Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2021

À l'équilibre thermique stationnaire, la surface terrestre réémet vers le haut l'intégralité du flux surfacique d'énergie solaire absorbé I. D'après la loi d'émission radiative fournie dans l'énoncé, le flux surfacique réémis vers l'extérieur s'écrit \phi = s T_0^4. Le bilan de flux s'écrit donc :

On en déduit l'expression de la température d'équilibre T_0 :

Pour l'application numérique, on utilise les données de l'énoncé et de l'annexe :

En utilisant l'approximation fournie dans l'annexe, (220/5{,}67)^{1/4} \simeq 2{,}5, on obtient, avec deux chiffres significatifs :

Commentaire : La température moyenne ainsi calculée (environ -23\text{ }^\circ\text{C}) est nettement inférieure à la température moyenne effective mesurée à la surface terrestre, qui est d'environ +15\text{ }^\circ\text{C} (288\text{ K}). Cet écart montre qu'un modèle sans atmosphère est insuffisant : l'atmosphère terrestre joue un rôle d'écran thermique grâce à l'effet de serre.

À l'équilibre radiatif, le flux surfacique absorbé est égal au flux surfacique émis pour chaque sous-système.

Bilan sur l'atmosphère : L'atmosphère est transparente au rayonnement solaire I, mais absorbe l'intégralité du rayonnement infrarouge émis par le sol, soit s T_0^4. Elle émet un flux s T_a^4 vers le haut et s T_a^4 vers le bas :

Bilan sur la surface terrestre : Le sol reçoit le flux solaire incident I ainsi que le rayonnement infrarouge émis par l'atmosphère vers le bas, et émet le flux s T_0^4 :

Détermination de T_a et T_0 : En combinant les deux bilans (ce qui revient également à écrire le bilan global hors atmosphère : flux solaire incident I égal au flux infrarouge émis vers l'espace s T_a^4) :

Applications numériques : En utilisant les valeurs fournies en annexe, à savoir \left(\frac{220}{5{,}67}\right)^{1/4} \simeq 2{,}5 et 2^{1/4} \simeq 1{,}2 :

Avec deux chiffres significatifs :

Commentaire et nom du phénomène : L'effet mis en évidence par ce modèle est l'effet de serre.

La présence d'une couche atmosphérique absorbant le rayonnement infrarouge tellurique et réémettant une partie de cette énergie vers le sol réchauffe notablement la surface (+50 K par rapport au modèle sans atmosphère). La température obtenue (300\text{ K}) est compatible avec la présence d'eau liquide et le développement de la vie, et s'approche de la température moyenne réelle observée à la surface de la Terre (\approx 288\text{ K} = 15^\circ\text{C}). Elle est légèrement surestimée ici car l'atmosphère réelle n'est pas un corps noir parfait absorbant à 100 % l'infrarouge (existence de fenêtres atmosphériques) et les transferts convectifs évacuent également de la chaleur vers l'altitude.

L'atmosphère terrestre (air sec) est principalement constituée de deux espèces chimiques :

• le diazote \mathrm{N_2}, pour une proportion molaire (ou volumique dans l'approximation des gaz parfaits) d'environ x_{\mathrm{N}_2} \simeq 80\,\% (plus précisément 78\,\%) ;
• le dioxygène \mathrm{O_2}, pour une proportion molaire d'environ x_{\mathrm{O}_2} \simeq 20\,\% (plus précisément 21\,\%).

Le pourcent restant est constitué majoritairement d'argon (0{,}9\,\%) et d'autres gaz traces (\mathrm{CO_2}, etc.).

D'après les masses molaires atomiques fournies en annexe (M_{\mathrm{N}} = 14\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\mathrm{O}} = 16\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), les masses molaires moléculaires valent :

La masse molaire moyenne de l'air est la moyenne pondérée par les fractions molaires :

L'application numérique donne, avec deux chiffres significatifs comme demandé par le préambule :

Considérons l'équilibre mécanique vertical d'une tranche d'air d'épaisseur \mathrm{d}z et de section S dans le champ de pesanteur \vec{g} = -g \vec{u}_z. La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

En assimilant l'air à un gaz parfait de masse molaire M, la masse volumique \rho s'exprime selon :

L'équation différentielle de l'équilibre hydrostatique devient donc :

Dans le modèle isentropique, l'entropie S est constante selon la verticale, soit \mathrm{d}S = 0. L'expression de la différentielle de l'entropie donnée par l'énoncé conduit à :

D'après les définitions de \gamma = C_p/C_v et la relation de Mayer C_p - C_v = R, on a :

On en déduit :

En dérivant par rapport à z et en substituant \frac{1}{P}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} :

Les grandeurs M, g et C_p étant supposées indépendantes de l'altitude, le gradient thermique vertical est constant. L'intégration avec la condition aux limites T(0) = T_0 donne :

Pour un gaz parfait diatomique aux températures atmosphériques usuelles, les degrés de liberté de translation (3) et de rotation (2) sont actifs, tandis que les modes de vibration sont gelés. La capacité thermique molaire à volume constant vaut donc :

D'après la relation de Mayer C_p - C_v = R, on en déduit :

D'après la question 4, le gradient vertical de température s'écrit :

Avec les valeurs numériques :

• M \simeq 2{,}9 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} (d'après la question 3),
• g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1},
• C_p = \frac{7}{2} \times 8{,}314 \simeq 29{,}1\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.

On remarque que M en \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} et C_p en \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ont des valeurs numériques très proches (29 \approx 29{,}1), de sorte que :

Conformément aux instructions du sujet imposant un seul chiffre significatif à partir de cette question :

La transformation subie par la parcelle fermée de fluide est adiabatique et quasi-statique (réversible), elle est donc isentropique : \Delta S = 0.

