Le sujet traite de la thermodynamique de l'atmosphère en trois parties largement indépendantes. La première évalue le gradient vertical de température par un modèle isentropique et l'étude de la stabilité mécanique d'une parcelle d'air, puis intègre l'humidité et les changements d'état. La deuxième modélise la troposphère comme une machine thermique endoréversible, avec le rendement de Curzon-Ahlborn, pour estimer la vitesse moyenne des vents. La troisième étudie la nucléation des gouttelettes d'eau.

1Partie 1 : structure verticale de l'atmosphèreEffet de serre, modèle isentropique, stabilité d'une parcelle d'air, atmosphère humide, équilibre liquide-vapeur et relation de Clapeyron.
2Partie 2 : la troposphère vue comme une machine thermiqueRendement de Carnot, moteur endoréversible avec résistances thermiques, rendement de Curzon-Ahlborn et estimation de la vitesse des vents.
3Partie 3 : nucléation et formation des nuagesPotentiel chimique, enthalpie libre d'une gouttelette avec tension de surface et conditions de formation des gouttelettes.

Accessible. Le jury indique que l'épreuve a été bien réussie en moyenne, avec plusieurs copies à la note maximale et une moyenne de 10,46 pour les candidats français.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,46 / 20 · écart-type 3,48 · 1 380 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,46/ 20
Écart-type: 3,48
Présents: 1 380
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 14 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Ordres de grandeur absurdes non détectés · Masse molaire de l'air fausse · Hypothèses isotherme ou isobare implicites

Les candidats ont profité de l'indépendance des parties pour ne pas rester bloqués sur une question difficile. L'épreuve a été bien réussie en moyenne et plusieurs copies ont obtenu la note maximale. Le jury insiste sur le soin des applications numériques et la rigueur des démonstrations lorsque le résultat est donné.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Ordres de grandeur absurdes non détectésQuestion 1, 4, 5, 9
Des températures de quelques kelvins, des gradients de plusieurs degrés par mètre ou une température croissant avec l'altitude n'ont pas alerté certains candidats.
« trouver des températures de 2,5K ou de 2,5.104 K devrait amener à s'interroger »
2
Masse molaire de l'air fausseQuestion 3
Faute de préciser qu'il s'agit de diazote et de dioxygène, la masse molaire du mélange n'était correcte que dans 20 % des copies.
3
Hypothèses isotherme ou isobare implicitesQuestion 4
Le modèle isentropique implique une variation simultanée de la pression et de la température.
4
Stabilité sans argument mécaniqueQuestion 7
Il faut comparer la poussée d'Archimède au poids : c'est la densité de la parcelle qui détermine son mouvement.
« Une pression plus élevée ou plus basse ne permet pas à elle seule de conclure »
5
Confusions sur l'enthalpie libreQuestion 17 et 18
La condition d'équilibre dG = 0 est confondue avec G = 0, et G est écrite avec les fractions molaires au lieu des quantités de matière.
« beaucoup de copies confondent la condition d'équilibre (dG = 0) avec la condition G = 0 »
6
Idées fausses sur le climat et l'entropie échangéeQuestion 16, 26
Plus de la moitié des copies attribuent la chaleur de l'équateur à la distance au Soleil ; l'entropie échangée doit être calculée aux températures T1 et T2 du système.

Ce qui a été bien réussi

L'application numérique de la question 1 a le plus souvent été correcte.
Les constituants majoritaires de l'air sont généralement connus.
Plusieurs copies ont obtenu la note maximale.

Conseils du jury

Soigner les applications numériques et vérifier leur vraisemblance.
Démontrer rigoureusement lorsque la formule à obtenir est donnée.
Ne pas se contenter de reformuler la question dans les réponses qualitatives, et ne jamais écrire une chose et son contraire.
Justifier le choix d'une solution lorsqu'une équation en admet deux.
Définir correctement le système étudié et vérifier l'homogénéité des expressions différentielles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

43 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

43 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

MERCREDI 14 AVRIL 2021 08h00-12h00

FILIERE MP - Epreuve $n^\circ5$

PHYSI QUE (XULCR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Thermodynamique de l'atmosphère

Ce sujet aborde la structure de l'atmosphère sous l'angle de la thermodynamique. Il comporte trois parties. Bien que le contexte général soit établi dans la première partie, les trois parties du sujet peuvent être abordées indépendamment. Certaines définitions et relations de thermodynamique sont rappelées en annexe à la fin du texte, ainsi que les valeurs de certaines grandeurs apparaissant dans les applications numériques. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un seul chiffre significatif, à l'exception des trois premières questions pour lesquelles on donnera deux chiffres significatifs.

