Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2023

Considérons un conducteur cylindrique d'axe Oz, de longueur L et de section droite constante S. Le courant d'intensité I est supposé uniformément réparti sur la section et orienté selon l'axe du cylindre, de sorte que la densité volumique de courant est uniforme :

D'après la loi d'Ohm locale, le champ électrique à l'intérieur du conducteur s'écrit :

La différence de potentiel aux bornes du cylindre s'obtient par circulation de ce champ électrique le long d'une ligne de courant :

Par définition de la résistance électrique R = \frac{U}{I}, on en déduit :

D'après la figure 1, la section droite du ruban de cuivre est rectangulaire, de largeur w = 10\ \mu\text{m} et d'épaisseur e = 3\ \mu\text{m} :

Évaluons la longueur L du conducteur le long de sa ligne moyenne entre A et B :

• brin inférieur horizontal : de l'entrée A au coin inférieur droit, de longueur environ 90\ \mu\text{m} ;
• brin vertical droit : sur toute la hauteur extérieure (100\ \mu\text{m}), soit environ 90\ \mu\text{m} entre lignes moyennes ;
• brin horizontal supérieur : sur toute la largeur extérieure (100\ \mu\text{m}), soit environ 90\ \mu\text{m} ;
• brin vertical intérieur gauche : descendant vers le centre, de longueur environ 60\ \mu\text{m} ;
• brin horizontal menant au contact B : de longueur environ 30\ \mu\text{m}.

La longueur totale développée est donc de l'ordre de :

D'après la relation établie à la question Q1, et avec \gamma_{\text{Cu}} = 5{,}9 \times 10^7\ \text{S}\cdot\text{m}^{-1} :

Application numérique :

(Une valeur comprise entre 0{,}15\ \Omega et 0{,}25\ \Omega selon l'estimation de la longueur est tout à fait recevable.)

L'existence de cette résistance présente deux inconvénients majeurs pour un transformateur :

1. Pertes par effet Joule (dites « pertes cuivre ») : la puissance P_J = R_e I_{\text{eff}}^2 dissipée sous forme thermique diminue le rendement énergétique global du transformateur et provoque un échauffement préjudiciable aux composants miniaturisés voisins.
2. Chute de tension ohmique en charge : la présence de la résistance interne crée une chute de tension aux bornes de l'enroulement (u(t) = e(t) + R_e i(t)), ce qui altère le rapport de transformation nominal dès que le transformateur débite un courant.

L'amplificateur linéaire intégré possède une boucle de rétroaction négative reliant la sortie à la borne inverseuse (-), ce qui assure son fonctionnement en régime linéaire.

L'ALI étant supposé idéal :

• Les courants d'entrée sont nuls : i^+ = i^- = 0 ;
• La tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = V^+ - V^- = 0.

L'entrée non inverseuse (+) étant reliée à la masse, on a V^+ = 0, d'où une masse virtuelle sur l'entrée inverseuse :

En appliquant la loi des nœuds au potentiel au niveau de la borne (-) :

En remplaçant V^- = 0, il vient :

On en déduit l'amplitude complexe de la tension de sortie :

1. Lecture de l'oscillogramme (figure 3a)

• Période et pulsation : Sur la largeur totale de l'écran (10\text{ divisions}), on observe exactement deux périodes de signal. Une période correspond donc à :

  T = 5{,}0\text{ div} \times 200\text{ ns}\cdot\text{div}^{-1} = 1{,}0\ \mu\text{s}

  La pulsation angulaire vaut alors :

  \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1{,}0 \times 10^{-6}} \approx 6{,}28 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

• Amplitudes :

  • Tension d'entrée u_e(t) (courbe en trait gras) : le gain vertical est de 2\text{ mV/div}, et l'amplitude crête est d'environ 2{,}7 à 2{,}8\text{ divisions} :

    U_{0e} \approx 2{,}75\text{ div} \times 2\text{ mV}\cdot\text{div}^{-1} \approx 5{,}5\text{ mV}

  • Tension de sortie u_s(t) (courbe en trait fin) : le gain vertical est de 2\text{ V/div}, et l'amplitude crête est d'environ 2{,}5\text{ divisions} :

    U_{0s} \approx 2{,}5\text{ div} \times 2\text{ V}\cdot\text{div}^{-1} = 5{,}0\text{ V}

• Déphasage : Le signal de sortie u_s(t) est en avance temporelle sur la tension d'entrée u_e(t) d'un décalage mesuré entre deux passages à zéro croissants d'environ \Delta t \approx 1{,}45\text{ division}, soit :

  \Delta t \approx 1{,}45 \times 200\text{ ns} \approx 290\text{ ns}

  Le déphasage de u_s par rapport à u_e vaut donc :

  \varphi_{s/e} = \omega \Delta t = 2\pi \frac{\Delta t}{T} \approx 2\pi \times \frac{1{,}45}{5{,}0} \approx 1{,}82\text{ rad} \approx 104^\circ

2. Calcul de Z_r et Z_i

D'après la question Q3, \underline{U}_s = -\frac{R_{\text{ref}}}{\underline{Z}} \underline{U}_e, ce qui s'écrit :

Le module de l'impédance vaut :

L'argument de \underline{Z} est :

On en déduit la partie réelle et la partie imaginaire de \underline{Z} :

3. Déduction de L et de R_e

L'enroulement est modélisé par une association série d'une résistance R_e et d'une inductance propre L, d'impédance \underline{Z} = R_e + jL\omega. Par identification avec \underline{Z} = Z_r + jZ_i :

1. Intérêt d'une augmentation de l'amplitude d'entrée

Sur la figure 3a, l'amplitude de la tension d'entrée n'était que de l'ordre de 3\text{ mV} (environ 1,5 carreau avec une sensibilité de 2\text{ mV/div}). Porter cette amplitude à U_0 = 30\text{ mV} présente deux intérêts majeurs :

• améliorer le rapport signal sur bruit (RSB) ;
• réduire l'incertitude relative sur la mesure de la tension d'entrée u_e(t) à l'oscilloscope.

2. Forme prévisible pour le signal de sortie

D'après la question Q3, la relation liant les amplitudes en régime linéaire s'écrit :

Avec les valeurs obtenues en Q4 (|\underline{Z}| = \sqrt{Z_r^2 + Z_i^2} \approx \sqrt{0{,}27^2 + 1{,}1^2} \approx 1{,}14\ \Omega) et R_{\text{ref}} = 1000{,}0\ \Omega :

Or, l'amplificateur linéaire intégré (ALI) est alimenté sous une tension symétrique de \pm 15\text{ V}. La tension de sortie est donc bornée par ses tensions de saturation :

Comme U_{s,\text{th}} > V_{\text{sat}}, l'ALI ne peut pas rester dans son domaine de fonctionnement linéaire : il sature. La forme prévisible pour le signal de sortie est une sinusoïde fortement écrêtée (allure trapézoïdale) à \pm V_{\text{sat}} \approx \pm 15\text{ V}.

