Corrigé détaillé ENS Physique PSI 2020, épreuve U (page 3/4 : Partie 2)

Le moment cinétique d'un point matériel de masse m et de vitesse \boldsymbol{v} par rapport à une origine O est défini par :

En termes de dimensions physiques :

Dans les unités de base du Système international (\mathrm{m}, \mathrm{kg}, \mathrm{s}, \mathrm{A}, \mathrm{K}), le moment cinétique \boldsymbol{J} s'exprime donc en :

Considérons un électron de masse m_e et de charge -e décrivant à vitesse constante v une trajectoire circulaire de rayon r et de période de révolution T = \frac{2\pi r}{v}.

Expression du moment magnétique orbital Le passage régulier de la charge -e à travers une section quelconque de l'orbite équivaut à un courant électrique stationnaire :

où l'orientation positive de la boucle est choisie dans le sens de parcours de l'électron, caractérisé par le vecteur normal unitaire \boldsymbol{n}.

L'aire délimitée par la trajectoire étant \mathcal{S} = \pi r^2, le vecteur surface s'écrit \boldsymbol{S} = \pi r^2 \boldsymbol{n}. Le moment magnétique associé à cette spire élémentaire vaut :

Expression du moment cinétique orbital En mécanique du point, le moment cinétique orbital par rapport au centre de l'atome s'écrit, compte tenu de l'orthogonalité de \boldsymbol{r} et \boldsymbol{v} :

Relation de proportionnalité et rapport gyromagnétique En comparant les deux expressions vectorielles, on obtient :

On a bien la relation demandée \boldsymbol{\mu} = -\gamma_L \boldsymbol{L}, avec :

Application numérique Avec les données de l'énoncé :

• e \approx 1,6 \times 10^{-19}\text{ A}\cdot\text{s} ;
• m_e \approx 9,1 \times 10^{-31}\text{ kg}.

Avec un chiffre significatif :

L'aimantation uniforme du milieu macroscopique est reliée au moment magnétique microscopique par \boldsymbol{M}(t) = \rho \boldsymbol{\mu}(t), où \rho est la densité volumique de moments magnétiques, constante et uniforme. En multipliant l'équation de Larmor (22) par \rho et en remplaçant le champ magnétique \boldsymbol{B} par le champ magnétique effectif \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}, on obtient directement l'équation d'évolution :

Pour vérifier la conservation de la norme de l'aimantation \|\boldsymbol{M}(t)\|, dérivons le carré de sa norme par rapport au temps :

En utilisant l'équation d'évolution de Larmor établie à la question précédente :

puisque le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est nul (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{M} = \boldsymbol{0}), ce qui assure que \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} est orthogonal à \boldsymbol{M}.

On en déduit immédiatement :

L'équation de Larmor conserve donc bien la norme de l'aimantation :

Un état de l'aimantation est qualifié de stationnaire si le vecteur aimantation \boldsymbol{M} est indépendant du temps, c'est-à-dire si :

D'après l'équation de Larmor établie à la question Q27 :

Le rapport gyromagnétique étant strictement positif (\gamma > 0), la condition de stationnarité s'écrit de manière équivalente :

On retrouve précisément la première équation de Brown (19) régissant les états d'équilibre statique \boldsymbol{M}_0 dans le volume \mathcal{V} de l'échantillon :

Les états stationnaires de l'évolution dynamique coïncident donc rigoureusement avec les configurations d'équilibre statique de Brown.

Puisque le champ effectif \boldsymbol{B}_0 est statique (\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}_0}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}), la dérivée temporelle de l'énergie totale E_{\mathrm{tot}} = -\mathcal{V}\boldsymbol{M}(t)\cdot \boldsymbol{B}_0 s'écrit :

D'après l'équation de Larmor établie à la question Q27, \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} = -\gamma \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0. On en déduit :

Le vecteur \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0 étant orthogonal à \boldsymbol{B}_0, le produit scalaire (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{B}_0 est identiquement nul :

L'énergie totale étant conservée, la composante de l'aimantation colinéaire au champ \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{B}_0 = -E_{\mathrm{tot}}/\mathcal{V} reste strictement constante au cours du temps. L'aimantation précesse indéfiniment autour de l'axe de \boldsymbol{B}_0 à angle constant, sans jamais se rapprocher de la direction du champ.

