Feuille d'entraînement : Dipôles électrique et magnétique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q31

   Par définition, une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ magnétique \vec{B}. Le déplacement élémentaire le long de la ligne s'écrit en coordonnées sphériques :

   \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta + r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi

   La condition de colinéarité \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} = \vec{0} se traduit par :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta} = \frac{r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi}{B_\varphi}

   Puisque B_\varphi = 0 (d'après la question Q30), on a \mathrm{d}\varphi = 0 : les lignes de champ sont planes et contenues dans les plans méridiens (\varphi = \text{cte}).

   Dans un plan méridien, l'équation différentielle s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta} \iff \frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{B_r}{B_\theta}\,\mathrm{d}\theta

   En injectant les composantes établies en Q30 :

   \begin{aligned} \frac{B_r}{B_\theta} &= \frac{-\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3}\cos\theta}{-\dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\sin\theta} = 2\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{aligned}

   On obtient :

   \frac{\mathrm{d}r}{r} = 2\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,\mathrm{d}\theta = 2\,\frac{\mathrm{d}(\sin\theta)}{\sin\theta}

   En intégrant entre un point quelconque (r,\theta) et l'équateur (\theta = \pi/2) où le rayon atteint sa valeur maximale notée r_0 :

   \begin{aligned} \ln\left(\frac{r}{r_0}\right) &= 2\ln(\sin\theta) = \ln(\sin^2\theta) \end{aligned}

   D'où l'équation de la ligne de champ :

   \boxed{r(\theta) = r_0\sin^2\theta}

   où r_0 est une constante d'intégration représentant la distance au centre à l'équateur (\theta = \pi/2).

   Orientation et tracé D'après les expressions de Q30 :

   • Au pôle Nord géographique (\theta = 0) : \vec{u}_r = \vec{u}_z, et B_r = -\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3} < 0. Le champ est dirigé vers le centre de la Terre (il entre dans la Terre).
   • Au pôle Sud géographique (\theta = \pi) : \vec{u}_r = -\vec{u}_z, et B_r = +\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3} > 0. Le champ est centrifuge (il sort de la Terre).
   • À l'équateur (\theta = \pi/2) : B_r = 0 et B_\theta = -\dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3} < 0. Comme \vec{u}_\theta est orienté du Nord vers le Sud, le champ est dirigé vers le Nord.

   Les lignes de champ sortent ainsi de l'hémisphère Sud et rentrent dans l'hémisphère Nord.

   Résultat

   $$r(\theta )=r_0{\sin }^2\theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q42

   Dans le cadre de l'étude du rayonnement électromagnétique dipolaire, les deux inégalités correspondent aux approximations fondamentales suivantes :

   1. Inégalité r \gg a : approximation du dipôle ponctuel (ou approximation d'éloignement).
      La distance du point d'observation M à l'origine est très grande devant la dimension spatiale caractéristique de la source oscillante (a). Le doublet constitué par les charges +q et -q peut donc être assimilé à un dipôle ponctuel situé en O.

   2. Inégalité \lambda \gg a : approximation dipolaire électrique (ADE) (ou approximation des temps de propagation négligeables à l'échelle de la source).
      La longueur d'onde du rayonnement émis est très grande devant la dimension spatiale de la source. Cela implique que :

      • le temps de propagation d'une onde à travers la source, \Delta t \sim \frac{a}{c}, est négligeable devant la période temporelle d'oscillation T = \frac{\lambda}{c} ;

      • la vitesse maximale des charges au sein de la source est très faible devant la célérité de la lumière dans le vide :

        v_{\max} = a\omega = 2\pi c \frac{a}{\lambda} \ll c \quad \text{(approximation non relativiste)}.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique MPI 2023, Q12

   À l'équilibre (en l'absence de vibration), la molécule de dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 présente une géométrie linéaire et symétrique \mathrm{O}=\mathrm{C}=\mathrm{O}, le carbone occupant le centre de symétrie de la molécule.