D'après la différentielle de l'entropie fournie dans l'énoncé :

La grandeur T P^{\frac{1}{\gamma}-1} est donc conservée au cours de la transformation.

En utilisant la définition \gamma = C_p/C_v et la relation de Mayer C_p - C_v = R, on a :

La condition d'isentropie s'écrit par conséquent :

On en déduit l'expression de la température finale T_f :

Considérons une perturbation déplaçant la parcelle vers le haut (\mathrm{d}z > 0). La parcelle s'équilibre instantanément à la pression extérieure locale P_f = P(z_i + \mathrm{d}z).

D'après l'équation d'état des gaz parfaits, la masse volumique du fluide à la pression P_f et à une température T s'écrit :

La masse volumique de la parcelle déplacée \rho_f et celle du milieu extérieur \rho_{\text{ext}} à l'altitude z_i + \mathrm{d}z valent donc respectivement :

La force volumique verticale nette (poids et poussée d'Archimède) s'exerçant sur la parcelle est :

On distingue deux cas :

• Si T_f < T(z_i + \mathrm{d}z) : on a \rho_f > \rho_{\text{ext}}. La parcelle est plus froide et donc plus dense que le milieu environnant. La force nette est dirigée vers le bas (f_z < 0), ce qui tend à ramener la parcelle vers son altitude d'équilibre initiale z_i. Le même raisonnement pour un déplacement vers le bas (\mathrm{d}z < 0) montre que la force tend également à faire remonter la parcelle. Le profil d'atmosphère est donc stable.

  \boxed{T_f < T(z_i + \mathrm{d}z) \implies \text{atmosphère stable}}

• Si T_f > T(z_i + \mathrm{d}z) : on a \rho_f < \rho_{\text{ext}}. La parcelle est plus chaude et donc moins dense que le fluide ambiant. La poussée d'Archimède l'emporte sur le poids (f_z > 0) : la parcelle continue d'accélérer vers le haut, s'éloignant indéfiniment de sa position de départ. La moindre perturbation engendre un mouvement d'ascension spontané : le profil d'atmosphère est donc instable.

  \boxed{T_f > T(z_i + \mathrm{d}z) \implies \text{atmosphère instable (instabilité convective)}}

D'après la question Q6, la température de la parcelle après son ascension adiabatique réversible s'écrit :

La parcelle s'équilibre en pression avec le milieu extérieur à l'altitude z_i + \mathrm{d}z, soit P_f = P(z_i + \mathrm{d}z) = P_i + \mathrm{d}P. En appliquant l'équation de la statique des fluides et la loi des gaz parfaits à l'altitude z_i :

Le rapport des pressions vaut donc au premier ordre en \mathrm{d}z :

En développant T_f au premier ordre :

Par ailleurs, le développement au premier ordre de la température du milieu ambiant s'écrit :

La condition de marginale stabilité T_f = T(z_i + \mathrm{d}z) impose :

On en déduit l'expression du gradient vertical de température :

Commentaires :

• Ce gradient coïncide exactement avec celui obtenu à la question Q4 pour une atmosphère isentropique : dans une telle atmosphère, une particule déplacée adiabatiquement reste en permanence en équilibre thermique et densitaire avec l'air environnant (équilibre indifférent).
• L'application numérique menée à la question Q5 donne \Gamma \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} (connu sous le nom de gradient adiabatique sec).

• Ce gradient fixe la frontière entre la stabilité et l'instabilité convective :

  • si \Gamma > -\frac{Mg}{C_p} (décroissance plus lente de la température avec l'altitude), l'atmosphère est stable ;
  • si \Gamma < -\frac{Mg}{C_p} (décroissance plus rapide de la température, régime superadiabatique), l'atmosphère est instable et la convection thermique s'amorce spontanément.

D'après les questions Q7 et Q8, l'atmosphère est :

• convectivement stable si \Gamma = \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} > \Gamma_{\text{ms}} = -\dfrac{Mg}{C_p} \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} ;
• convectivement instable si \Gamma = \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} < \Gamma_{\text{ms}} \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}.

1. Dans les basses couches (z \lesssim 5\text{ km}) :

Par lecture de la figure 1 :

• à z = 0\text{ km}, T(0) \approx 290\text{ K} ;
• à z = 5\text{ km}, T(5\text{ km}) \approx 220\text{ K}.

Le gradient vertical moyen dans les premières couches vaut donc :

Au voisinage immédiat du sol (z \to 0), le profil est encore plus incliné horizontalement, avec un gradient local atteignant \Gamma \sim -20\text{ à } -30\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}. Dans tous les cas :

Les basses couches sont donc instables vis-à-vis de la convection.

2. Dans les hautes couches (z \gtrsim 10\text{ km}) :

Pour z \ge 10\text{ km}, la courbe devient pratiquement verticale sur le graphe (z en ordonnée, T en abscisse), ce qui traduit une couche quasi isotherme où T \approx 215\text{ K} :

On a donc très largement :

Les hautes couches sont donc stables vis-à-vis de la convection.

Conclusion :

L'observation du profil de température de l'atmosphère standard (figure 2) met en évidence deux zones distinctes :

• De z = 0 à z \simeq 11\text{ km} (la troposphère) : Dans le modèle radiatif (figure 1), le gradient de température au sol était excessivement pentu (\mathrm{d}T/\mathrm{d}z < -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}), ce qui entraînait une instabilité convective (mise en évidence aux questions 7 à 9). Le brassage convectif redistribue l'énergie et impose un gradient thermique vertical quasi uniforme :

  \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} \simeq \frac{216 - 288}{11} \simeq -6{,}5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}

  Ce gradient est plus doux que le profil purement radiatif et proche du gradient de stabilité marginale (atténué par les effets d'humidité). Cette région le siège de la convection est la troposphère.

