Dipôles électrique et magnétique : 187 questions de concours corrigées

Rappeler, schéma à l'appui, la définition du moment magnétique µ d'une boucle de courant plane.

Que peut-on dire du moment dipolaire électrique de la molécule de CO₂ en l'absence de vibration ?

Représenter l'allure des lignes de champ (orientées) de l'aimant (0).

Reproduire la spire et l'aimant représentés sur la figure (1) mais vus dans le plan (O, x, y) et non plus en perspective. Tracer l'allure de quelques lignes du champ magnétique Bₐ créé par l'aimant.

En partant de l'équation de Larmor, donner sans autre forme de justification l'équation d'évolution de l'aimantation M(t) dans son champ magnétique effectif B_eff.

On considère que chaque atome est soumis à un champ électrique du type E = E₀ cos (ω t - kz) uₓ, créé par un laser. On néglige tout phénomène magnétique. À quelle condition peut-on remplacer…

Déterminer l'équation r(θ) d'une ligne de champ magnétique et tracer l'allure du graphe d'une ligne de champ dans un plan méridien.

Déterminer l'équation r(θ) d'une ligne de champ magnétique et tracer l'allure du graphe d'une ligne de champ dans un plan méridien.

Montrer que si r ≪ σ, alors U(r) - U(0) ≈ 1/2 k r² où l'on exprimera k en fonction de γ, E et σ.

On note r_i la position de l'électron de cœur i. Montrer que pour r_i ≪ r on a 1/(|r - r_i|) ≃ 1/r + (r_i · r)/r³ +

Citer les approximations associées aux deux inégalités r ≫ a et λ ≫ a.

On étudie le rayonnement de ce dipôle dans la zone de rayonnement, en se plaçant dans l'approximation dipolaire et dans le cadre d'une hypothèse non relativiste. Traduire ces approximations par…

Établir l'expression du potentiel électrostatique V₁(M) créé en M par la molécule polaire dans le cadre de l'approximation dipolaire qu'on explicitera. On donnera le résultat en fonction de p₁, ε₀…

On considère que le champ magnétique terrestre est celui d'un dipôle magnétique de moment magnétique M (figure 10) placé au centre de la Terre. L'angle entre sa direction et l'axe de rotation de la…

En négligeant pour un temps le caractère quantique de l'électron, c'est-à-dire son spin, et en considérant un électron de charge -e et de masse mₑ sur une trajectoire circulaire uniforme autour d'un…

Montrer que la force électrique F_el exercée sur l'électron peut s'écrire comme une force élastique linéaire, c'est-à-dire F_el = -k_elrₑ, avec k_el la constante de raideur associée. Introduire dans…

On cherche la solution de cette équation en régime établi (régime sinusoïdal forcé) sous la forme rₑ(t) = r_e,0exp (-iω t). Déterminer l'expression de r_e,0. En déduire l'expression du moment…

Exprimer le champ magnétique Bₐ(Q) en fonction de B, D, r, de l'angle φ et des vecteurs unitaires eₓ et e_r.

Déterminer dans le système de coordonnées sphériques (figure 1) le champ électrique créé par le dipôle en un point M en fonction des variables r = |OM| et θ.

Donner les trois composantes (B_r, B_θ, B_φ) du champ magnétique dans la base sphérique.

Application numérique : sur le sol de l'équateur, l'intensité du champ magnétique est B = 2,6· 10⁻⁵ T. En déduire une estimation de la valeur m du dipôle magnétique terrestre.

Donner les trois composantes (B_r, B_θ, B_φ) du champ magnétique dans la base sphérique.

Application numérique : sur le sol de l'équateur, l'intensité du champ magnétique est B = 2,6· 10⁻⁵ T. En déduire une estimation de la valeur m du dipôle magnétique terrestre.