1 Structure verticale de l'atmosphère

On considère dans cette section des modèles d'atmosphères de complexité croissante, afin d'isoler les processus physiques qui gouvernent le profil de température vertical de l'atmosphère. On considère tout d'abord les processus radiatifs : on admet qu'un système plan infini à température

T

émet par rayonnement un flux surfacique d'énergie

φ = sT^4

(en watts par mètre carré), le flux étant dirigé vers l'extérieur. Dans les situations considérées ci-après, ce flux correspond à du rayonnement infrarouge. Le coefficient

s = 5, 67 \times 10^(- 8) W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 4)

est appelé constante de Stefan. On néglige la courbure de la Terre dans cette première partie, et on considère donc la surface de la Terre comme localement plate.

Dans un premier modèle, on considère que la surface terrestre absorbe un flux solaire incident $I = 220 W \cdot m^(- 2)$ , considéré uniforme et indépendant du temps. A l'équilibre, la Terre réémet l'intégralité de l'énergie reçue par rayonnement vers le haut. En déduire la température d'équilibre de surface $T_0$ de la Terre dans ce modèle. Faites une application numérique en vous aidant de l'annexe. Commentez le résultat.
Un raffinement du modèle consiste à inclure une atmosphère infiniment fine située à une hauteur $h$ au-dessus de la surface de la Terre. Cette atmosphère est transparente au rayonnement solaire incident, mais elle est entièrement absorbante pour le rayonnement infrarouge émis par la Terre. Elle atteint une température d'équilibre $T_a$ , si bien qu'elle rayonne elle aussi un flux d'énergie $sT_a^4$ vers le haut, mais aussi un flux $sT_a^4$ vers le bas. Calculez la température $T_a$ d'équilibre de l'atmosphère, ainsi que la nouvelle température d'équilibre $T_0$ de surface de la Terre. Faites une application numérique en vous aidant de l'annexe. Commentez le résultat obtenu. Comment s'appelle l'effet mis en évidence par ce modèle simple ?

On oublie un instant les modèles radiatifs précédents, pour se concentrer sur la thermodynamique du fluide atmosphérique. On suppose que l'atmosphère est un gaz parfait diatomique.
3) Rappelez quels sont les deux constituants principaux de l'atmosphère ainsi que leurs proportions. En déduire une valeur approchée de la masse molaire moyenne

M

de l'air.

On donne la différentielle de l'entropie du gaz parfait:

dS = nC_p d[ln(TP^(1/γ - 1))],

où

S, T

, et

P

désignent l'entropie, la température et la pression du gaz. On désigne de plus par

n

la quantité de matière (nombre de moles), et on définit

γ = C_p/C_v

, où

C_p

est la capacité calorifique molaire à pression constante du gaz, et

C_v

est sa capacité calorifique molaire à volume constant. Ces deux grandeurs sont également reliées par la relation de Mayer, rappelée en annexe.
4) On s'intéresse au modèle isentropique, pour lequel l'entropie du gaz est supposée indépendante de la coordonnée verticale

z

. Ecrire tout d'abord l'équilibre hydrostatique d'une parcelle d'atmosphère, puis calculer le profil de température

T(z)

associé à ce modèle, en fonction de la température

T_0

à la surface

z = 0

de la Terre, de l'accélération

g

de la pesanteur (supposée constante), de la capacité calorifique molaire

C_p

de l'air (supposée constante également), et de la masse molaire moyenne

M

de l'air.
5) Faites une application numérique pour le gradient de température

Γ = dT/dz

dans ce modèle. On pourra considérer l'air comme un gaz parfait diatomique.