• Pour z \gtrsim 11\text{ km} (la stratosphère) : La température devient sensiblement constante (T \simeq 216\text{ K}). Dans le modèle radiatif (figure 1), le profil était déjà stable vis-à-vis de la convection (\mathrm{d}T/\mathrm{d}z \simeq 0 > \Gamma_{\text{ms}}). L'instabilité convective n'y opérant pas, le profil de température reste piloté par les équilibres radiatifs. Cette zone stable est la stratosphère (la frontière entre troposphère et stratosphère à z \simeq 11\text{ km} étant la tropopause).

Lors de son ascension d'une hauteur \mathrm{d}z > 0, la parcelle d'air subit une détente motrice qui tend à abaisser sa température. L'air étant initialement saturé en vapeur d'eau (P_v = P_{\text{sat}}), ce refroidissement provoque la condensation d'une fraction de la vapeur d'eau sous forme d'eau liquide.

La condensation est une transition de phase exothermique : elle s'accompagne de la libération d'une enthalpie de condensation (\mathrm{d}H_{\text{cond}} > 0), qui réchauffe la parcelle d'air par rapport à une détente adiabatique sans changement de phase.

Par conséquent :

• L'atmosphère environnante suit le profil marginalement stable établi à la question Q8, qui correspond à un refroidissement purement sec : T(z_i + \mathrm{d}z) = T_{\text{sec}}.

• La parcelle humide bénéficie de l'apport thermique de la condensation, si bien que sa température finale T_f vérifie :

  T_f > T(z_i + \mathrm{d}z).

À la pression d'équilibre P_f = P(z_i + \mathrm{d}z), la loi des gaz parfaits indique que la masse volumique de la parcelle est inférieure à celle de l'air ambiant :

La poussée d'Archimède exercée sur la parcelle est alors supérieure à son poids : la force nette résultante est dirigée vers le haut, ce qui auto-entretient et amplifie le mouvement ascendant de la parcelle.

Les fines gouttelettes d'eau liquide formées par condensation et maintenues en suspension constituent un nuage.

Par définition, la fraction molaire de la vapeur d'eau dans la phase gazeuse s'écrit :

Le système fermé ne subit pas d'échange de matière avec l'extérieur, et l'air sec ne se condense pas aux températures atmosphériques, de sorte que la quantité de matière d'air sec n_a est constante (\mathrm{d}n_a = 0).

En différenciant x_v par rapport à n_v, on obtient :

Compte tenu de l'hypothèse x_v \ll 1, soit n_v \ll n_a, on effectue un développement au premier ordre :

On en déduit l'expression approchée recherchée :

La relation (1) appliquée à la phase gazeuse, dominée par l'air (n \simeq n_a), s'écrit :

En utilisant la relation de Mayer C_p - C_v = R, l'exposant vaut :

On en déduit :

Par ailleurs, lorsqu'une variation \mathrm{d}n_v de quantité de vapeur a lieu, la quantité de vapeur condensée est -\mathrm{d}n_v. L'enthalpie libérée par cette condensation s'écrit :

D'après la question Q12, \mathrm{d}n_v = n_a\,\mathrm{d}x_v, d'où :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}S et en simplifiant par n_a, on obtient :

soit, en multipliant par T :

La parcelle s'équilibre instantanément en pression avec l'atmosphère extérieure qui obéit à l'équilibre hydrostatique :

La phase gazeuse étant assimilée à de l'air sec pur de masse molaire M, la loi des gaz parfaits donne :

Le terme de pression se réécrit donc :

En substituant cette relation et en divisant l'ensemble par \mathrm{d}z, on aboutit à :

D'après la relation (2) établie à la question 13 :

En intégrant cette équation entre z = 0 et z = h, et en considérant les grandeurs \Delta_{\text{vap}}H, C_p, M et g constantes, il vient :

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• à l'altitude z = 0, la fraction molaire initiale est x_v(0) = x_v^{(i)} ;
• à l'altitude z = h, toute la vapeur s'est condensée, d'où x_v(h) = 0.

Le membre de gauche s'écrit donc :

On obtient ainsi :

En divisant par h et par C_p, on obtient l'expression du gradient moyen \Gamma_h :

D'après la question Q14, l'expression du gradient moyen de l'atmosphère humide est :

Pour un gaz parfait diatomique :

Calculons séparément chacun des deux termes :

• Le terme adiabatique sec (déterminé à la question Q5) :

  -\frac{M g}{C_p} \simeq -\frac{2{,}9 \times 10^{-2} \times 9{,}8}{29{,}1} \simeq -9{,}8 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} = -9{,}8\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}

• Le terme de réchauffement latent dû à la condensation de l'eau :

  \begin{aligned} \frac{\Delta_{\mathrm{vap}}H \, x_v^{(i)}}{C_p h} &= \frac{4{,}1 \times 10^4 \times 0{,}04}{29{,}1 \times 10^4} \\ &\simeq \frac{1{,}64 \times 10^3}{2{,}91 \times 10^5} \simeq 5{,}6 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} = +5{,}6\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} \end{aligned}

On en déduit la valeur du gradient moyen :

Conformément à la consigne demandant un seul chiffre significatif :

Commentaire :