Par conséquent, pour une condition initiale quelconque où \boldsymbol{M} n'est pas initialement aligné avec \boldsymbol{B}_0, l'équation de Larmor ne permet pas de rendre compte de la relaxation vers l'état d'équilibre stable d'énergie minimale \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{\|\boldsymbol{B}_0\|}.

Considérons une charge électrique q décrivant une trajectoire circulaire de rayon r à la vitesse \boldsymbol{v}.

Par renversement de la flèche du temps (t \mapsto -t), la position de la charge est inchangée mais sa vitesse change de signe :

Le courant électrique I, qui correspond au flux temporel de charges, change donc de signe (I \mapsto -I) puisque la charge parcourt la boucle dans le sens rétrograde.

D'après la loi de Biot et Savart (ou le théorème d'Ampère), le champ magnétique créé par un circuit parcouru par un courant I s'écrit sous la forme :

Comme la géométrie spatiale est inchangée et que le courant I est inversé, le champ magnétique est inversé sous renversement du temps :

Le champ magnétique \boldsymbol{B} est une grandeur impaire par renversement du temps.

1. Transformation de \boldsymbol{µ} et de \boldsymbol{M} :

Le moment magnétique orbital d'un électron s'écrit \boldsymbol{\mu} = -\gamma_L \boldsymbol{L} avec \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \wedge \boldsymbol{p} = m_e \, \boldsymbol{r} \wedge \boldsymbol{v}. Lors de l'opération de renversement du temps t \mapsto -t :

• la position est invariante : \boldsymbol{r} \mapsto \boldsymbol{r} ;
• la vitesse change de signe : \boldsymbol{v} \mapsto -\boldsymbol{v} ;
• le moment cinétique est donc impair : \boldsymbol{L} \mapsto -\boldsymbol{L}.

Il en va de même pour le spin intrinsèque \boldsymbol{S} et le moment cinétique total \boldsymbol{J}. Par conséquent, le moment magnétique est impair par renversement du temps :

L'aimantation \boldsymbol{M} représentant le moment magnétique par unité de volume (\boldsymbol{M} = \rho \boldsymbol{\mu}), le volume étant d'origine purement spatiale et donc invariant sous t \mapsto -t, elle se transforme de la même manière :

2. Transformation de l'équation de Larmor :

Considérons l'équation de Larmor (22) régissant l'évolution du moment magnétique :

Sous la transformation temporelle t' = -t :

• L'opérateur de dérivation temporelle change de signe : \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mapsto -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}.

• Le membre de gauche devient :

  \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mu}}{\mathrm{d}t} \longmapsto \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\right)\big(-\boldsymbol{\mu}(t')\big) = +\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mu}}{\mathrm{d}t'}

• Pour le membre de droite, sachant que \boldsymbol{B} \mapsto -\boldsymbol{B} (d'après la question Q31) et \boldsymbol{\mu} \mapsto -\boldsymbol{\mu} :

  -\gamma \boldsymbol{\mu} \wedge \boldsymbol{B} \longmapsto -\gamma (-\boldsymbol{\mu}) \wedge (-\boldsymbol{B}) = -\gamma \boldsymbol{\mu} \wedge \boldsymbol{B}

L'équation de Larmor s'écrit donc dans le sens rétrograde du temps :

(Le même raisonnement s'applique rigoureusement à l'équation pour \boldsymbol{M}(t) avec \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}).

La dérivée par rapport au temps du carré de la norme de l'aimantation s'écrit :

En effectuant le produit scalaire de l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (23) avec le vecteur \boldsymbol{M}, on obtient :

Par propriété du produit vectoriel, pour tout vecteur \boldsymbol{u} et tout vecteur \boldsymbol{v}, le vecteur \boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} est orthogonal à \boldsymbol{u}, ce qui implique l'annulation du produit mixte :

En appliquant cette propriété aux deux termes du membre de droite :

On en déduit immédiatement :

La norme de l'aimantation est donc rigoureusement constante au cours du temps, fixée par sa valeur initiale \|\boldsymbol{M}(t=0)\| = M_{\mathrm{s}} :

L'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (23) s'écrit :

Prenons le produit vectoriel à gauche par \boldsymbol{M} de chaque membre :

D'après la formule du double produit vectoriel rappelée dans le formulaire, \boldsymbol{a} \wedge (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}), on développe le dernier terme :

Comme \|\boldsymbol{M}\| = M_{\mathrm{s}} = \text{cste}, on a d'après la question Q33 :

