X ENS Physique MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Flexion et flambage de systèmes mécaniques

1 Chaîne d'aimants en interaction magnétique.

Figure 1 - (a) Ensemble d'aimants sphériques posés sur un plan horizontal. (b) Sous l'effet des interactions magnétiques, ces aimants s'attirent en formant une chaîne flexible. (c) Édifice vertical formé par une chaîne "courte". Elle peut alors osciller autour de cette position stable. (d) Lorsque la chaîne est "longue", la position verticale devient instable, l'édifice fléchit alors sous l'action de la gravité g⃗ = − ge⃗_z.

Figure 2 - Repérage d'un point P = P(r, θ) du plan ( O, y, z ), dans le système de coordonnées polaire R_θ(O, e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_x) choisi.

Notations, données et formulaire.

• Perméabilité magnétique du vide : μ_0 = 4π × 10^(− 7) T ⋅ m ⋅ A^(− 1)
• Module de l'accélération de la pesanteur : g = 10 m ⋅ s^(− 2)
• Diamètre d'une bille : D = 13 mm
• Densité volumique de moment magnétique du matériau (ce matériau est du néodyme) constituant les aimants : M_v = 9 × 10^5 A ⋅ m^(− 1)
• Masse volumique des billes : ρ = 7, 5 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3)
• Masse d'une bille : m = 10 g

1.1 Caractérisation du champ magnétique créé par un aimant.

1. Représenter l'allure des lignes de champ (orientées) de l'aimant (0).
2. Exprimer, dans le repère R(O, x, y, z), le champ B⃗_0(P(r, θ)) correspondant à chacun des points suivants : P_1 = P(D, 0), P_2 = P(D, π/2), P_3 = P(D, π) et P_4 = P(D, 3π/2).
3. Exprimer la composante B⃗_0(P_1) ⋅ e⃗_z en fonction de μ_0 et M_v. Estimer sa valeur et la commenter brièvement.

1.2 Maillon formé de deux billes.

Figure 3 - (a) La bille (1) est posée sur la bille (0) fixe. (b) La situation de la bille (1) est caractérisée par les angles θ et θ_1 = θ_1(θ).

• Nous associons l'origine des énergies potentielles à la configuration représentée sur la figure (3) (a), choisie comme référence.

4. En remarquant que les points I_0 et I_1, représentés sur la figure (3) (b), étaient initialement confondus (c'est-à-dire pour θ = 0 ), justifier que θ_1 = 2θ.
5. Établir l'inventaire des actions mécaniques qui s'exercent sur l'aimant (1). Il ne s'agit que d'un inventaire, on ne cherchera donc pas à expliciter chacune de ces actions mécaniques.
6. Justifier que l'énergie mécanique du système {(0), (1)} (en interaction gravitationnelle avec la Terre) est conservée.
7. Exprimer, en fonction de M et de l'angle θ, le moment magnétique M^(→−)_1, dans la base polaire (e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_x).
8. Exprimer l'énergie potentielle magnétique E_B de couplage entre les dipôles M^(→−)_0 et M^(→−)_1. Nous l'écrirons sous la forme suivante :

1.3 Édifice formé de N billes.

• Nous considérons que l'interaction magnétique se limite aux deux plus proches voisins de chaque aimant (hypothèse référencée H_(ppv) ).
  ◻ Comme dans la sous-section (1.2), nous supposons que le roulement de chaque bille (i) sur la bille (i − 1) n'est accompagné d'aucun glissement.
• Nous supposons que |Nα|≪1 (hypothèse référencée H_(DL) ). Tous les résultats seront alors donnés à l'ordre le plus bas non nul, vis-à-vis de l'angle α.
• Nous associons l'origine des énergies potentielles à la configuration de référence correspondant à un édifice rectiligne vertical.

Figure 4 - Paramétrage géométrique du fléchissement de l'édifice, sous l'hypothèse ( H_α ) qu'il se déforme selon un arc de cercle de rayon R.

17. Préciser quelle restriction à la généralité de cette étude introduit l'hypothèse H_α. On réfléchira, en particulier, à la situation où l'édifice oscille autour de la verticale. La réponse attendue est brève, il s'agit simplement d'indiquer quelle situation ne peut être décrite, sous cette hypothèse.
18. Indiquer l'argument qui justifie l'hypothèse H_(ppv).
19. Exprimer l'énergie potentielle magnétique E_(BN) de l'édifice en fonction de N, K et α.