Dessiner sur votre copie, dans le plan (yOz) l'allure des lignes de champ magnétique créé par la Terre dans l'hypothèse d'un dipôle magnétique comme sur la figure 4, en précisant leur orientation…

On se place en un point A du plan équatorial (xOy), à une distance d = 6R_T du point O. Quelle est alors la valeur de l'angle θ ? Quelle est l'expression des coordonnées du champ magnétique dans la…

Le module de la force d'interaction magnétique entre la bille aimantée (0) et une bille ferromagnétique en contact avec elle (se reporter au texte présentant cette étude) avoisine dix newtons…

Quel type de champ connu retrouve-t-on à grande distance de la sphère ?

Exprimer l'accélération a de l'électron. Définir le moment dipolaire p₀ associé à la distribution de charges et donner son amplitude p₀ en fonction de e, ω et de a = |a|.

Cette approximation est-elle vérifiée si la longueur d'onde appartient au spectre de la lumière visible ? Si elle appartient au domaine infrarouge ?

Exprimer le moment dipolaire p = p(t) e_z associé au doublet (-q, +q).

Déterminer I₀, l'amplitude du courant I(t).

Décrire, sans calcul, le trajet des particules de type 2 après leur entrée dans la zone exposée au champ magnétique. Où peut-on recueillir les particules de type 2 ?

De quelles perturbations s'agit-il ?

a) Définir le moment dipolaire associé à ce doublet de charges. Avec quelle unité s'exprime-t-il dans le Système International ? b) À l'échelle microscopique, les atomes et certaines molécules…

Expliquer, en prenant l'exemple de la molécule de chlorure d'hydrogène (HCl), l'origine du moment dipolaire permanent de certaines molécules. Donner l'expression en fonction de a et q du moment…

En déduire que le champ électrostatique E₁(M) créé en M par la molécule polaire s'écrit en coordonnées sphériques : E₁(M)=p₁/(4πε₀ r³)(2cos (θ)u_r + sin (θ)u_θ).

Quel est l'effet du couple de forces subi par la molécule fixée au point M ? Justifier l'orientation de son moment dipolaire électrique lorsqu'elle est en équilibre stable.

Vérifier que la constante de Hamaker A est homogène à une énergie.

Donner les unités d'un moment magnétique |µ| et de l'aimantation spontanée M_s dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Quelle configuration de l'aimantation M(x) est favorisée par Eₑₓₜ ? (Une démonstration n'est pas requise.)

Justifier que les amplitudes E(r) et B(r) peuvent être effectivement considérées comme uniformes à l'échelle de l'atome.

Rappeler la définition d'un dipôle électrostatique et de son moment dipolaire p (il est conseillé de s'appuyer sur un dessin).

À quelle condition peut-on considérer que le point M se trouve à grande distance de O ?

Tracer schématiquement sans démonstration les lignes de champ électrostatique associées au dipôle.

Rappeler l'ordre de grandeur de la taille d'un atome et montrer que, pour une radiation dans l'UV (longueur d'onde du rayonnement de l'ordre de 200 nm), le champ électrique est uniforme à l'échelle…

En un lieu du sol terrestre de latitude Λ = π/2 - θ, expliciter la composante horizontale B_h et la composante verticale B_v du champ magnétique terrestre en fonction de m, Λ, µ₀ et de R_T.

En un lieu du sol terrestre de latitude Λ = π/2-θ, expliciter la composante horizontale B_h et la composante verticale B_v du champ magnétique terrestre en fonction de m, Λ, µ₀ et de R_T.

Exprimer le moment magnétique m associé à la spire S en fonction de a, I_r, θ et des vecteurs unitaires de la base cartésienne définie en figure 5.

Déduire de ce qui précède l'expression du couple des actions de Laplace subies par le rotor de la part du stator en fonction de t, I_r, I_s, n, a, µ₀, θ₀, ω_s et de ω.

Exprimer les coordonnées de B(P) dans la base sphérique en tout point de la surface terrestre. Retrouver ensuite la valeur de M annoncée dans le tableau 1.