3. Intérêt de la réduction de la résistance de référence R_{\text{ref}}

Pour exploiter les relations du régime linéaire de l'impédancemètre avec une amplitude d'entrée U_0 = 30\text{ mV}, il faut impérativement éviter la saturation, soit :

Numériquement, cela impose :

Réduire la résistance de référence R_{\text{ref}} permet de diminuer le gain en tension du montage, ce qui permet de conserver U_0 = 30\text{ mV} tout en maintenant l'ALI en régime linéaire.

Sur la figure 3b, avec une sensibilité verticale de 1\text{ V/carreau} pour u_s, on constate que la tension de sortie n'est plus parfaitement sinusoïdale mais subit un net écrêtage à :

Or, l'amplificateur opérationnel est alimenté sous une tension de \pm 15\text{ V}, ce qui donnerait une saturation en tension usuelle V_{\text{sat}} \approx \pm 14\text{ V} à \pm 15\text{ V}, bien supérieure à la valeur observée de 2{,}0\text{ V}. Le phénomène observé n'est donc pas une saturation en tension.

En fonctionnement linéaire, le potentiel de l'entrée inverseuse est nul (V_- \approx 0). Le courant traversant la résistance de contre-réaction R'_{\text{ref}} depuis la masse virtuelle vers la sortie de l'ALI s'écrit :

Ce courant est intégralement fourni (ou absorbé) par l'étage de sortie de l'amplificateur opérationnel. L'écrêtage de la tension à |u_{s,\max}| = 2{,}0\text{ V} traduit donc une saturation en courant de l'ALI, dont l'étage de sortie est limité à une intensité maximale :

Numériquement, avec R'_{\text{ref}} = 100{,}00\ \Omega et |u_{s,\max}| = 2{,}0\text{ V} :

Cette valeur correspond exactement à l'ordre de grandeur classique du courant maximal de limitation (protection contre les courts-circuits) des amplificateurs linéaires intégrés d'usage courant (typiquement 20 à 25 mA pour un \mu\text{A}741 ou un TL081).

1. Modélisation de la capacité parasite C_p

On assimile les pistes conductrices du primaire et du secondaire à deux armatures planes parallèles en regard, de surface S_{\text{face}} et distantes de d, séparées par un milieu diélectrique de permittivité \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r :

2. Estimation géométrique

• Surface en regard S_{\text{face}} : Les pistes sont rectangulaires, d'épaisseur (hauteur de profil) h = 3\ \mu\text{m} (figure 1b). Les enroulements primaire et secondaire sont imbriqués et cheminent côte à côte sur une longueur L_{\text{face}} proche de la longueur totale de l'enroulement. L'enroulement étant inscrit dans un carré d'environ 100\ \mu\text{m} \times 100\ \mu\text{m}, sa longueur développée est de l'ordre de :

  L_{\text{face}} \approx 3 \times 100\ \mu\text{m} \approx 300\ \mu\text{m}

  La surface latérale en regard vaut ainsi :

  S_{\text{face}} = h \cdot L_{\text{face}} \approx 3 \times 10^{-6} \times 300 \times 10^{-6} \approx 9 \times 10^{-10}\ \text{m}^2 \approx 10^{-9}\ \text{m}^2

• Distance inter-conducteurs d : Sur la figure 1a, la largeur d'une piste est w = 10\ \mu\text{m} et l'espace entre pistes initial est de 25\ \mu\text{m}. L'insertion de la piste secondaire (w = 10\ \mu\text{m}) au sein de cet espace laisse un écartement de part et d'autre :

  d \approx \frac{25 - 10}{2}\ \mu\text{m} = 7{,}5\ \mu\text{m} \quad (\text{soit de l'ordre de } 5\text{ à } 10\ \mu\text{m})

3. Application numérique pour C_p

Avec \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{F}\cdot\text{m}^{-1} et \varepsilon_r = 5 \times 10^4 :

4. Commentaire sur la permittivité relative \varepsilon_r

Cette valeur \varepsilon_r = 5 \times 10^4 est extrêmement élevée par rapport à celles des milieux usuels :

• le vide et l'air ont \varepsilon_r \approx 1 ;
• les isolants usuels (verre, polymères, oxydes comme \text{SiO}_2) ont \varepsilon_r \sim 2\text{ à } 10 ;
• l'eau liquide, solvant très polaire, n'atteint que \varepsilon_r \approx 80.

Une telle valeur (\sim 10^4\text{--}10^5) est caractéristique de matériaux diélectriques à permittivité géante ou de céramiques ferroélectriques (tels que le titanate de baryum \text{BaTiO}_3 ou le PZT).

Les potentiels des bornes inférieures sont reliés à la référence commune : V_{B_1} = V_{B_2} = 0. Les potentiels des bornes supérieures s'écrivent donc :

Pour un transformateur idéal de rapport de transformation m, la relation entre les tensions s'écrit :

La tension aux bornes de la capacité parasite C_p, orientée dans le sens du courant i, vaut donc :

En convention récepteur pour le condensateur, l'intensité i traversant la capacité parasite s'exprime par :

Notons i_{1,\text{tr}} le courant entrant dans l'enroulement primaire du transformateur idéal et i_{2,\text{tr}} le courant sortant de son enroulement secondaire. Pour un transformateur idéal :

La loi des nœuds au point A_2 s'écrit :

Comme l'intensité de sortie est nulle (i_2 = 0), on a :

La loi des nœuds au point A_1 permet alors d'exprimer le courant total d'entrée i_1 :

En remplaçant l'expression de i, on obtient :

En l'absence de capacité parasite (C_p = 0), le courant dérivé est nul (i = 0). Pour un transformateur idéal débitant sur un circuit ouvert (i_2 = 0), la relation i_1 = m i_2 conduit directement à :

D'après le résultat de la question Q8, le courant appelé au primaire à vide (i_2 = 0) en présence de la capacité parasite s'écrit :

D'après le chronogramme de la figure 5, la tension d'entrée varie de \Delta U_1 = 9\text{ V} sur une durée de commutation :

La dérivée temporelle maximale en valeur absolue vaut donc :

Avec m = 0{,}9, il vient (1 - m)^2 = 0{,}01. En retenant pour la capacité parasite l'estimation de la question Q7, soit C_p \approx 70\text{ pF} (comprise typiquement entre 50\text{ pF} et 100\text{ pF}) :

Effets de ce courant :

• Un appel de courant non nul au primaire alors même que le secondaire est à vide (i_2 = 0) ;
• Des pertes par effet Joule supplémentaires dans la résistance des enroulements R_e, provoquant un échauffement du composant et une chute du rendement global ;
• L'apparition de pics de courant brefs et intenses susceptibles de générer des bruits de commutation et des perturbations électromagnétiques (problèmes de CEM).

