Approche énergétique et oscillateurs mécaniques : 677 questions de concours corrigées

On suppose que l'angle φ oscille autour d'une position d'équilibre et que son évolution temporelle en l'absence de ce couple visqueux peut être décrite comme celle d'un oscillateur harmonique de…

Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur V(z) en prenant V(0) = 0.\ En déduire la relation entre p(z), m, g, z et l'énergie mécanique E d'une particule soumise uniquement à…

Établir l'expression de l'énergie potentielle élastique E_p,k du ressort dont on prendra l'origine lorsque la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide. On exprimera E_p,k en fonction de k…

Établir, en fonction de m, g et l, l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E_p,p du point matériel P dont on prendra l'origine en O.

En déduire l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du point matériel P de masse m dans le référentiel galiléen R en fonction notamment de l(t).

Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P vérifiée par l(t) dans le référentiel galiléen R.

Montrer que l'énergie cinétique de l'électron reste constante au cours du mouvement dans l'ondulateur. En déduire que la constante de Lorentz γ et que la norme de la vitesse de l'électron restent…

Traduire la conservation de l'énergie mécanique d'un électron circulant depuis la cathode vers l'anode pour en déduire la vitesse v(r) d'un électron à la distance r de l'axe en fonction, notamment…

Montrer que la force gravitationnelle s'exerçant sur le mobile dérive d'une énergie potentielle E_p. Établir l'expression de celle-ci en la prenant, par convention, nulle à l'infini.

Expliquer pourquoi l'énergie mécanique du mobile est nécessairement supérieure ou égale à son énergie potentielle effective.

Donner l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du vaisseau en fonction de G, M_T, m, r, v_r et de v_θ.

Déduire de l'application d'un théorème énergétique l'expression de la vitesse de libération v_lib(r) d'un corps soumis à l'attraction terrestre.

Exprimer, puis calculer le travail W_P du poids de l’enfant lors de cette descente de A vers B.

Citer le théorème de l’énergie cinétique. L’appliquer à l’enfant qui glisse sans frottement entre les points A et B et en déduire l’expression de la vitesse v_B_sans_frottement atteinte au point B…

La solution qui a été retenue pour peser les spationautes en impesanteur est d'utiliser les oscillations d'un ressort. Le spationaute M de masse m₂ s'accroche à un dispositif appelé BMMD (voir…

La solution qui a été retenue pour peser les spationautes en impesanteur est d'utiliser les oscillations d'un ressort. Le spationaute M de masse m₂ s'accroche à un dispositif appelé BMMD (voir…

Montrer que si r ≪ σ, alors U(r) - U(0) ≈ 1/2 k r² où l'on exprimera k en fonction de γ, E et σ.

Montrer que la force F est conservative, et que l'énergie potentielle correspondante s'écrit U(x) = A/x² + B x² + C où C est une constante arbitraire et où l'on exprimera A et B en fonction de α et k.

On pose ω = √(k/m), g₀ = g(t = 0) et h₀ = g(t = 0). En résolvant l'équation différentielle trouvée à la question précédente, exprimer g(t) en fonction de t, g₀, h₀, ω et E/k.

Tracer l'allure de U(x). Par une approche énergétique, vérifier la validité des expressions de x_c, x_min et xₘₐₓ obtenues à la question précédente.

En déduire que G = 0.

En déduire l'expression de l'amplitude complexe r₀ de la composante du mouvement de l'électron oscillant à la pulsation ω.

Exprimer, en fonction de E, S, ℓ₀ et ℓ, l'énergie potentielle élastique E_p emmagasinée par la barre au cours de son évolution de ℓ₀ à ℓ.

Établir, en fonction des paramètres M^ et k^, l'expression du carré de la pulsation propre (ω₀²) des oscillations libres de flexion du bâton de craie.

En considérant que l'énergie du rayonnement incident est intégralement transmise aux électrons libres de la cathode, exprimer le potentiel d'arrêt U₀ en fonction de e, h, ν et du travail…

Établir la relation entre la hauteur H du rebond et la vitesse verticale v₀ au moment où le neutron touche le miroir.

On suppose qu'à t=0 l'électron se situe à une distance r₀ du centre O, barycentre des charges positives, et sans vitesse initiale. En l'absence de toute autre force, montrer que r(t) = r₀ cos (ω₀…

Exprimer l'énergie mécanique Eₘ de l'électron à t=0 et à une date quelconque t.

Rappeler et justifier les deux lois de conservation usuelles dans le cadre de l'étude mécanique d'un point matériel en mouvement dans un champ de force centrale conservatif.

Déterminer une expression de l'énergie mécanique Eₘ₁ que possède l'astéroïde Patientia, relativement au référentiel héliocentrique d'étude galiléen, lorsqu'il est en orbite circulaire au niveau de…

Mettre Eₘ sous la forme Eₘ = 1/2m_pr² + E_eff(r) et donner l'expression de E_eff(r).

On considère le cas extrême d'une collision frontale et on supposera pour simplifier que l'atome est immobile compte tenu de sa masse importante par rapport aux particules α. Montrer en utilisant la…

Dans un modèle d'atome d'hydrogène « planétaire » où l'électron a un mouvement circulaire uniforme autour du noyau, montrer que l'énergie mécanique s'écrit E = -1/2e²/R où R désigne la distance…

On cherche l'expression de l'énergie de l'électron en fonction de r₀. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle d'un électron dans le champ électrique créé par le noyau. On notera e² = qₑ²/4πε₀…

a) Définir ce que sont des oscillations isochrones. b) Dans l'approximation des petits angles, le mouvement de (j_g) est-il isochrone ? c) Exprimer, dans cette approximation, la pulsation ω_os et la…

Dans l'approximation des petits angles, exprimer en fonction de m_j, J_F, g et de Δ, la pulsation ω_os et la durée τ_os de cette phase d'oscillation.

En supposant quasi-constante la puissance P fournie par les muscles pendant la phase de double contact, on évalue P par P = /τ_dc. Rappeler l'énoncé du théorème de la mécanique dont découle cette…

Établir l'équation différentielle vérifiée par θ. On posera ω₀ = √(g/ℓ₀).

Dans le cas de petits mouvements, déterminer la loi horaire θ(t) et calculer littéralement, puis numériquement la période T₀ du mouvement.