On souhaite justifier la pertinence de ce modèle d'atmosphère isentropique. Dans ce but, on considère une atmosphère ayant un profil de température initial

T(z)

quelconque (les profils de densité

ρ(z)

et de pression

P(z)

se déduisent de ce profil de température par l'équilibre hydrostatique et la loi des gaz parfaits). On isole une parcelle de fluide à l'altitude initiale

z_i

qui constitue le système fermé étudié. Ce système est initialement à la température

T_i = T(z_i)

, et à la pression

P_i = P(z_i)

. On suppose qu'une perturbation externe déplace la parcelle considérée à l'altitude

z_i + dz

, de façon adiabatique et quasi-statique (réversible), où

dz

représente un déplacement infinitésimal. Le système s'équilibre donc rapidement à la pression

P_f = P(z_i + dz)

.
6) Calculez la température

T_f

du système à l'issue de cette transformation, en fonction de

P_i

P_f, T_i, R

C_p

.
7) Discutez le mouvement vertical ultérieur de la parcelle d'atmosphère, selon que

T_f < T(z_i + dz)

T_f > T(z_i + dz)

. Quelle situation correspond à une atmosphère stable ? à une atmosphère instable ? On appelle ce phénomène l'instabilité convective.
8) Le cas où

T_f = T(z_i + dz)

s'appelle le cas "marginalement stable". Quel est le gradient de température vertical

Γ = dT/dz

de l'atmosphère dans cette situation marginalement stable ? Commentez, en lien avec les questions 4) et 5).

On revient à un modèle purement radiatif, que l'on complexifie en prenant en compte l'absorption et la ré-émission de rayonnement par chaque tranche élémentaire d'atmosphère. Pour un profil donné du coefficient d'absorption de rayonnement infrarouge par l'atmosphère, ce modèle conduit au "profil radiatif" de température représenté en figure 1.
9) Après avoir estimé le gradient de température dans les hautes et basses couches de ce modèle

Figure 1: Profil vertical de température issu d'un modèle purement radiatif prenant en compte l'absorption et la ré-émission de chaque couche infinitésimale d'atmosphère.

d'atmosphère, indiquez approximativement quelle partie de l'atmosphère est stable, et laquelle est instable, suivant ce modèle.

Le phénomène d'instabilité convective fait que le modèle purement radiatif de la figure 1 n'est pas satisfaisant. A terme, l'instabilité convective conduit à des mouvements erratiques de l'air qui affectent fortement le profil de température mesuré dans l'atmosphère réelle. On prend en compte ce phénomène en admettant qu'à toute altitude

z

où le profil de température est instable, ces mouvements erratiques se produisent jusqu'à ce que le profil de température retrouve localement un gradient de température proche (mais légèrement plus faible, comme nous l'expliquerons dans les questions suivantes) du gradient marginalement stable déterminé à la question 8). Cette région de l'atmosphère où l'instabilité convective joue un rôle prépondérant s'appelle la troposphère. La couche d'atmosphère qui n'est pas affectée par cette instabilité s'appelle la stratosphère.
10) Commentez alors l'allure qualitative du profil de température du modèle simplifié d'atmosphère standard utilisé en aéronautique et fourni en figure 2, en lien avec le profil du modèle purement radiatif de la figure 1. Identifiez en particulier la troposphère et la stratosphère.

Le gradient de température mesuré dans la troposphère est moins raide aux latitudes équatoriales. La présence d'humidité dans l'atmosphère permet d'expliquer ce phénomène. On considère alors un système fermé constitué d'une parcelle d'atmosphère contenant un mélange air-vapeur d'eau. On note

n_v

la quantité de matière (nombre de moles) de vapeur et

n_a

le nombre de moles d'air dans le système. Le rapport

x_v = n_v/(n_a + n_v)

désigne la fraction molaire de vapeur d'eau dans la phase gazeuse. Cette fraction est supposée très faible devant

1, x_v≪1

. On admet que lorsqu'il y a condensation, l'eau liquide apparaît sous la forme de fines gouttelettes qui restent en suspension dans la parcelle d'atmosphère, et qui ne tombent pas sous l'effet de la gravité.

Figure 2: Profil vertical de température du modèle international d'atmosphère standard utilisé en aéronautique.