Importance lors des variations rapides de tension : Le courant de couplage étant directement proportionnel à la dérivée temporelle de la tension (i_1 \propto \mathrm{d}u_1/\mathrm{d}t), des fronts de montée ou de descente très raides (fréquences de commutation élevées ou temps de transition très courts) maximisent la dérivée et conduisent à de forts pics de courant impulsionnels. Ce défaut est d'autant plus pénalisant que la miniaturisation des transformateurs impose justement de travailler à haute fréquence pour réduire l'encombrement des circuits magnétiques.

Considérons un électron de masse m_e et de charge -e, décrivant une trajectoire circulaire de rayon r à la vitesse scalaire constante v. La période de révolution est :

Le passage périodique de cette charge à travers une section de la trajectoire équivaut à un courant électrique continu moyen d'intensité :

La boucle de courant délimite une surface plane d'aire S = \pi r^2. La norme du moment magnétique orbital associé vaut donc :

Par ailleurs, le moment cinétique de l'électron calculé au centre de la trajectoire (noyau immobile) est orthogonal au plan de la trajectoire et sa norme s'écrit :

d'où le produit v r = \frac{\sigma_e}{m_e}. On en déduit la relation entre moment magnétique et moment cinétique :

Compte tenu de la condition de quantification imposée par le modèle de Bohr, \sigma_e = \hbar, on obtient :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{C}
• \hbar = 1{,}055 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}
• m_e = 9{,}0 \times 10^{-31}\ \text{kg}

En conservant deux chiffres significatifs (précision sur m_e) :

L'aimantation \vec{M} d'un milieu correspond à la densité volumique de moment magnétique :

La quantité de matière par unité de volume est \dfrac{\rho}{M}, ce qui donne un nombre d'atomes par unité de volume égal à :

Lorsque le matériau atteint sa saturation ferromagnétique, tous les moments magnétiques atomiques individuels \vec{m}_{\text{atome}} = z\vec{\mu}_e sont rigoureusement alignés et orientés dans le même sens. L'aimantation de saturation s'écrit donc :

En introduisant l'expression de \mu_e = \dfrac{e\hbar}{2m_e} établie à la question Q10, on obtient :

Application numérique pour le fer (z = 4) : Avec les données de l'énoncé :

• \rho = 7{,}87 \times 10^3\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}
• M = 55{,}8\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 55{,}8 \times 10^{-3}\ \text{kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \mathcal{N}_a = 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}
• z = 4
• \mu_e \approx 9{,}38 \times 10^{-24}\ \text{A}\cdot\text{m}^2

On calcule tout d'abord la densité volumique atomique :

Puis la valeur de l'aimantation de saturation :

Le volume d'un cube de fer de côté a = 150\ \mu\text{m} est :

À saturation, tous les moments magnétiques atomiques sont alignés dans la même direction et le même sens. Le moment magnétique m_a du cube s'écrit alors, en utilisant la valeur M_{\text{sat}} \approx 3{,}2 \times 10^6\ \text{A}\cdot\text{m}^{-1} obtenue à la question Q11 :

Application numérique :

Une boucle circulaire plane de diamètre D = 150\ \mu\text{m} délimite une surface :

Le moment magnétique d'une telle boucle parcourue par une intensité I vaut m = I\mathcal{S}. En imposant m = m_a, et en notant que D = a, on en déduit :

Application numérique :

Commentaire : Une intensité de plus de 600\ \text{A} circulant dans une boucle de diamètre microscopique (150\ \mu\text{m}) conduirait, pour n'importe quel conducteur réel non supraconducteur, à une densité de courant gigantesque et à une vaporisation immédiate par effet Joule. Cette comparaison met en évidence l'intensité remarquable de l'aimantation spontanée de la matière ferromagnétique, issue du couplage d'échange quantique alignant les moments magnétiques élémentaires à l'échelle atomique.

Considérons un contour circulaire \mathcal{C} d'axe l'axe de révolution du tore et de rayon r (R_{\text{int}} \leqslant r \leqslant R_{\text{ext}}), orienté dans le sens des aiguilles d'une montre (selon \vec{e}_\theta). D'après la symétrie de révolution, \vec{H} = H(r)\,\vec{e}_\theta. Le théorème d'Ampère appliqué à l'excitation magnétique s'écrit :

Dans le domaine linéaire, le champ magnétique s'en déduit par B(r) = \mu_0\mu_r H(r) \propto \frac{1}{r}.

Les champs \vec{H} et \vec{B} ne sont donc pas rigoureusement uniformes : leur amplitude décroît en 1/r du bord intérieur au bord extérieur. Pour que l'on puisse considérer ces normes comme uniformes dans toute la section droite du tore, il faut que la variation relative de r soit négligeable, c'est-à-dire que l'épaisseur radiale \Delta r = R_{\text{ext}} - R_{\text{int}} (ou la dimension transverse caractéristique \sqrt{S_t}) soit très petite devant le rayon moyen R_m = \frac{\ell_t}{2\pi} :

C'est l'approximation classique du tore mince.

Numériquement, avec les données du problème :

L'épaisseur de la section reste significativement plus petite que le rayon moyen (r_t/R_m \approx 0{,}22), ce qui justifie l'hypothèse au premier ordre.

Soit un point M(r, \theta, z) à l'intérieur du tore.

Le plan méridien passant par M, défini par la base (\vec{e}_r, \vec{e}_z), est le plan de coupe contenant la section du tore. Les spires étant enroulées autour du tore et leur nombre N_t = 500 étant élevé, on peut négliger le pas de l'hélice d'enroulement : les lignes de courant sont contenues dans ces plans méridiens.

Le plan méridien (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) est donc un plan de symétrie de la distribution de courant électrique :

Le champ magnétique \vec{B} et le champ d'excitation magnétique \vec{H} étant des vecteurs axiaux (ou pseudovecteurs), ils sont orthogonaux en tout point d'un plan de symétrie de leurs sources de courant.

Le vecteur unitaire orthogonal au plan méridien étant \vec{e}_\theta, on en déduit :

Cette colinéarité est par ailleurs cohérente avec la relation constitutive linéaire et isotrope \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}.

