Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2023

Définition d'un référentiel galiléen :
Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout point matériel mécaniquement isolé (ou pseudo-isolé, c'est-à-dire soumis à un ensemble de forces dont la résultante est nulle) est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme (\vec{v} = \vec{\text{cste}}).

Validité de l'approximation pour le référentiel terrestre :
Le référentiel terrestre est en rotation propre par rapport au référentiel géocentrique autour de l'axe des pôles, à la vitesse angulaire :

Il n'est donc pas rigoureusement galiléen en raison de :

• l'accélération d'entraînement axifuge, qui est statique et incorporée directement dans la définition de la pesanteur locale \vec{g} ;
• l'accélération complémentaire de Coriolis \vec{a}_{\mathrm{C}} = 2\vec{\Omega} \wedge \vec{v}, responsable des forces d'inertie de Coriolis.

Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen si les effets de la force de Coriolis sont négligeables devant les forces appliquées (ici le poids). Cela se traduit par la condition sur la durée caractéristique \Delta t de l'expérience :

ou, en termes d'accélérations, par 2\Omega v \ll g. Pour un tir de projectile usuel d'une durée de l'ordre de quelques secondes ou minutes (v \sim 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} donne a_{\mathrm{C}} \sim 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \ll g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}), cette condition est largement vérifiée.

On étudie le projectile de masse m, assimilé à un point matériel M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen (question Q1). Ce référentiel est muni du repère orthonormé direct (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) représenté sur la figure 1, où la verticale ascendante est portée par \vec{u}_z et le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z.

En l'absence de frottements de l'air, le projectile n'est soumis qu'à son poids :

La deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur les trois axes :

À l'instant initial t = 0, la position est \vec{OM}(0) = \vec{0} et le vecteur vitesse appartient au plan (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

Une première intégration donne les composantes de la vitesse à chaque instant t :

Une seconde intégration avec les conditions initiales de position x(0) = 0, y(0) = 0 et z(0) = 0 conduit aux équations horaires :

Puisque x(t) = 0 pour tout t \ge 0, la trajectoire du projectile est intégralement contenue dans le plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) : le mouvement est plan.

D'après les équations horaires établies à la question 2, le mouvement s'effectue dans le plan (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) avec :

Comme \theta_0 \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, on a \cos\theta_0 \neq 0. On exprime le temps t en fonction de y :

En reportant cette expression dans z(t), on obtient l'équation de la trajectoire :

Forme de la trajectoire : La fonction z(y) est un polynôme du second degré en y avec un coefficient dominant négatif (-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta_0} < 0). La trajectoire est donc une parabole à axe vertical orientée vers le bas.

Symétrie : Toute parabole admet pour axe de symétrie sa droite focale (ici verticale), passant par son extremum (le sommet S). La trajectoire est donc symétrique par rapport à la droite verticale d'abscisse :

1. Coordonnées du sommet S de la trajectoire

Au sommet S, la vitesse verticale du projectile s'annule :

En injectant cet instant dans les équations horaires établies à la question 2 :

Le sommet S a donc pour coordonnées :

2. Définition et expression de la portée \ell

La portée \ell est la distance horizontale séparant le point de lancement O du point où le projectile retombe au sol (altitude z = 0, avec y > 0).

D'après l'équation de la trajectoire établie à la question 3 :

La condition z(\ell) = 0 avec \ell > 0 conduit à :

On retrouve par ailleurs, en accord avec la symétrie de la trajectoire parabolique, que \ell = 2 y_S :

3. Angle assurant la portée maximale

Pour une vitesse initiale v_0 fixée, la portée dépend de l'angle de tir selon la fonction \theta_0 \mapsto \sin(2\theta_0).

L'angle \theta_0 étant compris entre 0 et \pi/2, on a 2\theta_0 \in [0, \pi]. La fonction sinus atteint son maximum (égal à 1) en 2\theta_0 = \pi/2, soit :

La portée maximale vaut alors \ell_{\max} = \frac{v_0^2}{g}.

1. Dimension du coefficient \alpha :

La force de frottement fluide s'écrit \vec{f} = -\alpha \vec{v}. Par identification des dimensions :

Le coefficient \alpha a la dimension d'une masse divisée par un temps, son unité dans le Système international est le \mathrm{kg\cdot s^{-1}}.

2. Définition du temps caractéristique \tau :

La seule grandeur intrinsèque du projectile pouvant être combinée avec \alpha pour obtenir une durée est sa masse m (de dimension \mathrm{M}). On définit donc le temps caractéristique de relaxation de la vitesse par :

3. Maintien du caractère plan du mouvement :

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au projectile de masse m dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

Projetons cette équation sur l'axe horizontal (Ox) orthogonal au plan de tir (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z), sachant que \vec{g} = -g\,\vec{u}_z n'a aucune composante selon \vec{u}_x :

La vitesse selon (Ox) vérifie \dot{x}(t) = \dot{x}(0)\,\mathrm{e}^{-t/\tau}. Or, à t=0, le tir a lieu dans le plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z), de sorte que \dot{x}(0) = 0 et x(0) = 0. Il en résulte :