On note v₁ et v₂ les vitesses des protons, en valeur algébrique, sur l'axe x. On note v_G la vitesse de leur barycentre et v = v₁ - v₂ leur vitesse relative. Exprimer la somme de leurs énergies…

Nous modélisons les oscillations en traitant chacun des atomes comme une masse ponctuelle, en décrivant la liaison entre un atome de carbone et un atome d'oxygène par un ressort de raideur k. Écrire…

On note m la masse de la particule. On modélise sa dynamique par l'équation du mouvement m(x + αx + ω₀² x) = Fₑ(t), (1) où Fₑ(t) représente la force exercée par le champ électrique, dont on…

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction θ(t).

On fait l'approximation des petits angles tels que sin θ ∼ θ. Établir dans ces conditions la période T₀ des oscillations. Quelle est la propriété remarquable de la période dans le cadre de cette…

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction θ(t).

On fait l'approximation des petits angles tels que sin θ ∼ θ. Établir dans ces conditions la période T₀ des oscillations.

Montrer que la force de tension ainsi exercée sur M est conservative et déterminer l'énergie potentielle E_p(T, σ) associée en fonction de T et σ.

Le point d'attache du ressort est en z = 0 et on note ℓ₀ sa longueur au repos. Déterminer la position d'équilibre z₀ puis exprimer l'énergie potentielle totale dont dérivent les forces élastiques et…

Déterminer la distance interatomique d'équilibre, appelée longueur de liaison à l'équilibre x_éq.

Si on appliquait cette force à une particule de masse m et de position ε(t), quelle serait la pulsation des oscillations ωₒ de celle-ci ? Représenter la vibration au cours du temps t → ε(t) pour des…

Montrer que la tranche d'air dans le col oscille de façon harmonique. Vérifier que la fréquence propre f₀ de ce système oscillant s'écrit : f₀ = 1/2π √((c² s)/(ℓ V_c)).

En négligeant tout frottement, déterminer l'expression de la vitesse de la voiturette une fois arrivée sur la portion horizontale de la piste, en fonction de g et de h. Évaluer cette vitesse avec un…

Le point A étant l'endroit où le parachute est déployé, donner l'expression littérale de l'énergie cinétique E_c(A) de l'ensemble en se limitant à un simple mouvement de translation.

Énoncer le théorème de l'énergie cinétique.

Ce travail est-il qualifié de moteur ou de résistant ? Justifier.

Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre F_G, s'exerçant sur un point matériel M de masse m situé à la distance r (r > R_T) du centre de la Terre O_T (figure 1). Exprimer l'énergie…

Que vaut la longueur L_eq du ressort à l'équilibre (fig 9a) ?

Á quelle valeur du coefficient de frottement λ correspond le régime critique ? Exprimer alors la forme générale de la solution sans chercher à déterminer les valeurs des constantes liées aux…

Donner l'expression de la vitesse v de A en fonction de sa position. Dans les propositions ci-dessous, v₀ est la norme du vecteur vitesse initial (v₀ = |v₀|). A) v = √(2 g r (1 + sin φ) + v₀²) B) v…

Dans quelle limite le pendule simple peut-il être approximé par un oscillateur harmonique ? On se placera dans cette limite par la suite. Exprimer sa pulsation propre ω₀. Déterminer la période…

On considère ici le problème de deux oscillateurs harmoniques couplés. On imagine deux masses m attachées à deux ressorts de raideur k₀ et k₁, et connectées entre elles par un troisième ressort de…

En déduire la pulsation ω_f des petites oscillations verticales du flotteur autour de la profondeur d’équilibre D₀. Exprimer ω_f en fonction de g et D₀.

Exprimer, en fonction des paramètres m, g, D et de l'angle θ, l'énergie potentielle gravitationnelle E_g 1 de la bille (1) dans la situation représentée sur la figure (3) (b).

Déterminer la position z_eq d'équilibre de la masse au repos sans secousse du sol.

Quelle est la dimension de E ? Montrer que, dans ce régime, le comportement mécanique du fil peut être assimilé à celui d'un ressort de constante de raideur k que l'on exprimera en fonction des…

On suppose qu'à l'instant t = 0, la masse m est lachée sans vitesse initiale d'une position Z_i ≠ Z₀. Quelle est la valeur minimale λ_min qu'il faut imposer à λ afin que la masse retrouve sa…

Déduire l'expression de l'énergie cinétique, puis de l'énergie mécanique de l'objet de masse m sur son orbite circulaire autour du Soleil en fonction de G, M_S, R et m.

On revient au modèle semi-classique du modèle de Bohr dans lequel l’électron décrit une orbite circulaire de rayon ρ autour du noyau. On exprimera les réponses en fonction de e, ρ, ε₀ et de mₑ. a)…

En utilisant le théorème de l'énergie mécanique, déterminer l'expression littérale et la valeur numérique de la vitesse acquise lors de l'impact du bas de la quille avec l'eau si le treuil était…

Quel phénomène physique la force f modélise-t-elle ? Justifier par un argument énergétique le signe de la constante λ.

On note z(t) = ℓ(t) - ℓ₀ la position de la masselotte. Établir l'équation différentielle dont z(t) est solution pour t > 0.

Exprimer la fréquence propre et le facteur de qualité Q de ce système en fonction de k, m et λ.

Sachant que l'on obtient des pseudo-oscillations, établir l'expression littérale de z(t) en fonction de k, m et λ et de constantes d'intégration que l'on ne cherchera pas à déterminer.

On écrit cette relation sous la forme suivante : (d² z'_G)/dt² + ω₀/Q (dz'_G)/dt + ω₀² z'_G = Eₘ ω² cos (ω t + φ). Comment appelle-t-on ω₀ et Q ? Donner leurs expressions littérales.

Déterminer la vitesse v_s de l'enfant en sortie de toboggan en fonction de g et h.

Exprimer puis calculer numériquement la vitesse v_B du skieur en B. A) v_B = √(3)gL B) v_B = √(2gLsin α) C) v_B = 20 m⁻¹ D) v_B = 13 m⁻¹

Que dire de la norme du vecteur vitesse, v_O, du skieur en O ? A) v_O = √(v_B² - 2(E_p(B))/m) B) v_O = v_B C) v_O = √(v_B² + 2(E_p(B))/m) D) v_O > v_B

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse xₘ(t) de la masse m. On fera apparaître la variable L(U) définie par L(U) = (F(U))/k. En régime quasi-statique, que représente L(U) ?

Nous recherchons une solution particulière x_p = x_p(t) de l'équation différentielle (15) sous la forme d'un polynôme P=P(t-t_i) de la variable t-t_i. Déterminer x_p (on choisira P de degré le plus…

En déduire la solution générale de l'équation différentielle. On prendra la variable temporelle sous la forme de la différence t-t_i.

