Le sujet montre comment la température ou la résistance électrique d'un fil chauffé par effet Joule renseigne sur la vitesse du fluide qui l'entoure. La partie I établit l'équation de la chaleur avec conducto-convection, la résout pour un fil de longueur finie puis relie la résistance du fil à la vitesse de l'écoulement. La partie II exploite deux fils parallèles, un émetteur et un récepteur, à l'aide de bilans d'énergie menant à des équations différentielles du premier ordre.

1Partie I.A : bilan d'énergie dans le fil chaudLoi d'Ohm locale, loi de Fourier, équation de diffusion thermique avec terme conducto-convectif, profil de température en cosinus hyperbolique et influence des extrémités du fil.
2Partie I.B : puissance thermique cédée au fluideApproximation du fil long, nombres de Reynolds et de Nusselt, loi de King et expression de la vitesse à partir d'une mesure de résistance.
3Partie II : anémométrie à deux filsChauffe et relaxation du fil émetteur, puis analyse du pic de température reçu par le fil récepteur pour obtenir une seconde mesure de la vitesse.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Résistances électrique et thermique confondues · Sens de variation de h affirmé sans justification · Bilan d'énergie sans système

Le sujet s'ouvre sur des rappels de cours et porte sur les bilans d'énergie et les transferts thermiques. Les premières questions sont globalement bien traitées, mais le jury relève des confusions sur les résistances, des démonstrations de cours incomplètes et des erreurs de méthode dans la résolution des équations différentielles. Les questions d'interprétation de graphes expérimentaux ont souvent manqué de liens avec les résultats établis.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Résistances électrique et thermique confonduesQ1, Q2
Un nombre significatif de copies confond les deux notions, avec des erreurs d'unités. D'autres affirment que la température est uniforme sur une section puis utilisent quand même ses dérivées par rapport à x de façon incohérente.
« un nombre significatif de copies qui confondent les résistances électrique et thermique »
2
Sens de variation de h affirmé sans justificationQ3
Dire que le coefficient conducto-convectif est proportionnel à la vitesse ne suffit pas à établir son sens de variation.
3
Bilan d'énergie sans systèmeQ4
Une démonstration de cours en une dimension était attendue. Citer directement l'équation locale de conservation de l'énergie n'a pas rapporté tous les points, et le système du bilan doit être précisé.
« préciser le système sur lequel le bilan d’énergie est effectué est une étape incontournable du raisonnement »
4
Équation différentielle mal résolue
De nombreuses copies écrivent une équation caractéristique erronée pour l'équation du second ordre avec second membre. Le jury invite à revoir les méthodes de base.
« Le jury invite les futurs candidats à revoir les méthodes de base de résolution des équations différentielles »
5
Notion de fil long mal quantifiée
Une comparaison entre la longueur du fil et la longueur caractéristique était attendue. Écrire simplement que la longueur tend vers l'infini ou qu'elle est grande devant le diamètre n'a pas été accepté.
6
Exploitation qualitative des courbes
Peu de copies relient la courbe d'étalonnage à la formule établie juste avant. Pour les pics de température, le jury attendait que soient cités des phénomènes physiques expliquant le retard, l'étalement et l'affaissement du second pic.

Ce qui a été bien réussi

Les questions d'ouverture sur la loi d'Ohm locale et la loi de Fourier sont globalement bien traitées.
La définition de la valeur moyenne est bien connue.
La partie analyse dimensionnelle a été bien traitée par la moitié des copies.
Plusieurs questions de la partie II, notamment sur la chauffe du fil émetteur, sont bien traitées par de nombreuses copies.

Conseils du jury

Préciser toujours le système étudié avant d'écrire un bilan d'énergie.
Savoir refaire les démonstrations de cours attendues par le programme, ici l'équation de diffusion en une dimension.
Revoir les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires.
Justifier une approximation par la comparaison de deux grandeurs de même dimension.
Relier les commentaires de graphes aux formules établies dans le sujet et nommer les phénomènes physiques en jeu.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

24 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

24 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'anémométrie à fil chaud

L'anémométrie à fil chaud est une technique permettant de mesurer la vitesse d'écoulement d'un fluide. Elle est basée sur l'influence de la vitesse d'écoulement du fluide sur le transfert thermique conductoconvectif d'un solide conducteur plongé dans ce fluide.
Le système le plus couramment utilisé est un petit fil cylindrique, d'un diamètre typique

d_w

de l'ordre de quelques micromètres, parcouru par un courant et donc chauffé par effet Joule.
Ce petit fil est fixé à des broches d'alimentation par l'intermédiaire d'une gaine d'adaptation qui permet notamment l'alimentation du fil et de fixer la longueur active du fil, notée