Considérons comme contour d'Ampère \mathcal{C} le cercle d'axe Oz, de rayon moyen R_m = \frac{\ell_t}{2\pi}, situé au cœur du tore.

Ce contour est orienté par le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta. Selon la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), le sens de parcours sur \mathcal{C} définit une normale à une surface s'appuyant sur ce contour ; on oriente le sens positif du courant i dans les spires de sorte que le courant total enlacé soit :

D'après la question Q14, \vec{H} = H \vec{e}_\theta. De plus, d'après l'approximation du tore mince (question Q13), la composante H est uniforme le long du contour circulaire de longueur \ell_t = 2\pi R_m. La circulation de \vec{H} s'écrit alors :

D'après le théorème d'Ampère appliqué au champ \vec{H} en régime quasi stationnaire :

d'où :

Le milieu ferromagnétique étant étudié dans son domaine linéaire, la relation constitutive s'écrit \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}. Les vecteurs \vec{B} et \vec{H} étant tous deux orientés selon \vec{e}_\theta, on obtient pour la composante B :

Le flux propre du champ magnétique à travers une spire de section S_t orientée selon la règle de la main droite associée au sens du courant i s'écrit, compte tenu de l'uniformité de \vec{B} = B \vec{e}_\theta sur la section :

Le flux total embrassé par les N_t spires en série est donc :

En convention récepteur (figure 6, la flèche de tension u(t) pointant vers la borne d'entrée du courant i), la tension aux bornes de la bobine idéale s'exprime selon la loi de Faraday par :

En régime sinusoïdal établi, en passant aux amplitudes complexes associées (\underline{u} = j\omega L_t \underline{i}), l'impédance du tore s'écrit :

La perméabilité relative \mu_r étant ici un scalaire réel, l'impédance \underline{Z} est un imaginaire pur :

La puissance moyenne consommée par le dipôle est donc :

Il n'y a donc aucune dissipation d'énergie dans le matériau ferromagnétique dans ce modèle linéaire sans pertes.

D'après la question Q16, l'impédance de la bobine torique s'écrit :

En introduisant la perméabilité relative complexe \underline{\mu_r} = \mu_r' - j \mu_r'', il vient :

La puissance moyenne consommée par un dipôle passif linéaire parcouru par un courant d'intensité efficace I_{\text{eff}} est donnée par :

D'où l'expression de la puissance moyenne consommée dans le tore :

Le courant traversant l'enroulement torique s'écrit i(t) = I_{\max}\cos(\omega t). D'après la question Q15, le champ d'excitation magnétique s'écrit :

En notation complexe, avec \underline{H}(t) = H_{\max}\mathrm{e}^{j\omega t}, la relation constitutive s'écrit :

Le champ réel B(t) = \mathrm{Re}(\underline{B}(t)) vaut donc :

Comme \sin(\omega t) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\omega t)} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{H}{H_{\max}}\right)^2}, la relation B(H) s'écrit :

Il s'agit de l'équation d'une ellipse centrée à l'origine, inclinée selon la droite de pente \mu_0 \mu'_r, parcourue dans le sens trigonométrique au cours du temps.

1. Champ magnétique rémanent B_r :
Il correspond à la valeur de B lorsque H = 0 (soit \cos(\omega t) = 0 et \sin(\omega t) = 1) :

2. Excitation coercitive H_c :
Elle correspond à la valeur positive de |H| pour laquelle B = 0 :

On en déduit :

Comme \mu''_r \ll \mu'_r (4 \ll 10^3), on a \sqrt{(\mu'_r)^2 + (\mu''_r)^2} \simeq \mu'_r, d'où :

Applications numériques :

D'après la question Q17, la puissance moyenne consommée dans le tore ferromagnétique s'écrit :

Le courant étant sinusoïdal d'amplitude maximale I_{\max}, sa valeur efficace est I_{\text{eff}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}, d'où I_{\text{eff}}^2 = \frac{I_{\max}^2}{2}. L'expression devient :

Application numérique :

• \mu_0 = 1{,}26 \times 10^{-6}\ \text{H}\cdot\text{m}^{-1}
• \mu_r'' = 4
• f_0 = 50\ \text{Hz} \implies \omega = 2\pi f_0 = 100\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}
• N_t = 500
• S_t = 0{,}6\ \text{cm}^2 = 0{,}6 \times 10^{-4}\ \text{m}^2
• \ell_t = 12{,}5\ \text{cm} = 0{,}125\ \text{m}
• I_{\max} = 12\ \text{A} \implies I_{\text{eff}}^2 = 72\ \text{A}^2

Nature de la perte : Cette puissance dissipée correspond aux pertes par hystérésis magnétique (également qualifiées de « pertes fer »).

À l'échelle microscopique, elles proviennent du déplacement irréversible des parois des domaines magnétiques (parois de Bloch) et du basculement irréversible de l'aimantation dans le matériau soumis à un champ magnétique variable, ce qui dissipe de l'énergie sous forme thermique.

Signe de la charge de la face inférieure :

D'après la figure 7b, sous l'effet des forces de compression \vec{F} selon Oz, les réseaux de cations et d'anions se déforment de façon dissymétrique :

• au niveau de la face inférieure (z = 0), les anions (charges négatives) font saillie vers l'extérieur par rapport aux cations ;
• au niveau de la face supérieure, ce sont les cations (charges positives) qui font saillie.

La charge qui apparaît sur la face inférieure est donc de signe négatif. La densité surfacique correspondante vérifie :

Par neutralité électrique globale du cristal, la face supérieure porte la densité surfacique opposée, -\sigma > 0.

Détermination du champ électrique \vec{E} entre les deux faces :

• Invariances : Le milieu étant supposé illimité selon Ox et Oy, la distribution de charges est invariante par translation parallèlement au plan (xOy). Le champ électrique ne dépend donc que de la coordonnée z : \vec{E} = \vec{E}(z).

• Symétries : Tout plan orthogonal au plan (xOy) et contenant \vec{u}_z est plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique est nécessairement contenu dans tous ces plans, ce qui impose :

  \vec{E}(z) = E(z)\,\vec{u}_z
• Conditions aux limites : Deux plans infinis parallèles portant des densités de charges surfaciques uniformes et opposées \sigma (en z = 0) et -\sigma (en z = d) créent un champ nul à l'extérieur de l'espace inter-armatures : \vec{E}(z < 0) = \vec{0} et \vec{E}(z > d) = \vec{0}.

