Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2021

À l'équilibre thermique stationnaire, la surface terrestre réémet vers le haut l'intégralité du flux surfacique d'énergie solaire absorbé I. D'après la loi d'émission radiative fournie dans l'énoncé, le flux surfacique réémis vers l'extérieur s'écrit \phi = s T_0^4. Le bilan de flux s'écrit donc :

On en déduit l'expression de la température d'équilibre T_0 :

Pour l'application numérique, on utilise les données de l'énoncé et de l'annexe :

En utilisant l'approximation fournie dans l'annexe, (220/5{,}67)^{1/4} \simeq 2{,}5, on obtient, avec deux chiffres significatifs :

Commentaire : La température moyenne ainsi calculée (environ -23\text{ }^\circ\text{C}) est nettement inférieure à la température moyenne effective mesurée à la surface terrestre, qui est d'environ +15\text{ }^\circ\text{C} (288\text{ K}). Cet écart montre qu'un modèle sans atmosphère est insuffisant : l'atmosphère terrestre joue un rôle d'écran thermique grâce à l'effet de serre.

À l'équilibre radiatif, le flux surfacique absorbé est égal au flux surfacique émis pour chaque sous-système.

Bilan sur l'atmosphère : L'atmosphère est transparente au rayonnement solaire I, mais absorbe l'intégralité du rayonnement infrarouge émis par le sol, soit s T_0^4. Elle émet un flux s T_a^4 vers le haut et s T_a^4 vers le bas :

Bilan sur la surface terrestre : Le sol reçoit le flux solaire incident I ainsi que le rayonnement infrarouge émis par l'atmosphère vers le bas, et émet le flux s T_0^4 :

Détermination de T_a et T_0 : En combinant les deux bilans (ce qui revient également à écrire le bilan global hors atmosphère : flux solaire incident I égal au flux infrarouge émis vers l'espace s T_a^4) :

Applications numériques : En utilisant les valeurs fournies en annexe, à savoir \left(\frac{220}{5{,}67}\right)^{1/4} \simeq 2{,}5 et 2^{1/4} \simeq 1{,}2 :

Avec deux chiffres significatifs :

Commentaire et nom du phénomène : L'effet mis en évidence par ce modèle est l'effet de serre.

La présence d'une couche atmosphérique absorbant le rayonnement infrarouge tellurique et réémettant une partie de cette énergie vers le sol réchauffe notablement la surface (+50 K par rapport au modèle sans atmosphère). La température obtenue (300\text{ K}) est compatible avec la présence d'eau liquide et le développement de la vie, et s'approche de la température moyenne réelle observée à la surface de la Terre (\approx 288\text{ K} = 15^\circ\text{C}). Elle est légèrement surestimée ici car l'atmosphère réelle n'est pas un corps noir parfait absorbant à 100 % l'infrarouge (existence de fenêtres atmosphériques) et les transferts convectifs évacuent également de la chaleur vers l'altitude.

L'atmosphère terrestre (air sec) est principalement constituée de deux espèces chimiques :

• le diazote \mathrm{N_2}, pour une proportion molaire (ou volumique dans l'approximation des gaz parfaits) d'environ x_{\mathrm{N}_2} \simeq 80\,\% (plus précisément 78\,\%) ;
• le dioxygène \mathrm{O_2}, pour une proportion molaire d'environ x_{\mathrm{O}_2} \simeq 20\,\% (plus précisément 21\,\%).

Le pourcent restant est constitué majoritairement d'argon (0{,}9\,\%) et d'autres gaz traces (\mathrm{CO_2}, etc.).