• Sur la figure 2, le profil de l'atmosphère standard dans la troposphère présente une décroissance d'environ \Delta T \simeq 217 - 288 = -71\text{ K} sur une épaisseur de 11\text{ km}, soit un gradient moyen :

  \Gamma_{\mathrm{ISA}} \simeq -\frac{71}{11} \simeq -6{,}5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}
• Le gradient de l'atmosphère standard est compris entre le gradient adiabatique sec (\Gamma_{\mathrm{sec}} \simeq -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}) et le gradient adiabatique humide calculé ici (\Gamma_h \simeq -4\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}).
• Ce résultat est physiquement très cohérent : l'atmosphère réelle n'est ni totalement sèche, ni partout saturée en vapeur d'eau. La libération de chaleur latente lors de la condensation atténue le refroidissement lors de l'ascension de l'air, rendant le gradient thermique moins abrupt dans les zones humides (notamment équatoriales) que dans l'air sec.

1. Origine de l'écart de température (T_1 > T_0)

La température d'équilibre dépend directement du flux solaire incident moyen absorbé par unité de surface horizontale :

• Au voisinage de l'équateur (0^\circ), les rayons solaires arrivent quasi-perpendiculairement à la surface terrestre : le flux surfacique absorbé est maximal, ce qui conduit à une température de surface élevée T_1.
• Aux latitudes subtropicales (\pm 30^\circ), l'inclinaison des rayons solaires (angle zénithal plus grand) étale la puissance reçue sur une surface plus étendue et allonge le trajet optique dans l'atmosphère (diffusion et absorption accrues). Le flux surfacique moyen est donc plus faible, d'où T_0 < T_1.

2. Structure et fonctionnement de la circulation de Hadley

Ce gradient thermique méridional engendre une cellule de convection thermique fermée :

• Ascendance équatoriale : Au niveau de l'équateur, l'air chaud et saturé en humidité au contact de l'océan devient moins dense que l'air environnant et s'élève par poussée d'Archimède (flèches rouges verticales).
• Précipitations équatoriales : Au cours de l'ascension, la baisse de pression entraîne un refroidissement par détente adiabatique. La saturation est rapidement dépassée, provoquant une condensation massive de la vapeur d'eau : cela donne naissance à d'épais nuages convectifs (cumulonimbus) et à de fortes précipitations caractéristiques de la Zone de Convergence Intertropicale (ZCIT).
• Écoulement d'altitude : Vers z \approx h = 10\text{ km}, l'ascension est bloquée par l'inversion de température de la stratosphère (couche stable). L'air asséché diverge alors en altitude en direction des pôles (vers le nord et vers le sud, flèches bleues horizontales).
• Subsidence subtropicale : En s'éloignant de l'équateur, l'air se refroidit par émission radiative vers l'espace, se densifie et redescend vers le sol vers \pm 30^\circ de latitude (flèches bleues descendantes). Cette compression adiabatique lors de la descente réchauffe et assèche l'air, ce qui inhibe toute formation nuageuse et explique la présence des grands déserts subtropicaux et des anticyclones permanents.
• Courant de retour en surface : Pour fermer la boucle et conserver la masse, l'air retourne des subtropiques vers l'équateur à basse altitude (flèches rouges horizontales), formant au niveau du sol les vents réguliers appelés alizés (déviés vers l'ouest par la force de Coriolis).

Pour une mole de corps pur sous une phase homogène donnée, l'enthalpie libre molaire G_m est définie par G_m = U_m + P V_m - T S_m. En différentiant cette relation et en utilisant le premier principe combiné au second pour une mole de phase pure (\mathrm{d}U_m = T\mathrm{d}S_m - P\mathrm{d}V_m), on obtient l'identité thermodynamique fondamentale pour l'enthalpie libre molaire :

En appliquant cette relation à chacune des deux phases (liquide et vapeur) :

L'enthalpie libre est une fonction d'état extensive. L'enthalpie libre totale G du système diphasique est donc la somme des enthalpies libres de chaque phase :

Le système étant fermé, la quantité de matière totale d'eau n = n_l + n_v est constante, d'où n_l = n - n_v. On en déduit l'expression de G :

Le système étudié est fermé, de quantité de matière totale n = n_l + n_v constante, d'où :

D'après l'expression de l'enthalpie libre obtenue à la question Q17 :

Lorsque la température T et la pression P sont imposées constantes par le milieu extérieur (\mathrm{d}T = 0 et \mathrm{d}P = 0), les grandeurs molaires intensives G_{l,m}(T, P) et G_{v,m}(T, P) sont fixées. La différentielle de G s'écrit alors :

Puisque G est un potentiel thermodynamique à température et pression imposées, l'état d'équilibre thermodynamique correspond au minimum de G. Pour un état de coexistence liquide-vapeur (où 0 < n_v < n), le système peut échanger de la matière dans les deux sens (\mathrm{d}n_v > 0 ou \mathrm{d}n_v < 0). L'extremum est donc stationnaire :

On en déduit la condition d'équilibre liquide-vapeur :

D'après le résultat de la question Q18, la condition d'équilibre liquide-vapeur au point (T, P_{\text{sat}}(T)) s'écrit :

Au point voisin (T + \mathrm{d}T, P_{\text{sat}} + \mathrm{d}P_{\text{sat}}) situé également sur la courbe de coexistence, la condition d'équilibre s'écrit :

En soustrayant membre à membre la relation (1) de la relation (2), on obtient l'égalité des différentielles le long de la courbe d'équilibre :

En utilisant les expressions des différentielles obtenues à la question Q17, il vient :

Soit, en regroupant les termes :

Or, lors d'un changement d'état à température et pression fixées, la condition d'équilibre \Delta_{\text{vap}}G = 0 donne :

On en déduit immédiatement la relation de Clapeyron :

Sens de variation :

• La vaporisation est une transformation endothermique : \Delta_{\text{vap}}H > 0.
• La température absolue est strictement positive : T > 0.
• La masse volumique du gaz étant très inférieure à celle du liquide, le volume molaire du gaz est supérieur à celui du liquide : V_{v,m} > V_{l,m}.