On étudie le projectile de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il est soumis à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z et à la force de frottement fluide \vec{f} = -\alpha \vec{v} = -\frac{m}{\tau}\vec{v}.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

D'après la question Q5, le mouvement a lieu dans le plan (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) avec la condition initiale x(0) = 0 et \dot{x}(0) = 0, d'où :

Mouvement suivant l'axe (Oy) :

La solution générale est de la forme v_y(t) = A\, e^{-t/\tau}. Avec la condition initiale v_y(0) = v_0 \cos\theta_0, il vient A = v_0 \cos\theta_0, soit :

En intégrant entre 0 et t avec y(0) = 0 :

Mouvement suivant l'axe (Oz) :

La solution générale est la somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante v_{z,\mathrm{part}} = -g\tau :

Avec la condition initiale v_z(0) = v_0 \sin\theta_0, on détermine la constante B :

D'où l'expression de la vitesse verticale :

En intégrant entre 0 et t avec z(0) = 0 :

En résumé, les équations horaires du mouvement s'écrivent :

D'après les résultats de la question Q6, les équations horaires du mouvement s'écrivent :

Pour t \ll \tau, posons \varepsilon = \frac{t}{\tau} \ll 1. Le développement limité de l'exponentielle à l'ordre 2 s'écrit :

soit :

Injectons ce développement dans les équations horaires :

• Pour la coordonnée horizontale y(t), au premier ordre non nul en t/\tau :

  \begin{aligned} y(t) &= v_0 \tau \cos\theta_0 \left( \frac{t}{\tau} + \mathcal{O}\left(\frac{t^2}{\tau^2}\right) \right) \simeq v_0 \cos\theta_0 \, t \end{aligned}

• Pour la coordonnée verticale z(t), en développant à l'ordre 2 :

  \begin{aligned} z(t) &= (v_0 \sin\theta_0 + g\tau)\tau \left( \frac{t}{\tau} - \frac{t^2}{2\tau^2} \right) - g\tau t + \mathcal{o}(t^2) \\ &= v_0 \sin\theta_0 \, t + g\tau t - \frac{v_0 \sin\theta_0}{2\tau} t^2 - \frac{1}{2}gt^2 - g\tau t + \mathcal{o}(t^2) \\ &= v_0 \sin\theta_0 \, t - \frac{1}{2}gt^2 - \frac{v_0 \sin\theta_0}{2\tau} t^2 + \mathcal{o}(t^2) \end{aligned}

  Comme t \ll \tau, le terme \frac{v_0 \sin\theta_0}{2\tau} t^2 = \left(v_0 \sin\theta_0 \, t\right) \frac{t}{2\tau} est négligeable devant le terme d'impulsion initiale v_0 \sin\theta_0 \, t, ce qui conduit à :

  z(t) \simeq v_0 \sin\theta_0 \, t - \frac{1}{2}gt^2

On obtient ainsi les équations horaires simplifiées :

En éliminant le temps t = \frac{y}{v_0 \cos\theta_0}, on retrouve :

Allure du mouvement : Pour t \ll \tau, les frottements fluides sont encore négligeables devant les forces d'inertie et le poids. L'allure de la trajectoire est donc parabolique, identique à celle du tir sans frottement étudiée en première partie.

D'après les résultats de la question 6, le vecteur vitesse s'écrit :

Lorsque t \gg \tau, le terme e^{-t/\tau} devient négligeable devant 1. La vitesse tend alors vers une vitesse limite verticale dirigée vers le bas :

On identifie ainsi la vitesse limite :

En négligeant le terme en e^{-t/\tau} dans les équations horaires de la question 6, il vient pour t \gg \tau :

soit :

Point de chute du projectile :

La composante horizontale y(t) s'immobilise pratiquement à la valeur constante y_\infty = v_0 \tau \cos\theta_0, ce qui correspond à une asymptote verticale d'équation y = v_0\tau\cos\theta_0. Le mouvement est alors une chute rectiligne verticale uniforme à la vitesse v_\infty.

Par conséquent, si le temps de vol vérifie t \gg \tau, le projectile retombe au sol (z=0) en un point de coordonnées :

Lorsque le temps de vol est très supérieur au temps caractéristique \tau (t_{\text{vol}} \gg \tau), l'évolution du projectile se décompose naturellement en trois phases successives :

1. Phase 1 : Régime initial ou balistique (t \ll \tau)
   D'après le résultat de la question Q7, les frottements fluides n'ont pas encore eu le temps de dissiper une fraction notable de l'énergie cinétique. La trajectoire coïncide localement avec la parabole de tir balistique dans le vide :

   z(y) \simeq -\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta_0}\,y^2 + y\tan\theta_0

   La vitesse horizontale reste proche de sa valeur initiale v_0\cos\theta_0.

2. Phase 2 : Phase de transition et sommet (t \sim \tau)
   L'amortissement exponentiel de la vitesse horizontale (v_y(t) = v_0\cos\theta_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau}) commence à faire sentir pleinement son effet. La courbure de la trajectoire augmente, brisant la symétrie par rapport au sommet. Le sommet est atteint à une altitude et une portée plus faibles que dans le cas sans frottement, et la vitesse commence à basculer vers le bas.