Le double produit vectoriel se simplifie donc en :

d'où l'expression :

En réinjectant cette expression dans l'équation de LLG initiale (23), il vient :

En regroupant les termes en \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} dans le membre de gauche :

En divisant par (1 + \alpha^2), on obtient la forme de Landau-Lifshitz (24) :

avec :

Comme le coefficient d'amortissement sans dimension vérifie \alpha \ll 1 (typiquement \alpha \approx 2 \times 10^{-3}, soit \alpha^2 \approx 4 \times 10^{-6} \ll 1), un développement limité au premier ordre non nul donne :

L'écart relatif entre \gamma_{\mathrm{LL}} et \gamma est de l'ordre de \alpha^2 \sim 10^{-6}, ce qui justifie parfaitement l'approximation :

L'équation de Landau-Lifshitz (24) s'écrit sous la forme :

où les deux moments agissant sur l'aimantation sont :

Plaçons-nous dans les conditions de l'énoncé : \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = B_{\mathrm{eff}}\boldsymbol{u}_z (avec B_{\mathrm{eff}} > 0) et \varphi = \pi/2. D'après les relations usuelles du repère sphérique :

l'aimantation \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r est intégralement contenue dans le plan (y, z). Les vecteurs unitaires orthoradiaux s'écrivent :

Calculons les deux moments :

• Moment de précession :

  \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = (M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r) \wedge (B_{\mathrm{eff}}\boldsymbol{u}_z) = -M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_\varphi = M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_x.

  Par conséquent :

  \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{prec}} = -\gamma_{\mathrm{LL}} M_{\mathrm{s}} B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_x.

  Le repère (\boldsymbol{u}_x, \boldsymbol{u}_y, \boldsymbol{u}_z) étant direct, \boldsymbol{u}_x = \boldsymbol{u}_y \wedge \boldsymbol{u}_z est perpendiculaire au plan (y, z) et dirigé vers l'avant (vers le lecteur). Le moment \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{prec}} est donc perpendiculaire au plan (y, z) et dirigé vers l'arrière (sens rentrant \otimes, selon -\boldsymbol{u}_x).

• Moment de dissipation (amortissement) : En utilisant \frac{\boldsymbol{M}}{M_{\mathrm{s}}} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = B_{\mathrm{eff}}\sin\theta\,\boldsymbol{u}_x, on obtient :

  \boldsymbol{M} \wedge \left(\frac{\boldsymbol{M}}{M_{\mathrm{s}}} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}\right) = (M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r) \wedge (B_{\mathrm{eff}}\sin\theta\,\boldsymbol{u}_x) = M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, (\boldsymbol{u}_r \wedge \boldsymbol{u}_x) = M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_\theta.

  On en déduit :

  \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{diss}} = -\alpha\gamma_{\mathrm{LL}} M_{\mathrm{s}} B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_\theta.

  Ce vecteur est contenu dans le plan (y, z), tangent au cercle de rayon M_{\mathrm{s}}, et dirigé selon -\boldsymbol{u}_\theta, c'est-à-dire vers le pôle nord (axe +z, dans le sens des \theta décroissants).

On représente ces deux contributions sur la projection dans le plan (y, z) ci-dessous :

Le champ magnétique effectif étant statique (\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}_0}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}), la dérivée temporelle de l'énergie s'écrit directement :

En utilisant l'équation de Landau-Lifshitz (24) :

le produit scalaire avec \boldsymbol{B}_0 comporte deux termes :

1. Le terme de précession est orthogonal à \boldsymbol{B}_0 :

   (-\gamma_{\mathrm{LL}} \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{B}_0 = 0.

2. Pour le terme d'amortissement, on utilise l'invariance par permutation circulaire du produit mixte (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) :

   \begin{aligned} [\boldsymbol{M} \wedge (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0)] \cdot \boldsymbol{B}_0 &= \boldsymbol{M} \cdot [(\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \wedge \boldsymbol{B}_0] \\ &= - \boldsymbol{M} \cdot [\boldsymbol{B}_0 \wedge (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0)] \\ &= - (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \\ &= - \|\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0\|^2. \end{aligned}

En rassemblant ces contributions, on obtient :

d'où :

Puisque \alpha > 0, \gamma_{\mathrm{LL}} > 0, \mathcal{V} > 0 et M_{\mathrm{s}} > 0, l'énergie E_{\mathrm{tot}}(t) est une fonction décroissante du temps.