24. Établir la condition de stabilité de l'édifice dans sa configuration de référence, rectiligne verticale. On fera porter cette condition sur N et le paramètre S introduit dans la question (14) et défini par la relation (6). Commenter brièvement ce résultat vis-à-vis de l'approximation adoptée, définie par la relation (8).
25. Estimer la valeur du nombre critique d'aimants, N_c, correspondant à la hauteur maximale d'un édifice vertical stable.

2 Instabilité de flambage d'une lame.

2.1 Caractérisation du comportement élastique du matériau.

Figure 5 - Allongement (algébrique) u d'un barreau ( a, S ) soumis à deux efforts axiaux ( − F⃗, + F⃗ ). Les points A et A^′ ont été ramenés dans le même plan perpendiculaire à l'axe ( Δ ).

2.2 Étude du flambage.

Figure 6 - (a) Géométrie de la lame mince (non fléchie, c'est-à-dire dans sa situation de référence). (b) La lame est déformée selon un arc de cercle de rayon R. Ces deux figures ne sont pas représentées à la même échelle ni selon les mêmes proportions.

• Nous ne tenons compte que de la déformation en flexion de la lame (donc, pas celle due à sa compression). Ainsi, nous considérons que les fibres ^4 situées dans le plan ( O, z, x ), lorsque la lame n'est pas déformée, conservent leur longueur L lorsque la lame est fléchie. Cet ensemble de fibres définit la "surface neutre" (OQ).
• Nous associons l'origine des énergies potentielles à la configuration de référence correspondant à la lame non déformée (situation correspondant à la figure (6) (a)).
• La figure (7) représente la lame fléchie (en exagérant son épaisseur e ), depuis sa situation de référence représentée sur la figure (6) (a) (c'est-à-dire pour |θ| → 0 et |R| → + ∞ ). Ce fléchissement peut être la conséquence de l'action de la pesanteur et, éventuellement, celle d'oscillations. La variable h(h ∈ [ − e/2, + e/2]) situe une fibre (MN) (ou la surface de fibres (MN)) de la lame par rapport à sa surface neutre (OQ). Nous considérons, comme le représente la figure (7), que chaque section droite de la lame reste plane et (localement) orthogonale à la surface neutre ( OQ ). Nous notons Y le module de Young du matériau constituant la lame.

Figure 7 - Le paramètre h situe une fibre (MN) de la lame par rapport à sa surface neutre (OQ) (qui conserve sa longueur L ).

28. En adaptant le calcul effectué en réponse à la question ( 27 ), exprimer l'énergie élastique E_Y emmagasinée par la lame dans l'état caractérisé par le rayon de courbure R. On exprimera ce résultat en fonction des paramètres Y, b, e, L et de l'angle θ (défini sur la figure (7)).

Figure 8 - Expérience réalisée avec une bande de papier : la longueur située au dessus de son point de maintien excède très légèrement la longueur critique L_c.

• Nous nous plaçons dans le cas où L < L_c. Nous souhaitons exprimer la pulsation des oscillations de la lame autour de sa situation de référence (lame non fléchie et verticale).

3 Le chant d'une flûte à champagne.

Figure 9 - Verre représenté par une coque cylindrique ( a_0, b, e ) d'axe ( Oz ). (a) : Vue latérale. (b) Vue de dessus du verre non déformé ( a = a_0 et M = M_0 ). Ces vues ne sont pas représentées à la même échelle.

• Il apparut, dans les questions (19) et (28), que l'énergie élastique emmagasinée par une structure fléchie est liée à son rayon de courbure R. En adaptant à la situation qui nous intéresse le résultat établi en réponse à la question (28), l'énergie élastique emmagasinée par une portion de verre délimitée par le secteur angulaire élémentaire dθ s'exprime par la relation suivante :

40. Nous associons l'origine de l'énergie élastique à la configuration du verre non déformé. Indiquer alors, sur la base d'une argumentation, quelle est la forme de la fonction F à retenir parmi les deux propositions (a) et (b) suivantes :

41. Le rayon de courbure local R = R(θ) d'une courbe plane, décrite en coordonnées polaires par l'équation r = r(θ), s'exprime par la relation suivante :

Figure 10 - Signal temporel électrique s = s(t) délivré par un microphone détectant le son émis par un verre en vibration.