Feuille d'entraînement : Description d'un système thermodynamique

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique MP 2025, Q16

   D'après la théorie cinétique des gaz parfaits, l'énergie cinétique moyenne de translation d'une entité de gaz de masse m_{\mathrm{gaz}} à la température T s'écrit :

   \frac{1}{2} m_{\mathrm{gaz}} v_{\mathrm{qm}}^2 = \frac{3}{2} k_B T

   On en déduit l'expression de la vitesse quadratique moyenne :

   v_{\mathrm{qm}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m_{\mathrm{gaz}}}}

   Le gaz considéré étant le diazote \mathrm{N}_2, chaque molécule est constituée de deux atomes d'azote ^{14}\mathrm{N} (chacun formé de 7 protons et 7 neutrons), soit au total A = 28 nucléons. En approximant la masse d'un nucléon par la masse du proton m_{\mathrm{p}} :

   m_{\mathrm{gaz}} = 28\,m_{\mathrm{p}}

   Il vient ainsi :

   v_{\mathrm{qm}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{28\,m_{\mathrm{p}}}}

   Application numérique :

   • k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}
   • T = 300\text{ K}
   • m_{\mathrm{p}} = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}

   \begin{aligned} m_{\mathrm{gaz}} &= 28 \times 1{,}7 \times 10^{-27} \approx 4{,}76 \times 10^{-26}\text{ kg} \\ 3 k_B T &= 3 \times 1{,}4 \times 10^{-23} \times 300 = 1{,}26 \times 10^{-20}\text{ J} \\ v_{\mathrm{qm}}^2 &= \frac{1{,}26 \times 10^{-20}}{4{,}76 \times 10^{-26}} \approx 2{,}65 \times 10^5\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \\ v_{\mathrm{qm}} &\approx 5{,}1 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   Conformément à la consigne d'arrondi à un chiffre significatif :

   \boxed{v_{\mathrm{qm}} \approx 5 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$v_{\mathrm{qm}}\approx 5\times 10^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2021, Q3

   L'atmosphère terrestre (air sec) est principalement constituée de deux espèces chimiques :

   • le diazote \mathrm{N_2}, pour une proportion molaire (ou volumique dans l'approximation des gaz parfaits) d'environ x_{\mathrm{N}_2} \simeq 80\,\% (plus précisément 78\,\%) ;
   • le dioxygène \mathrm{O_2}, pour une proportion molaire d'environ x_{\mathrm{O}_2} \simeq 20\,\% (plus précisément 21\,\%).

   Le pourcent restant est constitué majoritairement d'argon (0{,}9\,\%) et d'autres gaz traces (\mathrm{CO_2}, etc.).

   D'après les masses molaires atomiques fournies en annexe (M_{\mathrm{N}} = 14\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\mathrm{O}} = 16\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), les masses molaires moléculaires valent :

   \begin{aligned} M_{\mathrm{N}_2} &= 2\,M_{\mathrm{N}} = 28\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} , \\ M_{\mathrm{O}_2} &= 2\,M_{\mathrm{O}} = 32\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} . \end{aligned}

   La masse molaire moyenne de l'air est la moyenne pondérée par les fractions molaires :

   M = x_{\mathrm{N}_2} M_{\mathrm{N}_2} + x_{\mathrm{O}_2} M_{\mathrm{O}_2}

   L'application numérique donne, avec deux chiffres significatifs comme demandé par le préambule :

   M = 0{,}80 \times 28 + 0{,}20 \times 32 = 28{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} \simeq 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   \boxed{M = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2{,}9 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}}

   Résultat

   $$M=29\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}=2,9\times 10^{-2}\text{ kg}\cdot {\text{mol}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2026, Q1

   Les deux principaux constituants de l'atmosphère terrestre (air sec) sont :

   • le diazote \mathrm{N_2}, dans une proportion molaire (ou volumique) d'environ 78 % (soit près de \frac{4}{5}) ;
   • le dioxygène \mathrm{O_2}, dans une proportion molaire (ou volumique) d'environ 21 % (soit près de \frac{1}{5}).