Le second membre est donc strictement positif :

La pression de vapeur saturante est donc une fonction strictement croissante de la température.

D'après la question Q19, la relation de Clapeyron s'écrit :

Puisque le volume molaire de la phase liquide est négligeable devant celui de la phase gazeuse (V_{l,m} \ll V_{v,m}), on a :

En modélisant la vapeur d'eau comme un gaz parfait à la pression P_{\text{sat}}, son volume molaire s'écrit :

En reportant cette expression dans la relation de Clapeyron, on obtient l'équation de Clausius-Clapeyron :

En séparant les variables :

Sous l'hypothèse que l'enthalpie de vaporisation \Delta_{\text{vap}}H est indépendante de la température, on intègre entre un état de référence (T_0, P_{\text{sat}}(T_0)) et l'état courant (T, P_{\text{sat}}(T)) :

On retrouve bien la forme demandée :

avec :

La molécule d'eau lourde \text{H}_2^{18}\text{O} a une masse supérieure à celle de \text{H}_2^{16}\text{O}. En raison d'une liaison intermoléculaire légèrement plus forte dans la phase condensée (énergie de point zéro plus basse), l'enthalpie molaire de vaporisation de \text{H}_2^{18}\text{O} est plus élevée que celle de \text{H}_2^{16}\text{O} :

D'après la loi de Clapeyron établie à la question Q20, il en résulte une pression de vapeur saturante plus faible pour l'eau lourde à une même température :

Ce phénomène entraîne un fractionnement isotopique lors des changements de phase :

• Lors de l'évaporation au niveau des océans tropicaux et tempérés, l'isotope léger \text{H}_2^{16}\text{O} s'évapore préférentiellement : la vapeur atmosphérique initiale est donc enrichie en \text{H}_2^{16}\text{O} (et appauvrie en \text{H}_2^{18}\text{O}) par rapport à l'océan.
• Au cours de leur transport vers les hautes latitudes (les pôles), les masses d'air se refroidissent progressivement. Puisque P_{\text{sat}}(^{18}\text{O}) < P_{\text{sat}}(^{16}\text{O}), l'eau lourde \text{H}_2^{18}\text{O} se condense plus facilement et précipite en priorité lors des pluies successives.

Ce processus continu de refroidissement et de précipitation appauvrit progressivement la masse d'air en \text{H}_2^{18}\text{O} au fur et à mesure de son trajet vers les pôles (distillation de type Rayleigh).

Lien avec la température terrestre : Plus la température de l'atmosphère le long du trajet et au-dessus des pôles est basse (période glaciaire), plus l'air doit se refroidir pour atteindre les pôles, plus la condensation a été précoce et intense en chemin, et plus la vapeur d'eau résiduelle arrivant aux pôles est appauvrie en \text{H}_2^{18}\text{O}. Inversement, lors d'une période plus chaude (période interglaciaire), le refroidissement est plus modéré et la neige polaire est relativement plus riche en \text{H}_2^{18}\text{O}.

Enregistrement dans les calottes glaciaires : Aux pôles, la neige tombe sans fondre et se tasse au cours des millénaires pour former des couches successives de glace. Chaque couche emprisonne la composition isotopique de l'eau au moment de sa précipitation. En forant des carottes glaciaires et en mesurant le rapport isotopique (noté usuellement \delta^{18}\text{O}) en fonction de la profondeur (donc de l'âge), on dispose d'un paléothermomètre permettant de reconstituer l'historique thermique continu de l'atmosphère terrestre sur des centaines de milliers d'années.

Considérons le fluide décrivant un cycle de fonctionnement au contact de deux thermostats de températures respectives T_c (source chaude) et T_f (source froide), avec T_c > T_f.

Pour un moteur thermique, le fluide reçoit un transfert thermique Q_c > 0 de la source chaude, cède un transfert thermique Q_f < 0 à la source froide, et fournit un travail mécanique -W > 0 au milieu extérieur. Le rendement \xi est défini par :

Appliquons les deux principes de la thermodynamique au fluide sur un cycle complet (\Delta U = 0 et \Delta S = 0) :

• D'après le premier principe :

  \begin{aligned} \Delta U = W + Q_c + Q_f = 0 \quad \implies \quad -W = Q_c + Q_f \end{aligned}

  ce qui donne :

  \xi = 1 + \frac{Q_f}{Q_c}

• D'après le second principe :

  \begin{aligned} \Delta S = S_e + S_c = \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} + S_c = 0 \quad \text{avec} \quad S_c \ge 0 \end{aligned}

  On en déduit l'inégalité de Clausius :

  \begin{aligned} \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} \le 0 \quad \implies \quad \frac{Q_f}{T_f} \le -\frac{Q_c}{T_c} \end{aligned}

Comme T_f > 0 et Q_c > 0, on obtient :

En réinjectant dans l'expression de \xi :

Le rendement maximal théorique, ou rendement de Carnot \xi_c, est atteint lorsque les transformations sont entièrement réversibles (S_c = 0) :

Dans le fonctionnement normal d'un moteur thermique cyclique, le fluide fournit du travail au milieu extérieur en prélevant de l'énergie thermique à la source chaude et en en rejetant une partie à la source froide. En adoptant les conventions thermodynamiques usuelles (grandeurs comptées positivement lorsqu'elles sont reçues par le système \mathcal{F}) :

• W < 0 : le moteur cède un travail mécanique net au milieu extérieur (travail moteur utile -W > 0) ;
• Q_1 > 0 : le fluide reçoit de l'énergie thermique de la source chaude ;
• Q_2 < 0 : le fluide cède de l'énergie thermique à la source froide.

