Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2023

Considérons un conducteur cylindrique d'axe Oz, de longueur L et de section droite constante S. Le courant d'intensité I est supposé uniformément réparti sur la section et orienté selon l'axe du cylindre, de sorte que la densité volumique de courant est uniforme :

D'après la loi d'Ohm locale, le champ électrique à l'intérieur du conducteur s'écrit :

La différence de potentiel aux bornes du cylindre s'obtient par circulation de ce champ électrique le long d'une ligne de courant :

Par définition de la résistance électrique R = \frac{U}{I}, on en déduit :

D'après la figure 1, la section droite du ruban de cuivre est rectangulaire, de largeur w = 10\ \mu\text{m} et d'épaisseur e = 3\ \mu\text{m} :

Évaluons la longueur L du conducteur le long de sa ligne moyenne entre A et B :

• brin inférieur horizontal : de l'entrée A au coin inférieur droit, de longueur environ 90\ \mu\text{m} ;
• brin vertical droit : sur toute la hauteur extérieure (100\ \mu\text{m}), soit environ 90\ \mu\text{m} entre lignes moyennes ;
• brin horizontal supérieur : sur toute la largeur extérieure (100\ \mu\text{m}), soit environ 90\ \mu\text{m} ;
• brin vertical intérieur gauche : descendant vers le centre, de longueur environ 60\ \mu\text{m} ;
• brin horizontal menant au contact B : de longueur environ 30\ \mu\text{m}.

La longueur totale développée est donc de l'ordre de :

D'après la relation établie à la question Q1, et avec \gamma_{\text{Cu}} = 5{,}9 \times 10^7\ \text{S}\cdot\text{m}^{-1} :

Application numérique :

(Une valeur comprise entre 0{,}15\ \Omega et 0{,}25\ \Omega selon l'estimation de la longueur est tout à fait recevable.)

L'existence de cette résistance présente deux inconvénients majeurs pour un transformateur :

1. Pertes par effet Joule (dites « pertes cuivre ») : la puissance P_J = R_e I_{\text{eff}}^2 dissipée sous forme thermique diminue le rendement énergétique global du transformateur et provoque un échauffement préjudiciable aux composants miniaturisés voisins.
2. Chute de tension ohmique en charge : la présence de la résistance interne crée une chute de tension aux bornes de l'enroulement (u(t) = e(t) + R_e i(t)), ce qui altère le rapport de transformation nominal dès que le transformateur débite un courant.

L'amplificateur linéaire intégré possède une boucle de rétroaction négative reliant la sortie à la borne inverseuse (-), ce qui assure son fonctionnement en régime linéaire.

L'ALI étant supposé idéal :

• Les courants d'entrée sont nuls : i^+ = i^- = 0 ;
• La tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = V^+ - V^- = 0.

L'entrée non inverseuse (+) étant reliée à la masse, on a V^+ = 0, d'où une masse virtuelle sur l'entrée inverseuse :

En appliquant la loi des nœuds au potentiel au niveau de la borne (-) :

En remplaçant V^- = 0, il vient :

On en déduit l'amplitude complexe de la tension de sortie :

1. Lecture de l'oscillogramme (figure 3a)

• Période et pulsation : Sur la largeur totale de l'écran (10\text{ divisions}), on observe exactement deux périodes de signal. Une période correspond donc à :

  T = 5{,}0\text{ div} \times 200\text{ ns}\cdot\text{div}^{-1} = 1{,}0\ \mu\text{s}

  La pulsation angulaire vaut alors :

  \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1{,}0 \times 10^{-6}} \approx 6{,}28 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

• Amplitudes :

  • Tension d'entrée u_e(t) (courbe en trait gras) : le gain vertical est de 2\text{ mV/div}, et l'amplitude crête est d'environ 2{,}7 à 2{,}8\text{ divisions} :

    U_{0e} \approx 2{,}75\text{ div} \times 2\text{ mV}\cdot\text{div}^{-1} \approx 5{,}5\text{ mV}

  • Tension de sortie u_s(t) (courbe en trait fin) : le gain vertical est de 2\text{ V/div}, et l'amplitude crête est d'environ 2{,}5\text{ divisions} :