L_w

qui est ici de l'ordre de quelques millimètres.
Quelques valeurs numériques concernant certaines caractéristiques physiques du fil chaud sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

Figure 1 - Anémomètre

Matériau	Résistivité à $20^\circC : ρ_(20)[μΩ \cdot cm]$	Conductivité thermique : $λ_w[W \cdot cm^(- 1) \cdot K^(- 1)]$	Masse volumique : $μ_w[kg \cdot m^(- 3)] \times 10^4$	Capacité thermique massique : $c_w[kJ \cdot kg^(- 1) \cdot K^(- 1))]$
Tungstène	5,5	1,9	1,93	0,14
Platine	9,8	0,72	2,15	0,13
Platine-iridium	32	0,17	2,16	0,13

Les applications numériques seront réalisées avec au plus 2 chiffres significatifs.

I Étude énergétique de l'anémomètre

I.A Bilan d'énergie dans le fil chaud

Le fil conducteur (en tungstène par exemple) est parcouru par un courant électrique continu d'intensité

I

. Il est plongé dans un fluide en écoulement. On utilisera les notations suivantes :

Caractéristiques du fil (que l'on repère avec l'indice « w » pour wire en anglais) : masse volumique $μ_w$ , capacité thermique massique $c_w$ , température $T_w$ , résistivité (inverse de la conductivité) électrique $ρ_w$ , conductivité thermique $λ_w$ , longueur $L_w$ et diamètre $d_w$ .
Caractéristiques du fluide (généralement de l'air que l'on repère lorsqu'il a ambiguïté avec l'indice «f z pour fluide) et de l'écoulement : masse volumique $μ_f$ , viscosité $η$ , température $T_f$ , pression $p_f$ , vitesse de l'écoulement $V⃗$ . Ces caractéristiques sont supposées constantes pendant la mesure.
Si l'on note $h$ le coefficient de transfert thermique conducto-convectif, la puissance thermique surfacique cédée par le fil au fluide à travers la surface $S$ est donnée par la loi de Newton :

(δQ˙_f)/(dS) = h(T_w - T_f)

On notera (

Ox

) l'axe du fil, ses extrémités étant situées en

x = - L_w/2

x = + L_w/2

1. Rappeler la loi d'Ohm locale. Définir les grandeurs intervenant dans cette loi et donner leurs unités usuelles. Établir l'expression de la résistance électrique totale, notée $R_w$ , du fil en fonction de $ρ_w, L_w$ et $d_w$ .
  En déduire la puissance $P_j$ dissipée par effet Joule dans le fil en fonction de $ρ_w, L_w, d_w$ et $I$ , puis la puissance volumique dissipée par effet Joule : $𝒫_v = (dP_j)/(dτ)$ .
1. Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique. Définir les grandeurs intervenant dans cette loi. On dit souvent qu'il s'agit d'une loi phénoménologique. Que cela signifie-t-il ? La température est supposée homogène sur chaque section du fil d'abscisse $x$ . Que peut-on en déduire?
  Établir l'équation de diffusion thermique dans le cas d'un fil à la température $T(x, t)$ où seuls les transferts thermiques par conduction ont lieu.
  On se place en régime permanent dans tout le reste de la partie $I$ et on suppose la vitesse $V⃗$ de l'écoulement uniforme et indépendant du temps. En plus des transferts thermiques par conduction, on prend en compte les transferts thermiques par conducto-convection et ceux provenant de l'effet Joule. Les transferts thermiques sont intégrés dans le terme conductoconvectif.
1. Dans la loi de Newton (1), la grandeur $h$ dépend de la vitesse $V⃗$ de l'écoulement. Quelle est son unité? Expliquer qualitativement comment varie $h$ en fonction de $V = ‖V⃗‖$ . Expliquer alors comment évolue $T_w$ quand $V$ augmente.
  $◻ - 4$ . En effectuant un bilan énergétique sur un élément de volume de fil compris entre les abscisses $x$ et $x + dx$ , établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la température $T_w(x, t)$ .