D'après les masses molaires atomiques fournies en annexe (M_{\mathrm{N}} = 14\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\mathrm{O}} = 16\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), les masses molaires moléculaires valent :

La masse molaire moyenne de l'air est la moyenne pondérée par les fractions molaires :

L'application numérique donne, avec deux chiffres significatifs comme demandé par le préambule :

Considérons l'équilibre mécanique vertical d'une tranche d'air d'épaisseur \mathrm{d}z et de section S dans le champ de pesanteur \vec{g} = -g \vec{u}_z. La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

En assimilant l'air à un gaz parfait de masse molaire M, la masse volumique \rho s'exprime selon :

L'équation différentielle de l'équilibre hydrostatique devient donc :

Dans le modèle isentropique, l'entropie S est constante selon la verticale, soit \mathrm{d}S = 0. L'expression de la différentielle de l'entropie donnée par l'énoncé conduit à :

D'après les définitions de \gamma = C_p/C_v et la relation de Mayer C_p - C_v = R, on a :

On en déduit :

En dérivant par rapport à z et en substituant \frac{1}{P}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} :

Les grandeurs M, g et C_p étant supposées indépendantes de l'altitude, le gradient thermique vertical est constant. L'intégration avec la condition aux limites T(0) = T_0 donne :

Pour un gaz parfait diatomique aux températures atmosphériques usuelles, les degrés de liberté de translation (3) et de rotation (2) sont actifs, tandis que les modes de vibration sont gelés. La capacité thermique molaire à volume constant vaut donc :

D'après la relation de Mayer C_p - C_v = R, on en déduit :

D'après la question 4, le gradient vertical de température s'écrit :

Avec les valeurs numériques :

• M \simeq 2{,}9 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} (d'après la question 3),
• g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1},
• C_p = \frac{7}{2} \times 8{,}314 \simeq 29{,}1\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.

On remarque que M en \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} et C_p en \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ont des valeurs numériques très proches (29 \approx 29{,}1), de sorte que :

Conformément aux instructions du sujet imposant un seul chiffre significatif à partir de cette question :

La transformation subie par la parcelle fermée de fluide est adiabatique et quasi-statique (réversible), elle est donc isentropique : \Delta S = 0.

D'après la différentielle de l'entropie fournie dans l'énoncé :

La grandeur T P^{\frac{1}{\gamma}-1} est donc conservée au cours de la transformation.

En utilisant la définition \gamma = C_p/C_v et la relation de Mayer C_p - C_v = R, on a :

La condition d'isentropie s'écrit par conséquent :

On en déduit l'expression de la température finale T_f :

Considérons une perturbation déplaçant la parcelle vers le haut (\mathrm{d}z > 0). La parcelle s'équilibre instantanément à la pression extérieure locale P_f = P(z_i + \mathrm{d}z).

D'après l'équation d'état des gaz parfaits, la masse volumique du fluide à la pression P_f et à une température T s'écrit :

La masse volumique de la parcelle déplacée \rho_f et celle du milieu extérieur \rho_{\text{ext}} à l'altitude z_i + \mathrm{d}z valent donc respectivement :

La force volumique verticale nette (poids et poussée d'Archimède) s'exerçant sur la parcelle est :

On distingue deux cas :

• Si T_f < T(z_i + \mathrm{d}z) : on a \rho_f > \rho_{\text{ext}}. La parcelle est plus froide et donc plus dense que le milieu environnant. La force nette est dirigée vers le bas (f_z < 0), ce qui tend à ramener la parcelle vers son altitude d'équilibre initiale z_i. Le même raisonnement pour un déplacement vers le bas (\mathrm{d}z < 0) montre que la force tend également à faire remonter la parcelle. Le profil d'atmosphère est donc stable.

  \boxed{T_f < T(z_i + \mathrm{d}z) \implies \text{atmosphère stable}}

• Si T_f > T(z_i + \mathrm{d}z) : on a \rho_f < \rho_{\text{ext}}. La parcelle est plus chaude et donc moins dense que le fluide ambiant. La poussée d'Archimède l'emporte sur le poids (f_z > 0) : la parcelle continue d'accélérer vers le haut, s'éloignant indéfiniment de sa position de départ. La moindre perturbation engendre un mouvement d'ascension spontané : le profil d'atmosphère est donc instable.