Rappeler l'expression de la force gravitationnelle existant entre deux corps ponctuels de masse m₁ et m₂ séparés par une distance r. En déduire l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle…

En appliquant le théorème de l'énergie mécanique à l'objet M entre l'instant initial (M à la surface de la Terre) et l'instant final (M à l'infini), déterminer la vitesse de libération v_ℓ en tenant…

Linéariser l'équation précédente en considérant θ « petit » ; en déduire l'équation horaire θ(t).

On déplace A, par rapport à sa position d'équilibre O (prise comme origine des coordonnées cartésiennes x et y), d'une quantité initiale x(0) ≪ lₑ selon la direction horizontale Ox (Figure 1a) et on…

Montrer à l'aide de lois de conservations que v_B,x = x₀ et v_B,y = -y₀, où les deux grandeurs v_B,x et v_B,y sont les composantes selon x et y de la vitesse du point matériel en B.

Calculer à partir de l'équation différentielle obtenue à la question précédente l'intégrale première suivante : 1/2 x² = (4π G ρ₀)/3(1/x - 1). (5)

On décrit le mouvement d'une étoile tel que discuté à la question précédente par sa vitesse perpendiculaire v_z(z). Obtenir une équation reliant la vitesse v_z(z) à v_z(0). Cette équation fera…

Écrire la forme algébrique que prend ce système en régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω. On notera x_i l'amplitude complexe du déplacement de l'oscillateur i.

Exprimer, en fonction de K et f, l'énergie élastique E_K emmagasinée par la lame dans un état de déformation caractérisé par la flèche f.

Représenter l'allure graphique du rapport U(r)/U^ en fonction de la distance adimensionnalisée r/a. Indiquer la nature de l'interaction que représente chacune des composantes de ce potentiel…

Démontrer l'expression de la vitesse en fin d'une chute libre de hauteur L dans le champ de pesanteur. Comparer cette expression à celle obtenue à la question précédente.

Montrer que la distance d parcourue par le palet avant de s'arrêter est donnée par la relation : d = v₀²/2gsin α où v₀ est la vitesse initiale selon l'axe (Ox) au début de la deuxième phase.

Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle E_pot de C₂ dans le champ gravitationnel créé par C₁ en fonction de G, m et r. On choisira E_pot nulle pour r tendant vers l'infini.

Nous nous plaçons dès à présent dans le cas où E_c,i,∞ ≪ |E₀₁|. Exprimer, en fonction de E₀₁ et α m, la vitesse v_i,c de l'impacteur immédiatement avant son entrée en contact avec la bille aimantée…

On place maintenant une particule supposée ponctuelle, de charge q = -e, au centre du piège. Pourquoi ne peut-elle pas y léviter de manière stable ?

Montrer que la variable lente R_i(t) a une dynamique qui se réduit à celle associée à un potentiel harmonique effectif U_eff(R_i) = 1/2 m ω_i² R_i² qui ne dépend pas du temps et dont on donnera la…

Représenter, dans un système d'axes commun, l'allure graphique de la dépendance de chacune des énergies E_C et E_F vis-à-vis de ε. Commenter brièvement ces tracés.

Nous notons N le module de la force que l'opérateur extérieur doit fournir pour imposer le déplacement Δ souhaité. Sur la base des tracés effectués en réponse à la question (5), établir…

Dans le cas où Aₙ ≠ 0, déterminer la valeur de φₙ et caractériser l'ensemble des nombres d'onde kₙ possibles. Dans ces conditions, représenter la forme prise par quelques couches réparties sur…

Représenter l'allure graphique de la dépendance de l'énergie moyenne e vis-à-vis de l'amplitude A, dans le cas où S > 0 puis dans celui où S < 0. On utilisera un système d'axes commun.

En fonction du paramètre l_c, discuter des positions d'équilibre du point P et de leur stabilité respective : on exprimera les abscisses d'équilibre xₑ associées en fonction des données et on…

Montrer que les grandeurs i(t) et z(t) vérifient l'équation différentielle : (d² z)/(d t²)+ω₀/Qₘ (d z)/(d t)+ω₀² z(t)=-β i(t) où ω₀, Qₘ et β sont à exprimer en fonction de K, M, λ, r, N et B₀.

Établir l’équation différentielle liant θ à g, R et θ au cours du looping. Peut-on déterminer θ(t) de manière analytique (c’est-à-dire « à la main ») facilement à partir de cette équation ? Pourquoi ?

Que devient l’énergie cinétique perdue par le train lors de ce freinage ? On justifiera la réponse à l’aide de l’établissement d’une relation entre différents termes énergétiques que l’on identifiera.

Montrer que l'énergie mécanique de la sonde se met sous la forme Eₘ = 1/2 m r² + E_p,eff(r) et exprimer l'énergie potentielle effective E_p,eff en fonction de G, M_s, m, p_T, R_T, S, C et r.

Montrer que l'énergie mécanique Eₘ est une constante du mouvement et qu'elle peut se mettre sous la forme : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r) (1) où E_p,eff(r) est un terme, appelé énergie potentielle…

Que vaut la période T₀ du mouvement du cadre au voisinage de sa position d'équilibre stable ? A) T₀ = ((π² J_z)/(mgℓ + ILℓ B))¹/² B) T₀ = ((4π² J_z)/(mgℓ + ILℓ B))¹/² C) T₀ = ((8π² J_z)/(mgℓ + 2ILℓ…

On identifie la moyenne temporelle E_cin + E_int avec l'énergie interne U du fluide. Montrer que U ≈ 3/2 P V où V est le volume de la boîte. On utilisera notamment les résultats des questions 16 et…

Montrer que l'énergie mécanique de l'électron peut se mettre sous la forme Eₘ = L²/2mₑ [(du/dθ)² + u²] - e² u, où u = 1/r.

En déduire que Eₘ = -e²/2a.

L'énergie cinétique du système est conservée dans la collision. Écrire l'équation correspondante. En déduire le rapport v'/v en fonction du nombre de masse A du noyau.