On considère cette parcelle d'atmosphère à une altitude donnée dans le profil de température marginalement stable calculé à la question 8). On suppose de plus que cette parcelle est initialement à la pression de vapeur saturante en vapeur d'eau. On imagine que cette parcelle subit un léger déplacement vers le haut, de façon quasi-statique et adiabatique (réversible). Expliquez qualitativement pourquoi, sous certaines conditions, la parcelle peut néanmoins continuer son mouvement ascendant alors même que l'atmosphère environnante n'est pas instable vis-à-vis du critère déterminé à la question 7). Que voit-on alors apparaitre dans le ciel ?
Proposez une expression approchée pour $dx_v$ en fonction de $dn_v$ et $n_a$ uniquement, lorsque la quantité de vapeur en phase gazeuse varie. On utilisera cette expression approchée dans ce qui suit.
On étudie l'évolution de la parcelle au cours de son mouvement ascendant, toujours supposé quasi-statique et sans transfert thermique avec l'atmosphère environnante, dont le profil de température est maintenant considéré arbitraire. On considère toujours $n_v≪n_a$ , si bien que l'on peut continuer à décrire la phase gazeuse par la relation (1), dans laquelle on remplacera $n$ par $n_a$ (on néglige donc la vapeur dans l'évaluation de la densité, de la quantité de matière et de la masse molaire de la parcelle). Dans cette relation, la variation d'entropie est donnée par $dS = dH_(cond)/T$ , où $dH_(cond) > 0$ est l'enthalpie libérée par la condensation. En combinant cette relation avec l'équilibre hydrostatique, montrez alors que :

- Δ_(vap)H(dx_v)/(dz) = C_p(dT)/(dz) + Mg

où

T

x_v

sont respectivement la température et la fraction molaire de vapeur dans la phase gazeuse, lorsque la parcelle passe à l'altitude

z.Δ_(vap)H

est l'enthalpie molaire de vaporisation de l'eau. Elle est considérée constante dans ce qui suit, de même que

C_p

g

Au voisinage immédiat de l'océan équatorial, l'air se charge en vapeur d'eau jusqu'à satu-

Figure 3: La circulation de Hadley correspond aux mouvements atmosphériques dominants dans un plan méridional (latitude - altitude). La température de surface au niveau de l'océan est supérieure au voisinage de l'équateur (

T_1

) qu'aux latitudes subtropicales (

T_0 < T_1

). Les flèches illustrent la direction dominante du vent.

ration. La fraction molaire en vapeur d'eau initiale,

x_v^((i))

, est alors de

4%

, et la température de l'ordre de

30^\circC

. Cette atmosphère humide consiste en de nombreuses parcelles isolées d'atmosphère, identiques au système précédent, qui ont un mouvement ascendant depuis le niveau de la mer

z = 0

jusqu'au sommet de la troposphère, à une altitude

h = 10 km

. On suppose que toute la vapeur est condensée lorsqu'une telle parcelle atteint l'altitude

h

.
14) Calculez alors le gradient de température moyen

Γ_h = (T(h) - T(0))/h

en fonction de

M

g, C_p, h, Δ_(vap)H

, et

x_v^((i)).Γ_h

est appelé le "gradient de température de l'atmosphère humide".
15) Donnez la valeur numérique du gradient de température de l'atmosphère humide

Γ_h

, en considérant l'atmosphère comme un gaz parfait diatomique. On donne l'enthalpie de vaporisation de l'eau :

Δ_(vap)H = 4, 1 \times 10^4 J \cdot mol^(- 1)

. Commentez le résultat, en lien avec le profil du modèle international d'atmosphère standard fourni en figure 2.
16) On représente sur la figure 3 la circulation de Hadley, qui est le principal courant méridional de l'atmosphère au voisinage de l'équateur. Pourquoi la température de surface est-elle supérieure au voisinage de l'équateur (

T_1

), par rapport aux latitudes subtropicales (

T_0 < T_1

)? Commentez alors la structure de cette circulation : direction des mouvements d'air, présence de précipitations équatoriales, etc.

On souhaite établir la dépendance de la pression de vapeur saturante de vapeur d'eau

P_(sat)(T)

avec la température. Pour cela, on considère un système fermé, formé uniquement d'eau liquide et de vapeur d'eau en co-existence (sans air). On note

G_(l, m)(T, P)

l'enthalpie libre molaire de la phase liquide et

G_(v, m)(T, P)

celle de la phase vapeur. De même, on note

V_(l, m)(T, P)

V_(v, m)(T, P)

les volumes molaires de ces deux phases, et

S_(l, m)(T, P)

S_(v, m)(T, P)

leurs entropies molaires.
17) Exprimez la différentielle de

G_(l, m)(T, P)

en fonction de

V_(l, m)(T, P), S_(l, m)(T, P)

, et des diffé-
rentielles de

T

P

. Exprimez de même la différentielle de

G_(v, m)(T, P)

en fonction de

V_(v, m)(T, P)

S_(v, m)(T, P)