  \boxed{T_f > T(z_i + \mathrm{d}z) \implies \text{atmosphère instable (instabilité convective)}}

D'après la question Q6, la température de la parcelle après son ascension adiabatique réversible s'écrit :

La parcelle s'équilibre en pression avec le milieu extérieur à l'altitude z_i + \mathrm{d}z, soit P_f = P(z_i + \mathrm{d}z) = P_i + \mathrm{d}P. En appliquant l'équation de la statique des fluides et la loi des gaz parfaits à l'altitude z_i :

Le rapport des pressions vaut donc au premier ordre en \mathrm{d}z :

En développant T_f au premier ordre :

Par ailleurs, le développement au premier ordre de la température du milieu ambiant s'écrit :

La condition de marginale stabilité T_f = T(z_i + \mathrm{d}z) impose :

On en déduit l'expression du gradient vertical de température :

Commentaires :

• Ce gradient coïncide exactement avec celui obtenu à la question Q4 pour une atmosphère isentropique : dans une telle atmosphère, une particule déplacée adiabatiquement reste en permanence en équilibre thermique et densitaire avec l'air environnant (équilibre indifférent).
• L'application numérique menée à la question Q5 donne \Gamma \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} (connu sous le nom de gradient adiabatique sec).

• Ce gradient fixe la frontière entre la stabilité et l'instabilité convective :

  • si \Gamma > -\frac{Mg}{C_p} (décroissance plus lente de la température avec l'altitude), l'atmosphère est stable ;
  • si \Gamma < -\frac{Mg}{C_p} (décroissance plus rapide de la température, régime superadiabatique), l'atmosphère est instable et la convection thermique s'amorce spontanément.

D'après les questions Q7 et Q8, l'atmosphère est :

• convectivement stable si \Gamma = \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} > \Gamma_{\text{ms}} = -\dfrac{Mg}{C_p} \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} ;
• convectivement instable si \Gamma = \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} < \Gamma_{\text{ms}} \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}.

1. Dans les basses couches (z \lesssim 5\text{ km}) :

Par lecture de la figure 1 :

• à z = 0\text{ km}, T(0) \approx 290\text{ K} ;
• à z = 5\text{ km}, T(5\text{ km}) \approx 220\text{ K}.

Le gradient vertical moyen dans les premières couches vaut donc :

Au voisinage immédiat du sol (z \to 0), le profil est encore plus incliné horizontalement, avec un gradient local atteignant \Gamma \sim -20\text{ à } -30\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}. Dans tous les cas :

Les basses couches sont donc instables vis-à-vis de la convection.

2. Dans les hautes couches (z \gtrsim 10\text{ km}) :

Pour z \ge 10\text{ km}, la courbe devient pratiquement verticale sur le graphe (z en ordonnée, T en abscisse), ce qui traduit une couche quasi isotherme où T \approx 215\text{ K} :

On a donc très largement :

Les hautes couches sont donc stables vis-à-vis de la convection.

Conclusion :

L'observation du profil de température de l'atmosphère standard (figure 2) met en évidence deux zones distinctes :

• De z = 0 à z \simeq 11\text{ km} (la troposphère) : Dans le modèle radiatif (figure 1), le gradient de température au sol était excessivement pentu (\mathrm{d}T/\mathrm{d}z < -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}), ce qui entraînait une instabilité convective (mise en évidence aux questions 7 à 9). Le brassage convectif redistribue l'énergie et impose un gradient thermique vertical quasi uniforme :

  \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} \simeq \frac{216 - 288}{11} \simeq -6{,}5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}

  Ce gradient est plus doux que le profil purement radiatif et proche du gradient de stabilité marginale (atténué par les effets d'humidité). Cette région le siège de la convection est la troposphère.

• Pour z \gtrsim 11\text{ km} (la stratosphère) : La température devient sensiblement constante (T \simeq 216\text{ K}). Dans le modèle radiatif (figure 1), le profil était déjà stable vis-à-vis de la convection (\mathrm{d}T/\mathrm{d}z \simeq 0 > \Gamma_{\text{ms}}). L'instabilité convective n'y opérant pas, le profil de température reste piloté par les équilibres radiatifs. Cette zone stable est la stratosphère (la frontière entre troposphère et stratosphère à z \simeq 11\text{ km} étant la tropopause).

Lors de son ascension d'une hauteur \mathrm{d}z > 0, la parcelle d'air subit une détente motrice qui tend à abaisser sa température. L'air étant initialement saturé en vapeur d'eau (P_v = P_{\text{sat}}), ce refroidissement provoque la condensation d'une fraction de la vapeur d'eau sous forme d'eau liquide.