Appliquons le théorème de Gauss au vecteur déplacement électrique \vec{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E} (avec \varepsilon_r la permittivité relative du matériau) à travers un cylindre fermé d'axe Oz, de section droite d'aire S, dont la base inférieure est située en z_1 < 0 et la base supérieure à une cote z \in {}]0, d[ :

• Le flux à travers la surface latérale est nul car \vec{D} est colinéaire à \vec{u}_z.
• Le flux à travers la base inférieure est nul car le champ y est nul (\vec{D}(z_1) = \vec{0}).

• Le flux à travers la base supérieure vaut :

  \Phi_D = \vec{D}(z) \cdot (S\vec{u}_z) = \varepsilon_0 \varepsilon_r E(z) S

La charge libre/surfacique totale enfermée dans ce cylindre est Q_{\text{int}} = \sigma S. D'après le théorème de Gauss :

On en déduit l'expression du champ électrique entre les deux faces :

1. Champ électrique pour une couche unique (figure 8a) Pour une couche de matériau d'épaisseur d soumise à une tension U, le champ électrique uniforme à l'intérieur est orienté du potentiel le plus élevé vers le potentiel le plus faible (vers le bas sur la figure 8a, soit selon -\vec{u}_z) :

2. Champ électrique pour deux couches (figure 8b) Les deux couches de matériau ont chacune une épaisseur d/2. D'après les connexions de la figure 8b, l'électrode supérieure et l'électrode intermédiaire inférieure sont portées au même potentiel, tandis que l'électrode intermédiaire supérieure et l'électrode inférieure sont reliées à l'autre borne du générateur.

Chaque couche est donc soumise à la même tension U sur une épaisseur réduite de moitié (d/2). Le champ électrique dans chacune des deux couches est uniforme, dirigé vers le bas, et vaut :

3. Généralisation à N couches Pour N couches d'épaisseur individuelle d/N montées en parallèle et alimentées par la même tension U avec des électrodes alternées (peigne interdigité), chaque couche est le siège d'un champ électrique de même sens :

En fonction de la tension U, de l'épaisseur totale d et de N, l'expression vectorielle (avec \vec{u}_z ascendant) s'écrit :

ou, en norme :

4. Avantage du système multicouche La déformation mécanique \delta induite par l'effet piézoélectrique inverse est proportionnelle au champ électrique appliqué (\delta = \beta E_z). Pour une tension d'alimentation U fixée, le champ électrique dans le matériau est multiplié par N :

• À tension de commande donnée, la déformation piézoélectrique (ou la force mécanique générée) est multipliée par N ;
• Réciproquement, pour obtenir une déformation donnée, la tension d'alimentation nécessaire est divisée par N, ce qui permet de commander le dispositif avec des tensions basses compatibles avec l'électronique intégrée standard.

1. Rapport de transformation en tension m

Au primaire, le matériau d'épaisseur totale L_a est divisé en N couches d'épaisseur L_a/N connectées en parallèle sous la tension U_p. D'après le résultat de la question Q21, le champ électrique régnant dans chaque couche s'écrit en norme :

Par effet piézoélectrique inverse, ce champ induit une déformation d'amplitude :

L'amplitude de déformation au secondaire étant identique à celle du primaire (\delta_s = \delta_p), l'effet piézoélectrique direct engendre au sein du matériau secondaire un champ électrique :

Le secondaire étant constitué d'une seule couche d'épaisseur L_a, la tension à vide développée entre ses armatures vaut :

Le rapport de transformation en tension m = \frac{U_s}{U_p} est donc :

2. Fonctionnement pour des signaux stationnaires

D'après les lois constitutives fournies par l'énoncé (\delta = \beta E_z et E_z = \delta/\beta), le couplage électromécanique ne fait intervenir aucune dérivée temporelle.

Par conséquent, à vide, une tension continue U_p constante engendre une contrainte statique dans le barreau, qui fait apparaître au secondaire une tension continue constante U_s = N U_p.

Ce transformateur peut donc fonctionner pour des signaux stationnaires (continus), ce qui constitue une différence conceptuelle majeure avec le transformateur électromagnétique usuel fondé sur l'induction de Faraday (e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}), intrinsèquement inopérant en continu.

1. Dimension de la constante K

L'expression de la force exercée sur la face en x est :

En effectuant une analyse aux dimensions :

Sachant que \xi et x ont la dimension d'une longueur ([\xi] = [x] = \mathrm{L}), le terme \frac{\partial \xi}{\partial x} est sans dimension (\left[\frac{\partial \xi}{\partial x}\right] = 1). De plus, [F] = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}} et [S] = \mathrm{L^2}. Il vient :

La constante K a la dimension d'une pression ou d'une contrainte mécanique, et s'exprime en pascals (\mathrm{Pa} ou \mathrm{N\cdot m^{-2}}).

2. Expression de la force \vec{F}_+(x + \mathrm{d}x, t)

Par définition donnée par l'énoncé, la force exercée par le milieu situé en deçà d'une abscisse X sur le milieu situé au-delà vaut :

À l'abscisse X = x + \mathrm{d}x, la tranche de matière étudiée se situe en deçà de cette frontière. Par conséquent, la force exercée par la tranche sur le matériau situé au-delà (x' > x + \mathrm{d}x) s'écrit \vec{F}_-(x + \mathrm{d}x, t).

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force \vec{F}_+(x + \mathrm{d}x, t) exercée en retour par le matériau situé au-delà de x + \mathrm{d}x sur la tranche étudiée est l'opposée de cette force :

Soit :

3. Force résultante \mathrm{d}\vec{F}_r à l'ordre un en \mathrm{d}x

La force résultante s'exerçant sur la tranche de matériau comprise entre x et x + \mathrm{d}x est la somme des forces appliquées sur ses deux faces :

Un développement de Taylor à l'ordre un en \mathrm{d}x donne :

On en déduit l'expression de la résultante à l'ordre un :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche élémentaire de barreau de masse \mathrm{d}m = \rho S \mathrm{d}x, dont la quantité de mouvement est \vec{p} = \mathrm{d}m \frac{\partial \xi}{\partial t}(x, t) \vec{u}_x, soumise à la seule résultante des forces élastiques internes \mathrm{d}\vec{F}_r :

En utilisant l'expression de \mathrm{d}\vec{F}_r établie à la question Q23 :

En remplaçant \mathrm{d}m = \rho S \mathrm{d}x et en simplifiant par S \mathrm{d}x \neq 0, on obtient en projection selon \vec{u}_x :

Cette équation se met sous la forme canonique :

avec une célérité c donnée par :

Il s'agit de l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes unidimensionnelle non dispersive).