Montrer que l'énergie mécanique de la goutte peut s'exprimer sous la forme suivante : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r), où E_p,eff(r) = α/r² + β ln r et r = dr/dt. On explicitera les constantes positives α…

Tous calculs faits, on obtient P_J = K M₀² v² où K = 2,3 SI. En admettant la conversion totale de l'énergie mécanique en énergie électrique lors du freinage inductif, donner l'expression littérale…

La taille typique des noyaux d'hydrogène est de 10⁻¹⁵ m. En raisonnant dans le cadre de la mécanique classique, estimer l'ordre de grandeur de la température nécessaire pour que les réactions de…

Montrer, sous une hypothèse que l'on précisera, que l'on peut modéliser la liaison atomique AB par un ressort à comportement linéaire dont on exprimera la raideur k et la longueur au repos ℓ₀ en…

Appliquer le principe fondamental de la dynamique au point matériel B, puis A. En déduire que l'équation différentielle à laquelle obéit la distance inter-nucléaire R(t) s'écrit d²/dt² R + ω₀²(R-Rₑ)…

À quelle condition sur le coefficient de frottement α peut-on dire que l'amortissement est faible ? Dans cette limite d'un amortissement faible, tracer le spectre d'absorption, c'est-à-dire la…

Déterminer l'expression générale de dθ/dt sans faire l'approximation des petits angles. En déduire que la période T des oscillations du pendule est donnée par : T = 2T₀/π ∫₀θ₀ dθ/(√(2(cos θ - cos…

Déterminer l'expression générale de dθ/dt sans faire l'approximation des petits angles. En déduire que la période T des oscillations du pendule est donnée par : T = 2T₀/π ∫₀θ₀ dθ/(√(2(cos θ - cos…

Montrer que le mouvement est conservatif ; en déduire l'expression de la vitesse radiale r de l'électron en fonction de r et des autres paramètres du problème.

En développant l'énergie potentielle V(x) au second ordre en ε, montrer que la force d'interaction résultante est équivalente à celle d'un ressort de constante de raideur k dont on donnera…

Exprimer la résultante F_p des forces pressantes sur la tranche d'air en fonction de p₀, p_c(t) et s. En supposant que le volume de la tranche d'air est très petit devant le volume de la cavité…

Quelle serait la nature du signal attendu dans le cadre du modèle considéré dans les questions précédentes ? Comment expliquer la différence avec le signal enregistré ? Estimer le facteur de qualité…

Montrer que l'équation liant Z(t) à F(t) est : (d² Z(t))/dt² + γ (dZ(t))/dt + β Z(t) = (F(t))/M et exprimer les coefficients γ et β en fonction de k, M et de λ.

Montrer que l'équation liant Z(t) à F(t) est : (d² Z(t))/dt² + γ (dZ(t))/dt + β Z(t) = (F(t))/M et exprimer les coefficients γ et β en fonction de k, M et de λ.

En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse v_lib serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction…

Le point P étant en mouvement (fig 9b), établir l'équation différentielle à laquelle obéit Z(t) = L(t) - L_eq.

Établir en utilisant les grandeurs complexes l'expression de l'amplitude complexe Aₘ de Z(t) = L(t) - L_eq = Aₘ exp (iω t) en fonction de zₘ, r = ω₀/ω et Q = ω₀/2λ. Que devient cette expression pour…

Déduire de ce qui précède l'expression de la composante normale Rₙ de la force de réaction. A) Rₙ = m[g(3sin φ - 2) - v₀²/r] B) Rₙ = m[g(3sin φ - 2) + v₀²/r] C) Rₙ = m[g(sin φ - 1) - v₀²/r] D) Rₙ = 0

Comme à la question 4, on imprime au récipient un mouvement vertical d’amplitude A et de pulsation ω. On modélise le déplacement vertical du liquide z(t) par rapport au récipient comme un…

Déduire alors des résultats des trois questions précédentes que ζ(t) varie sinusoïdalement en fonction de t avec une pulsation Ω dont on donnera l’expression en fonction de g, k, γ_s et ρ_l.

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'angle θ. On conservera les paramètres K, m, g, D et J.

Déterminer à quelle condition la configuration correspondant à θ=0 est stable (ou métastable). On fera porter cette condition sur le paramètre S défini par le rapport suivant : S=K/(m g D) On…

Exprimer, en tenant compte de la valeur du paramètre S, la pulsation ω₁ des oscillations de la bille (1) autour de la configuration correspondant à θ=0, dans l'approximation linéaire. On exprimera…

Aurions-nous pu accéder à la fonction F à partir d'une analyse dimensionnelle ? Cette question, en particulier, attend une argumentation claire et rigoureuse.

Déduire des résultats qui précèdent l'expression de la pulsation ω_k des oscillations associée au mode k.

Établir l'équation de conservation 1/2mₑr² + U_eff(r) = cte et exprimer l'énergie potentielle effective U_eff(r) en fonction de e, ε₀, mₑ et σ.

Écrire les équations du mouvement de SPIDERMAN. En déduire, en fonction de m et g, l'expression de la tension maximale que doit supporter ce fil si l'on suppose qu'il est inextensible.

Lorsque le point G est en mouvement, établir l'équation différentielle vérifiée par Z(t).

À partir de l'équation mécanique, effectuer un bilan de puissance global et interpréter chacun des termes.

Exprimer θₘ en fonction de a₀, ℓ_eff, ω, ω₀ et Q.

Appliquer la seconde loi de Newton à la masse dans le référentiel R' lié au boîtier. On notera z'_G la cote du point G dans le repère R'. Projeter cette relation sur l'axe vertical. On supposera que…

Effectuer un bilan des forces sur cette parcelle de fluide, et en déduire que l'atmosphère sèche est stable si le gradient thermique -dT/dz est inférieur à Γ_d.

Analyser ce système d'un point de vue énergétique.

Établir l'équation différentielle reliant uₙ(t), uₙ₋₁(t) et uₙ₊₁(t).

À partir des équations (11) et (13), montrer que la fonction de transfert électromécanique du système H_elm(ω) peut s'écrire sous la forme : H_elm(ω) = ξ₀/U₀ = H₀/(1 - ω²/ω₀² + i ω/Q_elmω₀) , où…

Exprimer l'énergie mécanique d'un objet ponctuel de masse m, de vitesse v, subissant une force d'attraction gravitationnelle de la part d'un astre de masse M supposé ponctuel et situé à la distance…

En utilisant une méthode énergétique, montrer que θ(t) vérifie l'équation différentielle θ + 3/4 g/ℓ sin α sin θ(t) = 0.

Montrer que x(t) obéit à une équation différentielle du type d²x/dt² + ω₀/Q dx/dt + ω₀² x = f(t) où f(t) est une fonction du temps avec ω₀ = √(k/m), Q = 1/α√(k· m) et f(t) à exprimer.

Dans le cas simple où le champ effectif est statique, soit B_eff = B₀ avec dB₀/dt = 0, montrer que l'énergie Eₜₒₜ = -VM · B₀ est une fonction décroissante du temps, permettant ainsi la relaxation de…

Écrire les équations différentielles d'évolution du système représenté sur la figure 1. On notera x₁(t) et x₂(t) les déplacements des deux masses par rapport à leurs positions d'équilibre, et on…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la variable u. On fera apparaître la pulsation ω₀ dont on donnera l'expression en fonction de g et D.