, et des différentielles de

T

P

. En utilisant l'extensivité de l'enthalpie libre

G

du système complet, donnez son expression en fonction de

G_(l, m)(T, P), G_(v, m)(T, P)

, de la quantité de matière en phase vapeur

n_v

et de la quantité de matière totale

n

.
18) On considère la situation où

T

P

sont imposées par un thermostat et un réservoir de pression. On admet que

G

est un potentiel thermodynamique dans cette situation. Exprimez alors la condition d'équilibre liquide-vapeur en fonction de

G_(v, m)

G_(l, m)

.
19) On considère deux points sur la courbe de coexistence liquide-vapeur, de coordonnées (

T, P_(sat)(T)

) et (

T + dT, P_(sat)(T + dT)

). Ecrire la condition d'équilibre liquide-vapeur aux deux points considérés en fonctions des enthalpies libres molaires des deux phases. Soustraire ces deux conditions d'équilibre pour obtenir la relation de Clapeyron :

(dP_(sat))/(dT) = (Δ_(vap)H)/(T(V_(v, m) - V_(l, m)))

En déduire le sens de variation de la pression de vapeur saturante avec la température.
20) On néglige le volume molaire de la phase liquide devant celui de la phase gazeuse, et on assimile la vapeur à un gaz parfait à la pression

P_(sat)

. On considère de plus que

Δ_(vap)H

est indépendante de la température. Montrez alors que la pression de vapeur saturante s'exprime sous la forme :

ln[(P_(sat)(T))/(P_(sat)(T_0))] = C(1/(T_0) - 1/T)

où

T_0

est une température de référence arbitraire, et où vous donnerez l'expression de

C

.
21) On considère que l'eau existe dans l'océan et l'atmosphère sous deux formes,

H_2 O^(16)

H_2 O^(18)

, formées respectivement avec les isotopes 16 et 18 de l'oxygène. Ces deux isotopes sont stables du point de vue de la radioactivité. Les deux types de molécules d'eau se caractérisent par des enthalpies molaires de vaporisation différentes, et donc des pressions de vapeur saturante différentes. Expliquez comment la fraction de

H_2 O^(18)

dans les calottes glaciaires fournit un historique de la température de l'atmosphère terrestre.

2 La troposphère vue comme une machine thermique

On se propose de modéliser le courant atmosphérique représenté sur la figure 3 par une machine thermique cyclique. La thermodynamique nous permet alors de déterminer une borne supérieure sur la fraction du transfert thermique incident qui est transformée en travail mécanique sous la forme de vents. Dans ce but, on revient dans un premier temps sur le fonctionnement et le rendement des moteurs dithermes cycliques. Pour les applications numériques demandées dans les deux dernières questions de cette partie, on considèrera la Terre comme une sphère dont le rayon vaut approximativement 6400 km .
22) On considère tout d'abord un moteur ditherme cyclique en interaction avec un thermostat chaud de température

T_c

et un thermostat froid de température

T_f

. Définissez le rendement

ξ

de ce moteur. Etablissez la valeur théorique maximale

ξ_c

de ce rendement (le rendement de Carnot), atteinte si les transformations associées au cycle sont réversibles.

Une machine thermique entièrement réversible n'est pas un bon modèle d'une machine réelle : les processus mis en jeu doivent être infiniment lents, en particulier les transferts thermiques. Si le travail fourni par la machine est non nul, ce travail est fourni en un temps infini ! Autrement dit, la puissance engendrée (travail fourni par unité de temps) tend vers zéro dans la limite de transformations parfaitement réversibles. Pour résoudre ce problème on considère la situation représentée sur la figure 4. La machine comprend un fluide, le système

F

à l'intérieur du cadre pointillé, qui subit de façon cyclique 4 transformations :

Une étape isotherme, à température $T_1$ , pendant laquelle le fluide reçoit un transfert thermique algébrique $Q_1$ depuis le thermostat chaud, à température $T_c$ . Le thermostat est connecté au système par une résistance thermique $R$ . Cette étape est supposée durer un temps $τ$ . On notera que la température au voisinage immédiat du système $F$ (au bord du domaine pointillé) est bien $T_1$ : c'est la température effective de la source chaude pour le système $F$ .
Une détente adiabatique rapide du fluide. Si nécessaire, une telle détente peut être effectuée rapidement tout en restant réversible (il suffit que le temps soit long devant le temps de propagation des ondes sonores dans le fluide). Sa durée est donc négligeable par rapport au temps $τ$ .
Une étape isotherme, à température $T_2$ , pendant laquelle le fluide reçoit un transfert thermique algébrique $Q_2$ , à travers une résistance thermique $R$ , depuis un thermostat froid à température $T_f$ . Cette étape dure un temps $τ$ égal à celui de l'étape 1. On notera encore une fois que la température au voisinage immédiat du système $F$ est $T_2$ : c'est la température effective de la source froide pour le système $F$ .
Une compression adiabatique rapide du fluide (qui peut néanmoins être réversible, si nécessaire), dont la durée est négligeable par rapport au temps $τ$ .