La condensation est une transition de phase exothermique : elle s'accompagne de la libération d'une enthalpie de condensation (\mathrm{d}H_{\text{cond}} > 0), qui réchauffe la parcelle d'air par rapport à une détente adiabatique sans changement de phase.

Par conséquent :

• L'atmosphère environnante suit le profil marginalement stable établi à la question Q8, qui correspond à un refroidissement purement sec : T(z_i + \mathrm{d}z) = T_{\text{sec}}.

• La parcelle humide bénéficie de l'apport thermique de la condensation, si bien que sa température finale T_f vérifie :

  T_f > T(z_i + \mathrm{d}z).

À la pression d'équilibre P_f = P(z_i + \mathrm{d}z), la loi des gaz parfaits indique que la masse volumique de la parcelle est inférieure à celle de l'air ambiant :

La poussée d'Archimède exercée sur la parcelle est alors supérieure à son poids : la force nette résultante est dirigée vers le haut, ce qui auto-entretient et amplifie le mouvement ascendant de la parcelle.

Les fines gouttelettes d'eau liquide formées par condensation et maintenues en suspension constituent un nuage.

Par définition, la fraction molaire de la vapeur d'eau dans la phase gazeuse s'écrit :

Le système fermé ne subit pas d'échange de matière avec l'extérieur, et l'air sec ne se condense pas aux températures atmosphériques, de sorte que la quantité de matière d'air sec n_a est constante (\mathrm{d}n_a = 0).

En différenciant x_v par rapport à n_v, on obtient :

Compte tenu de l'hypothèse x_v \ll 1, soit n_v \ll n_a, on effectue un développement au premier ordre :

On en déduit l'expression approchée recherchée :

La relation (1) appliquée à la phase gazeuse, dominée par l'air (n \simeq n_a), s'écrit :

En utilisant la relation de Mayer C_p - C_v = R, l'exposant vaut :

On en déduit :

Par ailleurs, lorsqu'une variation \mathrm{d}n_v de quantité de vapeur a lieu, la quantité de vapeur condensée est -\mathrm{d}n_v. L'enthalpie libérée par cette condensation s'écrit :

D'après la question Q12, \mathrm{d}n_v = n_a\,\mathrm{d}x_v, d'où :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}S et en simplifiant par n_a, on obtient :

soit, en multipliant par T :

La parcelle s'équilibre instantanément en pression avec l'atmosphère extérieure qui obéit à l'équilibre hydrostatique :

La phase gazeuse étant assimilée à de l'air sec pur de masse molaire M, la loi des gaz parfaits donne :

Le terme de pression se réécrit donc :

En substituant cette relation et en divisant l'ensemble par \mathrm{d}z, on aboutit à :

D'après la relation (2) établie à la question 13 :

En intégrant cette équation entre z = 0 et z = h, et en considérant les grandeurs \Delta_{\text{vap}}H, C_p, M et g constantes, il vient :

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• à l'altitude z = 0, la fraction molaire initiale est x_v(0) = x_v^{(i)} ;
• à l'altitude z = h, toute la vapeur s'est condensée, d'où x_v(h) = 0.

Le membre de gauche s'écrit donc :

On obtient ainsi :

En divisant par h et par C_p, on obtient l'expression du gradient moyen \Gamma_h :

D'après la question Q14, l'expression du gradient moyen de l'atmosphère humide est :

Pour un gaz parfait diatomique :

Calculons séparément chacun des deux termes :

• Le terme adiabatique sec (déterminé à la question Q5) :

  -\frac{M g}{C_p} \simeq -\frac{2{,}9 \times 10^{-2} \times 9{,}8}{29{,}1} \simeq -9{,}8 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} = -9{,}8\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}

• Le terme de réchauffement latent dû à la condensation de l'eau :

  \begin{aligned} \frac{\Delta_{\mathrm{vap}}H \, x_v^{(i)}}{C_p h} &= \frac{4{,}1 \times 10^4 \times 0{,}04}{29{,}1 \times 10^4} \\ &\simeq \frac{1{,}64 \times 10^3}{2{,}91 \times 10^5} \simeq 5{,}6 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} = +5{,}6\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} \end{aligned}

On en déduit la valeur du gradient moyen :

Conformément à la consigne demandant un seul chiffre significatif :