    U_{0s} \approx 2{,}5\text{ div} \times 2\text{ V}\cdot\text{div}^{-1} = 5{,}0\text{ V}

• Déphasage : Le signal de sortie u_s(t) est en avance temporelle sur la tension d'entrée u_e(t) d'un décalage mesuré entre deux passages à zéro croissants d'environ \Delta t \approx 1{,}45\text{ division}, soit :

  \Delta t \approx 1{,}45 \times 200\text{ ns} \approx 290\text{ ns}

  Le déphasage de u_s par rapport à u_e vaut donc :

  \varphi_{s/e} = \omega \Delta t = 2\pi \frac{\Delta t}{T} \approx 2\pi \times \frac{1{,}45}{5{,}0} \approx 1{,}82\text{ rad} \approx 104^\circ

2. Calcul de Z_r et Z_i

D'après la question Q3, \underline{U}_s = -\frac{R_{\text{ref}}}{\underline{Z}} \underline{U}_e, ce qui s'écrit :

Le module de l'impédance vaut :

L'argument de \underline{Z} est :

On en déduit la partie réelle et la partie imaginaire de \underline{Z} :

3. Déduction de L et de R_e

L'enroulement est modélisé par une association série d'une résistance R_e et d'une inductance propre L, d'impédance \underline{Z} = R_e + jL\omega. Par identification avec \underline{Z} = Z_r + jZ_i :

1. Intérêt d'une augmentation de l'amplitude d'entrée

Sur la figure 3a, l'amplitude de la tension d'entrée n'était que de l'ordre de 3\text{ mV} (environ 1,5 carreau avec une sensibilité de 2\text{ mV/div}). Porter cette amplitude à U_0 = 30\text{ mV} présente deux intérêts majeurs :

• améliorer le rapport signal sur bruit (RSB) ;
• réduire l'incertitude relative sur la mesure de la tension d'entrée u_e(t) à l'oscilloscope.

2. Forme prévisible pour le signal de sortie

D'après la question Q3, la relation liant les amplitudes en régime linéaire s'écrit :

Avec les valeurs obtenues en Q4 (|\underline{Z}| = \sqrt{Z_r^2 + Z_i^2} \approx \sqrt{0{,}27^2 + 1{,}1^2} \approx 1{,}14\ \Omega) et R_{\text{ref}} = 1000{,}0\ \Omega :

Or, l'amplificateur linéaire intégré (ALI) est alimenté sous une tension symétrique de \pm 15\text{ V}. La tension de sortie est donc bornée par ses tensions de saturation :

Comme U_{s,\text{th}} > V_{\text{sat}}, l'ALI ne peut pas rester dans son domaine de fonctionnement linéaire : il sature. La forme prévisible pour le signal de sortie est une sinusoïde fortement écrêtée (allure trapézoïdale) à \pm V_{\text{sat}} \approx \pm 15\text{ V}.

3. Intérêt de la réduction de la résistance de référence R_{\text{ref}}

Pour exploiter les relations du régime linéaire de l'impédancemètre avec une amplitude d'entrée U_0 = 30\text{ mV}, il faut impérativement éviter la saturation, soit :

Numériquement, cela impose :

Réduire la résistance de référence R_{\text{ref}} permet de diminuer le gain en tension du montage, ce qui permet de conserver U_0 = 30\text{ mV} tout en maintenant l'ALI en régime linéaire.

Sur la figure 3b, avec une sensibilité verticale de 1\text{ V/carreau} pour u_s, on constate que la tension de sortie n'est plus parfaitement sinusoïdale mais subit un net écrêtage à :

Or, l'amplificateur opérationnel est alimenté sous une tension de \pm 15\text{ V}, ce qui donnerait une saturation en tension usuelle V_{\text{sat}} \approx \pm 14\text{ V} à \pm 15\text{ V}, bien supérieure à la valeur observée de 2{,}0\text{ V}. Le phénomène observé n'est donc pas une saturation en tension.