3. Phase 3 : Régime de chute asymptotique (t \gg \tau)
   D'après les résultats de la question Q8, la vitesse horizontale devient quasi nulle (v_y \to 0) et la vitesse verticale atteint sa valeur limite v_z \to -v_\infty = -g\tau. La trajectoire rejoint l'asymptote verticale d'équation :

   y = y_\infty = v_0\tau\cos\theta_0

   Le mouvement est alors une chute verticale rectiligne et uniforme à la vitesse limite v_\infty.

L'allure générale de la trajectoire présente donc une dissymétrie très marquée, caractérisée par une montée parabolique suivie d'une retombée quasi verticale le long de son asymptote :

Lorsque le temps de vol est du même ordre de grandeur que le temps caractéristique \tau (t_{\text{vol}} \sim \tau) :

• La force de frottement produit un effet cumulé notable mais le régime asymptotique de chute verticale (t \gg \tau) n'a pas le temps de s'établir complètement.
• Au voisinage immédiat de l'origine (t \ll \tau), la vitesse initiale et la tangente sont identiques à celles du cas sans frottement.
• La décroissance de la vitesse horizontale v_y(t) = v_0 \cos\theta_0 \, e^{-t/\tau} rompt la symétrie de la trajectoire : la branche descendante est plus redressée (pente plus forte en valeur absolue) que la branche ascendante.
• L'altitude maximale atteinte (sommet S) et la portée \ell sont toutes deux inférieures à celles obtenues sans frottement.

1. Variations et minimum de T

La fonction T : \chi \mapsto \chi e^\chi est de classe \mathcal{C}^\infty sur \mathbb{R} comme produit de fonctions usuelles. Sa dérivée première est :

Comme l'exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R}, le signe de T'(\chi) est identique à celui de 1+\chi :

• T'(\chi) < 0 pour \chi \in ]-\infty, -1[ ;
• T'(-1) = 0 ;
• T'(\chi) > 0 pour \chi \in ]-1, +\infty[.

Limites aux bornes :

• En -\infty, par croissances comparées, \lim_{\chi \to -\infty} \chi e^\chi = 0^- ;
• En +\infty, \lim_{\chi \to +\infty} \chi e^\chi = +\infty.

La fonction T est donc strictement décroissante sur ]-\infty, -1] et strictement croissante sur [-1, +\infty[. Elle admet un minimum global en \chi = -1, et la valeur de ce minimum global est :

D'où le tableau de variations de T :

2. Déduction du graphe de W

La fonction T étant continue et strictement croissante sur [-1, +\infty[, elle réalise d'après le théorème de la bijection une bijection de [-1, +\infty[ sur son image :

Sa fonction réciproque, notée W (branche principale de la fonction de Lambert), est donc définie sur [\beta, +\infty[ à valeurs dans [-1, +\infty[.

Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction réciproque W s'obtient par symétrie axiale par rapport à la première bissectrice d'équation y = \chi de la courbe de la restriction de T à [-1, +\infty[ :

• Le point (-1, \beta) = (-1, -1/e) de la courbe de T devient le point (\beta, -1) = (-1/e, -1) pour W ;
• La tangente horizontale de T en (-1, \beta) (T'(-1)=0) se transforme en une tangente verticale pour W en (\beta, -1) ;
• Le point origine (0,0) est invariant (T(0) = 0 \iff W(0) = 0), avec une tangente de pente T'(0) = 1, donc également de pente 1 pour W en 0 ;
• La branche parabolique de T dirigée selon l'axe (Oy) en +\infty devient une branche parabolique dirigée selon l'axe (Ox) pour W en +\infty (croissance très lente, sub-logarithmique).

Par définition, la fonction de Lambert W est la bijection réciproque de la restriction de T à [-1, +\infty[ :

Comme 0 \in [-1, +\infty[, on en déduit immédiatement :

L'équation différentielle fournie se met sous forme résolue :

Pour \chi \geqslant 0, le dénominateur est strictement positif. Le schéma d'Euler explicite avec un pas h = 0{,}0001 s'écrit, en posant \chi_k = k h et W_k \approx \mathrm{W}(\chi_k) :

Le code Python suivant effectue la résolution numérique et trace la courbe demandée :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parametres
h = 0.0001
chi = np.arange(0.0, 2.5, h)
N = len(chi)

# Initialisation
W = np.zeros(N)
W[0] = 0.0

# Schema d'Euler explicite
for k in range(N - 1):
    W[k + 1] = W[k] + h / (chi[k] + np.exp(W[k]))

# Trace de la representation graphique
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(chi, W, label="W(chi)")
plt.xlabel("chi")
plt.ylabel("W(chi)")
plt.title("Fonction W de Lambert obtenue par la methode d'Euler")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

D'après la question 6, l'altitude du projectile au cours du temps s'écrit :

Le projectile touche le sol à l'instant t^* > 0 tel que z(t^*) = 0, soit :

Par identification directe, on a :