Commentaire :

• Sur la figure 2, le profil de l'atmosphère standard dans la troposphère présente une décroissance d'environ \Delta T \simeq 217 - 288 = -71\text{ K} sur une épaisseur de 11\text{ km}, soit un gradient moyen :

  \Gamma_{\mathrm{ISA}} \simeq -\frac{71}{11} \simeq -6{,}5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}
• Le gradient de l'atmosphère standard est compris entre le gradient adiabatique sec (\Gamma_{\mathrm{sec}} \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}) et le gradient adiabatique humide calculé ici (\Gamma_h \simeq -4\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}).
• Ce résultat est physiquement très cohérent : l'atmosphère réelle n'est ni totalement sèche, ni partout saturée en vapeur d'eau. La libération de chaleur latente lors de la condensation atténue le refroidissement lors de l'ascension de l'air, rendant le gradient thermique moins abrupt dans les zones humides (notamment équatoriales) que dans l'air sec.

1. Origine de l'écart de température (T_1 > T_0)

La température d'équilibre dépend directement du flux solaire incident moyen absorbé par unité de surface horizontale :

• Au voisinage de l'équateur (0^\circ), les rayons solaires arrivent quasi-perpendiculairement à la surface terrestre : le flux surfacique absorbé est maximal, ce qui conduit à une température de surface élevée T_1.
• Aux latitudes subtropicales (\pm 30^\circ), l'inclinaison des rayons solaires (angle zénithal plus grand) étale la puissance reçue sur une surface plus étendue et allonge le trajet optique dans l'atmosphère (diffusion et absorption accrues). Le flux surfacique moyen est donc plus faible, d'où T_0 < T_1.

2. Structure et fonctionnement de la circulation de Hadley

Ce gradient thermique méridional engendre une cellule de convection thermique fermée :

• Ascendance équatoriale : Au niveau de l'équateur, l'air chaud et saturé en humidité au contact de l'océan devient moins dense que l'air environnant et s'élève par poussée d'Archimède (flèches rouges verticales).
• Précipitations équatoriales : Au cours de l'ascension, la baisse de pression entraîne un refroidissement par détente adiabatique. La saturation est rapidement dépassée, provoquant une condensation massive de la vapeur d'eau : cela donne naissance à d'épais nuages convectifs (cumulonimbus) et à de fortes précipitations caractéristiques de la Zone de Convergence Intertropicale (ZCIT).
• Écoulement d'altitude : Vers z \approx h = 10\text{ km}, l'ascension est bloquée par l'inversion de température de la stratosphère (couche stable). L'air asséché diverge alors en altitude en direction des pôles (vers le nord et vers le sud, flèches bleues horizontales).
• Subsidence subtropicale : En s'éloignant de l'équateur, l'air se refroidit par émission radiative vers l'espace, se densifie et redescend vers le sol vers \pm 30^\circ de latitude (flèches bleues descendantes). Cette compression adiabatique lors de la descente réchauffe et assèche l'air, ce qui inhibe toute formation nuageuse et explique la présence des grands déserts subtropicaux et des anticyclones permanents.
• Courant de retour en surface : Pour fermer la boucle et conserver la masse, l'air retourne des subtropiques vers l'équateur à basse altitude (flèches rouges horizontales), formant au niveau du sol les vents réguliers appelés alizés (déviés vers l'ouest par la force de Coriolis).

Pour une mole de corps pur sous une phase homogène donnée, l'enthalpie libre molaire G_m est définie par G_m = U_m + P V_m - T S_m. En différentiant cette relation et en utilisant le premier principe combiné au second pour une mole de phase pure (\mathrm{d}U_m = T\mathrm{d}S_m - P\mathrm{d}V_m), on obtient l'identité thermodynamique fondamentale pour l'enthalpie libre molaire :

En appliquant cette relation à chacune des deux phases (liquide et vapeur) :

L'enthalpie libre est une fonction d'état extensive. L'enthalpie libre totale G du système diphasique est donc la somme des enthalpies libres de chaque phase :

Le système étant fermé, la quantité de matière totale d'eau n = n_l + n_v est constante, d'où n_l = n - n_v. On en déduit l'expression de G :