En fonctionnement linéaire, le potentiel de l'entrée inverseuse est nul (V_- \approx 0). Le courant traversant la résistance de contre-réaction R'_{\text{ref}} depuis la masse virtuelle vers la sortie de l'ALI s'écrit :

Ce courant est intégralement fourni (ou absorbé) par l'étage de sortie de l'amplificateur opérationnel. L'écrêtage de la tension à |u_{s,\max}| = 2{,}0\text{ V} traduit donc une saturation en courant de l'ALI, dont l'étage de sortie est limité à une intensité maximale :

Numériquement, avec R'_{\text{ref}} = 100{,}00\ \Omega et |u_{s,\max}| = 2{,}0\text{ V} :

Cette valeur correspond exactement à l'ordre de grandeur classique du courant maximal de limitation (protection contre les courts-circuits) des amplificateurs linéaires intégrés d'usage courant (typiquement 20 à 25 mA pour un \mu\text{A}741 ou un TL081).

1. Modélisation de la capacité parasite C_p

On assimile les pistes conductrices du primaire et du secondaire à deux armatures planes parallèles en regard, de surface S_{\text{face}} et distantes de d, séparées par un milieu diélectrique de permittivité \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r :

2. Estimation géométrique

• Surface en regard S_{\text{face}} : Les pistes sont rectangulaires, d'épaisseur (hauteur de profil) h = 3\ \mu\text{m} (figure 1b). Les enroulements primaire et secondaire sont imbriqués et cheminent côte à côte sur une longueur L_{\text{face}} proche de la longueur totale de l'enroulement. L'enroulement étant inscrit dans un carré d'environ 100\ \mu\text{m} \times 100\ \mu\text{m}, sa longueur développée est de l'ordre de :

  L_{\text{face}} \approx 3 \times 100\ \mu\text{m} \approx 300\ \mu\text{m}

  La surface latérale en regard vaut ainsi :

  S_{\text{face}} = h \cdot L_{\text{face}} \approx 3 \times 10^{-6} \times 300 \times 10^{-6} \approx 9 \times 10^{-10}\ \text{m}^2 \approx 10^{-9}\ \text{m}^2

• Distance inter-conducteurs d : Sur la figure 1a, la largeur d'une piste est w = 10\ \mu\text{m} et l'espace entre pistes initial est de 25\ \mu\text{m}. L'insertion de la piste secondaire (w = 10\ \mu\text{m}) au sein de cet espace laisse un écartement de part et d'autre :

  d \approx \frac{25 - 10}{2}\ \mu\text{m} = 7{,}5\ \mu\text{m} \quad (\text{soit de l'ordre de } 5\text{ à } 10\ \mu\text{m})

3. Application numérique pour C_p

Avec \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{F}\cdot\text{m}^{-1} et \varepsilon_r = 5 \times 10^4 :

4. Commentaire sur la permittivité relative \varepsilon_r

Cette valeur \varepsilon_r = 5 \times 10^4 est extrêmement élevée par rapport à celles des milieux usuels :

• le vide et l'air ont \varepsilon_r \approx 1 ;
• les isolants usuels (verre, polymères, oxydes comme \text{SiO}_2) ont \varepsilon_r \sim 2\text{ à } 10 ;
• l'eau liquide, solvant très polaire, n'atteint que \varepsilon_r \approx 80.

Une telle valeur (\sim 10^4\text{--}10^5) est caractéristique de matériaux diélectriques à permittivité géante ou de céramiques ferroélectriques (tels que le titanate de baryum \text{BaTiO}_3 ou le PZT).

Les potentiels des bornes inférieures sont reliés à la référence commune : V_{B_1} = V_{B_2} = 0. Les potentiels des bornes supérieures s'écrivent donc :

Pour un transformateur idéal de rapport de transformation m, la relation entre les tensions s'écrit :

La tension aux bornes de la capacité parasite C_p, orientée dans le sens du courant i, vaut donc :

En convention récepteur pour le condensateur, l'intensité i traversant la capacité parasite s'exprime par :

Notons i_{1,\text{tr}} le courant entrant dans l'enroulement primaire du transformateur idéal et i_{2,\text{tr}} le courant sortant de son enroulement secondaire. Pour un transformateur idéal :

La loi des nœuds au point A_2 s'écrit :

Comme l'intensité de sortie est nulle (i_2 = 0), on a :

