Corrigé détaillé ENS Physique PSI 2020, épreuve U (page 2/4 : Partie 1 (questions 13 à 24))

L'énergie de Zeeman est donnée par l'expression (12) :

La norme de l'aimantation étant fixée à \|\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x})\| = M_{\mathrm{s}} en tout point, la quantité sous l'intégrale vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

avec égalité si et seulement si \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}) est colinéaire et de même sens que \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{x}) (en tout point où \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{x}) \neq \boldsymbol{0}).

L'énergie E_{\mathrm{ext}} est donc minimale pour une aimantation alignée parallèlement et dans le même sens que le champ magnétique extérieur appliqué :

Si en particulier le champ externe \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}} est uniforme, la configuration favorisée est une aimantation uniforme \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}) = M_{\mathrm{s}} \frac{\boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}}{\|\boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}\|}.

Le carré de la norme du vecteur aimantation perturbé s'écrit :

Au premier ordre par rapport à la perturbation infinitésimale \|\delta \boldsymbol{M}\| \ll M_{\mathrm{s}}, le terme quadratique \|\delta \boldsymbol{M}\|^{2} est négligeable, de sorte que la variation de \|\boldsymbol{M}\|^{2} s'écrit :

D'après l'énoncé, la norme de l'aimantation est uniforme et constante en tout point et à tout instant :

Il en résulte que la norme de l'aimantation ne varie pas sous l'effet de la perturbation, c'est-à-dire :

On en déduit donc immédiatement :

Cette condition scalaire nulle signifie que la variation \delta \boldsymbol{M} est orthogonale au vecteur \boldsymbol{M} en tout point de l'échantillon. La contrainte de norme constante impose ainsi de ne considérer que des variations purement transverses de l'aimantation.

L'énergie de Zeeman s'écrit d'après la relation (12) :

La variation infinitésimale de cette énergie lors d'une perturbation \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M} est donnée par :

D'après la question Q14, la conservation de la norme de l'aimantation impose que la variation \delta \boldsymbol{M} soit transverse, paramétrable sous la forme \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu}, où \delta \boldsymbol{\mu} est un vecteur infinitésimal arbitraire. Le terme scalaire sous l'intégrale devient donc :

En utilisant la symétrie du produit scalaire et l'identité mathématique du formulaire rappelant la permutation circulaire du produit mixte, (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) :

En réinjectant cette identité dans l'intégrale, on obtient :

L'énergie d'anisotropie est donnée par l'équation (6) :

Considérons une variation infinitésimale de l'aimantation \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M}. Au premier ordre en \delta \boldsymbol{M}, le terme quadratique dans l'intégrale s'écrit :

La variation au premier ordre de l'énergie d'anisotropie est donc :

D'après la question Q14, la contrainte de norme constante \|\boldsymbol{M}\| = M_{\mathrm{s}} permet d'écrire \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu}. En utilisant l'identité du produit mixte rappelée dans le formulaire, (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}), on a :

En reportant cette relation dans l'intégrale, on obtient directement :

D'après l'équation (5) établie à la question Q6, l'énergie d'échange s'écrit :

Effectuons une variation infinitésimale de l'aimantation \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M}. Au premier ordre en \delta \boldsymbol{M}, la variation de chaque terme quadratique s'écrit :

La variation au premier ordre de l'énergie d'échange est donc :

Utilisons l'identité d'intégration par parties fournie dans les rappels mathématiques :

avec \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\nabla} M_k, G = \delta M_k, et \mathrm{d}^2\boldsymbol{S} = \mathrm{d}^2x \, \boldsymbol{n}. Il vient :

L'intégrale se réécrit donc :

En sommant sur k \in \{x,y,z\}, on reconnaît les produits scalaires vectoriels :

On obtient ainsi :

En injectant l'expression de la variation transverse \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu} et en utilisant l'identité du produit mixte rappelée dans l'énoncé, (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) :

On en déduit finalement l'expression demandée :

D'après l'équation (10) établie à la question Q11, l'énergie de démagnétisation s'écrit :

Pour un échantillon ellipsoïdal dont les axes principaux coïncident avec (O, \boldsymbol{u}_x, \boldsymbol{u}_y, \boldsymbol{u}_z), le champ démagnétisant est donné par l'équation (11) :

Le terme d'interaction s'écrit donc localement :

Sous une variation infinitésimale \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M}, la variation au premier ordre de ce produit scalaire vaut :

On en déduit la variation de l'énergie de démagnétisation :

En utilisant la paramétrisation transverse \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu} introduite à la question Q14, l'intégrand devient :

D'après l'identité vectorielle du formulaire (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) avec \boldsymbol{a} = \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}}, \boldsymbol{b} = \boldsymbol{M} et \boldsymbol{c} = \delta \boldsymbol{\mu}, on a :

