathrm{III} à 0, s'écrit :

D'après la formule de Nernst à T = 298\text{ K} (en prenant \frac{R T \ln 10}{F} \approx 0{,}059\text{ V}) :

Sur la frontière séparant les domaines de \mathrm{Al(OH)}_{4(\mathrm{aq})}^- et \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}, la concentration de l'espèce dissoute est fixée à la concentration de tracé [\mathrm{Al(OH)}_4^-] = c_{\mathrm{T}} = 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}. En séparant les termes constants du terme dépendant du \mathrm{pH} :

La pente théorique de la frontière vaut donc :

(ou -80\text{ mV}\cdot\mathrm{pH}^{-1} avec l'approximation usuelle \frac{R T \ln 10}{F} \approx 0{,}06\text{ V}).

Sur le diagramme potentiel-\mathrm{pH} (figure 7), la frontière entre les domaines D et B est un segment de droite sur lequel on peut relever deux points remarquables :

• pour \mathrm{pH}_1 = 10, on lit E_1 \approx -2{,}18\text{ V} ;
• pour \mathrm{pH}_2 = 14, la frontière atteint E_2 \approx -2{,}50\text{ V}.

On en déduit la pente expérimentale lue sur le diagramme :

L'accord entre la valeur théorique (-79\text{ mV}\cdot\mathrm{pH}^{-1}) et la valeur lue sur le diagramme (-80\text{ mV}\cdot\mathrm{pH}^{-1}) est excellent.

D'après l'énoncé, la réaction consomme de l'aluminium métallique \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}, de l'eau \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} et des ions hydroxyde \mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}, pour former des ions aluminate \mathrm{Al(OH)}_4^-{}_{(\mathrm{aq})} et du dihydrogène gazeux \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}.

Les deux couples d'oxydoréduction mis en jeu sont :

• \mathrm{Al(OH)}_4^-{}_{(\mathrm{aq})} / \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})} au pôle anodique (oxydation du réducteur \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}) ;
• \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} / \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} au pôle cathodique (réduction du solvant en milieu basique).

Écrivons les demi-équations électroniques en milieu basique :

Pour équilibrer le transfert de 6\,\mathrm{e}^-, on multiplie la demi-équation d'oxydation par 2 et celle de réduction par 3, puis on fait la somme membre à membre :

En simplifiant par 6\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})} de part et d'autre, on obtient l'équation-bilan de la réaction :

D'après l'équation-bilan établie à la question Q41 :

En appliquant la loi de Hess à l'enthalpie libre standard de réaction :

Avec les valeurs fournies par la table thermodynamique à T = 298\text{ K} :

L'enthalpie libre standard de réaction est reliée à la constante thermodynamique d'équilibre K^\circ par la relation de van 't Hoff :

d'où l'expression littérale :

Commentaire sur la valeur de K^\circ :

La constante d'équilibre K^\circ = 7 \cdot 10^{134} est considérablement supérieure à 10^4. L'état standard de réaction présente une enthalpie libre standard fortement négative (\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ \ll 0), ce qui indique que la réaction d'oxydation de l'aluminium par la soude est thermodynamiquement extrêmement favorable et peut être considérée comme totale (quantitative).

D'après la question Q42, la constante d'équilibre est extrêmement grande (K^\circ \gg 10^4) : la transformation chimique est donc totale. L'hydroxyde de sodium étant introduit en excès et l'eau étant le solvant, l'aluminium est le réactif limitant.

D'après l'équation-bilan établie à la question Q41 :

les proportions stœchiométriques imposent :

En assimilant le dihydrogène gazeux à un gaz parfait dans les conditions de l'expérience (P = 1,013\cdot 10^5\text{ Pa}, T = 298\text{ K}) :

La masse m d'aluminium requise s'écrit alors :

Remarquons que \frac{2}{3} \mathcal{M}_{\mathrm{Al}} = \frac{2}{3} \times 27\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 18\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

Calculons les grandeurs intermédiaires :

On en déduit la masse d'aluminium nécessaire :