La loi des nœuds au point A_1 permet alors d'exprimer le courant total d'entrée i_1 :

En remplaçant l'expression de i, on obtient :

En l'absence de capacité parasite (C_p = 0), le courant dérivé est nul (i = 0). Pour un transformateur idéal débitant sur un circuit ouvert (i_2 = 0), la relation i_1 = m i_2 conduit directement à :

D'après le résultat de la question Q8, le courant appelé au primaire à vide (i_2 = 0) en présence de la capacité parasite s'écrit :

D'après le chronogramme de la figure 5, la tension d'entrée varie de \Delta U_1 = 9\text{ V} sur une durée de commutation :

La dérivée temporelle maximale en valeur absolue vaut donc :

Avec m = 0{,}9, il vient (1 - m)^2 = 0{,}01. En retenant pour la capacité parasite l'estimation de la question Q7, soit C_p \approx 70\text{ pF} (comprise typiquement entre 50\text{ pF} et 100\text{ pF}) :

Effets de ce courant :

• Un appel de courant non nul au primaire alors même que le secondaire est à vide (i_2 = 0) ;
• Des pertes par effet Joule supplémentaires dans la résistance des enroulements R_e, provoquant un échauffement du composant et une chute du rendement global ;
• L'apparition de pics de courant brefs et intenses susceptibles de générer des bruits de commutation et des perturbations électromagnétiques (problèmes de CEM).

Importance lors des variations rapides de tension : Le courant de couplage étant directement proportionnel à la dérivée temporelle de la tension (i_1 \propto \mathrm{d}u_1/\mathrm{d}t), des fronts de montée ou de descente très raides (fréquences de commutation élevées ou temps de transition très courts) maximisent la dérivée et conduisent à de forts pics de courant impulsionnels. Ce défaut est d'autant plus pénalisant que la miniaturisation des transformateurs impose justement de travailler à haute fréquence pour réduire l'encombrement des circuits magnétiques.

Considérons un électron de masse m_e et de charge -e, décrivant une trajectoire circulaire de rayon r à la vitesse scalaire constante v. La période de révolution est :

Le passage périodique de cette charge à travers une section de la trajectoire équivaut à un courant électrique continu moyen d'intensité :

La boucle de courant délimite une surface plane d'aire S = \pi r^2. La norme du moment magnétique orbital associé vaut donc :

Par ailleurs, le moment cinétique de l'électron calculé au centre de la trajectoire (noyau immobile) est orthogonal au plan de la trajectoire et sa norme s'écrit :

d'où le produit v r = \frac{\sigma_e}{m_e}. On en déduit la relation entre moment magnétique et moment cinétique :

Compte tenu de la condition de quantification imposée par le modèle de Bohr, \sigma_e = \hbar, on obtient :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{C}
• \hbar = 1{,}055 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}
• m_e = 9{,}0 \times 10^{-31}\ \text{kg}

En conservant deux chiffres significatifs (précision sur m_e) :

L'aimantation \vec{M} d'un milieu correspond à la densité volumique de moment magnétique :

La quantité de matière par unité de volume est \dfrac{\rho}{M}, ce qui donne un nombre d'atomes par unité de volume égal à :

Lorsque le matériau atteint sa saturation ferromagnétique, tous les moments magnétiques atomiques individuels \vec{m}_{\text{atome}} = z\vec{\mu}_e sont rigoureusement alignés et orientés dans le même sens. L'aimantation de saturation s'écrit donc :

En introduisant l'expression de \mu_e = \dfrac{e\hbar}{2m_e} établie à la question Q10, on obtient :

Application numérique pour le fer (z = 4) : Avec les données de l'énoncé :

• \rho = 7{,}87 \times 10^3\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}
• M = 55{,}8\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 55{,}8 \times 10^{-3}\ \text{kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \mathcal{N}_a = 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}
• z = 4
• \mu_e \approx 9{,}38 \times 10^{-24}\ \text{A}\cdot\text{m}^2

On calcule tout d'abord la densité volumique atomique :

Puis la valeur de l'aimantation de saturation :

Le volume d'un cube de fer de côté a = 150\ \mu\text{m} est :