On obtient finalement l'expression demandée :

L'énergie totale s'écrit d'après l'équation (1) de l'énoncé :

Par linéarité de l'opérateur de variation différentielle au premier ordre :

En rappelant les résultats établis aux questions précédentes :

• d'après la question Q15 : \delta E_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{M}) = -\displaystyle\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}} \wedge \boldsymbol{M}) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} ;

• d'après la question Q16 :

  \delta E_{\mathrm{ani}}(\boldsymbol{M}) = -2K_{\mathrm{a}} \int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \cdot \boldsymbol{M})(\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \wedge \boldsymbol{M}) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} = -\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, \left( \left[ 2K_{\mathrm{a}}(\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \cdot \boldsymbol{M})\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \right] \wedge \boldsymbol{M} \right) \cdot \delta \boldsymbol{\mu}

• d'après la question Q17 :

  \delta E_{\mathrm{ech}}(\boldsymbol{M}) = -\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, \left( [2A_{\mathrm{ech}}\nabla^2\boldsymbol{M}] \wedge \boldsymbol{M} \right) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} + 2A_{\mathrm{ech}} \int_{\mathcal{S}} \mathrm{d}^2x \, [(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{M}] \cdot \delta \boldsymbol{\mu}
• d'après la question Q18 : \delta E_{\mathrm{dem}}(\boldsymbol{M}) = -\displaystyle\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\mu_0\boldsymbol{H}_{\mathrm{m}} \wedge \boldsymbol{M}) \cdot \delta \boldsymbol{\mu}.

En sommant ces quatre termes, les quatre intégrales volumiques se regroupent sous la forme :

avec le champ magnétique effectif :

D'après l'équation (18) établie à la question précédente, la variation au premier ordre de l'énergie totale s'écrit, pour une configuration d'équilibre \boldsymbol{M}_0 :

Cette égalité doit être satisfaite pour tout champ de vecteurs infinitésimaux \delta\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}) défini sur \mathcal{V} \cup \mathcal{S}.

1. Équation en volume : On peut en particulier choisir une variation \delta\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}) à support compact inclus dans l'intérieur ouvert de \mathcal{V}, de sorte que \delta\boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{0} sur \mathcal{S}. L'intégrale de surface s'annule, ce qui impose :

   \int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} \wedge \boldsymbol{M}_0) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} = 0.

   Cette relation devant être vérifiée pour tout \delta\boldsymbol{\mu} arbitraire dans \mathcal{V}, le lemme fondamental du calcul des variations impose l'annulation locale du terme sous l'intégrale :

   \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} \wedge \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = \boldsymbol{0} \quad \text{pour tout } \boldsymbol{x} \in \mathcal{V}.

2. Condition aux limites en surface : L'équation en volume étant satisfaite en tout point de \mathcal{V}, le terme d'intégrale de volume est identiquement nul quelle que soit l'extension de \delta\boldsymbol{\mu} à la surface. La condition d'équilibre se réduit donc à :

   2 A_{\mathrm{ech}} \int_{\mathcal{S}} \mathrm{d}^2x \, [(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0] \cdot \delta \boldsymbol{\mu} = 0.

   Puisque cette égalité est vraie pour toute variation \delta\boldsymbol{\mu} arbitraire sur la frontière \mathcal{S} et que A_{\mathrm{ech}} \neq 0, le terme sous l'intégrale de surface est lui aussi identiquement nul :

   (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{0} \quad \text{pour tout } \boldsymbol{x} \in \mathcal{S}.

Les états d'équilibre vérifient donc bien le système d'équations de Brown :

Le champ magnétique total est donné par \boldsymbol{B} = \mu_0(\boldsymbol{M}_0 + \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}}). D'après la relation (11) admise dans cette géométrie, sa composante selon \boldsymbol{u}_z s'écrit :

L'aimantation \boldsymbol{M}_0 étant invariante par translation selon x et y, toutes les grandeurs ne dépendent que de la coordonnée z. L'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) s'écrit :

ce qui implique que la composante B_z est spatialement uniforme :

Les conditions aux limites aux bords des domaines semi-infinis imposent :

En projetant sur \boldsymbol{u}_z, on a \lim_{z \to \pm \infty} M_{0z}(z) = 0, d'où \lim_{z \to \pm \infty} B_z(z) = 0. La constante étant nulle, il vient :

Comme N_z < 1, le facteur (1 - N_z) n'est pas nul, ce qui impose :

D'après le repérage en coordonnées sphériques (Figure 2), la projection de \boldsymbol{M}_0 sur l'axe \boldsymbol{u}_z vaut :

Comme M_{\mathrm{s}} > 0 et \theta \in [0, \pi], l'annulation de M_{0z} entraîne :

L'angle \theta est donc constant et vaut :

Pour \theta = \pi/2, l'aimantation \boldsymbol{M}_0(z) est confinée dans le plan (x, y) :

Les vecteurs du repère sphérique local s'écrivent :

Le vecteur \boldsymbol{u}_\theta est orthogonal au plan (x, y) et dirigé selon -\boldsymbol{u}_z.