La figure (5) représente l'évolution temporelle de la flèche adimensionnalisée f / f(0) en régime libre, depuis la situation initiale (f(0), f(0) = 0), sa pointe étant soustraite à toute influence…

En déduire l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la flèche f. On négligera ici toute cause de dissipation de l'énergie mécanique.

On observe que les objets en lévitation dans ce dispositif ont un petit mouvement d'oscillation de pulsation ω au voisinage de leurs positions d'équilibre. Déterminer l'expression de ω en fonction…

On pose z(t) = Re(Zₘ eiω t). Exprimer Zₘ, amplitude complexe de la vibration mécanique suivant l'axe vertical (Oz).

Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de l'énergie cinétique à chacune des deux phases du mouvement.

Montrer qu'il existe une valeur minimale du facteur de qualité Q à partir de laquelle l'amplitude réelle Aₘ du signal passe par un maximum pour une pulsation donnée que l'on calculera. Préciser…

En ramenant au préalable l'équation précédente à une équation différentielle du premier ordre, calculer explicitement φ(z). On rappelle la primitive ∫x dt 1/sin t = ln tan (x/2) + cste pour 0 < x <…

Représenter l'allure graphique de la dépendance de l'énergie d'interaction E₀(x) vis-à-vis de X. Indiquer les propriétés de cette interaction que ce tracé met en évidence.

Calculer la valeur de l'énergie d'interaction magnétique E₀₁ et celle de l'énergie cinétique initiale E_c,i,∞ de l'impacteur. Commenter ce résultat.

Nous supposons que la chaîne de billes transmet à la dernière bille (bille (N)) toute l'énergie cinétique de translation que l'impacteur possédait immédiatement avant son choc (soit, (1/2)mv_i,c²)…

Estimer l'ordre de grandeur de la valeur de la force de Hertz F_M correspondant à δ_M.

On n'a considéré jusqu'à présent qu'une particule portant une unique charge élémentaire. On admettra que notre approche est valable pour une particule portant une charge q plus importante en valeur…

Comme pour la plaque, on admet que le résultat obtenu reste valable lorsque x dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement des électrons sous l'effet du champ électrique, et en déduire que…

Exprimer, en fonction de K et Δ, l'énergie potentielle élastique E_C emmagasinée par la structure dans la situation de compression (b).

Justifier que la constante B ne dépend pas de la taille choisie du domaine élémentaire cubique.

Cette force est-elle conservative ? Une réponse justifiée est attendue.

En déduire l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du système constitué par le point matériel P de masse m et le ressort de masse m_r dans le référentiel galiléen R en fonction de m, m_r, k, g, l₀ et…

Quelle condition doit satisfaire m_r pour que l'écart relatif entre T₀ et T₁ ne dépasse pas 1 % ? On fera l'application numérique dans les conditions de la question précédente.

Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P vérifiée par x(t) dans le référentiel galiléen R. Que représente physiquement dE_p,P/dx(x) en termes de force ?

Montrer que l'on retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique lorsque v est petit devant c.

Calculer numériquement les valeurs manquantes (il n'est pas nécessaire de recopier tout le tableau).

Combien faut-il de cavités pour obtenir un tel changement d'énergie ? En déduire une estimation de la longueur de l'accélérateur linéaire du XFEL.

En traduisant la conservation de l’énergie mécanique de la sonde, montrer que v_e,j = v_s,j.

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

Donner la valeur de cette vitesse v_B_sans_frottement.

Déduire ainsi la norme F de la force de frottement.

Si la période d'oscillation pour le dispositif à vide vaut T₁ = 0,82 s et celle avec le spationaute qui s'y accroche vaut T = 2,15 s, déterminer la formule littérale, puis la valeur numérique de la…

Proposer une méthode simple utilisant la mesure de l'élongation d'un ressort de raideur k connue pour mesurer la masse d'un objet sur Terre. Faire un schéma explicatif et établir la formule…

Expliquer pourquoi la méthode proposée à la question Q4 ne peut pas convenir pour peser un spationaute dans l'ISS.

Si la période d'oscillation pour le dispositif à vide vaut T₁ = 0,82 s et celle avec le spationaute qui s'y accroche vaut T = 2,15 s, déterminer la formule littérale, puis la valeur numérique de la…

Résoudre l'équation précédente afin d'exprimer la hauteur critique h_c. Exprimer ensuite la période T en fonction de S, h_c et du débit volumique D_v supposé constant.

On considère un atome de lithium 6. On utilisera les données numériques figurant en bas de la page 1, en particulier la valeur de k. On fait l'hypothèse que pour décrire le mouvement de l'atome, on…

Écrire l'expression reliant F_ext,i à la fonction Uₑₓₜ.

Exprimer F_j→ i en fonction de r_i, r_j, r_ij et α.

Tracer l'allure de la fonction Uₑₓₜ(r).

Commenter brièvement l'équation différentielle (1).

On peut établir une analogie entre les oscillations de ce système mécanique et des oscillations auto-entretenues en électronique. Dans la situation que nous venons d'étudier (correspondant à la…

Indiquer pourquoi M < M.

Indiquer pour quelle(s) raison(s) la forme de la relation (4) était attendue.

Le carré de la pulsation propre s'exprime, avec les paramètres initiaux, selon la relation suivante : ω₀² = 5Eh²/(3ρ L₀⁴) Nous adoptons les valeurs suivantes : ρ = 1500 kg⁻³ ; E = 10 GPa ; L₀ = 4 cm…

Calculer numériquement R_wd dans le cas d'une masse égale à celle du Soleil et conclure.

Donner et justifier physiquement le signe de W_g. Expliquer pourquoi on nomme parfois E_ℓ = -W_g l'énergie de liaison de l'étoile.

Indiquer, avec justification, si ce passage correspond à une diminution ou à une augmentation de l'énergie mécanique de l'astéroïde.

En prenant un repère cartésien Oxy de ce plan dont l'origine coïncide avec le centre de l'atome, montrer que les coordonnées de l'électron obéissent au système d'équations suivant : x + ω₀² x = 0 y…

Application numérique : on obtient une rétrodiffusion élastique jusqu'à des énergies incidentes E_c = 40 MeV des α. Déterminer alors les dimensions du noyau. Commenter.

Effectuer l'application numérique en prenant pour rayon initial a₀ = 1,0 · 10⁻¹⁰ m. Commentaires ?