La solution plane harmonique complexe proposée s'écrit :

1. Condition à la limite en x = 0 En x = 0, le déplacement imposé est \xi(0, t) = \xi_0 \cos(\omega t), ce qui correspond en notation complexe à \underline{\xi}_p(0, t) = \xi_0 \mathrm{e}^{j \omega t}. D'où :

2. Condition à la limite en x = L L'extrémité en x = L étant libre, aucune contrainte mécanique ne s'y applique. D'après l'expression de la force de cohésion élastique issue de la question Q23, la force exercée sur cette face est nulle :

En dérivant \underline{\xi}_p(x, t) par rapport à x :

En évaluant en x = L, sachant que k \neq 0 :

3. Expression des constantes \underline{A}, \underline{B} et du dénominateur \underline{D} En injectant l'expression de \underline{B} dans la condition en x = 0 :

On en déduit immédiatement \underline{B} :

L'expression de l'élongation complexe devient alors :

Par identification, on obtient :

et pour les constantes complexes :

4. Signification physique des différents termes En développant le produit avec \mathrm{e}^{j \omega t}, deux ondes progressives apparaissent :

• Le terme \exp(j(\omega t - k x)) représente l'onde incidente, qui se propage dans le sens des x croissants (de la source en x = 0 vers l'extrémité libre en x = L).
• Le terme \exp(j(\omega t - k (2 L - x))) représente l'onde réfléchie à l'extrémité x = L, se propageant en sens inverse (vers les x décroissants). La phase spatiale k(2L - x) s'interprète par le fait que l'onde a parcouru un chemin total depuis la source de L (aller jusqu'à l'extrémité) plus L - x (retour jusqu'à l'abscisse x), soit L + (L - x) = 2L - x.
• Le dénominateur \underline{D} rend compte du phénomène d'interférence globale résultant des allers-retours successifs dans la cavité.

5. Déphasage à la réflexion En x = L, l'onde incidente s'écrit \underline{A} \mathrm{e}^{-j k L} et l'onde réfléchie s'écrit \underline{B} \mathrm{e}^{j k L} = \underline{A} \mathrm{e}^{-2 j k L} \mathrm{e}^{j k L} = \underline{A} \mathrm{e}^{-j k L}. Le coefficient de réflexion de l'élongation vaut donc :

La réflexion de l'onde de déplacement sur l'extrémité libre s'accompagne d'un déphasage nul :

D'après la question Q25, l'amplitude complexe du déplacement s'écrit :

avec \underline{D} = 1 + \mathrm{e}^{-2jkL} = 2\cos(kL)\,\mathrm{e}^{-jkL}.

La résonance correspond à une divergence de l'amplitude de vibration, c'est-à-dire à l'annulation du dénominateur \underline{D} :

Sachant que k = \dfrac{\omega}{c} = \dfrac{2\pi f}{c}, on en déduit les fréquences de résonance :

La fréquence minimale de résonance correspond au mode fondamental n = 1 :

D'après la question Q24, la célérité dans la céramique PZT vaut :

Avec une longueur L = 2\text{ cm} = 2{,}0 \times 10^{-2}\ \text{m} :

Amplitude des vibrations à la résonance : Dans ce modèle sans pertes, le dénominateur s'annule strictement : l'amplitude des vibrations tend vers l'infini (divergence). Dans la réalité, cette amplitude reste finie, limitée par les frottements internes (dissipation viscoélastique).

Inconvénients pour un matériau solide :

• Une amplitude de déformation excessive engendre des contraintes mécaniques très intenses pouvant dépasser la limite de rupture du matériau ou provoquer une dégradation prématurée par fatigue mécanique (apparition de microfissures, clivage).
• La dissipation interne associée à ces grandes amplitudes produit un échauffement thermique local important, susceptible d'altérer les propriétés piézoélectriques (dépolarisation au-delà de la température de Curie).

Considérons la tranche de barreau de section S, comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x au repos, de masse :

Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, le bilan des forces horizontales s'exerçant sur cette tranche comprend :

• la résultante des forces élastiques (établie à la question Q23) :

  \mathrm{d}\vec{F}_r = S K \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}(x, t)\,\mathrm{d}x\,\vec{u}_x

• la force de frottement fluide dissipative donnée par l'énoncé :

  \mathrm{d}\vec{f}_d = -\frac{1}{\tau} \frac{\partial \xi}{\partial t}(x, t)\,\mathrm{d}m\,\vec{u}_x = -\frac{\rho S}{\tau} \frac{\partial \xi}{\partial t}(x, t)\,\mathrm{d}x\,\vec{u}_x

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la tranche de masse \mathrm{d}m, dont l'accélération est \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}(x, t)\,\vec{u}_x, on obtient en projection sur \vec{u}_x :

En divisant l'ensemble par S K \,\mathrm{d}x et en rappelant l'expression de la célérité c = \sqrt{\frac{K}{\rho}} (question Q24), il vient :

D'où la nouvelle équation de propagation régissant l'onde acoustique amortie :

L'équation de propagation avec terme dissipatif obtenue à la question Q27 s'écrit :

En recherchant une onde plane progressive sous la forme complexe proposée :

les opérateurs différentiels se traduisent par :

En substituant dans l'équation d'onde, on obtient :

ce qui donne la relation de dispersion :

Par ailleurs, avec \underline{k} = k' - j k'', on a :

L'identification de la partie imaginaire conduit à :

En utilisant l'approximation de faible atténuation suggérée par l'énoncé (k' \simeq \frac{\omega}{c}) :

On en déduit l'expression de k'' :

En reprenant l'expression de l'amplitude obtenue à la question Q25 avec un vecteur d'onde complexe \underline{k} = k' - jk'' :

1. Effet sur les amplitudes à la résonance :

   • En l'absence d'amortissement (k'' = 0), le dénominateur s'annulait pour 2kL \equiv \pi \; [2\pi], conduisant à une divergence théorique de l'amplitude (\underline{D} = 0).

   • En présence de phénomènes dissipatifs (k'' > 0), on a \mathrm{e}^{-2k''L} < 1 ; le module du dénominateur :

     |\underline{D}|_{\min} = 1 - \mathrm{e}^{-2k''L} > 0

     ne s'annule plus jamais. Par conséquent, l'amplitude des vibrations à la résonance reste finie et bornée.

   • Le facteur de qualité devient fini et les pics de résonance s'élargissent (bande passante non nulle).

2. Effet sur les fréquences de résonance :

   • L'amplitude est maximale lorsque le dénominateur |\underline{D}| est minimal, ce qui impose l'opposition de phase 2k'L = (2n-1)\pi, soit k' = (2n-1)\frac{\pi}{2L}.