De plus, l'énergie est minorée par sa valeur minimale absolue :

atteinte lorsque \boldsymbol{M} est strictement aligné avec le champ appliqué : \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0}.

La dérivée \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}t} ne s'annule que si \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{0}, ce qui correspond aux deux états d'alignement colinéaire :

• \boldsymbol{M} = -M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0} (anti-aligné) : maximum d'énergie, équilibre instable ;
• \boldsymbol{M} = +M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0} (aligné) : minimum d'énergie, équilibre stable.

L'énergie décroissant strictement tant que le système n'est pas aligné, l'aimantation relaxe nécessairement vers l'état d'équilibre stable \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0} pour toute condition initiale (hors le point fixe instable exact).

L'énergie totale de l'échantillon s'écrit :

En dérivant cette expression par rapport au temps lorsque le champ effectif dépend du temps, on obtient deux termes :

Par analogie avec le premier principe de la thermodynamique sous forme différentielle, \frac{\mathrm{d}E_{\text{tot}}}{\mathrm{d}t} = \dot{W} + \dot{Q} :

1. Travail par unité de temps \dot{W} : Le terme faisant intervenir la variation temporelle du paramètre externe de contrôle \boldsymbol{B}_{\text{eff}} représente la puissance mécanique/magnétique reçue de l'opérateur extérieur :

   \boxed{\dot{W} = -\mathcal{V} \, \boldsymbol{M} \cdot \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}_{\text{eff}}}{\mathrm{d}t}}

2. Chaleur échangée par unité de temps \dot{Q} : Le terme associé à la réorganisation interne de l'aimantation \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} s'exprime, d'après le résultat de la question Q36 :

   -\mathcal{V} \, \boldsymbol{B}_{\text{eff}} \cdot \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\alpha \gamma_{\text{LL}} \mathcal{V}}{M_{\mathrm{s}}} \|\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\text{eff}}\|^2 \le 0

   Il s'interprète comme la puissance thermique dissipée par friction avec l'environnement microscopique (réseau cristallin, électrons de conduction). C'est le flux thermique algébriquement reçu par le système :

   \boxed{\dot{Q} = -\mathcal{V} \, \boldsymbol{B}_{\text{eff}} \cdot \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\alpha \gamma_{\text{LL}} \mathcal{V}}{M_{\mathrm{s}}} \|\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\text{eff}}\|^2}

   Le signe négatif confirme qu'il s'agit d'une chaleur évacuée vers l'environnement (\dot{Q}_{\text{cédée}} = -\dot{Q} \ge 0).

Considérons l'opération de renversement du temps t \mapsto t' = -t. D'après les résultats des questions Q31 et Q32 :

• L'opérateur de dérivation temporelle se transforme selon \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mapsto -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'},
• L'aimantation, proportionnelle à des moments magnétiques orbitaux et de spin, est impaire : \boldsymbol{M}(t) \mapsto -\boldsymbol{M}(t'),
• Le champ magnétique effectif est impair : \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}(t) \mapsto -\boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}(t'),
• La norme M_{\mathrm{s}} est une constante scalaire positive invariante.

Évaluons la transformation de chaque terme de l'équation de LLG (23) :

Après renversement du temps, en réécrivant la variable temporelle sous la forme usuelle t, l'équation de LLG devient :

Influence du terme en \alpha :

• Le terme proportionnel à \alpha change de signe sous renversement du temps, ce qui brise la réversibilité temporelle de la dynamique : l'équation de LLG n'est pas invariante par renversement du temps.
• Ce changement de signe transforme l'effet dissipatif (friction magnétique) en un terme d'anti-amortissement (amplification) : dans le sens rétrograde du temps, l'aimantation s'éloigne de son état d'équilibre stable en augmentant son énergie, ce qui met en évidence l'existence d'une flèche du temps macroscopique imposée par la dissipation.