En supposant quasi-constante la puissance P fournie par les muscles pendant la phase de double contact, on évalue P par P = /τ_dc. Rappeler l'énoncé du théorème de la mécanique dont découle cette…

Obtenir l'expression du pas p_opt qui minimise P.

Application numérique : Avec l_j = 1 m, m_j = 10 kg, m_b = 60 kg, calculer p_opt dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme, pour laquelle on a alors Δ = l_j / 2 et J_O = J_F.

Application numérique : Avec l_j = 1 m, m_j = 10 kg, m_b = 60 kg, calculer p_opt dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme, pour laquelle on a alors Δ = l_j/2 et J_O = J_F.

En déduire la force de propulsion, puis la puissance de la force associées à cette vitesse.

Expliciter l'énergie potentielle de pesanteur E_p(θ) du point M en fonction de m, g, ℓ₀ et de θ. On prendra E_p(θ = π / 2) = 0.

Montrer que l'amplitude des balancements augmente.

Quelle est la longueur ℓ du ressort à l'instant initial? A) ℓ = ℓ₀ - mg/4K B) ℓ = ℓ₀ + mg/3K C) ℓ = ℓ₀ + mg/4K D) ℓ = ℓ₀ + mg/K

On suppose qu'il existe un troisième ressort de raideur k' reliant directement les deux atomes d'oxygène. Écrire l'expression de l'énergie mécanique du système.

On reprend le modèle dynamique défini par l'équation (1), dans laquelle on pose α = 0. Chercher une solution x(t) = Re(x(t)), avec x(t) fonction complexe de la forme x(t) = A eiω t + B eiω₀ t (2) où…

Exprimer les différentes puissances s'appliquant sur le système cycliste + vélo en fonction de m, v, g, ρ, α, µ_r et S Cₓ.

Caractériser le mouvement du flyer dans la direction (L₁ z). Commenter.

Donner, sur le même graphique, l'allure des courbes représentatives de l'énergie potentielle de Morse et de l'énergie potentielle harmonique approchée en fonction de la distance interatomique.

À quelles interactions correspondent les deux termes du potentiel de Lennard-Jones ?

Sur le graphique ci-après, ont été représentées les courbes : [ x/a (V(x))/Θₒ ], [ x/a ( a/x )¹² ] et [ x/a 2( a/x )⁶ ]. Identifier ces courbes.

Calculer k et ωₒ pour a = 2,0 · 10⁻¹⁰ m, Θₒ = 0,10 eV et m = 1,0 · 10⁻²⁵ kg.

Exprimer la valeur moyenne temporelle de l'énergie cinétique E_c d'un atome indicé par n en fonction de m, Uₒ et ω. En déduire l'énergie cinétique moyenne pour N atomes.

En appelant B le point de largage et en considérant toujours la même masse, exprimer la variation d'énergie cinétique entre les points A et B.

Connaissant la masse de la sonde spatiale de 3 000 kg, effectuer le calcul de cette variation d'énergie cinétique.

En supposant l'accélération de la pesanteur martienne uniforme et de valeur g = 3,7 m⁻², calculer la valeur du travail du poids entre les points A et B, noté W_AB(P).

Rappeler la signification physique d'un mouvement qualifié de « lié » pour le point M. Donner la valeur maximale de l'énergie mécanique Eₘ dans ce cas.

Justifier par un argument physique que le boulet atteint une hauteur maximale hₘₐₓ puis retombe, comme les courbes en témoignent.

Justifier par un argument physique que le boulet atteint une hauteur maximale hₘₐₓ puis retombe, comme les courbes en témoignent.

Tracer l'allure de Z(t) correspondant au régime critique dans le cas Z(t = 0) = d et Z(t = 0) = 0.

Quelles sont l'énergie cinétique, ε_k, et l'énergie potentielle, ε_p, de A ? Pour le calcul de cette dernière, la référence est prise à 0 en y = 0. A) ε_k = (m r φ²)/2 B) ε_k = (m (r φ)²)/2 C) ε_p =…

On suppose que l'électron initialement au repos est déplacé de sa position d'équilibre à t = 0 (en restant cependant à l'intérieur de la sphère de rayon r₀). Décrire qualitativement son mouvement…

Donner, sous forme d'une intégrale, l'expression de l'énergie cinétique E_c(t) du liquide à un instant t quelconque.

Donner, sous forme d'une intégrale, l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle E_p(t) du liquide à un instant t quelconque. On prendra la référence de l'énergie potentielle à l'altitude…

Rappeler l’expression de la pulsation propre ω₀ d’un ressort de raideur k supportant une masse m. Par analogie, en déduire l’expression de la pulsation propre ω₀ des oscillations verticales du…

Pour les valeurs des paramètres adoptées nous obtenons S ∼ 100. Conclure quant à l'état de stabilité de la configuration correspondant à θ=0.

Indiquer à quelle condition l'approximation linéaire associée à la loi de HOOKE se justifie.

Indiquer comment se traduit, dans le cadre de la flexion, la condition de linéarité donnée en réponse à la question (26). On fera porter cette condition sur e et |R|.

Exprimer, en fonction de G, M et r, l'énergie mécanique totale du système. Commenter brièvement le signe de l'expression obtenue.

À partir des caractéristiques de la grue, exprimer en fonction de T et de vₘₐₓ la puissance P_u que peut développer le treuil pour la tension maximale T du câble si celui-ci est enroulé à la vitesse…

En réalité, la mise à l'eau du bateau est faite à vitesse constante de 0,5 m⁻¹. Quelle doit être la puissance de freinage développée par le treuil ?

Exprimer, en fonction de U₀ et de U_fin = U_seuil + 0,1 V, le pourcentage d'énergie restante dans le condensateur lorsque la DEL cesse d'émettre de la lumière par rapport à l'énergie initiale…

De même, est-il correct d'affirmer que les branches d'un diapason de fréquence propre f₀ oscillent à la fréquence f₀ après percussion ?

Pour un sismographe, le facteur de qualité est toujours très élevé. Quelle est alors l'équation obtenue en simplifiant la relation précédente si on se place dans le cas idéal où le facteur de…

On considère que le moment du couple moyen exercé sur le pédalier correspond à la moyenne des 2 valeurs précédentes. Sachant que le pédalier tourne à la vitesse constante ω = 10 rad⁻¹, évaluer la…

Un autre skieur, moins aguerri, se retrouve confiné au voisinage de C et oscille, d'avant en arrière, dans un mouvement de très faible amplitude. Quelle est la période T de ses oscillations ? A) T =…

Définir le travail élémentaire par unité de volume δ w fourni par une contrainte σ au cours d'une déformation infinitésimale dε.