   • D'après la relation de dispersion établie à la question Q28, \operatorname{Re}(\underline{k}^2) = k'^2 - k''^2 = \frac{\omega^2}{c^2}, d'où :

     \omega^2 = c^2\left(k'^2 - k''^2\right) < c^2 k'^2

     Les fréquences de résonance subissent donc un léger décalage vers les basses fréquences (diminution de f_n).

   • Dans le cadre de faibles pertes (k'' \ll k'), ce décalage fréquentiel du second ordre en k''/k' reste extrêmement faible devant f_n.

L'abscisse des quatre graphes est le logarithme décimal de la résistance de charge exprimée en \text{k}\Omega : x = \log_{10}(R_c / 1\text{ k}\Omega), soit R_c = 10^x\text{ k}\Omega.

a. Puissances d'entrée, de sortie et puissance perdue au maximum de puissance

• Puissance de sortie maximale : D'après le graphe (a) de la figure A (et le texte d'introduction de la question), le maximum de puissance de sortie est atteint pour :

  \log_{10}(R_c / 1\text{ k}\Omega) \approx 1{,}7 \implies R_c \approx 10^{1{,}7}\text{ k}\Omega \approx 50\text{ k}\Omega

  La valeur correspondante est :

  \boxed{P_{s,\max} \approx 4{,}5\text{ mW}}

• Rendement et puissance d'entrée : Au même point d'abscisse \log_{10}(R_c) \approx 1{,}7, le graphe (c) donne un rendement maximal :

  \eta \approx 16{,}5\% = 0{,}165

  Par définition du rendement \eta = \frac{P_s}{P_e}, la puissance active fournie à l'entrée vaut :

  P_e = \frac{P_{s,\max}}{\eta} = \frac{4{,}5\times 10^{-3}}{0{,}165} \approx 2{,}7\times 10^{-2}\text{ W}
  \boxed{P_e \approx 27\text{ mW}}

• Puissance perdue : La puissance dissipée en pertes (mécaniques par frottement interne et diélectriques) est :

  P_{\text{perdue}} = P_e - P_{s,\max} \approx 27\text{ mW} - 4{,}5\text{ mW}
  \boxed{P_{\text{perdue}} \approx 23\text{ mW}}
• Cohérence avec le courant d'entrée : Le graphe (d) indique qu'à l'abscisse \log_{10}(R_c) \approx 1{,}7, le courant efficace d'entrée est minimal et vaut I_{e,\text{eff}} \approx 2{,}21\text{ mA}. La puissance apparente à l'entrée vaut S_e = U_{e,\text{eff}} I_{e,\text{eff}} = 20\text{ V} \times 2{,}21\text{ mA} \approx 44\text{ mVA}. La puissance active étant P_e = S_e \cos\varphi_e \approx 27\text{ mW}, le facteur de puissance d'entrée vaut \cos\varphi_e \approx 0{,}61 \le 1, ce qui est tout à fait cohérent.

Commentaire : Le rendement du transformateur piézoélectrique reste faible (environ 16{,}5\%), l'essentiel de l'énergie (83{,}5\%) étant perdu en dissipation visqueuse interne au sein du matériau céramique PZT et par pertes diélectriques. Le niveau de puissance extrait (quelques milliwatts) destine ce type de dispositif à l'alimentation de microsystèmes ou de capteurs autonomes de très faible consommation.

b. Accord entre la tension de sortie et la puissance de sortie La charge étant purement résistive, la puissance moyenne consommée par R_c sous une tension efficace U_s s'exprime par :

Testons la concordance pour différents points caractéristiques des graphes (a) et (b) :

• Pour \log_{10}(R_c) = 1{,}7 (R_c \approx 50\text{ k}\Omega) : le graphe (b) donne U_s \approx 15\text{ V}.

  P_{s,\text{calc}} = \frac{15^2}{50\times 10^3} = \frac{225}{50\,000} = 4{,}5\text{ mW}

  Cette valeur coïncide exactement avec la valeur de crête P_s \approx 4{,}5\text{ mW} lue sur le graphe (a).

• Pour \log_{10}(R_c) = 2{,}0 (R_c = 100\text{ k}\Omega) : le graphe (b) donne U_s \approx 19\text{ V}.

  P_{s,\text{calc}} = \frac{19^2}{100\times 10^3} = \frac{361}{100\,000} \approx 3{,}6\text{ mW}

  Ce qui est en parfait accord avec la lecture sur le graphe (a) : P_s(2{,}0) \approx 3{,}6\text{ mW}.

• Pour \log_{10}(R_c) = 1{,}0 (R_c = 10\text{ k}\Omega) : le graphe (b) donne U_s \approx 4\text{ V}.

  P_{s,\text{calc}} = \frac{4^2}{10\times 10^3} = \frac{16}{10\,000} = 1{,}6\text{ mW}

  En accord avec le graphe (a) où P_s(1{,}0) \approx 1{,}6\text{ mW}.

Dans le cadre de l'ARQS magnétique, le courant de déplacement est négligeable devant les courants de conduction, ce qui conduit à l'équation locale de Maxwell-Ampère pour les milieux magnétiques :

où \vec{\jmath}_f désigne la densité volumique de courant libre (de conduction).

Symétries et invariances :

• Les spires étant supposées circulaires et enroulées autour du cylindre d'axe Oz, tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants libres. Par conséquent, le champ \vec{H} est partout contenu dans ces plans.

• Tout plan orthogonal à Oz est un plan de symétrie pour la distribution des courants de spires. Ainsi, en tout point, le champ \vec{H} lui est orthogonal, c'est-à-dire dirigé selon l'axe du cylindre :

  \vec{H}(M) = H(r,\theta,z)\,\vec{u}_z
• L'énoncé précise de plus que les champs sont considérés uniformes dans le barreau, ce qui équivaut à négliger les effets de bord (modèle du solénoïde infiniment long). Le champ à l'extérieur du bobinage est donc nul : \vec{H}_{\text{ext}} = \vec{0}.

Théorème d'Ampère : Considérons un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} orienté selon la règle de la main droite par rapport au sens d'enroulement :

• un segment de longueur h situé à l'intérieur du barreau, parallèle à \vec{u}_z ;
• deux segments radiaux de longueur arbitraire, orthogonaux à \vec{u}_z (sur lesquels \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = 0) ;
• un segment de longueur h parallèle à l'axe, situé à l'extérieur du barreau où \vec{H} = \vec{0}.