La résistivité du fil dépend en fait de la température

T_w

de ce dernier. Expérimentalement, on mesure que si le fil est en contact avec un fluide à la température

T_f

, sa résistivité

ρ_w

vérifie la relation :

ρ_w = ρ_f[1 + α(T_w - T_f)]

où

ρ_f

est sa résistivité à la température du fluide et

α = 10^(- 3) K^(- 1)

est un coefficient expérimental supposé constant. On note enfin

T_1(x) = T_w(x) - T_f

◻ - 5

. Mettre l'équation obtenue à la question 4 sous la forme :

(d^2 T_1(x))/(dx^2) + K_1 T_1(x) + K_2 = 0

Exprimer les constantes

K_1

K_2

en fonction de l'intensité

I

et des caractéristiques du fil, du fluide et de l'écoulement. On montrera, en particulier, que

αK_2 = K_1 + 4h/(λ_w d_w)

. Dans la plupart des anémomètres à fil chaud,

K_1

est négatif. Déterminer la condition correspondante sur le coefficient conducto-convectif

h

. On se place dans ce cas dans toute la suite et on pose:

ℓ_c = 1/(\sqrt(|K_1|))

On considère que le contact thermique assuré par les gaines d'adaptation entre les extrémités du fil et les broches de l'anémomètre (voir figure 1) se fait sans résistance thermique (contact parfait). Les broches et les gaines sont à la température

T_f

du fluide.

1. Rappeler la définition d'une résistance thermique ainsi que son unité. Quelle est la conséquence d'un contact sans résistance thermique?
  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (3).
  En tenant compte des conditions aux limites dans le problème et de sa symétrie, montrer que $T_1(x)$ s'exprime assez simplement à partir de la fonction cosinus hyperbolique. En déduire l'expression du profil de température $T_w(x)$ dans le fil de la sonde en fonction de $x, ℓ_c, K_2, T_f$ et $L_w$ .
1. Déterminer la puissance thermique $Q˙_g$ cédée par le fil à l'ensemble des deux gaines d'adaptation en fonction de $ℓ_c, K_2, L_w, λ_w$ et $d_w$ .
1. Montrer que la moyenne spatiale $⟨T_w⟩$ de la température du fil s'écrit selon la relation

⟨T_w⟩ = T_f + K_2 ℓ_c^2[1 - Λtanh((L_w)/(2ℓ_c))]

dans laquelle on précisera l'expression du paramètre

Λ

.
La figure 2 représente la distribution de température dans le fil chaud pour différentes valeurs du rapport

k = (L_w)/(2ℓ_c)

. La fonction tracée est

f(y) = (T_w - T_f)/(⟨T_w⟩ - T_f) avec y = x/L_w

Figure 2 - Représentation graphique de la fonction

f(y)

pour quatre valeurs du paramètre

k

1. Pour un fil de tungstène de diamètre $d_w = 5μ m$ , de longueur $L_w = 1, 2 mm$ et fonctionnant dans un régime de température $T_w$ tel que $ℓ_c = 30d_w$ , évaluer, en faisant les approximations pertinentes, la valeur numérique du coefficient

ξ = (T_(w, max) - T_f)/(⟨T_w⟩ - T_f)

où

T_(w, max)

est la température maximale atteinte dans le fil. En exploitant la figure 2, commenter la valeur trouvée.

I.B Puissance thermique cédée au fluide

1. Commenter les courbes de la figure 2. Quelle approximation peut-on faire quant à la température $T_w$ dans le cas d'un fil long (on précisera ce que «long» signifie ici) ?

La résistivité

ρ_w

du fil est toujours supposée dépendre de la température du fluide avec lequel il est en contact selon la relation (2).

1. Calculer la résistance $R_(w, \infty)$ d'un fil supposé long en fonction de sa résistance $R_f$ à la température $T_f$ , de $α$ et des températures $⟨T_w⟩$ et $T_f$ .

Toujours dans le cadre d'un fil long, on fait l'hypothèse que la puissance thermique

Q˙_g

cédée par le fil aux deux gaines d'adaptation est négligeable devant la puissance

Q˙_j

dissipée par effet Joule le long du fil ou celle, notée

Q˙_f

, correspondant aux échanges thermiques conducto-convectifs reçus par le fluide à l'interface entre le fil et le fluide.

◻ - 12

. Déterminer, en régime permanent, l'expression de

Q˙_j

en fonction de la différence

⟨T_w⟩ - T_f

.
Pour un fluide de viscosité

η

et de masse volumique

μ_f

, qui s'écoule à la vitesse

V

autour d'un obstacle fixe de taille caractéristique

d_w

, on définit le nombre de Reynolds

R_e = μ_f Vd_w/η

. Il compare deux modes de transport au sein du fluide.

1. Sachant que la viscosité $η$ s'exprime en $Pa \cdot s$ déterminer la dimension de $R_e$ .

On définit par ailleurs le nombre de Nusselt,

N_u = hd_w/λ_f

1. Déterminer la dimension de $N_u$ et proposer une interprétation physique de cette quantité. Comment varie $N_u$ lorsque la vitesse $V$ du fluide s'écoulant autour du fil augmente?