D'après les hypothèses du préambule, le matériau est isotrope (K_{\text{a}} = 0), sans champ démagnétisant (\boldsymbol{H}_{\text{m}} = \boldsymbol{0}), sans dissipation (\alpha = 0) et l'aimantation est spatialement uniforme (\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{M} = \boldsymbol{0}). Le champ magnétique effectif se réduit donc au seul champ magnétique externe appliqué :

L'aimantation s'écrit \boldsymbol{M}(t) = \boldsymbol{M}_0 + \boldsymbol{m}(t). L'équation d'évolution de Larmor (question Q27) s'écrit alors :

En développant le produit vectoriel par bilinéarité et la dérivée temporelle, sachant que \boldsymbol{M}_0 est stationnaire (\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}_0}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}), il vient :

Analysons les différents ordres de grandeur :

• À l'ordre 0 en perturbation, l'état non perturbé \boldsymbol{M}_0 est un état d'équilibre en présence du champ statique \boldsymbol{B}_0. D'après la première équation de Brown (questions Q20 et Q29), on a :

  \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{0}.
• Le terme \boldsymbol{m}(t) \wedge \boldsymbol{b}(t) est du second ordre par rapport aux grandeurs infinitésimales \|\boldsymbol{m}\| \ll M_{\mathrm{s}} et \|\boldsymbol{b}\| \ll \|\boldsymbol{B}_0\|, il est donc négligeable devant les termes d'ordre 1.

En ne conservant que l'ordre le plus bas non nul (l'ordre 1), on obtient bien :

À l'instant initial t = 0, l'aimantation s'écrit \boldsymbol{M}(0) = \boldsymbol{M}_0 + \boldsymbol{m}(0) avec \|\boldsymbol{M}(0)\| = \|\boldsymbol{M}_0\| = M_{\mathrm{s}}. D'après la question Q14, la conservation de la norme au premier ordre impose que la perturbation initiale soit transverse à l'aimantation d'équilibre :

Pour étudier l'évolution ultérieure de cette grandeur, dérivons par rapport au temps le produit scalaire \boldsymbol{m}(t) \cdot \boldsymbol{M}_0 (l'état d'équilibre \boldsymbol{M}_0 étant indépendant du temps) :

En injectant l'équation du mouvement (25) obtenue à la question Q39 :

Examinons chacun des deux termes à l'aide de l'invariance par permutation circulaire du produit mixte :

• Pour le premier terme : (\boldsymbol{m} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{m} \cdot (\boldsymbol{B}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0). Or, à l'équilibre, en l'absence d'anisotropie et de champ démagnétisant, le champ effectif se réduit au champ statique \boldsymbol{B}_0, si bien que la première équation de Brown (19) donne \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{0}. Par conséquent, \boldsymbol{B}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{0}, d'où :

  (\boldsymbol{m}(t) \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{M}_0 = 0.

• Pour le second terme, le produit vectoriel \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{b}(t) est par construction orthogonal à \boldsymbol{M}_0, ce qui donne immédiatement :

  (\boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{b}(t)) \cdot \boldsymbol{M}_0 = 0.

On en déduit que la dérivée temporelle est identiquement nulle pour tout t > 0 :

La perturbation \boldsymbol{m}(t) reste donc perpendiculaire à \boldsymbol{M}_0 à tout temps t \ge 0.

D'après la question Q40, \boldsymbol{m}(t) \cdot \boldsymbol{M}_0 = 0, soit avec \boldsymbol{M}_0 = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_z :

Calculons les produits vectoriels apparaissant dans l'équation (25) avec \boldsymbol{B}_0 = B_0 \boldsymbol{u}_z et \boldsymbol{b}(t) = b_x(t)\boldsymbol{u}_x :

L'équation linéarisée de la question Q39 s'écrit alors en composantes :

En posant la pulsation de Larmor dans le champ statique \omega_0 = \gamma B_0, et en adoptant la représentation complexe harmonique avec la convention \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \to \mathrm{i}\omega), le système devient :

De l'équation (1), on tire la relation entre composantes transverses :

En reportant cette expression dans (2) :

En multipliant par \omega_0 et en regroupant les termes en \underline{m}_x :

Il vient ainsi pour l'amplitude \underline{m}_x et pour \underline{m}_y :

Par définition, les susceptibilités s'écrivent \underline{\chi}_\parallel = \mu_0 \frac{\underline{m}_x}{\underline{b}_x} et \underline{\chi}_\perp = \mu_0 \frac{\underline{m}_y}{\underline{b}_x}. En introduisant la pulsation caractéristique \omega_M = \gamma \mu_0 M_{\mathrm{s}}, on obtient :

avec :

L'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (23) s'écrit :