On note

W

le travail algébrique reçu par le système pendant un cycle. Les températures des thermostats

T_c

T_f

sont fixées, mais on suppose que l'on peut ajuster les températures de fonctionnement

T_1

T_2

du moteur pour obtenir un fonctionnement optimal.
23) Donnez les signes de

Q_1, Q_2

W

dans ce qui vous semble être le régime de fonctionnement normal du moteur. Ordonnez les températures

T_c, T_f, T_1

T_2

dans ce régime de fonctionnement, en justifiant très brièvement. On supposera cet ordre des températures respecté dans la suite.
24) Exprimez les transferts thermiques algébriques

Q_1

Q_2

reçus par le système

F

pendant les étapes 1 et 3 , en fonction de

R, T_1, T_2, T_c, T_f

τ

Figure 4: Une machine cyclique est connectée aux sources chaude et froide par le biais de résistances thermiques. Le système

F

subit alors de façon cyclique les 4 étapes décrites dans le texte, représentées schématiquement par les chiffres entourés.

Définissez la puissance motrice $P$ fournie par le moteur. Exprimez $P$ en fonction de $R, T_1$ , $T_2, T_f$ et $T_c$ .
A l'aide du second principe de la thermodynamique, établir une inégalité entre $T_1, T_2, T_f$ et $T_c$ . Pour simplifier les calculs, on admet que le rendement maximal est obtenu lorsque les transformations sont réversibles pour le système $F$ . On remplacera alors cette inégalité par une égalité dans ce qui suit.
A l'aide des réponses aux deux questions précédentes, éliminez $T_2$ pour exprimer la puissance $P$ sous la forme :

P = (T_c)/(2R) \times f(X, η)

où l'on a introduit les paramètres

X = T_1/T_c

η = T_f/T_c

.
28) A l'aide des réponses aux questions précédentes (en particulier la question 23), montrez que

X > 1/2

.
29) En pratique, les moteurs réels fonctionnent dans un régime où

T_1

(et donc

T_2

) est choisie pour maximiser la puissance motrice délivrée, à

T_c

T_f

fixées. Calculez la valeur

X_+

X

associée à ce maximum, en fonction de

η

. Donnez la valeur du maximum de puissance en fonction de

R, T_c

η

.
30) Donnez l'expression du rendement

ξ

du moteur en fonction de

X

η

. Montrez que le rendement du moteur à puissance maximale vaut

ξ(X_+) = 1 - η^(1/2)

. Comment cette expression du rendement se compare-t-elle au rendement de Carnot ?
31) La différence de valeur entre ces deux rendements signifie que certains processus apparaissant sur la figure 4 sont irréversibles. Quels sont-ils ? On définit le taux de création d'entropie

S˙

comme le rapport de l'entropie créée par ces processus irréversibles pendant un cycle divisée
par la durée d'un cycle. En appliquant le second principe de la thermodynamique à un système judicieusement choisi, calculez

S˙

en fonction de

R

η

dans le régime de fonctionnement à puissance maximale du moteur.

On souhaite appliquer le modèle précédent aux courants atmosphériques. Le système est la totalité de la troposphère, que l'on considère comme une couche de fluide de hauteur

h = 10 km

à la surface de la Terre, et de densité

ρ = 1 kg.m^(- 3)

considérée constante pour ces calculs d'ordre de grandeur. Le transfert thermique

Q_1

reçu par la troposphère est dû au rayonnement solaire incident qui atteint la surface terrestre. Ce rayonnement a une intensité

I = 220 W.m^(- 2)

en moyenne sur une journée et sur toute la surface de la Terre.