On admet que le nombre de Nusselt vérifie la loi de King

N_u = A + B\sqrt(R_e)

où

A

B

sont des constantes connues qui ne dépendent que de la nature du fluide en écoulement.

◻ - 15

. En exploitant l'expression de

⟨T_w⟩

obtenue à la question 8 et les résultats de la question 5 , montrer que dans le cas d'un fil long on peut écrire

ℓ_c = (d_w)/2θ^ν avec θ = 1/(N_u)(λ_w)/(λ_f)(R_(w, \infty))/(R_f)

On précisera la valeur numérique de l'exposant

ν

◻ - 16

. On considère de nouveau un fil de longueur

L_w

quelconque. Établir l'expression de la puissance thermique

Q˙_f

associée au transfert conducto-convectif du fil vers le fluide.

On suppose que la relation (4) reste valable en ordre de grandeur pour un fil de longueur quelconque et que, de plus, le coefficient

θ

qu'elle fait intervenir est de l'ordre de l'unité pour toutes les mesures effectuées.

1. En étudiant le rapport $Q˙_f/Q˙_g$ , et sachant que dans le contexte d'étude $N_u ≃ 10$ SI, justifier a posteriori que l'on puisse simplifier le problème en ne considérant pas les pertes dans les gaines d'adaptation sous l'hypothèse d'un fil long.
  En utilisant le résultat de la question 12 et en supposant que l'on puisse appliquer la loi de King, montrer que, pour un fil long, la mesure de la vitesse $V$ du fluide se ramène à une mesure de résistance. On déterminera l'expression de $V$ en fonction notamment de $R_(w, \infty), R_f$ et $I$ .

II Anémométrie à deux fils

On étudie à présent une autre technique qui utilise deux fils parallèles séparés par une distance

ε

comme représenté sur la figure 3 ci-dessous.
Cette technique est plus précise que la précédente car elle permet de faire deux mesures : la première n'utilise que le premier fil; la seconde étudie la réponse induite par le premier dans le second.

Figure 3 - Disposition des 2 fils.

Le premier fil (l'émetteur, repéré par un indice e), froid initialement (c'est-à-dire à la température du fluide environnant $T_f$ ), est traversé par une impulsion électrique d'intensité $I = 1 A$ et d'une durée $τ$ de quelques $μs$ , appelée « phase de chauffe», à l'issue de laquelle le fil s'est donc échauffé.
On fait ensuite passer dans l'émetteur un faible courant $I_0 = 1 mA$ , dont on négligera l'influence thermique, et on mesure la tension à ses bornes en fonction du temps. On obtient ainsi l'évolution de la résistance électrique $R_e(t)$ en fonction du temps et donc celle de sa température $T_e(t)$ .
Un second fil (le recepteur, repéré par un indice r) est placé parallèlement au premier, en aval dans l'écoulement du fluide (ici de l'air), à une distance $ε = 0, 5 mm$ du premier. Sous l'action de l'écoulement, une trainée d'air chaud (zone échauffée du fluide par l'impulsion thermique de l'émetteur) va atteindre le récepteur.
L'acuité et la durée de cette trainée d'air chaud vue par le second fil vont dépendre notamment de la norme $V$ de la vitesse de l'air.

Hormis leur température et donc leur résistance, les caractéristiques de ces deux fils sont supposées identiques à celles du fil utilisé dans la partie

I

.
On se concentre tout d'abord sur le fil émetteur de l'impulsion thermique afin d'étudier la première possibilité de mesure de la vitesse de l'écoulement. On néglige la conduction thermique dans le fil et entre le fil et les broches. On suppose donc, conformément à ce qui a été fait précédemment, que la température du fil est homogène et ne dépend que du temps, tout comme sa résistance toujours obtenue dans le cadre du modèle de résistivité résumé par la relation (2). Pendant la phase de chauffe, l'impulsion étant très brève, on négligera les pertes d'énergie dues à la convection de l'air autour du fil lors de cette phase. L'origine des temps

t = 0

correspond au début de l'impulsion électrique.