On suppose que le moment M est dû à des courants volumiques de densité j circulant dans le noyau terrestre. On admet une relation entre j et R_N de la forme : M = jα R_Nβ. Déterminer par analyse…

Attribuer une signification physique au paramètre B^ figurant dans l'équation (1). Calculer sa valeur.

Représenter l'allure graphique de la dépendance de l'énergie d'interaction E₀(x) vis-à-vis de X. Indiquer les propriétés de cette interaction que ce tracé met en évidence.

Calculer la valeur de l'énergie d'interaction magnétique E₀₁ et celle de l'énergie cinétique initiale E_c,i,∞ de l'impacteur. Commenter ce résultat.

En pratique on a toujours T₀ ≫ T_c et on peut montrer dans ce cas l'expression asymptotique de pₘ, que l'on admettra : pₘ = α ε₀ E où la polarisabilité α > 0 est une constante à température fixée et…

On rappelle que le lien entre la force F et l’énergie potentielle E_p est donnée par F = -grad(E_p). En vous basant sur le profil choisi, expliquer où positionner l’aimant par rapport aux spires…

Exprimer l’angle β en fonction de la norme des champs B_f et B_T,h. Calculer β sachant que B_T,h = 2· 10⁻⁵ T. On prendra d = 5 cm et I = 6 A.

Justifier que les composantes E_φ, B_r et B_θ sont nulles. Justifier ensuite que les composantes non nulles des champs émis ne dépendent pas de φ.

Exprimer l'accélération a de l'électron. Définir le moment dipolaire p₀ associé à la distribution de charges et donner son amplitude p₀ en fonction de e, ω et de a = |a|.

Dans le cas où la force extérieure est due aux faisceaux laser considérés dans la partie 1, cette force est-elle bien approximée par -k r pour tous les atomes du gaz ?

On note d = qₑ r le moment dipôlaire électrique de l'atome. Montrer qu'en régime forcé on a d(t) = ε₀ α(ω) E(0, t) où α désigne la polarisabilité de l'atome.

On introduit le désaccord à résonance Δ = ω - ω₀. Donner une expression approchée de α pour |Δ| ≪ ω₀.

Montrer que suivant le signe de Δ l'atome est attiré vers les régions de faible ou forte intensité lumineuse.

Faire l'application numérique. À quelle température faut il refroidir l'atome pour le maintenir piégé ?

On suppose que sous l'effet d'un champ électrique externe uniforme E, les électrons de coeur acquièrent un dipôle électrique d_c donné par d_c = ε₀ α_c E, où α_c désigne la polarisabilité du cœur…

Déterminer la dimension de α₀. Proposer une interprétation physique de cette grandeur.

Représenter l'allure de la norme de F en fonction du désaccord δ.

On définit l'intervalle de pulsation Δ ω = ω₊ - ω₋ tel que F(ω_±) = Fₘₐₓ /2. Déterminer l'expression de Δ ω en fonction de τ₀.

Comparer la norme de la force F à l'action de la pesanteur sur un atome de Rubidium, pour I = I_sat et à la résonance.

Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde électromagnétique issue du rayonnement solaire sous cette forme. Justifier qualitativement l'apparition de cette polarisation. Que…

Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde électromagnétique issue du rayonnement solaire sous cette forme. Comment expliquer la création du moment dipolaire p ? On se…

On admet que le flux Φ(t) du champ magnétique créé par l'aimant à travers ce même anneau (A) s'écrit Φ(t) = Φ₀ r_i³/((r_i² + (z + vt)²)³/²) où Φ₀ est une constante dont on admettra qu'elle s'écrit…

Au voisinage de l'axe (Oz), le champ magnétique est localement uniforme et orienté selon u_z : B = B u_z. Dans cette question, on suppose comme dans la Q4 que le mouvement du cation est circulaire…

Montrer que E = 1/2mv_² + E_p est une constante. Quelle signification physique peut-on donner aux termes 1/2mv_² et E du point de vue du dipôle magnétique ?