On a bien ad = (-g\tau)(-1/\tau) = g \neq 0. Exprimons les différents termes de la formule admise à l'aide de la variable u = -\left(1 + \dfrac{v_0\sin\theta_0}{g\tau}\right) :

• -\dfrac{b}{a} = \dfrac{(v_0\sin\theta_0 + g\tau)\tau}{g\tau} = \tau\left(1 + \frac{v_0\sin\theta_0}{g\tau}\right) = -\tau u
• -\dfrac{1}{d} = \tau
• \dfrac{cd}{a} = \frac{-b(-1/\tau)}{-g\tau} = -\frac{b}{g\tau^2} = -\left(1 + \frac{v_0\sin\theta_0}{g\tau}\right) = u
• -\dfrac{bd}{a} = \left(-\frac{b}{a}\right) d = (-\tau u)\left(-\frac{1}{\tau}\right) = u \implies \exp\left(-\frac{bd}{a}\right) = e^u

L'argument de la fonction \mathrm{W} dans l'expression est donc :

En appliquant la formule donnée par l'énoncé, l'instant t^* s'écrit :

La portée \ell est l'abscisse du projectile lorsqu'il retombe sur le sol horizontal (z=0) à l'instant t^* > 0 :

D'après l'équation horaire établie à la question Q6, on a :

D'après le résultat de la question Q13, la date d'impact s'écrit :

En prenant l'exponentielle, le terme e^{-t^*/\tau} devient :

La relation fondamentale définissant la fonction de Lambert s'écrit, pour tout réel X appartenant à son domaine :

En appliquant cette identité à X = u e^u, il vient :

On en déduit l'expression simplifiée de l'exponentielle :

En reportant cette expression dans la formule de y(t^*), on obtient directement l'expression de la portée :

D'après la question Q8, la vitesse limite de chute verticale vaut :

On en déduit la valeur du paramètre sans dimension \gamma :

Calculons l'argument de la fonction W intervenant dans l'expression de \theta_{\max} :

En prenant pour la base de l'exponentielle e \simeq 2{,}72 :

Par lecture sur le graphe de droite de la figure 2, pour l'abscisse \chi = 2{,}0, on lit sur l'axe des ordonnées :

On reporte cette valeur dans l'expression de \sin\theta_{\max} fournie par l'énoncé pour \gamma \neq 1 :

Sachant que \sin(30^\circ) = 0{,}50 et \sin(27^\circ) \simeq 0{,}454, on en déduit :

On étudie la masse ponctuelle m dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base cylindro-polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) où \vec{u}_z = \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y est orthogonal au plan du mouvement.

Le vecteur position s'écrit :

Le vecteur vitesse de la masse m est :

Le moment cinétique de la masse m par rapport au point fixe O vaut :

Le bilan des forces appliquées à la masse m comprend :

• la tension de la tige \vec{T} = -T \, \vec{u}_r, de moment nul en O : \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{T}) = \vec{0} ;

• le poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta \, \vec{u}_r - mg\sin\theta \, \vec{u}_\theta, dont le moment en O est :

  \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P}) = (\ell \, \vec{u}_r) \wedge (mg\cos\theta \, \vec{u}_r - mg\sin\theta \, \vec{u}_\theta) = -mg\ell\sin\theta \, \vec{u}_z

En appliquant le théorème du moment cinétique en O :

soit :

En simplifiant par m\ell^2 \neq 0, on obtient l'équation différentielle non linéaire du pendule simple :

D'après la question précédente, l'équation différentielle exacte régissant le mouvement du pendule est :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles, on effectue le développement limité au premier ordre \sin\theta \simeq \theta, ce qui conduit à l'équation différentielle linéarisée :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_0. La période T_0 des oscillations s'obtient directement par la relation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} :

La propriété remarquable associée à cette approximation est l'isochronisme des petites oscillations : la période T_0 ne dépend pas de l'amplitude angulaire \theta_0 des oscillations.

Le pendule simple est soumis à son poids \vec{P} et à la tension de la tige \vec{T}. La liaison étant sans frottement et la tige de longueur \ell constante, le vecteur déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{OM} = \ell\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta est orthogonal à \vec{T} = -T\,\vec{u}_r : la tension ne travaille pas. Le poids dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

en choisissant l'origine des potentiels en x=0. L'énergie cinétique du point matériel m vaut :

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p est constante au cours du mouvement. À l'instant initial t=0, le pendule est lâché sans vitesse initiale depuis \theta = \theta_0 :

Par conservation de l'énergie mécanique :

L'expression générale de la vitesse angulaire est donc :

le signe dépendant du sens de parcours (négatif lors du premier quart de période où \theta décroît).

Le mouvement oscillatoire est périodique et symétrique. Le temps mis par le pendule pour passer de l'élongation maximale \theta_0 à la position d'équilibre \theta = 0 correspond à un quart de période : \Delta t = T/4. Sur cet intervalle, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} < 0, d'où :

En intégrant entre t=0 (\theta=\theta_0) et t=T/4 (\theta=0) :

Comme T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} (d'après la question Q17), on a \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \frac{T_0}{2\pi}. En multipliant par 4, on obtient bien :

Propriété remarquable : L'intégrale dépend explicitement de la borne supérieure \theta_0 ainsi que de la fonction sous le radical. La période T dépend donc de l'amplitude des oscillations : l'isochronisme des oscillations n'est pas conservé aux grandes amplitudes.