Pour ordonner les températures, on utilise le second principe de la thermodynamique (ou le sens spontané des transferts thermiques par conduction à travers les résistances thermiques R) :

• Le transfert thermique s'effectue spontanément du corps le plus chaud vers le corps le plus froid : pour que Q_1 > 0, il faut que la source chaude soit plus chaude que le fluide, soit T_c > T_1.
• De même, pour que le fluide cède de la chaleur à la source froide (Q_2 < 0), le fluide doit être plus chaud que la source froide, soit T_2 > T_f.
• Enfin, le système \mathcal{F} fonctionne lui-même comme un moteur ditherme entre les températures effectives de contact T_1 et T_2, ce qui requiert T_1 > T_2.

On en déduit l'ordre des températures :

Par analogie électrique (loi d'Ohm thermique), le flux thermique algébrique \Phi_{A \to B} circulant d'un milieu à température T_A vers un milieu à température T_B à travers une résistance thermique R s'écrit :

1. Étape 1 (isotherme à température T_1) :

Le système \mathcal{F} est à la température T_1 et reçoit la chaleur du thermostat chaud à température T_c à travers la résistance thermique R. Le transfert thermique a lieu pendant une durée \tau à flux constant :

Comme établi à la question Q23, T_c > T_1, ce qui donne bien Q_1 > 0.

2. Étape 3 (isotherme à température T_2) :

Le système \mathcal{F} est à la température T_2 et échange de la chaleur avec le thermostat froid à température T_f à travers la même résistance thermique R. Le transfert thermique algébrique reçu par le système \mathcal{F} depuis le thermostat froid pendant la durée \tau s'écrit :

Comme T_2 > T_f d'après la question Q23, on retrouve bien Q_2 < 0 (le système cède de la chaleur à la source froide).

Les transferts thermiques algébriques reçus par le système \mathcal{F} s'écrivent donc :

Le travail mécanique cédé par le moteur au milieu extérieur sur un cycle complet est -W. La durée totale d'un cycle est la somme des durées des quatre étapes. Les étapes adiabatiques ayant une durée négligeable devant \tau, la durée d'un cycle s'écrit :

La puissance motrice P fournie par le moteur est donc la puissance mécanique moyenne délivrée sur un cycle :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide \mathcal{F} sur un cycle fermé (\Delta U = 0) :

En injectant les expressions de Q_1 et Q_2 établies à la question Q24, il vient :

On en déduit l'expression de la puissance motrice :

Le fluide \mathcal{F} subit une transformation cyclique, donc sa variation d'entropie sur un cycle est nulle :

D'après le second principe de la thermodynamique :

où S_e est l'entropie échangée et S_c l'entropie créée par d'éventuelles irréversibilités internes au système \mathcal{F}.

Au niveau de la surface frontière délimitant le système \mathcal{F} (au bord du domaine pointillé sur la figure 4), les transferts thermiques Q_1 et Q_2 sont échangés aux températures respectives T_1 et T_2. Les étapes 2 et 4 étant adiabatiques, l'entropie échangée par \mathcal{F} sur un cycle s'écrit :

On en déduit l'inégalité de Clausius pour le système \mathcal{F} :

En injectant les expressions des transferts thermiques obtenues à la question 24, Q_1 = \frac{T_c - T_1}{R}\tau et Q_2 = \frac{T_f - T_2}{R}\tau, il vient :

Comme \tau > 0 et R > 0, on simplifie par \frac{\tau}{R} :

soit encore :

ce qui conduit à l'inégalité recherchée :

Dans l'hypothèse où les transformations sont internement réversibles pour le système \mathcal{F} (S_c = 0), cette relation devient une égalité :

D'après la question Q26, l'égalité traduisant la réversibilité interne du fluide s'écrit :

En introduisant les grandeurs adimensionnées X = \dfrac{T_1}{T_c}, \eta = \dfrac{T_f}{T_c} et Y = \dfrac{T_2}{T_c}, cette relation devient :

Soit, en revenant à la température T_2 :

D'après le résultat de la question Q25, la puissance motrice moyenne fournie par le moteur s'écrit :

Exprimons le terme \eta - Y en fonction de X et \eta :

En factorisant par (1 - X), il vient :

On obtient bien l'expression demandée :

avec :

D'après la relation obtenue à la question Q26 sous l'hypothèse de réversibilité interne au fluide \mathcal{F} :

où X = \dfrac{T_1}{T_c}, \eta = \dfrac{T_f}{T_c} et Y = \dfrac{T_2}{T_c}.

D'après la question Q23, le moteur fonctionne entre deux sources à températures absolues positives et l'on a la hiérarchie T_c > T_1 > T_2 > T_f > 0.