En reprenant la valeur précédente de M_sat, quel serait le moment magnétique à saturation mₐ d'un cube de fer de côté 150 ? Quelle serait l'intensité I parcourant une boucle circulaire de diamètre…

On suppose qu'à chaque instant qr(t) = α_c(ω)E₀(R)e⁻iω teₓ, où α_c(ω) a été introduit à la question 11. Sous quelle(s) condition(s) peut-on faire cette hypothèse ?

Proposer une méthode pour mieux confiner les atomes dans la direction z.

Exprimer, dans le repère R(O, x, y, z), le champ B₀(P(r, θ)) correspondant à chacun des points suivants : P₁=P(D, 0), P₂=P(D, π / 2), P₃=P(D, π) et P₄=P(D, 3 π / 2).

Exprimer la composante B₀(P₁) · e_z en fonction de µ₀ et M_v. Estimer sa valeur et la commenter brièvement.

Exprimer, en fonction de M et de l'angle θ, le moment magnétique M₁, dans la base polaire (e_r, e_θ, eₓ).

Représenter, sur un graphe commun, l'allure graphique de la dépendance (qualitativement), vis-à-vis de l'angle θ, de chacune des énergies potentielles E_B et E_g 1, pour θ [-π,+π] (c'est-à-dire sans…

Indiquer l'argument qui justifie l'hypothèse H_ppv.

Exprimer l'énergie potentielle magnétique E_B N de l'édifice en fonction de N, K et α. On notera que cette énergie peut également s'écrire sous la forme suivante : E_B N=1/2 κ_B(1/R)² où κ_B=κ_B(N…

Proposer une situation électrostatique analogue à celle étudiée ici. En particulier, d'étailler cette analogie terme à terme pour la relation précédente.

Quelle relation a-t-on entre l'angle θ et l'angle α que fait le champ E avec l'axe (OM) ?

Déterminer et dessiner le champ E pour θ = 0 et θ = π/2.

Combien peut-on construire de dérivation unipolaire ? de dérivation bipolaire ?

Quel intérêt y a-t-il à associer ces deux types de dérivations ?

À l'aide de l'expression du potentiel créé par un dipôle donnée précédemment, exprimer les trois potentiels V_R, V_L et V_F en fonction, notamment, des distances r_R = OR, r_L = OL et r_F = OF. On…

Qu'imposent les hypothèses 2 et 3 pour le calcul précédent ?

En figure 5, le schéma des niveaux successifs d’énergie, obtenus par l’équation de Dirac en tenant compte du décalage de Lamb et de la structure fine, est représenté (sans que les échelles soient…

Pour un diapason résonant à la fréquence 256 Hz, à quelle fréquence doit-on régler la source du courant i(t) pour exciter le diapason à résonance ?

Nous définissons le moment dipolaire électrique d'une maille par le vecteur p = peₓ où p = q(x_P - x_N). Exprimer p en fonction des variables x_B et E ainsi que des paramètres du modèle.

Comment appelle-t-on la grandeur α ? Préciser, en la justifiant, la dimension de α puis donner un ordre de grandeur littéral.

En déduire l'expression du moment dipolaire électrique p de la nanoparticule en fonction de E₁ sous la forme p = ε₀α(ω)E₁ .

Expliciter la polarisabilité complexe α(ω) en fonction de ω, Ω, ω_p et R. Préciser la dimension du module |α(ω)| de la polarisabilité complexe.

Estimer l'énergie potentielle d'interaction des deux molécules, distantes de r = 0,5 nm, en supposant leurs moments dipolaires électriques alignés. Comparer cette énergie à l'énergie d'agitation…

Du fait de l'agitation thermique, on doit considérer l'énergie potentielle d'interaction moyenne entre deux dipôles situés à une distance r dont les orientations relatives sont sujettes à des…

Le champ magnétique au pôle Nord géographique vaut B = 6,0· 10⁴ nT. En déduire l'ordre de grandeur du moment dipolaire M sachant que la perméabilité magnétique de l'air vaut µ₀ = 4π · 10⁻⁷ H⁻¹ et…

Avec un déplacement vers le Nord ou vers le Sud à peu près équivalent (800 km) on peut passer de 3,33· 10⁴ nT à 2,67· 10⁴ nT ou à 4,67· 10⁴ nT : quelles sont les variations relatives correspondantes…

Calculer la variation δ Eₑₓₜ(M) = Eₑₓₜ(M + δ M) - Eₑₓₜ(M) et montrer que δ Eₑₓₜ(M) = -∫_V d³x (Bₑₓₜ ∧ M) · δ µ.