À saturation, tous les moments magnétiques atomiques sont alignés dans la même direction et le même sens. Le moment magnétique m_a du cube s'écrit alors, en utilisant la valeur M_{\text{sat}} \approx 3{,}2 \times 10^6\ \text{A}\cdot\text{m}^{-1} obtenue à la question Q11 :

Application numérique :

Une boucle circulaire plane de diamètre D = 150\ \mu\text{m} délimite une surface :

Le moment magnétique d'une telle boucle parcourue par une intensité I vaut m = I\mathcal{S}. En imposant m = m_a, et en notant que D = a, on en déduit :

Application numérique :

Commentaire : Une intensité de plus de 600\ \text{A} circulant dans une boucle de diamètre microscopique (150\ \mu\text{m}) conduirait, pour n'importe quel conducteur réel non supraconducteur, à une densité de courant gigantesque et à une vaporisation immédiate par effet Joule. Cette comparaison met en évidence l'intensité remarquable de l'aimantation spontanée de la matière ferromagnétique, issue du couplage d'échange quantique alignant les moments magnétiques élémentaires à l'échelle atomique.

Considérons un contour circulaire \mathcal{C} d'axe l'axe de révolution du tore et de rayon r (R_{\text{int}} \leqslant r \leqslant R_{\text{ext}}), orienté dans le sens des aiguilles d'une montre (selon \vec{e}_\theta). D'après la symétrie de révolution, \vec{H} = H(r)\,\vec{e}_\theta. Le théorème d'Ampère appliqué à l'excitation magnétique s'écrit :

Dans le domaine linéaire, le champ magnétique s'en déduit par B(r) = \mu_0\mu_r H(r) \propto \frac{1}{r}.

Les champs \vec{H} et \vec{B} ne sont donc pas rigoureusement uniformes : leur amplitude décroît en 1/r du bord intérieur au bord extérieur. Pour que l'on puisse considérer ces normes comme uniformes dans toute la section droite du tore, il faut que la variation relative de r soit négligeable, c'est-à-dire que l'épaisseur radiale \Delta r = R_{\text{ext}} - R_{\text{int}} (ou la dimension transverse caractéristique \sqrt{S_t}) soit très petite devant le rayon moyen R_m = \frac{\ell_t}{2\pi} :

C'est l'approximation classique du tore mince.

Numériquement, avec les données du problème :

L'épaisseur de la section reste significativement plus petite que le rayon moyen (r_t/R_m \approx 0{,}22), ce qui justifie l'hypothèse au premier ordre.

Soit un point M(r, \theta, z) à l'intérieur du tore.

Le plan méridien passant par M, défini par la base (\vec{e}_r, \vec{e}_z), est le plan de coupe contenant la section du tore. Les spires étant enroulées autour du tore et leur nombre N_t = 500 étant élevé, on peut négliger le pas de l'hélice d'enroulement : les lignes de courant sont contenues dans ces plans méridiens.

Le plan méridien (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) est donc un plan de symétrie de la distribution de courant électrique :

Le champ magnétique \vec{B} et le champ d'excitation magnétique \vec{H} étant des vecteurs axiaux (ou pseudovecteurs), ils sont orthogonaux en tout point d'un plan de symétrie de leurs sources de courant.

Le vecteur unitaire orthogonal au plan méridien étant \vec{e}_\theta, on en déduit :

Cette colinéarité est par ailleurs cohérente avec la relation constitutive linéaire et isotrope \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}.

Considérons comme contour d'Ampère \mathcal{C} le cercle d'axe Oz, de rayon moyen R_m = \frac{\ell_t}{2\pi}, situé au cœur du tore.

Ce contour est orienté par le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta. Selon la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), le sens de parcours sur \mathcal{C} définit une normale à une surface s'appuyant sur ce contour ; on oriente le sens positif du courant i dans les spires de sorte que le courant total enlacé soit :

D'après la question Q14, \vec{H} = H \vec{e}_\theta. De plus, d'après l'approximation du tore mince (question Q13), la composante H est uniforme le long du contour circulaire de longueur \ell_t = 2\pi R_m. La circulation de \vec{H} s'écrit alors :

D'après le théorème d'Ampère appliqué au champ \vec{H} en régime quasi stationnaire :

d'où :