Déterminer δ w dans le cas où ε(t) = ε₀ cos (ω t) et σ(t) = σ₀ cos (ω t + φ). On mettra l'expression de δ w sous la forme suivante : δ w = δ w₁ + δ w₂, avec δ w₁ = -ωσ₀ε₀ cos φ cos ω t sin ω t dt et…

À partir des questions 40 et 41, déterminer tan φ et en donner une signification à partir de grandeurs énergétiques pour un matériau visco-élastique linéaire.

Identifier le paramètre électrocinétique responsable de la dissipation dans le système. Est-ce cohérent avec le modèle électromécanique ?

Indiquer quelle signification physique il convient d'attribuer aux «ressorts» représentés sur la figure (2). Préciser alors la condition, portant sur la variable x_B, que cette modélisation…

Vérifier que les expressions trouvées conduisent bien à la pulsation ω₁ du premier mode (se reporter aux questions (12) et (16)).

Donner l'expression de l'énergie cinétique E_cm et de l'énergie potentielle E_pm d'une particule de masse mₘ de ce gaz. Pourquoi observe-t-on qu'à température ambiante ces molécules ne se regroupent…

Dans un environnement terrestre, proposer une évaluation numérique de la variation d'énergie potentielle du marteau lorsque THOR l'utilise pour frapper des rochers. Commenter le résultat en sachant…

Exprimer la période T des oscillations de tige en fonction de α et de T₀. Commenter le choix de α.

Déterminer la longueur du pendule permettant d'obtenir une période des oscillations égale à 2 s. Pourquoi dit-on dans ce cas que le pendule bat la seconde ?

En déduire l'expression de la position angulaire en fonction du temps et l'expression de la période du mouvement.

Quelle est l'unité SI (Système International des unités) et la dimension physique d'une pulsation propre ? A) Unité: s⁻¹ B) Unité: rad.s⁻¹ C) La dimension physique est celle de l'inverse d'une…

Quelles sont les affirmations exactes: A) Une pulsation au carré est homogène à une force par unité de masse. B) Une pulsation au carré est homogène à une force par unité de longueur. C) Une…

La masselotte précédente et ses deux ressorts sont maintenant disposés verticalement, c'est-à-dire dans la direction du vecteur champ de pesanteur g (Figure 2). Quelle est la nouvelle pulsation…

On étudie à présent le mouvement propre d'une étoile, c'est-à-dire par rapport au mouvement de rotation de la Galaxie. On peut isoler le mouvement selon l'axe z, qui est celui étudié dans cette…

Tracer Eₜₒₜ en fonction des valeurs possibles de M_2z = M₂ · u_z. Identifier les états d'équilibre de l'aimantation, et distinguer les équilibres stables et instables.

Exprimer la barrière d'énergie Δ E > 0, définie comme la différence d'énergie entre état instable et état stable.

Dans la suite, nous allons supposer que ω₁ = ω₂. Justifiez cette approximation en vous appuyant sur le texte.

Calculer la valeur numérique de la fréquence f₀ correspondant à ω₀.

Comparer à f₀ la pseudo-fréquence f_exp des oscillations du flotteur estimée à partir de la figure (2).

Dans le cas où Y₀ = H/2, exprimer Ω₀² en fonction de g et ℓ.

Calculer la valeur de la période T₀ associée à Ω₀.

Nous posons K = 3D/L³. Exprimer, en fonction de K, L et F, la flèche f et l'angle θ (définis sur la figure (1)).

Exprimer l'énergie mécanique totale E de la lame lorsqu'elle oscille et que la pointe est en interaction avec la surface. On fera apparaître le paramètre r_A et la variable f (flèche). On…

La situation illustrée par la figure (7) correspondrait à une expérience réalisée à la pression atmosphérique. Indiquer comment, en pratique, il serait possible d'augmenter |s_i|.

Déterminer l'énergie potentielle V(x) associée à F₂. Cette énergie potentielle peut-elle concerner une entité possédant un centre de symétrie en O ?

Pourquoi l'atome absorbe-t-il de l'énergie à chaque cycle du champ électrique ?

Pour des ondes de gravité, quel type d'énergie, autre que l'énergie cinétique, est mis en jeu lors de la formation d'une vague d'une hauteur a, d'une longueur d'onde λ ?

Un bateau de plaisance de 52 pieds est vendu typiquement avec un moteur d'une puissance de 715 chevaux-vapeur : comparer et conclure.

Indiquer à quel type de forces correspondent -kz et -α dz/dt. Expliquer qualitativement quelles caractéristiques de la poutre sont modélisées par ces forces.

Décrire, à cette pulsation, le mouvement du centre d'inertie de la poutre.

Sur un schéma, représenter les forces qui s'exercent sur le palet. Ces forces ont-elles un caractère moteur, résistant ou sont-elles sans effet lors du mouvement du palet vers le haut du plan…

Les forces de frottements sont-elles conservatives ?

Calculer le travail de la composante tangentielle R_T de l'action de la glace sur le palet lors du déplacement du palet.

Dans le cas d'oscillations de faible amplitude au voisinage de la position d'équilibre, réécrire l'équation (1). L'équation obtenue sera notée (2).

En déduire l'expression de la période des oscillations.

Le mouvement est-il pendulaire ou révolutif ? Expliquer.

Exprimer, en fonction de E₀₁ et N, la hauteur Δ_N de la barrière d'énergie potentielle que la bille (N) doit franchir pour être libérée de l'attraction qu'exerce sur elle la bille (0). Établir la…

Nous supposons que la condition établie en réponse à la question (8) est satisfaite et que Δ_N ≪ |E₀₁|. Par ailleurs, nous considérons que, dès la perte de contact de la bille (N) avec la bille (N -…

En vue de définir des conditions de fonctionnement du canon adaptées au besoin, indiquer comment varie, avec le diamètre a des billes, d'une part la vitesse v_N,∞, d'autre part l'énergie cinétique…

Une bille entre en contact, animée de la vitesse v₀, avec une autre bille dont le centre est maintenu fixe. Exprimer, en fonction de leur masse m, de q et de v₀, le recouvrement maximal δ_M atteint…

On assimile pour simplifier l'atome d'argon à un atome d'hydrogène, comme à la question 1. Lorsque l'atome est éclairé par le laser, l'électron voit le champ électrique du noyau et celui du laser…

L'électron est dans un état d'énergie mécanique -I_P. Montrer que si E₀ dépasse une valeur dite de « saturation » et notée E_sat, l'électron échappe à l'attraction du noyau et part à l'infini…

Calculer l'énergie cinétique moyenne de l'électron, notée U_P, en régime sinusoïdal forcé où x(t) est périodique. On exprimera U_P en fonction de eE₀, m et ω.