En particulier, T_2 > 0 et T_f > 0, de sorte que le rapport \dfrac{T_f}{T_2} = \dfrac{\eta}{Y} est strictement positif :

Puisque T_1 > 0, la variable adimensionnée X = \dfrac{T_1}{T_c} est strictement positive. Par inversion de l'inégalité précédente, on obtient directement :

D'après la question Q27, la puissance motrice s'écrit :

Posons la variable auxiliaire u = 2X - 1. Comme X > 1/2 (question Q28), on a u > 0, et 1 - X = \frac{1 - u}{2}. La fonction f s'exprime alors simplement sous la forme :

Pour \eta fixé, la maximisation de f équivaut à la minimisation de la fonction g(u) = u + \frac{\eta}{u} sur \mathbb{R}_+^*. La dérivée de g par rapport à u est :

Cette dérivée s'annule pour u^2 = \eta, soit u = \sqrt{\eta} car u > 0. De plus, g''(u) = \frac{2\eta}{u^3} > 0, ce qui garantit qu'il s'agit bien d'un minimum de g, donc d'un maximum de f.

En revenant à la variable X, on obtient :

soit :

Calculons la valeur correspondante de la fonction f au maximum :

La puissance motrice maximale délivrée par le moteur vaut donc :

Le rendement du moteur est défini par le rapport entre le travail fourni par le fluide sur un cycle et le transfert thermique reçu de la source chaude :

D'après la question Q26, les transformations subies par le système \mathcal{F} sont modélisées comme réversibles, d'où la relation de Clausius :

Le rendement s'écrit donc simplement :

Or, d'après les questions Q26 et Q27, le rapport des températures effectives s'exprime en fonction de X = T_1/T_c et \eta = T_f/T_c selon :

On en déduit l'expression du rendement en fonction de X et \eta :

Remarque : On retrouve de manière identique cette expression via la puissance motrice :

Au régime de puissance maximale, le paramètre X prend la valeur optimale établie à la question Q29 :

En injectant cette valeur dans l'expression du rendement, on obtient :

soit :

Comparaison au rendement de Carnot :

Le rendement de Carnot s'écrit \xi_c = 1 - \frac{T_f}{T_c} = 1 - \eta. Puisque le fonctionnement d'un moteur impose 0 < T_f < T_c, on a :

On a donc rigoureusement :

Le rendement à puissance maximale est strictement inférieur au rendement de Carnot.

1. Processus irréversibles

Les transformations subies par le fluide \mathcal{F} étant supposées réversibles (absence de frottements visqueux internes, détentes et compressions quasi-statiques), l'entropie n'est pas créée au sein du fluide. Les processus irréversibles sont exclusivement les transferts thermiques sous un écart fini de température à travers les deux résistances thermiques :

• le transfert de la source chaude à T_c vers le fluide à T_1 < T_c ;
• le transfert du fluide à T_2 vers la source froide à T_f < T_2.

2. Calcul du taux de création d'entropie \dot{\mathcal{S}}

Considérons le système fermé \Sigma = \{\mathcal{F} + \text{les deux résistances thermiques}\}. Au cours d'un cycle de durée \Delta t = 2\tau, l'état du système est périodique, d'où une variation globale d'entropie nulle :

Le système \Sigma n'échange de l'énergie thermique qu'avec les deux thermostats idéaux à T_c et T_f, recevant respectivement les chaleurs Q_1 et Q_2. Le second principe de la thermodynamique appliqué à \Sigma donne :

Le taux moyen de création d'entropie \dot{\mathcal{S}} = \frac{S_c}{2\tau} s'écrit donc :

En utilisant les expressions des transferts thermiques établies à la question 24 :

D'après la question 27, la relation de réversibilité interne donne \frac{Y}{\eta} = \frac{X}{2X - 1}, de sorte que :

On en déduit :

D'où le taux de création d'entropie pour un point de fonctionnement quelconque :

3. Évaluation au régime de puissance maximale

Au régime de puissance motrice maximale, la variable X prend la valeur optimale X_+ = \frac{1 + \sqrt{\eta}}{2} déterminée à la question 29. On a alors :

En injectant ces grandeurs dans l'expression de \dot{\mathcal{S}}, on obtient :

Dans le modèle thermodynamique de la troposphère, le sol constitue la source chaude à la température T_{\text{chaud}} = 290\text{ K}, tandis que le sommet de la troposphère joue le rôle de la source froide à T_{\text{froid}} = 220\text{ K}. Le rapport des températures effectives des réservoirs thermique vaut ainsi :

D'après la question Q30, le rendement de la machine fonctionnant à puissance motrice maximale est donné par la relation de Curzon-Ahlborn :

Numériquement :

Le rayonnement solaire incident apporte une intensité surfacique moyenne I = 220\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} répartie sur toute la surface de la Terre, assimilée à une sphère de rayon R_T = 6400\text{ km} = 6{,}4 \times 10^6\text{ m}. L'énergie thermique reçue par unité de temps par la troposphère est donc la puissance totale absorbée :

Soit numériquement :

L'énergie cédée aux vents et courants atmosphériques par unité de temps correspond à la puissance motrice développée :

En effectuant l'application numérique :

En conservant un seul chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :

En régime stationnaire, l'énergie cinétique globale de la troposphère est constante en moyenne : le travail mécanique cédé par le cycle thermique par unité de temps compense exactement le taux de dissipation visqueuse \mathcal{D} :

La troposphère est une couche sphérique de faible épaisseur (h \ll R_T), de surface S = 4\pi R_T^2 et d'épaisseur h. Sa masse totale s'écrit donc :

En injectant cette expression dans la formule du taux de dissipation :

Or, d'après la question précédente, la puissance motrice générée vaut :

En égalant les deux puissances, la surface S de la Terre et la hauteur h s'éliminent, ce qui conduit à :

On en déduit l'expression littérale de la vitesse typique des vents :

Avec les données numériques :

• I = 220\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} ;
• \rho = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \eta = \frac{T_c}{T_f} = \frac{220}{290} \simeq 0{,}76, d'où 1 - \sqrt{\eta} \simeq 1 - 0{,}87 = 0{,}13.