Q_2

correspond alors au transfert thermique sous forme de rayonnement infrarouge émis au niveau du sommet de la troposphère (on néglige la stratosphère), tandis que

|W|

est l'énergie qui est transformée en travail moteur sous la forme de vents, ou courants atmosphériques. La température moyenne au niveau du sol est

T_f = 290 K

, tandis que la température moyenne au sommet de la troposphère est

T_c = 220 K

.
32) En supposant que le système fonctionne à puissance maximale, calculez approximativement l'énergie cédée aux vents et courants atmosphériques par unité de temps.
33) On admet que les courants atmosphériques ainsi engendrés dissipent leur énergie cinétique à un taux

D

(énergie dissipée par unité de temps), de l'ordre de

D ≃ 0, 05 \times MU^3/h

, où

M

est la masse totale de la troposphère et

U

la vitesse typique des courants atmosphériques. En déduire un ordre de grandeur de

U

. Commentez.

3 Nucléation et formation des nuages

On s'intéresse à la formation des nuages, et on considère donc un système constitué d'eau liquide et d'un mélange gazeux air-vapeur d'eau. On note

P_v

la pression partielle de vapeur dans le gaz, et

P_(sat)(T)

la pression de vapeur saturante.
34) Donnez la relation entre le potentiel chimique

μ_l(T)

de l'eau liquide, supposé ne dépendre que de la température, et le potentiel

μ_v[T, P_v = P_(sat)(T)]

de la vapeur d'eau à la pression de vapeur saturante ?

On considère maintenant une pression de vapeur quelconque, et on s'intéresse à l'évolution d'une gouttelette d'eau liquide dans l'atmosphère. L'existence d'une interface de surface

A

entre le liquide et le gaz conduit à un terme d'énergie de surface supplémentaire,

σA

, qu'il convient d'ajouter à l'énergie du système (ou au potentiel thermodynamique considéré). Le coefficient

σ

est une constante positive appelée tension de surface. Son unité est le

kg.s^(- 2)

. Le système considéré contient un nombre fixe de molécules d'air, et un nombre total fixe

n_(tot) = n_l + n_v

de moles d'eau, où

n_l

est le nombre de moles d'eau liquide et

n_v

le nombre de moles de vapeur d'eau. Le système est maintenu à pression et température constante.
35) Exprimez la différentielle de l'enthalpie libre du système en fonction de

σ, A, μ_l, μ_v, n_l

Figure 5: Une particule fine solide comporte une cavité conique ouverte sur l'extérieur. On considère la possibilité que de l'eau liquide apparaisse sous la forme d'un domaine conique au fond de la cavité.

et/ou leurs différentielles.
36) On suppose que la phase liquide consiste à tout instant en une gouttelette d'eau sphérique de rayon

r

et de masse volumique constante

ρ_0 = 1000 kg.m^(- 3)

. Exprimez la différentielle de l'enthalpie libre en fonction de

μ_l, μ_v, ρ_0, r, σ, M_(H_2 O)

dr

, où

M_(H_2 O)

est la masse molaire de l'eau.
37) Intégrez cette relation pour obtenir l'enthalpie libre

G(r)

(à une constante près, qui ne joue pas de rôle dans ce qui suit). Tracez l'allure de

G(r)

pour

μ_l

μ_v

fixés. On distinguera les cas

μ_l < μ_v

μ_l > μ_v

.
38) Discutez l'évolution de la gouttelette suivant son rayon initial, en distinguant à nouveau les cas

μ_l < μ_v

μ_l > μ_v

. Quand cela est pertinent, on identifiera une valeur remarquable

r_c

r

, dont on donnera l'expression en fonction des mêmes paramètres qu'à la question 36). On définira également une "énergie d'activation" pour l'apparition de la phase liquide, lorsque l'on part uniquement d'un mélange gazeux air-vapeur d'eau, dont on donnera l'expression en fonction de ces mêmes paramètres.
39) On modélise la phase gazeuse comme un mélange de gaz parfaits. A l'aide de l'expression du potentiel chimique donnée en annexe, que l'on appliquera à la vapeur d'eau, exprimez le rayon critique au-delà duquel une gouttelette croît spontanément en fonction de la "sursaturation"

χ = P_v/P_(sat)(T) > 1

et de

M_(H_2 O), σ, ρ_0, R

T

.
40) A partir de vos connaissances sur la loi d'Arrhénius, ou sur le facteur de Boltzmann, proposez une expression pour la dépendance de la vitesse d'apparition des gouttelettes dans l'atmosphère en fonction de la sursaturation