La circulation de \vec{H} le long de ce contour s'écrit :

Le nombre de spires traversées par la surface délimitée par \mathcal{C} est N = n\,h, de sorte que l'intensité libre totale enlacée vaut :

D'après le théorème d'Ampère pour le vecteur excitation :

En reliant la densité linéique de spires au nombre total de spires N_f et à la longueur \ell du barreau (n = N_f/\ell), le champ d'excitation magnétique dans le barreau s'exprime par :

avec I_e(t) = I_{0e}\cos(\omega t).

Dans le domaine linéaire, le champ d'excitation magnétique \vec{H} et le champ magnétique \vec{B} sont reliés par la relation constitutive :

En utilisant l'expression du champ d'excitation obtenue à la question Q31, \vec{H} = n I_e(t) \vec{u}_z, on en déduit directement :

Le barreau cylindrique a pour diamètre D, soit une section droite :

Le champ magnétique étant supposé uniforme dans le barreau et les spires enlaçant le cylindre, le flux magnétique à travers une spire orientée par la normale \vec{u}_z est :

Pour les N_f spires de l'enroulement de mesure, le flux total embrassé s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la bobine est e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}. L'enroulement de mesure étant en circuit ouvert (courant débité négligé), la tension à ses bornes est liée à la variation temporelle du flux. En tenant compte du sens d'enroulement et du fléchage de la tension u_s(t) sur la figure 11 (convention récepteur par rapport à l'orientation induite par \vec{u}_z, en cohérence avec les figures B et C où u_s est du signe de \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}), on a :

Comme I_e(t) = I_{0e} \cos(\omega t), il vient :

D'après la question Q31, l'excitation magnétique dans le barreau s'écrit :

Les deux régimes se distinguent selon la valeur de |H(t)| par rapport à H_0 :

• Domaine linéaire (|H(t)| \le H_0 \iff |\cos(\omega t)| \le \frac{1}{2}) :
  Le matériau a une réponse linéaire \vec{B}(t) = \mu_0 \mu_r H(t)\vec{u}_z. Le flux propre à travers l'enroulement de mesure (section S = \frac{\pi D^2}{4}, N_f spires) vaut \Phi(t) = N_f S \mu_0 \mu_r H(t).
  La tension induite u_s(t) s'écrit (en reprenant le résultat de Q32) :

  u_s(t) = - N_f S \mu_0 \mu_r \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = - \frac{\pi}{4}\mu_0 \mu_r n N_f D^2 \omega I_{0e} \sin(\omega t)

  En remplaçant n I_{0e} = 2H_0 :

  \boxed{u_s(t) = - \frac{\pi}{2}\mu_0 \mu_r N_f D^2 \omega H_0 \sin(\omega t)}

  Sur une période \omega t \in [0, 2\pi], cette expression est valable pour \omega t \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right] et \omega t \in \left[\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right].

• Domaine saturé (|H(t)| > H_0 \iff |\cos(\omega t)| > \frac{1}{2}) :
  L'aimantation est saturée à M(t) = \pm M_{\text{sat}} = \mathrm{cte}. Le champ magnétique s'écrit :

  \vec{B}(t) = \mu_0\left(H(t) \pm M_{\text{sat}}\right)\vec{u}_z

  Le flux à travers l'enroulement de mesure s'obtient avec une composante variable ne dépendant plus que de \mu_0 H(t) :

  u_s(t) = - N_f S \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} = - N_f S \mu_0 \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = -\frac{\pi}{2} \mu_0 N_f D^2 \omega H_0 \sin(\omega t)

  Comme \mu_r = 4000 \gg 1, cette tension est atténuée d'un facteur \mu_r par rapport à celle du régime linéaire (\frac{u_{s,\text{sat}}}{u_{s,\text{lin}}} = \frac{1}{\mu_r} = 2{,}5 \times 10^{-4}) : elle est rigoureusement négligeable à l'échelle du signal. On a donc :

  \boxed{u_s(t) \simeq 0}

  Sur une période, cette saturation intervient pour \omega t \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right[\, \cup\, \left]\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right[\, \cup\, \left]\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right].

L'excitation magnétique imposée dans le barreau s'écrit H(t) = 2H_0 \cos(\omega t). D'après la modélisation de la figure 12, le comportement dépend de la valeur de |H(t)| par rapport à H_0, soit |\cos(\omega t)| par rapport à 1/2 :

• Domaine de saturation positive (H \ge H_0, soit \cos(\omega t) \ge 1/2) :
  Pour \omega t \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right] et \omega t \in \left[\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right], le matériau est saturé :

  B(t) = B_{\text{sat}} \simeq \mu_0 \mu_r H_0 = \text{cte} \quad \implies \quad u_s(t) = 0

• Domaine linéaire décroissant (-H_0 \le H \le H_0, avec H décroissant) :
  Pour \omega t \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right], \cos(\omega t) décroît de 1/2 à -1/2 :

  \begin{aligned} B(t) &= 2 B_{\text{sat}} \cos(\omega t) \\ u_s(t) &= -U_{\max} \sin(\omega t) \quad \text{avec} \quad U_{\max} = \frac{\pi}{2} \mu_0 \mu_r N_f D^2 \omega H_0 \end{aligned}

  À \omega t = \frac{\pi}{3}^+, u_s subit une discontinuité de 0 à -U_{\max}\sin(\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} U_{\max}.
  À \omega t = \frac{\pi}{2}, u_s atteint son minimum négatif -U_{\max}.
  À \omega t = \frac{2\pi}{3}^-, u_s = -\frac{\sqrt{3}}{2} U_{\max}, puis saute à 0 à \frac{2\pi}{3}.

• Domaine de saturation négative (H \le -H_0, soit \cos(\omega t) \le -1/2) :
  Pour \omega t \in \left[\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right], le matériau est saturé dans l'autre sens :

  B(t) = -B_{\text{sat}} = \text{cte} \quad \implies \quad u_s(t) = 0

• Domaine linéaire croissant (-H_0 \le H \le H_0, avec H croissant) :
  Pour \omega t \in \left[\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right], \cos(\omega t) croît de -1/2 à 1/2 :

  \begin{aligned} B(t) &= 2 B_{\text{sat}} \cos(\omega t) \\ u_s(t) &= -U_{\max} \sin(\omega t) > 0 \quad (\operatorname{car } \sin(\omega t) < 0) \end{aligned}

  À \omega t = \frac{4\pi}{3}^+, u_s saute de 0 à +\frac{\sqrt{3}}{2} U_{\max}.
  À \omega t = \frac{3\pi}{2}, u_s atteint son maximum +U_{\max}.
  À \omega t = \frac{5\pi}{3}^-, u_s = +\frac{\sqrt{3}}{2} U_{\max}, puis saute à 0 à \frac{5\pi}{3}.

On complète ainsi la figure B du document réponse :