Dans le cas simple où le champ magnétique effectif est statique, soit B_eff = B₀ avec dB₀/dt = 0, montrer que l'énergie Eₜₒₜ = -V M · B₀ est constante. Pour une condition initiale quelconque…

Comment se transforment µ et M par renversement du temps ? Comment se transforme l'équation de Larmor après un renversement du temps ?

En déduire le moment dipolaire D de la sphère en fonction de n, a, ε₀ et de E₀.

Du fait de son inertie et de la fréquence élevée du champ électromagnétique décrivant l'onde incidente sur la bille, cette dernière ne réagit qu'à la moyenne temporelle de la force de Lorentz…

Donner un exemple de dipôle électrostatique rencontré dans la nature ainsi que l'ordre de grandeur du moment dipolaire de l'exemple choisi.

Justifier qualitativement la relation (I.1) et donner l'unité de α dans le système international d'unités. Justifier que α est une grandeur positive.

En déduire une expression de α dans le cadre de ce modèle et proposer un ordre de grandeur.

Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Comment pouvait-on prévoir ce résultat sans calcul ?

En déduire l'énergie potentielle d'interaction entre les deux dipôles.

En tenant compte des conditions ω < ω₀ et |Δ| ≫ γ, déterminer la polarisabilité α, définie par la relation (I.1).

Rappeler l'équation de Maxwell-Faraday, puis sa forme intégrale. Soit le cercle Γ d'axe (O, e_z), inscrit sur la coquille chargée, de rayon ρ, orienté selon e_φ, vu sous l'angle θ depuis l'origine O…

En vous inspirant des résultats de la partie II.A, proposez une explication qualitative à ce paradoxe.

Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en justifiant sa…

Nous considérons la bille aimantée (0) et une bille ferromagnétique d'abscisse x (|x| ≥ a). Pour cette étude, x est une variable continue. Exprimer leur énergie d'interaction E₀(x) en fonction de…

Exprimer, en fonction de E₀₁ et N, la hauteur Δ_N de la barrière d'énergie potentielle que la bille (N) doit franchir pour être libérée de l'attraction qu'exerce sur elle la bille (0). Établir la…

En vue de définir des conditions de fonctionnement du canon adaptées au besoin, indiquer comment varie, avec le diamètre a des billes, d'une part la vitesse v_N,∞, d'autre part l'énergie cinétique…

Tracer, sans calcul, l'allure des lignes de champ à l'extérieur et à l'intérieur de la sphère.

Exprimer le moment dipolaire électrique total du milieu isolant en fonction de n_p, S, e et pₘ. En déduire l'expression des charges surfaciques de dépolarisation σ en fonction de pₘ et n_p seulement.

Quelles seraient les limites de pₘ à très basse et à très haute température ? Exprimer, en fonction du moment dipolaire individuel p_H_2O d'une molécule d'eau et de la constante de Boltzmann k_B…

En déduire que la capacité C du condensateur ainsi formé s'exprime en fonction de C₀ sous la forme C = ε_r C₀ dans laquelle on exprimera la permittivité relative ε_r en fonction de α et n_p.

Identifier, parmi les profils d’énergie potentielle proposés sur la figure 8, lequel décrit le mieux l’interaction entre les spires et l’aimant représentés. Justifier précisément la réponse.