   Bien que chaque liaison \mathrm{C}-\mathrm{O} soit polarisée (l'oxygène étant plus électronégatif que le carbone), les deux moments dipolaires de liaison sont colinéaires, de même norme et de sens opposés. Par symétrie (invariance par inversion par rapport au carbone), la somme vectorielle des moments dipolaires de liaison est nulle :

   \boxed{\vec{p}_0 = \vec{0}}

   La molécule de \mathrm{CO}_2 ne possède donc aucun moment dipolaire électrique permanent.

   Résultat

   $${\vec{p}}_0=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q30

   Le point M est repéré par ses coordonnées sphériques d'axe polaire OZ. La projection du vecteur unitaire \vec{u}_z de l'axe des pôles sur la base sphérique (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\varphi) s'écrit :

   \vec{u}_z = \cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta

   Le dipôle magnétique terrestre est orienté suivant -OZ :

   \vec{m} = -m\vec{u}_z = -m\cos\theta\,\vec{u}_r + m\sin\theta\,\vec{u}_\theta

   Le vecteur position du point M étant \vec{r} = r\vec{u}_r, le produit scalaire \vec{m}\cdot\vec{r} vaut :

   \vec{m}\cdot\vec{r} = -m r \cos\theta

   On calcule alors le terme vectoriel apparaissant au numérateur de l'expression de \vec{B}(M) :

   \begin{aligned} 3(\vec{m}\cdot\vec{r})\vec{r} - r^2\vec{m} &= 3(-m r \cos\theta)(r\vec{u}_r) - r^2\left(-m\cos\theta\,\vec{u}_r + m\sin\theta\,\vec{u}_\theta\right) \\ &= -3 m r^2 \cos\theta\,\vec{u}_r + m r^2 \cos\theta\,\vec{u}_r - m r^2 \sin\theta\,\vec{u}_\theta \\ &= -2 m r^2 \cos\theta\,\vec{u}_r - m r^2 \sin\theta\,\vec{u}_\theta \end{aligned}

   En réinjectant dans l'expression intrinsèque :

   \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\vec{m}\cdot\vec{r})\vec{r} - r^2\vec{m}}{r^5} = -\frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\left(2\cos\theta\,\vec{u}_r + \sin\theta\,\vec{u}_\theta\right)

   On en déduit les trois composantes du champ magnétique dans la base sphérique :

   \boxed{ B_r = -\frac{\mu_0 m}{2\pi r^3}\cos\theta, \qquad B_\theta = -\frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\sin\theta, \qquad B_\varphi = 0 }

   Résultat

   $$B_r=-\frac{{\mu }_{0}m}{2\pi r^3}\cos \theta ,B_{\theta }=-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^3}\sin \theta ,B_{\phi }=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q32

   D'après la question Q30, le champ magnétique créé par le dipôle terrestre s'écrit en tout point de l'espace :

   \vec{B}(M) = B_r\,\vec{u}_r + B_\theta\,\vec{u}_\theta

   avec :

   B_r = -\frac{\mu_0 m}{2\pi r^3}\cos\theta, \qquad B_\theta = -\frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\sin\theta, \qquad B_\varphi = 0.

   Au niveau du sol terrestre, on a r = R_T. La latitude \Lambda étant reliée à la colatitude \theta par \Lambda = \frac{\pi}{2} - \theta, on a :

   \begin{aligned} \cos\theta &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \Lambda\right) = \sin\Lambda, \\ \sin\theta &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \Lambda\right) = \cos\Lambda. \end{aligned}

   Dans le repère local lié au sol terrestre :

   • La verticale locale est portée par la direction radiale \vec{u}_r. Si l'on choisit l'axe vertical ascendant (selon \vec{u}_r), la composante verticale est donnée par B_r :

     B_v = B_r = -\frac{\mu_0 m}{2\pi R_T^3}\sin\Lambda

     (ou B_{v,\text{desc}} = -B_r = \frac{\mu_0 m}{2\pi R_T^3}\sin\Lambda si l'on choisit un axe vertical orienté vers le sol, convention usuelle en géophysique).