   \boxed{\text{Diazote }\mathrm{N_2} \approx 78\,\% \quad\text{et}\quad \text{Dioxygène }\mathrm{O_2} \approx 21\,\% \text{ (en fraction molaire ou volumique)}}

   Résultat

   $$\text{Diazote }{\mathrm{N}}_2\approx 78\%\text{et}\text{Dioxygeˋne }{\mathrm{O}}_2\approx 21\%\text{ (en fraction molaire ou volumique)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie MP 2026, Q8

   Le modèle microscopique du gaz parfait repose sur les hypothèses suivantes :

   1. Particules ponctuelles : le volume propre des entités (atomes ou molécules) est totalement négligeable devant le volume offert au gaz (le covolume est nul) ;
   2. Absence d'interactions à distance : les particules n'exercent aucune force mutuelle à distance (pas d'interactions de Van der Waals ni électrostatiques). L'énergie potentielle d'interaction entre particules est donc nulle ;
   3. Collisions élastiques et instantanées : les seules interactions prises en compte sont des chocs mécaniques entre les particules ainsi qu'avec les parois de l'enceinte, considérés comme élastiques (conservation de l'énergie cinétique) et de durée négligeable devant le temps de vol libre ;
   4. Agitation thermique isotrope (chaos moléculaire) : les vitesses des particules sont distribuées de façon aléatoire et isotrope dans l'espace.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MP 2026, Q9

   La vitesse quadratique moyenne u est définie comme la racine carrée de la moyenne du carré de la norme de la vitesse des particules microscopiques :

   u = \sqrt{\langle v^2 \rangle}

   Pour un atome d'hélium de masse m, l'énergie cinétique microscopique moyenne est :

   \langle e_c \rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{1}{2} m u^2

   D'après la théorie cinétique des gaz, pour un gaz parfait monoatomique ne possédant que trois degrés de liberté de translation, l'énergie cinétique moyenne par particule est reliée à la température thermodynamique T par :

   \langle e_c \rangle = \frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T

   où k_{\mathrm{B}} est la constante de Boltzmann. Il vient ainsi :

   \frac{1}{2} m u^2 = \frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T \implies u = \sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}

   En introduisant la constante des gaz parfaits R = \mathcal{N}_{\mathrm{A}} k_{\mathrm{B}} et la masse molaire de l'hélium M_{\mathrm{He}} = \mathcal{N}_{\mathrm{A}} m (avec \mathcal{N}_{\mathrm{A}} le nombre d'Avogadro), on obtient :

   \boxed{u = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{\mathrm{He}}}}}

   Résultat

   $$u=\sqrt{\frac{3RT}{M_{\mathrm{He}}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q6

   Sous une pression résiduelle extrêmement faible (P = 6\cdot 10^{-13}\text{ bar} \ll 1\text{ bar}), les interactions intermoléculaires à distance sont tout à fait négligeables : le dihydrogène résiduel est décrit par le modèle du gaz parfait.

   L'équation d'état du gaz parfait s'écrit pour un volume V contenant N_{\text{gaz}} molécules :

   P V = \frac{N_{\text{gaz}}}{N_A} R T

   La densité volumique de molécules n = \frac{N_{\text{gaz}}}{V} s'en déduit directement :

   n = \frac{P N_A}{R T}

   Avec P = 6\cdot 10^{-13}\text{ bar} = 6\cdot 10^{-8}\text{ Pa}, T = 298\text{ K}, R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et N_A = 6,0\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

   \begin{aligned} n &= \frac{6\cdot 10^{-8} \times 6,0\cdot 10^{23}}{8,3 \times 298} \\ &\approx \frac{3,6\cdot 10^{16}}{2,5\cdot 10^3} \\ &\approx 1,4\cdot 10^{13}\text{ m}^{-3} \end{aligned}

   En arrondissant à un chiffre significatif selon la consigne :

   \boxed{n \approx 1\cdot 10^{13}\text{ m}^{-3}}

   Résultat

   $$n\approx 1\cdot 10^{13}{\text{ m}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2025, Q20

   D'après la question Q19, l'oxydation complète d'une mole de glucose libère une énergie thermique (à pression constante) égale à :

   Q_{\text{mol}} = -\Delta_r H^\circ = 2795\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

   Pour libérer une énergie E = 2{,}5\cdot 10^3\text{ kJ}, la quantité de matière de glucose consommée est :

   n_{\text{gluc}} = \frac{E}{|\Delta_r H^\circ|}

   La masse molaire du glucose vaut :

   M(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6) = 6\,M(\mathrm{C}) + 12\,M(\mathrm{H}) + 6\,M(\mathrm{O}) = 6\times 12 + 12\times 1 + 6\times 16 = 180\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   La masse de glucose consommée est donc :

   m_{\text{gluc}} = n_{\text{gluc}} \cdot M(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6) = \frac{E \cdot M(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6)}{|\Delta_r H^\circ|}

   m_{\text{gluc}} = \frac{2{,}5\cdot 10^3 \times 180}{2795} \approx 1{,}6\cdot 10^2\text{ g}

   \boxed{m_{\text{gluc}} \approx 1{,}6\cdot 10^2\text{ g} = 0{,}16\text{ kg}}

   D'après l'équation de la réaction (question Q18), la consommation d'une mole de glucose nécessite \alpha = 6\text{ moles} de \mathrm{O}_2, d'où :

   n(\mathrm{O}_2) = 6\,n_{\text{gluc}} = \frac{6\,E}{|\Delta_r H^\circ|}

   En modélisant le dioxygène par un gaz parfait, le volume de \mathrm{O}_2 pur consommé sous la pression P et à la température T s'exprime par :