Soit la fonction f : \chi \mapsto 1 + \sqrt{\chi} définie sur [0; 9]. On souhaite approcher l'intégrale :

Principe de la méthode des rectangles médians On subdivise l'intervalle [a, b] = [0, 9] en N = 9 sous-intervalles réguliers [x_i, x_{i+1}] de même largeur h = \frac{b-a}{N} = 1, avec x_i = i pour i \in \{0, \dots, 9\}.

Sur chaque sous-intervalle [x_i, x_{i+1}], la fonction f est approchée par sa valeur au point médian :

L'aire sous la courbe est ainsi approchée par la somme des aires des 9 rectangles de largeur h et de hauteur f(m_i) :

Effet du doublement du nombre de rectangles La méthode du point milieu (rectangles médians) est une méthode d'intégration numérique d'ordre 2 : l'erreur globale commise s'écrit sous la forme :

Si l'on double le nombre de rectangles utilisés (N' = 2N), le pas d'intégration est divisé par deux (h' = h/2).

Par conséquent, la différence entre la valeur exacte de I et la valeur approchée numériquement est approximativement divisée par 2^2 = 4 :

Pour calculer numériquement l'intégrale elliptique complète de première espèce :

par la méthode des rectangles au point médian, on discrétise le segment [a,b] = [0, \pi/2] en N sous-intervalles de même largeur :

Sur chaque sous-intervalle [\phi_i, \phi_{i+1}] = [a + i h,\, a + (i+1)h] avec i \in \{0, \dots, N-1\}, le point médian vaut :

L'intégrale est alors approchée par la somme des aires des rectangles :

où l'intégrande est la fonction f(\chi, \phi) = \frac{1}{\sqrt{1 - \chi \sin^2\phi}}.

Voici le code complété :

import math as m

def f(x, phi):
    return 1.0 / m.sqrt(1.0 - x * m.sin(phi)**2)

S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi / 2.
pas = (b - a) / N
theta_0 = m.pi / 3.
x = m.sin(theta_0)**2
for i in range(N):
    phi = a + (i + 0.5) * pas
    S = S + f(x, phi)
print(pas * S)

1. Évaluation de la période T :

Sur la figure 4, l'axe des abscisses présente des graduations principales espacées de 20^\circ, avec une subdivision intermédiaire tous les 10^\circ. L'angle \theta_0 = 50^\circ correspond donc à la ligne verticale médiane entre 40^\circ et 60^\circ.

Sur l'axe des ordonnées, la ligne horizontale intermédiaire entre 1{,}0 et 1{,}1 correspond à 1{,}05. On constate que la courbe représentative coupe cette ligne à l'abscisse \theta_0 = 50^\circ :

Puisque T_0 = 1\text{ s}, on en déduit immédiatement :

2. Décalage temporel sur une heure :

Considérons une horloge à balancier étalonnée dans le cadre de l'approximation des petits angles, qui incrémente son compteur de T_0 = 1\text{ s} à chaque oscillation.

Si cette horloge mesure une durée affichée de \Delta t_{\text{mes}} = 1\text{ h} = 3600\text{ s}, elle a accompli un nombre d'oscillations :

La durée réelle écoulée durant ces N oscillations vaut :

Le décalage temporel absolu induit par l'approximation est donc :

Remarque réciproque : Si l'on s'intéresse au temps affiché par l'horloge au bout d'une heure réelle (\Delta t_{\text{réel}} = 3600\text{ s}), le nombre d'oscillations accomplies est N' = \frac{\Delta t_{\text{réel}}}{T} = \frac{3600}{1{,}05} \simeq 3429. Le temps indiqué par l'horloge est alors \Delta t'_{\text{mes}} = N' T_0 \simeq 3429\text{ s} \simeq 57\text{ min } 9\text{ s}, soit un retard de 171\text{ s} \approx 3\text{ min}. Dans les deux cas, le décalage est d'environ 3 minutes.

Dans la vie courante, la cycloïde est la trajectoire décrite par un point fixé sur la circonférence d'un cercle (ou d'une roue) qui roule sans glisser à vitesse constante le long d'une droite rectiligne.

Sur le plan physique et mathématique, la cycloïde possède deux propriétés remarquables célèbres :

• Propriété tautochrone (ou isochrone) : un point matériel glissant sans frottement sur une gouttière cycloïdale sous l'effet de la pesanteur oscille avec une période rigoureusement indépendante de l'amplitude du lâcher (propriété exploitée par Christiaan Huygens pour son horloge à pendule cycloïdal) ;
• Propriété brachistochrone : la cycloïde inversée est la courbe reliant deux points qui minimise le temps de parcours d'un mobile glissant sans frottement sous l'effet de la seule pesanteur (problème posé par Jean Bernoulli en 1696).