En utilisant la formule V(M) = p/(4πε₀ r³) donnée plus haut, montrer que U₁ est proportionnelle à la projection du dipôle électrostatique du cœur sur la direction uₓ entre D et G. On notera K la…

Le tableau ci-dessous représente le dipôle électrique du cœur à différents instants t_i successifs pendant un cycle cardiaque (un point représente un dipôle nul). On précise l'orientation du vecteur…

En utilisant la formule V(M) = p/(4πε₀ r³) donnée plus haut, montrer que U₁ est proportionnelle à la projection du dipôle électrostatique du cœur sur la direction uₓ entre D et G. On notera K la…

Le graphe ci-dessous représente le dipôle électrique du cœur à différents instants t_i successifs pendant un cycle cardiaque (un point représente un dipôle nul). On précise l'orientation du vecteur…

Exprimer U(r) en fonction de x, y, z, γ, E et σ.

Quelle est la dimension de α ? Exprimer la en fonction de ω, ω₀ et du volume V₀ de l'atome de Thomson. Tracer son allure en fonction de ω et interpréter son comportement au voisinage de ω = ω₀.

On suppose que l'atome de rubidium peut être décrit par le modèle précédent. Sachant qu'il possède une raie d'absorption à une longueur d'onde λ₀ = 780 nm, déterminez dans ce modèle le volume de…

On considère à présent la dynamique de l'atome dans son ensemble et on note R sa position identifiée à celle du noyau. En écrivant les forces s'appliquant sur le noyau et l'électron, montrer que la…

Déduire de la question précédente que la force moyenne exercée par le laser sur l'atome dérive d'une énergie potentielle s'écrivant U_dip = -ε₀ α/4 |E₀(R)|². On supposera pour simplifier que E₀ est…

Montrer que l'atome est attiré vers le foyer du faisceau laser. En déduire l'expression Δ U_dip de la profondeur du puits de potentiel en fonction de α, I et c.

Par analogie avec la première partie, α_c dépend a priori de la pulsation ω du champ électrique. En comparant les temps caractéristiques d'évolution des électrons de cœur et de l'électron…

En déduire que les électrons de cœur et le noyau créent au niveau de l'électron périphérique un potentiel électrostatique U(r) = -qₑ/(4π ε₀ r) + (d_c · r)/(4π ε₀ r³).

En déduire le champ électrique créé par le cœur au niveau de l'électron périphérique et montrer que la déformation du cœur provoque sur l'électron périphérique une force additionnelle de la forme…

Interpréter la Figure 3.a. Pourquoi l'atome de Rydberg n'a-t-il pas de moment dipolaire permanent moyen ?

En déduire que le dipôle électrique moyen de l'atome se met sous la forme = ε₀ α E₀.

Établir l'expression complexe de r(t) en fonction de ω, ω₀, e, m et τ₀ notamment. En déduire l'expression complexe du moment dipolaire induit p.

Exprimer la polarisabilité complexe α(ω). Montrer que dans le cadre de l'approximation |δ| ≪ ω₀, α' et α'' peuvent se mettre sous la forme suivante : α' = -α₀/2 (ω₀ δ)/(δ² + Γ²/4) et α'' = α₀/2 (ω₀…

Montrer que, pour une pulsation donnée, l'éclairement (ici assimilé à la puissance surfacique moyenne) décroit selon l'axe de propagation du rayon solaire selon une loi du type E_ω(x) = E_ω(0) exp…

Au voisinnage du câble et en le supposant uniforme, exprimer B₀ en projection sur B_c. On justifiera la direction et le sens choisis et on exprimera la norme B₀ de ce champ en fonction de Bₑ (champ…

On oriente la spire dans le sens direct (indiqué sur le schéma plus haut), et on rappelle que l'élément de surface infinitésimal dS à rayon constant en coordonnées sphériques s'écrit dS = r² sin…

Parmi les trois modes de vibration définis dans la première partie, lesquels entraînent une variation du moment dipolaire de la molécule de CO₂ ? Qu'en est-il pour les vibrations des molécules N₂ et…

Évaluer ces intégrales pourrait être délicat, car nous ne connaissons pas les fonctions φₐ et φ_b. Néanmoins nous savons qu'elles peuvent être choisies réelles. Et nous avons pu déterminer les états…