   V(\mathrm{O}_2) = \frac{n(\mathrm{O}_2) R T}{P}

   L'air contenant x_{\mathrm{O}_2} = 21\,\% = 0{,}21 de dioxygène en volume, le volume d'air total nécessaire s'écrit :

   V_{\text{air}} = \frac{V(\mathrm{O}_2)}{x_{\mathrm{O}_2}} = \frac{6\,E\,R T}{x_{\mathrm{O}_2}\,P\,|\Delta_r H^\circ|}

   Avec P = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0\cdot 10^5\text{ Pa}, T = 293\text{ K}, R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et E = 2{,}5\cdot 10^6\text{ J} :

   \begin{aligned} V_{\text{air}} &= \frac{6 \times 2{,}5\cdot 10^6 \times 8{,}314 \times 293}{0{,}21 \times 1{,}0\cdot 10^5 \times 2{,}795\cdot 10^6} \approx 0{,}62\text{ m}^3 \end{aligned}

   \boxed{V_{\text{air}} \approx 0{,}62\text{ m}^3 = 6{,}2\cdot 10^2\text{ L}}

   Résultat

   $$m_{\text{gluc}}\approx 1,6\cdot 10^2\text{ g}=0,16\text{ kg}$$

   $$V_{\text{air}}\approx 0,62{\text{ m}}^3=6,2\cdot 10^2\text{ L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q12

   1. Norme de la quantité de mouvement d'un photon

   Pour un photon d'onde électromagnétique monochromatique de longueur d'onde \lambda_0, l'énergie est E_\gamma = h\nu = \frac{h c}{\lambda_0} et sa quantité de mouvement s'en déduit par la relation d'Einstein-de Broglie :

   p_\gamma = \frac{E_\gamma}{c} = \frac{h}{\lambda_0}

   Application numérique : Avec h = 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et \lambda_0 = 7{,}8 \times 10^{-7}\text{ m} :

   p_\gamma = \frac{6{,}6 \times 10^{-34}}{7{,}8 \times 10^{-7}} \approx 8{,}5 \times 10^{-28}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}

   \boxed{p_\gamma = \frac{h}{\lambda_0} \approx 8{,}5 \times 10^{-28}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

   2. Quantité de mouvement thermique p_0

   La variable p = m\vec{v}\cdot\vec{e}_z est la projection de la quantité de mouvement selon l'axe vertical Oz, qui constitue un unique degré de liberté cinétique translationnel. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie appliqué à l'équilibre thermique à la température T_0 :

   \left\langle \frac{p^2}{2m} \right\rangle = \frac{1}{2} k_B T_0 \iff p_0^2 = \langle p^2 \rangle = m k_B T_0

   D'où l'expression de la moyenne quadratique :

   p_0 = \sqrt{m k_B T_0}

   Application numérique : La masse de l'atome de rubidium vaut :

   m = 85\,u = 85 \times 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg} = 1{,}445 \times 10^{-25}\text{ kg}

   Avec k_B = 1{,}3 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} et pour une température de l'ordre du microkelvin, en prenant T_0 = 1{,}0\,\mu\text{K} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ K} :

   \begin{aligned} p_0^2 &= 1{,}445 \times 10^{-25} \times 1{,}3 \times 10^{-23} \times 1{,}0 \times 10^{-6} \approx 1{,}88 \times 10^{-54}\text{ kg}^2\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2} \\ p_0 &= \sqrt{1{,}88 \times 10^{-54}} \approx 1{,}4 \times 10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{p_0 = \sqrt{m k_B T_0} \approx 1{,}4 \times 10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

   3. Commentaires

   • Ordre de grandeur comparé : On constate que l'impulsion lumineuse transférée par le photon et l'impulsion thermique sont du même ordre de grandeur :

     p_\gamma \sim p_0

     Si les atomes étaient à température ambiante (T \sim 300\text{ K}), l'impulsion thermique serait environ \sqrt{300/10^{-6}} \approx 1{,}7 \times 10^4 fois plus grande que p_0, de sorte que l'impulsion de recul p_\gamma communiquée par le laser serait totalement noyée dans la dispersion thermique des vitesses. Le refroidissement préalable au microkelvin est donc indispensable pour pouvoir séparer et manipuler de façon cohérente les paquets d'ondes.

   • Vitesses mises en jeu : La vitesse de recul associée à l'absorption ou l'émission stimulée d'un photon vaut v_r = p_\gamma/m \approx 5{,}9\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}, et la vitesse thermique est de l'ordre de v_{\text{th}} = p_0/m \approx 9{,}5\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}. Ces vitesses sont extrêmement faibles, ce qui permet aux paquets d'ondes de rester dans la zone d'interaction laser durant des temps de vol macroscopiques (ici \tau = 50\text{ ms}).