Le calcul donne :

Puisque 8^3 = 512 et 9^3 = 729, on obtient avec un seul chiffre significatif :

À l'équilibre thermodynamique diphasique liquide-vapeur d'une interface plane à la température T, la pression partielle de la vapeur d'eau est par définition égale à la pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(T).

L'absence d'échange net de matière entre les deux phases impose l'égalité des potentiels chimiques de l'eau dans la phase liquide et dans la phase vapeur :

L'enthalpie libre totale G du système comprend la contribution volumique des différentes espèces chimiques et la contribution surfacique liée à l'interface liquide-gaz :

Pour le mélange constitué de l'air (considéré inerte vis-à-vis des changements de phase), de la vapeur d'eau et de l'eau liquide, la différentielle de la contribution volumique s'écrit :

Le système évolue à température et pression constantes, donc :

De plus, la quantité d'air est constante (\mathrm{d}n_{\text{air}} = 0) et la conservation du nombre total de moles d'eau n_{\mathrm{tot}} = n_l + n_v impose :

La tension de surface \sigma étant constante, la différentielle du terme interfacial est simplement \mathrm{d}(\sigma A) = \sigma\,\mathrm{d}A. En sommant ces contributions, on obtient :

Pour une gouttelette liquide sphérique de rayon r, le volume s'écrit :

La masse de la gouttelette est m_l = \rho_0 V_l, de sorte que la quantité de matière d'eau sous forme liquide s'exprime par :

Par différentiation par rapport au rayon r, on obtient :

L'aire de la surface de la gouttelette sphérique est :

D'après la question Q35, la variation d'enthalpie libre du système à température et pression fixées vaut :

En y remplaçant \mathrm{d}n_l et \mathrm{d}A par leurs expressions en fonction de r et \mathrm{d}r, il vient :

D'après le résultat de la question Q36, la différentielle de l'enthalpie libre s'écrit :

En intégrant par rapport à r, on obtient l'expression de G(r) à une constante additive près (notée G_0 = G(0) correspondant à l'enthalpie libre en l'absence de gouttelette) :

Étudions les deux situations en posant \Delta G(r) = G(r) - G_0 :

• Cas 1 : µ_l > \mu_v (sous-saturation)
  La vapeur est thermodynamiquement plus stable que le liquide. Les deux coefficients devant r^3 et r^2 sont strictement positifs. La dérivée :

  \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} = 4\pi r \left[ \frac{\rho_0}{M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}}(\mu_l - \mu_v) r + 2\sigma \right]

  est strictement positive pour tout r > 0. La fonction G(r) est donc strictement croissante sur \mathbb{R}^+. L'état de minimale enthalpie libre est r = 0 : une gouttelette tend spontanément à s'évaporer.

• Cas 2 : µ_l < \mu_v (sur-saturation)
  Le liquide est thermodynamiquement plus stable que la vapeur à l'échelle macroscopique volumique. Le terme volumique en r^3 est négatif, tandis que le terme surfacique en r^2 est positif.

  • Pour r petit, le terme surfacique en r^2 domine : \mathrm{d}G/\mathrm{d}r > 0, l'enthalpie libre commence par croître.
  • Pour r grand, le terme volumique en -r^3 l'emporte : G(r) \to -\infty.

  • La dérivée s'annule en un rayon critique non nul :

    r_c = \frac{2\sigma M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}}{\rho_0 (\mu_v - \mu_l)} > 0

    La fonction G(r) présente ainsi un maximum local en r = r_c.

À température et pression constantes, la condition d'évolution spontanée d'un système thermodynamique s'écrit \mathrm{d}G \le 0. Le sens d'évolution d'une gouttelette de rayon initial r est donc déterminé par le signe de \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} :

• Si \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} > 0, l'évolution spontanée impose \mathrm{d}r < 0 : la gouttelette s'évapore.
• Si \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} < 0, l'évolution spontanée impose \mathrm{d}r > 0 : la gouttelette grossit par condensation.

1. Cas µ_l > \mu_v (air sous-saturé en vapeur d'eau) :

D'après l'expression établie à la question 36 :

Pour tout rayon initial r, \mathrm{d}G/\mathrm{d}r > 0. La gouttelette s'évapore donc spontanément jusqu'à disparition complète (r \to 0). La phase vapeur est thermodynamiquement stable : aucune gouttelette ne peut se former ou subsister.

2. Cas µ_l < \mu_v (air sursaturé en vapeur d'eau) :

Le terme volumique devenant négatif, la dérivée s'annule pour une valeur remarquable de r, appelée rayon critique r_c :

Pour r_c > 0, on obtient :

La discussion de l'évolution selon la taille initiale de la gouttelette est la suivante :

• Si r < r_c, \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} > 0 : la gouttelette est instable et s'évapore (\mathrm{d}r < 0). L'effet de tension superficielle est dominant.
• Si r > r_c, \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} < 0 : la gouttelette croît spontanément par condensation (\mathrm{d}r > 0). Le gain enthalpique volumique l'emporte sur le coût de surface.
• r = r_c correspond à un équilibre instable (maximum de G(r)).

3. Énergie d'activation :

Partant d'une phase purement gazeuse (r = 0), l'apparition d'un germe viable de phase liquide capable de croître spontanément nécessite de franchir la barrière de potentiel correspondant au maximum de G(r) en r = r_c. Cette barrière définit l'énergie d'activation \Delta G^* :