D'après la question Q19, avec \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}} = \boldsymbol{0}, \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}} = \boldsymbol{0} et \boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} = \boldsymbol{u}_x, le champ effectif se réduit à :

1. Contribution de l'anisotropie : Puisque \boldsymbol{u}_x \cdot \boldsymbol{M}_0 = M_{\mathrm{s}}\cos\varphi et \boldsymbol{u}_x = \cos\varphi\,\boldsymbol{u}_r - \sin\varphi\,\boldsymbol{u}_\varphi, on a :

   \boldsymbol{B}_{\mathrm{ani}} = 2 K_{\mathrm{a}} M_{\mathrm{s}}\cos\varphi \left(\cos\varphi\,\boldsymbol{u}_r - \sin\varphi\,\boldsymbol{u}_\varphi\right).

2. Contribution de l'échange : L'aimantation ne dépendant que de z, le laplacien vectoriel se réduit à la dérivée seconde par rapport à z :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}_0}{\mathrm{d}z} &= M_{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\left(-\sin\varphi\,\boldsymbol{u}_x + \cos\varphi\,\boldsymbol{u}_y\right) = M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\,\boldsymbol{u}_\varphi, \\ \frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{M}_0}{\mathrm{d}z^2} &= M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}z^2}\,\boldsymbol{u}_\varphi + M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}_\varphi}{\mathrm{d}z} = M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}z^2}\,\boldsymbol{u}_\varphi - M_{\mathrm{s}}\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\right)^2\boldsymbol{u}_r. \end{aligned}

   D'où :

   \boldsymbol{B}_{\mathrm{ech}} = 2 A_{\mathrm{ech}} M_{\mathrm{s}}\left[ -\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\right)^2\boldsymbol{u}_r + \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}z^2}\,\boldsymbol{u}_\varphi \right].

Le champ effectif total n'a aucune composante selon \boldsymbol{u}_z (donc selon \boldsymbol{u}_\theta). On obtient donc :

Dans la base sphérique locale (\boldsymbol{u}_r, \boldsymbol{u}_\theta, \boldsymbol{u}_\varphi), l'aimantation s'écrit \boldsymbol{M}_0 = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r. Le champ effectif se décompose sous la forme :

Le produit vectoriel régissant la première équation de Brown (19) vaut donc :

L'équation d'équilibre \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = \boldsymbol{0} équivaut donc au système :

D'après la question Q22, la première condition B_{\mathrm{eff}, \theta} = 0 est identiquement satisfaite. La seconde condition B_{\mathrm{eff}, \varphi} = 0 s'écrit, en reprenant l'expression trouvée en Q22 :

Comme M_{\mathrm{s}} \neq 0, on simplifie par M_{\mathrm{s}} :

On remarque que 2 \cos\varphi \sin\varphi = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi}(\sin^2\varphi) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi}(\cos^2\varphi). L'équation d'équilibre prend alors exactement la forme :

avec

D'après la question Q23, l'angle \varphi(z) vérifie :

avec \epsilon_{\mathrm{ani}}(\varphi) = K_{\mathrm{a}}\sin^{2}\varphi.

En multipliant cette équation par \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}, on reconnaît une dérivée totale :

soit l'équation différentielle du premier ordre :

Loin de la paroi (z \to -\infty), l'aimantation est uniforme selon \boldsymbol{u}_{x} : \lim_{z\to -\infty}\boldsymbol{M}_{0} = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_{x}, d'où \varphi \to 0 et \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z} \to 0. Comme \sin(0) = 0, la constante d'intégration est nulle :

Puisque \varphi(z) croît continûment de 0 à \pi pour z variant de -\infty à +\infty, on a \sin\varphi \ge 0 et \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z} \ge 0. En introduisant la longueur typique :

l'équation se réduit à :

Par séparation des variables :

En intégrant à l'aide de la primitive fournie :

La condition \varphi(0) = \frac{\pi}{2} impose \ln\left(\tan\frac{\pi}{4}\right) = \ln(1) = 0 = C, d'où :

soit l'expression explicite du profil de la paroi de Bloch :

La longueur typique qui gouverne la largeur de la zone de transition entre les deux domaines magnétiques est :

Application numérique :
Comme A_{\mathrm{ech}} = J/a, on a :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• a \approx 5 \times 10^{-10}\text{ m}
• J M_{\mathrm{s}}^{2} \approx 1 \times 10^{-20}\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}
• K_{\mathrm{a}} M_{\mathrm{s}}^{2} \approx 1 \times 10^{6}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}

On obtient :

Avec un chiffre significatif :