   Résultat

   $$p_{\gamma }=\frac{h}{{\lambda }_0}\approx 8,5\times 10^{-28}\text{ kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   $$p_0=\sqrt{m{k}_B{T}_0}\approx 1,4\times 10^{-27}\text{ kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

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9. Exercice 9X-ENS Physique MP 2025, Q15

   Le gaz étant modélisé comme un gaz parfait à la température T = 300\text{ K}, son équation d'état relie la pression P et la densité volumique d'atomes n par :

   P = n k_B T \implies n = \frac{P}{k_B T}

   En injectant cette relation dans l'expression du libre parcours moyen l^*, on obtient :

   l^* = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\pi a^2 P}

   Effectuons l'application numérique avec P = 1\text{ hPa} = 100\text{ Pa}, T = 300\text{ K}, k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} et a = 10^{-10}\text{ m} :

   \begin{aligned} k_B T &= 1{,}4 \times 10^{-23} \times 300 = 4{,}2 \times 10^{-21}\text{ J} \\ n &= \frac{100}{4{,}2 \times 10^{-21}} \approx 2{,}4 \times 10^{22}\text{ m}^{-3} \\ l^* &= \frac{1}{\sqrt{2}\pi \times (10^{-10})^2 \times 2{,}4 \times 10^{22}} \approx \frac{1}{4{,}4 \times 2{,}4 \times 10^2} \approx 1 \times 10^{-3}\text{ m} = 1\text{ mm} \end{aligned}

   Le diamètre de la particule étant d = 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, le nombre de Knudsen vaut :

   K_n = \frac{l^*}{d} \approx \frac{10^{-3}}{10^{-7}} = 10^4

   Puisque K_n \gg 1, on a en particulier K_n > 1 :

   \boxed{\text{La particule se trouve dans le régime d'écoulement libre.}}

   Résultat

   $$\text{La particule se trouve dans le reˊgime d’eˊcoulement libre.}$$

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10. Exercice 10X-ENS Physique-SI MP 2025, Q11

    Pour qu'un milieu discret constitué de couches d'épaisseur a_0 puisse être modélisé comme un milieu continu vis-à-vis du champ de déplacement \vec{u}(y,z) = u(y,z)\vec{e}_z (hypothèse \mathcal{H}_u), les longueurs caractéristiques de variation spatiale de u, notées L_y et L_z, doivent être très grandes devant l'échelle microscopique a_0 :

    L_y \gg a_0 \quad \text{et} \quad L_z \gg a_0

    Ces longueurs caractéristiques s'expriment à partir des gradients du champ de déplacement selon les axes (Oy) et (Oz) :

    L_y \sim \left| \frac{u}{\dfrac{\partial u}{\partial y}} \right| \quad \text{et} \quad L_z \sim \left| \frac{u}{\dfrac{\partial u}{\partial z}} \right|

    L'hypothèse d'un milieu continu se traduit donc par le fait que la variation de déplacement d'une couche à la suivante est négligeable devant le déplacement lui-même :

    \boxed{a_0 \left| \frac{\partial u}{\partial y} \right| \ll |u| \quad \text{et} \quad a_0 \left| \frac{\partial u}{\partial z} \right| \ll |u|}

    De façon analogue, pour que les déformations locales (données par les dérivées premières) soient elles-mêmes continues à cette échelle, les dérivées d'ordre supérieur doivent également varier très lentement sur une distance a_0 :

    \boxed{a_0 \left| \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right| \ll \left| \frac{\partial u}{\partial y} \right| \quad \text{et} \quad a_0 \left| \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right| \ll \left| \frac{\partial u}{\partial z} \right|}

    Sur le plan spectral, si le champ de déformation comporte des composantes ondulatoires de nombres d'onde q selon y et k selon z, ces conditions imposent que les longueurs d'onde associées \lambda_y = 2\pi/q et \lambda_z = 2\pi/k soient très grandes devant a_0, soit :

    \boxed{q\, a_0 \ll 1 \quad \text{et} \quad k\, a_0 \ll 1}

    Résultat

    $$a_0\left|\frac{\partial u}{\partial y}\right|\ll |u|\text{et}{a}_0\left|\frac{\partial u}{\partial z}\right|\ll |u|$$

    $$a_0\left|\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right|\ll \left|\frac{\partial u}{\partial y}\right|\text{et}{a}_0\left|\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\right|\ll \left|\frac{\partial u}{\partial z}\right|$$

    $$q{a}_0\ll 1\text{et}k{a}_0\ll 1$$

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