1. Montrer que, pendant la phase de chauffe, la température $T_e(t)$ vérifie une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme

(d(T_e - T_f))/(dt) - (T_e - T_f)/(τ_1) = (R_f I^2)/C

où l'on exprimera la durée caractéristique

τ_1

de montée en température et le paramètre

C

en fonction des paramètres du problème. Que représente

C

1. Résoudre cette équation en exprimant finalement $T_e(t)$ en fonction de $t, T_f, α$ et $τ_1$ . En déduire, en fonction de $τ, τ_1$ et $α$ , l'expression de l'amplitude de l'impulsion thermique $ΔT_(e, max) = T_(e, max) - T_f$ obtenue dans le fil émetteur après qu'il a été parcouru par l'impulsion de courant.
1. Une fois l'impulsion terminée, i. e. pour $t > τ$ , le fil émetteur ne reçoit plus de courant qui le chauffe, il se refroidit par convection au contact thermique de l'air en mouvement. Déterminer la température de l'émetteur $T_e(t)$ durant cette phase dite de relaxation en fonction de $t, τ, T_f, ΔT_(e, max)$ ainsi que d'une nouvelle durée $τ_2$ caractéristique de cette phase de relaxation dépendant notamment de $N_u$ .

Sur la figure 4 ci-dessous le graphe de gauche indique l'allure de

T_e(t)

mesurée lors des phases de chauffe et de relaxation au contact de deux écoulements de vitesse différente.

Sur cette même figure 4, le graphe de droite montre de façon plus quantitative en échelle semilogarithmique, des relevés expérimentaux de la phase de relaxation pour différentes valeurs de la norme de la vitesse de l'écoulement.

Figure 4 - Mesures au niveau de l'émetteur. Sur la figure de droite on a représenté les mesures et leurs différentes régressions linéaires.

1. Pendant la phase de chauffe, on constate sur la partie gauche de la figure 4 que les deux courbes sont confondues. Quelle hypothèse émise plus haut ce résultat permet-il de confirmer?
1. Expliquer qualitativement comment l'analyse des courbes de la figure 4 permet une première mesure de la norme de la vitesse de l'écoulement du fluide.

L'air réchauffé par l'émetteur va être transportée par convection jusqu'au second fil, le récepteur. En alimentant ce dernier par un très faible courant

I_0 = 1 mA

, dont on peut toujours négliger l'influence thermique, on peut mesurer sa résistance et en déduire sa température.

Certains résultats expérimentaux sont rassemblés dans la figure 5 sur la page suivante

^1

Figure 5 - Analyse des températures.

Sur la partie gauche de la figure 5, on a représenté avec les mêmes échelles de temps et d'amplitude l'allure typique des pics de températures relevés dans chacun des deux fils.

De façon plus quantitative, on a représenté sur la partie droite de cette même figure, le résultat des mesures de l'évolution de la fonction normalisée

(T_r(t) - T_f)/ΔT_(r, max)

pour différentes valeurs de la norme de la vitesse de l'écoulement.

1. Commenter les deux courbes de la partie gauche de la figure 5. Proposer des explications qualitatives pour les différents phénomènes que l'on peut observer.
1. Expliquer qualitativement comment l'analyse des courbes de la figure 5 permet une seconde mesure de la norme de la vitesse de l'écoulement du fluide.

FIN DE L'ÉPREUVE

1. Ils ont été collectés dans l'article «Pulsed-wire technique for velocity measurements in natural convection flow - a numerical optimisation tool $≫$ , Grignon et al., 1998, International Journal of Heat and Mass Transfer, volume 41, p. 3121-3129.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 1 MP 2022 ?

Il porte sur la diffusion thermique, le transfert conducto-convectif, l'effet Joule et la résistance électrique, avec des équations différentielles et de l'analyse dimensionnelle (nombres de Reynolds et de Nusselt).

Quelles erreurs le jury de Mines Physique 1 MP 2022 a-t-il le plus relevées ?

La confusion entre résistances électrique et thermique, des bilans d'énergie sans système défini, des équations différentielles mal résolues et des approximations de fil long non justifiées.

Faut-il savoir redémontrer l'équation de la chaleur pour Mines Physique 1 MP 2022 ?

Oui. Le jury attendait une démonstration de cours dans le cas unidimensionnel, et les copies qui citaient directement l'équation locale de conservation de l'énergie n'ont pas eu tous les points.

Quelle est la question la plus difficile du sujet Mines Physique 1 MP 2022 ?

Le jury signale, vers la fin de la partie I.B, une question très difficile que seules quelques très bonnes copies ont correctement traitée. Il qualifie aussi de un peu délicate la question qui demandait d'exploiter le graphe du profil de température.

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L'anémométrie à fil chaud

I Étude énergétique de l'anémomètre

I.A Bilan d'énergie dans le fil chaud

I.B Puissance thermique cédée au fluide

II Anémométrie à deux fils

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 1 MP 2022 ?

Quelles erreurs le jury de Mines Physique 1 MP 2022 a-t-il le plus relevées ?

Faut-il savoir redémontrer l'équation de la chaleur pour Mines Physique 1 MP 2022 ?

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