Exprimer E_c(t_r) en fonction de U_P, ω t_i et ω t_r.

Pourquoi faut-il que q_i ne soit pas trop petit pour satisfaire aux critères d'une lévitation stable définie dans l'énoncé ?

On considère enfin le cas d'un cylindre métallique de rayon R et de longueur L avec L ≫ R, et un mouvement d'oscillation des électrons parallèlement à l'axe du cylindre. La charge surfacique…

Exprimer θ et le rapport R/L₀ en fonction du rapport ε = Δ/L₀.

Déduire de ces résultats la condition, portant sur ε, assurant que les deux hypothèses Δ ≪ L₀ ≪ R se trouvent simultanément vérifiées.

Exprimer, en fonction de K, L₀, a et Δ, l'énergie potentielle élastique E_F emmagasinée par la structure dans la situation de flexion (c).

Déterminer la puissance des efforts extérieurs et la puissance intérieure, en précisant les différents termes qui interviennent.

Représenter l'allure graphique de la dépendance de N vis-à-vis de ε. On précisera la valeur prise par N pour ε > ε_s, dans le cadre du modèle de flexion adopté. Commenter brièvement ce résultat.

Déterminer l'énergie cinétique de l'ensemble en mouvement.

Traduire, sur le rapport a/L₀, la condition de respect des hypothèses Δ ≪ L₀ ≪ R établie en réponse à la question (3). Commenter ce résultat.

Montrer, en précisant le théorème utilisé et le système étudié, que l'équation de mouvement obtenue prend la forme suivante : J θ + ν θ + f(θ) = C₁ + C₂ - C_s (3) On donnera l'expression des…

Application : La raideur k (axiale) d'une tige homogène rectiligne, de section uniforme S et de longueur ℓ, est reliée au module d'élasticité longitudinale (ou module de Young) Y du matériau la…

Déterminer la relation linéaire reliant θ et Δ C. Préciser l'expression de C₀.

Indiquer à quelles conditions, portant sur la fonction u = u(y, z) (voire également certaines de ses dérivées) et le paramètre a₀, l'hypothèse H_u est justifiée, c'est-à-dire que le cristal liquide…

Nous nous plaçons dans une situation telle que la fonction u = u(y, z) ne dépend pas de y (état de simple extension – ou compression). Établir que l'énergie e_E alors emmagasinée, par unité de…

Cette densité volumique d'énergie de flexion peut également s'écrire sous la forme suivante (toujours dans le cadre des hypothèses adoptées) : e_F,y = 1/2 F ((∂ n_y)/(∂ y))² où n_y = n_y (5) Cette…

Pour d₀ ∼ 0,1 mm et λ ∼ a₀ ∼ 5 nm, nous obtenons les valeurs suivantes : k ∼ 3 × 10⁴ m⁻¹ ; α_s ∼ 3 × 10⁻⁴ ; q_s ∼ 2 × 10⁶ m⁻¹. Vérifier que ces résultats justifient les hypothèses adoptées, en…

La figure (8) présente la dépendance de q_s² vis-à-vis de 1/d₀, obtenue expérimentalement (cristal liquide cyanobenzilidène octyloxyaniline, ou CBOOA, à T = 78 °C). Vérifier que ces données…

On s'intéresse d'abord aux particules vérifiant la relation (1) dans le cas de la limite classique, lorsque E_c ≪ E₀. En vous limitant au premier ordre non nul, donner dans ce cas une expression de…

La résistance électrique du système est notée R. On définit le rendement de propulsion η comme le rapport de l'énergie cinétique emportée par le projectile à l'énergie électrique nécessaire au tir…

On considère que z - z₀ est assez faible pour qu'on puisse se contenter d'un développement au premier ordre en z - z₀. Montrer l'équation de Brunt–Väisälä : z + N² z = cte avec N² = g [ 1/h_air -…

Conclure quant à la stabilité de l'atmosphère relativement aux mouvements verticaux de l'air.

Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente en supposant qu'à t = 0, le point matériel P est lâché sans vitesse initiale de la position l(t = 0) = L > 0. On fera apparaître…

Établir l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E_p,p associée au ressort en fonction de m_r, g et l.

Établir l'expression de l'énergie cinétique E_c du ressort en fonction de m_r et l.

Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P vérifiée par l(t) dans le référentiel galiléen R. Commenter.

Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente en supposant qu'à t = 0, le point matériel P est lâché sans vitesse initiale de la position l(t = 0) = L. On fera apparaître une…

Établir l'expression de l'énergie potentielle E_p,P du point matériel P en fonction de k, l₀, l_c et x en prenant l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur en O' et celle de l'énergie…

Dans quel cas peut-on parler de barrière de potentiel ? Préciser sa hauteur U_b en fonction des données.

Transformer l'équation différentielle du mouvement en 2 équations différentielles d'ordre 1 en variables u₀(t) = x(t) et u₁(t) = x(t). En introduisant les estimations u_0,n de u₀(t) et u_1,n de…

Comparer le plus précisément possible la nature du mouvement dans les 2 cas.

Les 2 cas A et B correspondent à deux types de mouvements différents du point P. Dans le cas où les conditions initiales sont du type x(t = 0) = X₀ > 0 et x(t = 0) = 0, établir la condition que doit…

Commenter cette affirmation et préciser en fonction de la valeur de l_c les signes des constantes αₘ et βₘ. Réécrire alors l'équation différentielle du mouvement du point matériel P vérifiée par…

Commenter et interpréter précisément les allures des tensions x(t) et x(t) dans les 2 cas C et D en faisant le lien avec les questions précédentes. Quelle propriété possède le circuit vis-à-vis de…

Exprimer en fonction de m, g, d et θ l'énergie potentielle de pesanteur du grain mobile. Montrer qu'il existe une valeur minimale αₘin de α qui empêche la position initiale de former un équilibre…

On ne suppose pas forcément que α > αₘin mais, sous l'influence par exemple du vent, le grain étudié débute en G_i un mouvement de translation circulaire de centre O avec la vitesse v_i. En…

Avant de recommencer à tourner autour du grain suivant, l'arrivée en G_f se traduit par un choc avec dissipation d'une fraction ε de l'énergie cinétique ; ainsi la translation circulaire suivante…