L'atome est dans une superposition d'états stationnaires ψ(x, t) = a(t)φₐ(x) + b(t)φ_b(x). 16-a) Exprimer la densité de probabilité de présence en x de l'électron en fonction de ψ(x, t). En déduire…

En déduire que le champ électrique induit sur l'atome une force moyenne qui s'écrit F_el = q Σ_i=x,y,z r_i · ∂/(∂ R_i) E(R, t) (10) où les crochets · indiquent la moyenne temporelle sur la période…

En écrivant E₀(R) sous la forme E₀(R) = |E₀(R)|exp [iφ(R)], montrer que F_el + F_mag se décompose en deux composantes F₁ et F₂, où F₁ est proportionnelle au gradient de l'amplitude du champ…

Montrer que F₁ = -grad(-1/4Re(α_c)|E₀(R)|²) (13) En déduire que F₁ dérive d'un potentiel proportionnel à l'intensité locale du champ. Montrer qu'en choisissant judicieusement ω - ω₀ il est possible…

Expliquer comment on peut pièger des atomes avec un faisceau gaussien. Montrer toutefois que le piège est très anisotrope, et que la cuvette de potentiel est beaucoup plus étroite dans la direction…

Exprimer l'énergie potentielle magnétique E_B de couplage entre les dipôles M₀ et M₁. Nous l'écrirons sous la forme suivante : E_B=1/2 K(sin θ)² Le paramètre K est une constante positive que l'on…

Déterminer les expressions des composantes E_r et E_θ du champ électrostatique E à grande distance des deux charges (r ≫ d).

On considère un élément de volume dV, centré sur le point M, situé au voisinage de l'interface air/métal. Montrer que la force dFₘ subie par cet élément de volume, dans le cadre du modèle développé…

Exprimer la force F_s/a. Vérifier que ce résultat concorde avec celui obtenu en réponse à la question (13).

Représenter la position des barycentres des charges positives et négatives pour la maille déformée représentée en figure 6. Exprimer, pour cette maille, la valeur absolue du moment dipolaire p_hex…

Donner l'expression, en fonction des paramètres K₁, K₂, a et q, de chacun des coefficients α, β, A et B issus du modèle que nous avons développé. Vérifier que β = B.

Évaluer numériquement l'ordre de grandeur du rapport α₂/α₁. Conclure sur l'effet d'antenne que représente la nanoparticule pour la molécule.

En déduire la condition sur la pulsation du champ pour que la polarisabilité de la particule métallique sphérique devienne très grande.

Étudier et interpréter qualitativement le comportement de |α(ω)| en fonction de la pulsation ω. Indiquer quelle modification principale entraîne la prise en compte d'effets dissipatifs dans le…

Vérifier que la relation (IV.1) est compatible avec l'expression, déterminée à la question 37, de la polarisabilité complexe d'une nanoparticule placée dans le vide lorsqu'on néglige les phénomènes…

Un gecko de masse m = 50 g est suspendu par ses quatre pattes au plafond. Le gecko possède au total 6 millions de sétules, comportant chacune en moyenne 500 spatules. En modélisant une spatule par…

Quel est le moment dipolaire dₐₜ de chaque atome de la sphère en fonction de E₀ et P ? Donner alors l'expression de P en fonction de l'indice optique n précédemment déterminé et de E₀.

Préciser les conditions permettant de piéger la bille de façon stable au centre du faisceau.

Compte tenu des résultats de la question 30, et sans effectuer de calcul, conclure sur la possibilité de piéger une telle bille. Justifier la nécessité de focaliser le faisceau pour piéger la bille.

Quelle est dans ce cas la distance de Rayleigh z_R (autour du point focal) ? En déduire l'échelle de longueur sur laquelle l'intensité est significative le long de l'axe (Oz) de propagation du…

On éclaire, dans ces conditions, une bille de silice de rayon a = 100 nm, d'indice optique n = 1,37, dans de l'eau d'indice optique n_s = 1,33 (On a alors (m² - 1)/(m² + 2) ≈ 0,02), avec un laser de…

Justifier que l'on puisse considérer la force de gradient comme une force élastique et évaluer la constante de raideur associée.