Lord Kelvin avait estimé l'âge de la Terre à quelques dizaines de millions d'années (entre 20 et 100 millions d'années) en supposant que le globe terrestre, initialement fondu, se refroidissait de manière purement conductive, sans source d'énergie interne.

L'erreur de ce résultat s'explique de nos jours principalement par deux éléments méconnus à son époque :

1. L'existence de sources d'énergie thermique internes (radioactivité) : Kelvin ignorait la radioactivité, découverte par Henri Becquerel en 1896 puis étudiée par Pierre et Marie Curie. La désintégration radioactive d'isotopes instables à longue durée de vie présents dans le manteau et la croûte terrestre (notamment ^{238}\mathrm{U}, ^{235}\mathrm{U}, ^{232}\mathrm{Th} et ^{40}\mathrm{K}) dégage continuellement de la chaleur (chaleur radiogénique), compensant en grande partie les pertes thermiques superficielles.
2. Le mode de transfert thermique dans le manteau (la convection) : Kelvin considérait la Terre comme un solide rigide où la chaleur ne se propage que par conduction pure. En réalité, le manteau terrestre se comporte aux grandes échelles de temps comme un fluide très visqueux au sein duquel s'organise une convection thermique vigoureuse. Ce brassage convectif transporte la chaleur beaucoup plus efficacement vers la base de la lithosphère que la simple diffusion thermique, maintenant un gradient thermique superficiel élevé sur une durée bien plus longue (argument soulevé dès 1895 par John Perry, ancien assistant de Kelvin).

L'âge actuellement admis de la Terre est d'environ 4{,}55 milliards d'années, déterminé grâce aux méthodes de datation radiométrique (notamment le système plomb-plomb sur les météorites).

1. Définition et dimension du vecteur densité de flux thermique

Le vecteur densité de flux (ou de courant) thermique \vec{j}_Q caractérise localement le transfert d'énergie thermique par conduction. Le transfert thermique élémentaire \delta^2 Q (ou \delta \phi_Q selon les notations du préambule) traversant une surface orientée \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\,\mathrm{d}S pendant une durée \mathrm{d}t s'exprime par :

La puissance thermique élémentaire traversant cette surface s'écrit donc :

La puissance \Phi ayant la dimension d'une énergie par unité de temps ([\Phi] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}, en watts \mathrm{W}), la dimension de la norme du vecteur densité de flux thermique est :

2. Loi de Fourier et conditions d'application

La loi de Fourier est une loi phénoménologique linéaire reliant le flux de chaleur au gradient de température :

où \kappa > 0 désigne la conductivité thermique du milieu.

Ses conditions d'application sont les suivantes :

• Milieu continu au repos à l'échelle macroscopique : le transfert d'énergie a lieu uniquement par conduction (absence de convection ou de déplacement de matière) ;
• Milieu isotrope : la réponse thermique est identique dans toutes les directions de l'espace, ce qui assure que \kappa est un scalaire (et non un tenseur d'ordre 2) ;
• Approximation des régimes linéaires / équilibre thermodynamique local : les gradients spatiaux de température doivent être suffisamment faibles à l'échelle du libre parcours moyen des porteurs d'énergie (phonons ou électrons), garantissant la proportionnalité entre le flux et le gradient thermique.

3. Dimension de la conductivité thermique

D'après la loi de Fourier, la norme du vecteur densité de flux thermique est reliée au gradient thermique par j_Q = \kappa\,\|\vec{\nabla}T\|, avec \|\vec{\nabla}T\| \sim \frac{\Delta T}{L}, d'où :

en notant \Theta la dimension de la température (kelvin).

1. Énergie thermique \delta Q reçue par la tranche :

La tranche de sol de section \mathcal{S} est comprise entre les abscisses y et y+\mathrm{d}y. Le transfert thermique s'effectue selon la direction \vec{u}_y :

• en y, l'énergie thermique entrant dans la tranche à travers la surface \mathcal{S} orientée selon +\vec{u}_y pendant \mathrm{d}t vaut : \delta Q_{\text{ent}} = j_Q(y, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t ;
• en y+\mathrm{d}y, l'énergie thermique sortant de la tranche pendant \mathrm{d}t vaut : \delta Q_{\text{sort}} = j_Q(y+\mathrm{d}y, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t.

Le bilan d'énergie thermique nette reçue s'écrit donc :

2. Intérêt de l'échelle mésoscopique :

L'échelle mésoscopique correspond à un volume élémentaire \mathrm{d}V = \mathcal{S}\,\mathrm{d}y vérifiant un compromis de deux échelles :

• suffisamment grand devant l'échelle microscopique pour contenir un très grand nombre d'atomes, garantissant ainsi la validité de la description thermodynamique continue et le caractère négligeable des fluctuations statistiques ;
• suffisamment petit devant les échelles macroscopiques caractéristiques des gradients de température, permettant de considérer les grandeurs locales (température, masse volumique) comme uniformes dans la tranche et de linéariser leurs variations spatiales par un développement de Taylor au premier ordre (\mathrm{d}y).

