Mines Physique 1 MP 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

Fonctions spéciales

I La fonction de W de Lambert

I.A Tir d'un projectile sans frottements

• 1. Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. Dans quelle mesure le référentiel terrestre peut-il être supposé galiléen?
• 2. Établir les équations horaires du mouvement.

• 3. Établir l'équation de la trajectoire. Quelle est la forme de la trajectoire? Est-elle symétrique?

Figure 1 - Tir d'un projectile

• 4. Déterminer les coordonnées du sommet S de la trajectoire. Définir la portée ℓ du tir et établir son expression. Quel est l'angle θ_0 assurant un tir de portée maximale?

I.B Tir d'un projectile avec frottements

• 5. Quelle est la dimension du coefficient α ? Définir à partir de α un temps caractéristique τ. Le mouvement reste-t-il plan?
     ◻ − 6. Établir, en fonction g, τ, v_0 = ‖v⃗_0‖, θ_0 et t, les nouvelles équations horaires du mouvement.
• 7. Dans la situation où t≪τ, simplifier les équations horaires de la trajectoire et donner l'allure du mouvement.
• 8. Dans la situation où t≫τ, simplifier les équations horaires du mouvement en faisant apparaitre une vitesse limite v_∞.
     Où retombe le projectile?
• 9. Déduire des résultats précédents, l'allure globale de la trajectoire dans une situation où le temps de vol est grand devant τ, en séparant la trajectoire en trois phases.
• 10. Tracer l'allure de la trajectoire pour un temps de vol de l'ordre de τ.

I.C La portée maximale d'un tir avec frottement

• 11. Dresser le tableau de variation de la fonction T : χ ↦ T(χ) = χe^χ et déterminer la valeur β de son minimum global.
      La fonction W de Lambert est définie comme étant la fonction réciproque de T sur [β, + ∞[. Reproduire le graphe de T représenté sur la partie gauche de la figure 2 et expliquer comment en déduire l'allure de W représenté sur la partie droite.

Figure 2 - Représentations graphiques de T(χ) (à gauche) et W(χ) (à droite)

• 12. On peut montrer que : (χ + exp[W(χ)])W^′(χ) = 1. Quelle est la valeur de W(0) ?

• 15. À l'aide de la figure 2, déterminer la valeur numérique de l'angle assurant la portée maximale pour v_0 = 10 m ⋅ s^(− 1), g = 9, 8 m ⋅ s^(− 2) et τ = 0, 4 s.

II L'intégrale elliptique de première espèce

• 16. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction θ(t).
• 17. On fait l'approximation des petits angles tels que sinθ ∼ θ.

Figure 3 - Pendule simple

• 18. Déterminer l'expression générale de (dθ)/(dt) sans faire l'approximation des petits angles.

• 19. Après avoir tracé le graphe de la fonction χ ↦ 1 + √χ pour χ ∈ [0; 9], illustrer le principe de la méthode des rectangles médians pour calculer le réel I = ∫_0^9(√χ + 1)dχ en utilisant 9 rectangles.
      Si on double le nombre de rectangles utilisés qu'en est-il de la différence entre la valeur exacte de I et la valeur approchée numériquement par la méthode des rectangles médians?
• 20. Recopier et compléter le code suivant permettant de calculer K(χ) par la méthode des rectangles médians.

import math as m
def f(x,phi):
    return
S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi/2.
pas = ............
theta_0 = m.pi/3.
x = m.sin(theta_0)**2
for i in range(N):
    phi =
    S =
print(pas * S)

Figure 4 − θ_0 ↦ T(θ_0)/T_0

III La fonction d'erreur de GAUSS : erf(χ)

III.A Introduction au problème de Stefan

• 23. Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord Kelvin?

Figure 5 - Évolution de la température

• 24. Rappeler la définition du vecteur j⃗_Q, densité de flux thermique. Quelle est sa dimension?

• 25. Quelle est l'énergie thermique δQ reçue par cette tranche entre t et t + dt ?

• 26. Quelle est l'équation vérifiée par θ(y, t) ?

III.B Formation d'une croûte de lave solide.

Figure 6 - Formation d'une croûte de lave solide

• 30. Quelle est l'énergie δQ libérée par la solidification à la température T_f d'une tranche dy_s de lave de surface S en fonction de la masse volumique ρ de la lave en fusion et l'enthalpie de fusion massique : Δh_(sol → liq).
• 31. Toute l'énergie libérée par la solidification doit être évacuée par diffusion dans la lave solide car la lave en fusion reste à la température T_f. Montrer que :

Figure 7 - Graphe de λ ↦ (exp(− λ^2))/(λerf(λ))

• 32. En déduire que

• 33. Quel algorithme peut on utiliser pour obtenir la constante λ numériquement?
      Expliquer en quelques mots son fonctionnement.

• 34. À l'aide de la figure 7, estimer la valeur numérique de λ.

Figure 8 - Épaisseurs des croûtes de lave solides à la surface des lacs de lave dans les trois cratères à fosse Kilauea lki (1959), Alae (1963) et Makaopuhi (1965) sur le volcan Kilauea, Hawaii (Wright et al., 1976), et résultat théorique.

FIN DE L'ÉPREUVE