χ

(cette expression sera obtenue à une constante multiplicative près). Commentez cette dépendance en

χ

On considère la situation représentée sur la figure 5 : une particule solide en suspension dans l'atmosphère présente une cavité conique ouverte sur l'extérieur, de demi-angle d'ouverture

θ

On étudie la possibilité que de l'eau liquide se forme à partir du fond de la cavité, selon la géométrie représentée sur la figure 5. L'eau liquide occupe alors un domaine conique dont la base est un disque de rayon

r

perpendiculaire à l'axe du cône. Le volume d'un tel cône est

πr^2 ℓ/3

, où

ℓ

est la hauteur du cône.
41) On fait l'hypothèse que seule l'interface liquide-gaz intervient dans le terme de tension de surface, et donc que l'interface solide-liquide n'engendre aucun terme de tension de surface. Exprimez la différentielle de l'enthalpie libre en fonction de

μ_l, μ_v, ρ_0, r, σ, M_(H_2 O), θ

dr

.
42) Comme à la question 38), identifiez une valeur remarquable de

r

. Exprimez l'énergie d'activation associée en fonction de

σ, M_(H_2 O), ρ_0, μ_l, μ_v

θ

.
43) Expliquez alors pourquoi la présence de particules en suspension dans l'atmosphère favorise l'apparition de nuages.

Quelques rappels

Pour simplifier certaines applications numériques, on donne les racines quatrièmes suivantes :

(220/5, 67)^(1/4) ≃ 2, 5

2^(1/4) ≃ 1, 2

Thermodynamique générale

Pour un système formé de

N

constituants (ou phases) de potentiels chimiques

μ_i

, avec les quantités de matière

n_i

, la différentielle de l'énergie interne s'écrit :

dU = T dS - P dV + \sum_(i = 1)^N μ_i dn_i,

et l'enthalpie libre est définie par

G = U + PV - TS

. Le dernier terme de la différentielle (6) n'apparaît pas lorsque l'on considère une phase pure ou un système sans transformation de phases (

dn_i = 0

Thermodynamique des gaz parfaits

On rappelle la relation de Mayer pour un gaz parfait,

C_p - C_v = R

, où la constante des gaz parfaits vaut

R = 8.314 J.K^(- 1).mol^(- 1)

. Dans un mélange de gaz parfaits, le potentiel chimique

μ_i

d'un constituant

i

est donné par la relation :

μ_i(P_i, T) = μ_i^((0))(T) + RTln(P_i)/(P_0),

où

μ_i^((0))

est une fonction qui ne dépend que de la température,

P_i

désigne la pression partielle du constituant

i

, et

P_0 = 1

bar est une pression de référence.

Masses molaires

On rappelle les masses molaires de l'hydrogène, du carbone, de l'azote et de l'oxygène :

M_H = 1, 0 g.mol^(- 1), M_C = 12 g.mol^(- 1), M_N = 14 g.mol^(- 1), M_O = 16 g.mol^(- 1)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet X-ENS physique MP 2021 ?

Sur la thermodynamique de l'atmosphère : gradient vertical de température, troposphère modélisée comme une machine thermique pour estimer la vitesse des vents, et formation des gouttelettes d'eau.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS physique MP 2021 ?

La moyenne des 1380 candidats français est de 10,46 avec un écart-type de 3,48. Celle des 456 candidats étrangers est de 7,59 avec un écart-type de 3,55.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X-ENS physique MP 2021 ?

Des ordres de grandeur aberrants non repérés, des hypothèses implicites dans le modèle isentropique, une stabilité justifiée sans argument mécanique et des confusions sur l'enthalpie libre et les grandeurs molaires.

Les parties du sujet X-ENS physique MP 2021 sont-elles indépendantes ?

Oui, les trois parties sont largement indépendantes, ce qui a permis aux candidats de ne pas rester bloqués sur une question difficile.

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FILIERE MP - Epreuve n^∘5

PHYSI QUE (XULCR)

Thermodynamique de l'atmosphère

1 Structure verticale de l'atmosphère

2 La troposphère vue comme une machine thermique

3 Nucléation et formation des nuages

Quelques rappels

Thermodynamique générale

Thermodynamique des gaz parfaits

Masses molaires

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet X-ENS physique MP 2021 ?

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS physique MP 2021 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X-ENS physique MP 2021 ?

Les parties du sujet X-ENS physique MP 2021 sont-elles indépendantes ?

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