3. Expressions de la variation d'énergie interne \mathrm{d}U :

En appliquant le premier principe de la thermodynamique à la tranche de matière (système fermé immobile et indéformable, donc \delta W = 0) en l'absence de source volumique de chaleur :

d'où :

Par ailleurs, pour une phase condensée indéformable de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = \rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y et de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne associée à l'élévation de température \mathrm{d}T = \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t s'écrit :

soit :

4. Équation de la chaleur et coefficient de diffusion D :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U obtenues :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle (question précédente), j_Q = -\kappa\,\frac{\partial T}{\partial y}. En considérant la conductivité thermique \kappa uniforme et constante :

On obtient ainsi l'équation de diffusion thermique à une dimension :

La dimension du coefficient de diffusion thermique D est :

5. Longueur caractéristique L :

D'après l'équation de diffusion, l'analyse dimensionnelle impose \frac{[T]}{t} \sim D\,\frac{[T]}{L^2}, soit :

La température adimensionnée est définie par :

où T_0 et T_1 sont des constantes indépendantes du temps t et de l'espace y.

En dérivant par rapport à t et à y :

D'après l'équation de la chaleur établie à la question Q25, \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}. Par linéarité, la fonction \theta(y,t) vérifie donc la même équation de diffusion thermique :

Déterminons à présent les valeurs demandées :

• À l'instant initial, le milieu y > 0 est à température uniforme T(y>0, t=0) = T_1, d'où :

  \theta(y>0, t=0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0

• Pour tout t > 0, la surface en y = 0 est maintenue à la température imposée T_0, donc T(y=0, t>0) = T_0 :

  \theta(y=0, t>0) = \frac{T_0 - T_1}{T_0 - T_1} = 1

• Pour tout temps fini t > 0, le milieu étant semi-infini, l'onde de diffusion thermique n'a pénétré que sur une épaisseur finie caractéristique L \sim \sqrt{Dt}. Le milieu à l'infini n'a pas encore ressenti le changement de température en surface : \lim_{y \to +\infty} T(y,t) = T_1, d'où :

  \theta(y \to +\infty, t>0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0

On récapitule :

La fonction \theta ne dépend des variables d'espace et de temps qu'à travers la variable de similarité sans dimension :

Calculons les dérivées partielles de \eta par rapport à y et à t :

Par dérivation de la fonction composée \theta(y,t) = \theta(\eta(y,t)), la dérivée temporelle s'écrit :

Pour la variable spatiale y, la dérivée première vaut :

Puisque le préfacteur \dfrac{1}{2\sqrt{Dt}} est indépendant de y, la dérivée seconde s'obtient directement :

D'après le résultat de la question Q26, la température adimensionnée satisfait l'équation de la chaleur sans terme source :

En y substituant les dérivées obtenues ci-dessus :

Pour tout t > 0, en multipliant par 4t et en regroupant les termes, on obtient l'équation différentielle ordinaire cherchée :

D'après l'équation établie à la question Q27, la fonction \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta(\eta)}{\mathrm{d}\eta} vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

La séparation des variables conduit à \frac{\mathrm{d}\varphi}{\varphi} = -2\eta\,\mathrm{d}\eta, ce qui donne par intégration :

En intégrant de 0 à \eta, on obtient :

D'après la question Q26, en y=0 pour t>0, on a \eta = 0 et \theta(0) = 1. L'expression devient :

La condition à l'infini imposée en Q26 s'écrit \lim_{\eta\to+\infty} \theta(\eta) = 0. En utilisant l'intégrale de Gauss fournie :

On en déduit l'expression de la température adimensionnée :

Par définition de \theta(y,t) (question Q26) et sachant que \eta = \frac{y}{2\sqrt{Dt}} :

En remplaçant \theta(\eta) par son expression :

soit, sous forme simplifiée :

D'après la question Q27, la température adimensionnée \theta(\eta) vérifie l'équation différentielle :

En posant \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta}, la séparation des variables conduit à :

où C_1 est une constante d'intégration. En intégrant une seconde fois :

En utilisant la définition de la fonction d'erreur \operatorname{erf}(\eta) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\eta e^{-z^2}\,\mathrm{d}z, cette solution s'écrit sous la forme générale :

où A et B sont des constantes réelles.

Déterminons ces constantes grâce aux conditions aux limites données dans l'énoncé de la partie III.B :

• À la surface extérieure y = 0, la température vaut T(0,t) = T_0, ce qui correspond à \eta = 0 :

  \theta(0) = \frac{T(0,t) - T_0}{T_f - T_0} = 0

  Comme \operatorname{erf}(0) = 0, on en déduit immédiatement B = 0.

• À l'interface de solidification y = y_s(t), la température vaut T(y_s,t) = T_f, ce qui correspond à \eta = \eta_s = \lambda :

  \theta(\lambda) = \frac{T(y_s,t) - T_0}{T_f - T_0} = \frac{T_f - T_0}{T_f - T_0} = 1

  On a donc A\,\operatorname{erf}(\lambda) = 1, soit A = \frac{1}{\operatorname{erf}(\lambda)}.