En posant \boldsymbol{M}(t) = \boldsymbol{M}_0 + \boldsymbol{m}(t) avec \boldsymbol{M}_0 = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_z, et \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}(t) = \boldsymbol{B}_0 + \boldsymbol{b}(t) avec \boldsymbol{B}_0 = B_0 \boldsymbol{u}_z, le terme dissipatif au premier ordre en perturbation s'écrit :

car le terme d'ordre supérieur \frac{\boldsymbol{m}}{M_{\mathrm{s}}} \wedge \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{m}}{\mathrm{d}t} est du second ordre. L'équation de LLG linéarisée devient ainsi :

En adoptant la représentation harmonique à la pulsation \omega (\boldsymbol{m}(t) = \underline{\boldsymbol{m}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, \boldsymbol{b}(t) = \underline{b}_x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\boldsymbol{u}_x), la dérivée temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{i}\omega :

Sachant que \underline{\boldsymbol{m}} = \underline{m}_x \boldsymbol{u}_x + \underline{m}_y \boldsymbol{u}_y (d'après la transversalité établie à la question 40), on a :

En introduisant les notations \omega_0 = \gamma B_0 et \omega_M = \gamma \mu_0 M_{\mathrm{s}}, les projections sur \boldsymbol{u}_x et \boldsymbol{u}_y fournissent :

De l'équation (1), on tire :

En injectant cette expression dans l'équation (2) multipliée par (\omega_0 + \mathrm{i}\alpha\omega), on obtient :

Développons le premier facteur en négligeant le terme en \alpha^2 \ll 1 :

De même, en négligeant la correction d'ordre \alpha devant \omega_0 dans le terme de forçage :

En regroupant tous les termes dans l'équation :

Par identification avec l'équation proposée -\omega^2 \underline{m}_x + 2\eta \,\mathrm{i}\omega \underline{m}_x + \omega_0^2 \underline{m}_x = \frac{\omega_0 \omega_M}{\mu_0} \underline{b}_x, on identifie le paramètre d'amortissement :

À l'ordre 0 en \alpha, la dynamique de la perturbation obéit à l'équation linéarisée sans dissipation (question Q39) :

Avec \boldsymbol{B}_0 = B_0 \boldsymbol{u}_z, \boldsymbol{M}_0 = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_z et \boldsymbol{b}(t) = b_x(t)\boldsymbol{u}_x, le terme de forçage s'écrit :

Ce terme étant purement selon \boldsymbol{u}_y, la projection de l'équation de mouvement sur \boldsymbol{u}_x ne dépend que de \boldsymbol{m} \wedge \boldsymbol{B}_0 :

où l'on a posé \omega_0 = \gamma B_0.

En régime harmonique avec la convention \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, la dérivation temporelle équivaut à la multiplication par \mathrm{i}\omega :

On en déduit immédiatement la relation de proportionnalité :

Remarque : On retrouve ce résultat par le rapport des susceptibilités de la question Q41 :

À la pulsation de résonance du système libre (\omega \simeq \omega_0 à l'ordre 0 en \alpha), cette relation devient simplement \underline{m}_y \simeq -\mathrm{i}\underline{m}_x.

En l'absence de perturbation du champ magnétique (\underline{b}_x = 0), l'équation de la question Q42 s'écrit :

En effectuant la correspondance temporelle \mathrm{i}\omega \leftrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} et -\omega^2 \leftrightarrow \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}, la composante m_x(t) obéit à l'équation différentielle temporelle :

Le facteur d'amortissement vérifiant \eta = \alpha \omega_0 \ll \omega_0 car \alpha \ll 1, le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation :

La solution générale s'écrit :

D'après la question Q43, à l'ordre 0 en \alpha, \underline{m}_y = -\mathrm{i}\frac{\omega}{\omega_0}\underline{m}_x, ce qui se traduit dans le domaine temporel par :

En dérivant m_x(t) et en négligeant le terme en \eta/\omega_0 = \alpha devant 1 :

d'où :

Les conditions initiales à t = 0 stipulent \boldsymbol{m}(0) = m_0 \boldsymbol{u}_y, c'est-à-dire :

On en déduit l'expression temporelle des deux composantes réelles :

Tracé de la solution dans le plan (m_x, m_y) : Le module de la perturbation vérifie \|\boldsymbol{m}(t)\| = \sqrt{m_x^2(t) + m_y^2(t)} = m_0 \mathrm{e}^{-\eta t}. Il décroît exponentiellement vers 0 tandis que l'angle polaire dans le plan (m_x, m_y) tourne avec la pulsation \omega_0 dans le sens horaire : la trajectoire est une spirale logarithmique convergente vers l'origine (0,0).