Le milieu ferromagnétique étant étudié dans son domaine linéaire, la relation constitutive s'écrit \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}. Les vecteurs \vec{B} et \vec{H} étant tous deux orientés selon \vec{e}_\theta, on obtient pour la composante B :

Le flux propre du champ magnétique à travers une spire de section S_t orientée selon la règle de la main droite associée au sens du courant i s'écrit, compte tenu de l'uniformité de \vec{B} = B \vec{e}_\theta sur la section :

Le flux total embrassé par les N_t spires en série est donc :

En convention récepteur (figure 6, la flèche de tension u(t) pointant vers la borne d'entrée du courant i), la tension aux bornes de la bobine idéale s'exprime selon la loi de Faraday par :

En régime sinusoïdal établi, en passant aux amplitudes complexes associées (\underline{u} = j\omega L_t \underline{i}), l'impédance du tore s'écrit :

La perméabilité relative \mu_r étant ici un scalaire réel, l'impédance \underline{Z} est un imaginaire pur :

La puissance moyenne consommée par le dipôle est donc :

Il n'y a donc aucune dissipation d'énergie dans le matériau ferromagnétique dans ce modèle linéaire sans pertes.

D'après la question Q16, l'impédance de la bobine torique s'écrit :

En introduisant la perméabilité relative complexe \underline{\mu_r} = \mu_r' - j \mu_r'', il vient :

La puissance moyenne consommée par un dipôle passif linéaire parcouru par un courant d'intensité efficace I_{\text{eff}} est donnée par :

D'où l'expression de la puissance moyenne consommée dans le tore :

Le courant traversant l'enroulement torique s'écrit i(t) = I_{\max}\cos(\omega t). D'après la question Q15, le champ d'excitation magnétique s'écrit :

En notation complexe, avec \underline{H}(t) = H_{\max}\mathrm{e}^{j\omega t}, la relation constitutive s'écrit :

Le champ réel B(t) = \mathrm{Re}(\underline{B}(t)) vaut donc :

Comme \sin(\omega t) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\omega t)} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{H}{H_{\max}}\right)^2}, la relation B(H) s'écrit :

Il s'agit de l'équation d'une ellipse centrée à l'origine, inclinée selon la droite de pente \mu_0 \mu'_r, parcourue dans le sens trigonométrique au cours du temps.

1. Champ magnétique rémanent B_r :
Il correspond à la valeur de B lorsque H = 0 (soit \cos(\omega t) = 0 et \sin(\omega t) = 1) :

2. Excitation coercitive H_c :
Elle correspond à la valeur positive de |H| pour laquelle B = 0 :

On en déduit :

Comme \mu''_r \ll \mu'_r (4 \ll 10^3), on a \sqrt{(\mu'_r)^2 + (\mu''_r)^2} \simeq \mu'_r, d'où :

Applications numériques :

D'après la question Q17, la puissance moyenne consommée dans le tore ferromagnétique s'écrit :

Le courant étant sinusoïdal d'amplitude maximale I_{\max}, sa valeur efficace est I_{\text{eff}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}, d'où I_{\text{eff}}^2 = \frac{I_{\max}^2}{2}. L'expression devient :

Application numérique :

• \mu_0 = 1{,}26 \times 10^{-6}\ \text{H}\cdot\text{m}^{-1}
• \mu_r'' = 4
• f_0 = 50\ \text{Hz} \implies \omega = 2\pi f_0 = 100\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}
• N_t = 500
• S_t = 0{,}6\ \text{cm}^2 = 0{,}6 \times 10^{-4}\ \text{m}^2
• \ell_t = 12{,}5\ \text{cm} = 0{,}125\ \text{m}
• I_{\max} = 12\ \text{A} \implies I_{\text{eff}}^2 = 72\ \text{A}^2

Nature de la perte : Cette puissance dissipée correspond aux pertes par hystérésis magnétique (également qualifiées de « pertes fer »).

À l'échelle microscopique, elles proviennent du déplacement irréversible des parois des domaines magnétiques (parois de Bloch) et du basculement irréversible de l'aimantation dans le matériau soumis à un champ magnétique variable, ce qui dissipe de l'énergie sous forme thermique.