On obtient ainsi le profil de température adimensionnée :

Considérons la tranche de lave d'épaisseur \mathrm{d}y_s et de surface S qui se solidifie entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Sa masse s'exprime en fonction de la masse volumique \rho par :

La solidification est la transformation inverse de la fusion (\text{liquide} \to \text{solide}). L'enthalpie massique de solidification à la température T_f est donc :

Cette transformation étant exothermique, l'énergie thermique \delta Q libérée par la solidification de la masse \mathrm{d}m est une grandeur positive donnée par :

On en déduit :

La lave en fusion (y > y_s(t)) est à la température uniforme T_f, son gradient thermique est donc nul et elle n'apporte aucun flux de chaleur à l'interface :

Dans la croûte solide (0 \leqslant y \leqslant y_s(t)), la température croît avec la profondeur de T(0,t) = T_0 jusqu'à T(y_s,t) = T_f > T_0. D'après la loi de Fourier (question Q24), le vecteur densité de flux thermique au voisinage immédiat de l'interface, du côté solide, s'écrit :

Puisque le gradient \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_{y=y_s} est positif, le transfert thermique s'effectue vers le haut, c'est-à-dire dans le sens opposé à l'axe \vec{u}_y (vers la surface froide y=0).

Le flux d'énergie thermique sortant de l'interface vers la croûte solide à travers la surface S pendant l'intervalle \mathrm{d}t s'exprime par le produit de la composante selon -\vec{u}_y par la surface et la durée :

D'après la question Q30, la solidification de l'épaisseur \mathrm{d}y_s de surface S libère l'énergie thermique :

L'énoncé précisant que la totalité de cette énergie libérée est évacuée par diffusion dans le solide, le bilan énergétique à l'interface s'écrit :

En divisant de part et d'autre par S \, \mathrm{d}t, on obtient la relation demandée :

D'après la définition de la constante \lambda, la position de l'interface de solidification s'écrit :

Sa dérivée temporelle est donc :

D'autre part, la température s'exprime en fonction de la température adimensionnée \theta selon (question Q29) :

Par dérivation en chaîne, le gradient de température dans la croûte solide s'écrit :

Or :

Au niveau du front de solidification (y = y_s(t), soit \eta = \lambda), on obtient :

En injectant ces résultats dans le bilan d'énergie à l'interface établi en Q31 :

Le facteur temporel \sqrt{t} se simplifie des deux côtés. En multipliant par \sqrt{D} et en rappelant que par définition de la diffusivité thermique (question Q25), \kappa = \rho c D d'où \dfrac{\kappa\sqrt{D}}{D} = \rho c \sqrt{D}, il vient :

En simplifiant par \rho et en regroupant les termes dépendant de \lambda dans le membre de gauche, on conclut :

L'équation établie à la question Q32 se met sous la forme g(\lambda) = 0, avec :

La fonction g est continue et strictement décroissante sur ]0, +\infty[. Pour trouver numériquement la constante \lambda, on peut utiliser l'algorithme de dichotomie (ou la méthode de Newton-Raphson).

Fonctionnement de l'algorithme de dichotomie :

• Initialisation : On choisit deux réels a et b encadrant la solution, tels que g(a) \cdot g(b) < 0 (par exemple [a, b] = [0{,}5\,;\,2] au vu du tracé de la figure 7).

• Itération : À chaque étape, on évalue la fonction au milieu de l'intervalle m = \dfrac{a + b}{2} :

  • si g(a) \cdot g(m) \leqslant 0, la racine appartient à l'intervalle [a, m] : on pose b \leftarrow m ;
  • sinon, la racine appartient à [m, b] : on pose a \leftarrow m.
• Critère d'arrêt : La longueur de l'intervalle de recherche est divisée par deux à chaque itération. Le processus s'arrête dès que la largeur b - a devient inférieure à une précision ou tolérance \varepsilon fixée à l'avance. L'approximation de \lambda est alors le dernier milieu m.

D'après la question Q32, la constante \lambda vérifie l'équation :

Calculons numériquement le membre de droite avec les données de l'énoncé :

Sur la figure 7, la courbe coupe le niveau d'ordonnée y \simeq 0{,}71 (légèrement au-dessus de la graduation 0{,}7) à l'abscisse :

(une valeur comprise entre 0{,}8 et 0{,}9 est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture).

L'épaisseur de la croûte solide à l'instant t est reliée à la variable de similarité par :

Pour une durée de six mois, soit une demi-année :

Le produit de diffusion vaut :

d'où :

On en déduit l'épaisseur de la croûte solide :

Comparaison avec les mesures de la figure 8 : Sur la figure 8, à l'abscisse t = 0{,}5\text{ an}, la courbe théorique et les points expérimentaux (mesures in situ sur les lacs de lave Makaopuhi et Kilauea Iki) donnent une épaisseur y_m \simeq 5{,}3\text{ m} (l'ensemble des points expérimentaux se situe entre 4{,}5\text{ m} et 5{,}5\text{ m}).

La valeur calculée est en excellent accord avec les observations de terrain, confirmant la validité du modèle de Stefan en \sqrt{t} pour la solidification des coulées magmatiques.