Proposer une explication qualitative de ce phénomène.

À partir de l'expression de l'énergie potentielle d'un dipôle dans un champ extérieur, montrer que la force exercée par le premier dipôle sur le second dipôle peut s'écrire sous la forme F_1/2 = p₂…

En déduire que cette force peut se mettre sous la forme F_1/2 = K/x⁷ eₓ où K est une constante dont on précisera le signe.

À la lecture de ces documents, expliquer comment un atome de Rydberg acquiert un moment dipolaire électrique sous l'action d'un champ électrique extérieur et, dans le cas où le nombre quantique l…

Montrer que l'énergie potentielle moyenne d'interaction de l'atome avec le laser est proportionnelle à l'intensité du faisceau laser I(r, z) et que le facteur de proportionnalité, que l'on ne…

Déterminer la position d'équilibre de l'atome dans le faisceau et étudier sa stabilité. Expliquer en quoi le laser agit comme une pince optique sur l'atome.

Les résultats de la figure 4 sont-ils compatibles avec l'expression de l'énergie potentielle de van der Waals donnée en question 14 ?

Montrer que le dipôle électrique moyenné sur une trajectoire vaut = 3/2 qₑ a A. Indication : on pourra introduire la fonction F₃ donnée en préambule et la relier à la dérivée de G₂.

Montrer que pour une orbite très aplatie on a α ∝ nk, où k est un entier positif dont on déterminera la valeur.

On approche à présent les deux atomes. Comparer qualitativement l'énergie nécessaire pour faire passer un atome depuis l'état fondamental au niveau excité, puis celle nécessaire à faire transiter le…

On se place à une dimension. Quels atomes sont susceptibles d'être ralentis par le laser ? Ce processus de ralentissement permet-il de les immobiliser complètement ?

Une molécule est placée dans le champ électromagnétique d'une onde plane progressive monochromatique. Si sa longueur d'onde est beaucoup plus grande que la molécule, montrer que la résultante de la…

Montrer qu'alors Fₜₒₜ = F_el + F_mag = 1/4 (α_c*(ω)E₀*(R)gradE₀(R) + α_c(ω)E₀(R)gradE₀*(R)) (12)

En déduire la possibilité de définir par le calcul une électrode de référence de potentiel V_W nul. On parle alors de borne centrale de Wilson. En pratique comment réaliser cette borne de Wilson ?

Calculer la valeur de la longueur d'onde principalement absorbée par des nanoparticules d'or présentes dans le verre d'un vitrail (n₀ = 1,5). Conclure quant à la couleur par transmission des vitraux…

Écrire la force de Lorentz instantanée F_Lor exercée sur l'ensemble des deux charges, et en déduire, à l'aide du développement limité au premier ordre en |δ| ci-dessus, que la force totale exercée…

En utilisant l'expression (21) et l'identité vectorielle grad(E²) = 2(E · grad)E + 2E ∧ (rotE), exprimer la force F_Lor comme une combinaison linéaire, dont on précisera les coefficients, des termes…

À partir de l'étude des forces de diffusion et de gradient menée dans les paragraphes (V.A.a) et (V.A.b), donner les expressions des forces F_d et F_g sur la bille au sein du solvant, en fonction de…

À partir des valeurs des forces données dans la question 34, donner un ordre de grandeur des forces de gradient et de diffusion pour des billes de silice de rayon a = 200 nm. Donner également un…

Discuter le résultat obtenu pour la valeur de n au dessus de laquelle la transmission devient négligeable. Proposer un mécanisme qui permet d'expliquer que la diminution de la transmission avec n²…

Justifier qualitativement qu'à d donné l'énergie potentielle d'interaction augmente avec n. Selon les données expérimentales de la figure 4, l'énergie potentielle dépend-elle de n selon une simple…