   • L'horizontale locale est contenue dans le plan tangent à la sphère terrestre. Le vecteur unitaire \vec{u}_\theta étant tangent au méridien et orienté vers les \theta croissants (du Nord vers le Sud), le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Nord géographique est \vec{u}_{\text{Nord}} = -\vec{u}_\theta. La composante horizontale orientée vers le Nord s'écrit donc :

     B_h = -B_\theta = \frac{\mu_0 m}{4\pi R_T^3}\cos\Lambda.

   On obtient ainsi :

   \boxed{B_h = \frac{\mu_0 m}{4\pi R_T^3}\cos\Lambda} \qquad\text{et}\qquad \boxed{B_v = -\frac{\mu_0 m}{2\pi R_T^3}\sin\Lambda \quad (\text{selon }\vec{u}_r)}

   Résultat

   $$B_h=\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi R_T^3}\cos \Lambda$$

   $$B_v=-\frac{{\mu }_{0}m}{2\pi R_T^3}\sin \Lambda (\text{selon }{\vec{u}}_r)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q15

   Le mouvement de l'électron est décrit par le vecteur position :

   \vec{\mathrm{OP}}(t) = l\cos(\omega t)\,\vec{e}_z

   La vitesse de l'électron s'obtient par dérivation temporelle :

   \vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{\mathrm{OP}}}{\mathrm{d}t} = -l\omega\sin(\omega t)\,\vec{e}_z

   Par une seconde dérivation temporelle, on obtient l'accélération de l'électron :

   \boxed{\vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^2\vec{\mathrm{OP}}}{\mathrm{d}t^2} = -l\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{e}_z = -\omega^2\vec{\mathrm{OP}}(t)}

   Pour un système de charges discrètes \{q_i\} situées en des points M_i, le moment dipolaire électrique est défini par :

   \vec{p}(t) = \sum_i q_i\,\vec{\mathrm{OM}}_i

   La charge totale étant nulle (+e - e = 0), ce moment dipolaire est indépendant de l'origine O choisie. Pour la distribution constituée de la charge +e fixe en O et de la charge -e en P, il s'écrit :

   \vec{p}(t) = (+e)\vec{0} + (-e)\vec{\mathrm{OP}}(t) = -e l\cos(\omega t)\,\vec{e}_z

   En posant \vec{p}_0 = -el\,\vec{e}_z, le moment dipolaire varie sinusoïdalement selon \vec{p}(t) = \vec{p}_0\cos(\omega t).

   L'amplitude de l'accélération de l'électron vaut a = \|\vec{a}\|_{\max} = l\omega^2, ce qui donne l = \frac{a}{\omega^2}. L'amplitude p_0 = \|\vec{p}_0\| = el du moment dipolaire s'exprime donc par :

   \boxed{p_0 = \frac{ea}{\omega^2}}

   Résultat

   $$\vec{a}(t)=\frac{{\mathrm{d}}^2\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{\mathrm{d}{t}^2}=-l{\omega }^2\cos (\omega t){\vec{e}}_z=-{\omega }^2\overrightarrow{\mathrm{OP}}(t)$$

   $$p_0=\frac{ea}{{\omega }^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q40

   Le dipôle électrostatique de moment dipolaire \vec{p} est situé au point O (centre du cœur). D'après l'énoncé, les deux poignets sont situés à égale distance d de l'origine :

   OG = OD = d

   D'après l'expression du potentiel dipolaire V(M) = \dfrac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} avec \vec{r} = \vec{OM}, les potentiels aux points G et D s'écrivent :

   \begin{aligned} V_G &= \frac{\vec{p}\cdot\vec{OG}}{4\pi\varepsilon_0 d^3} \\ V_D &= \frac{\vec{p}\cdot\vec{OD}}{4\pi\varepsilon_0 d^3} \end{aligned}

   La tension mesurée U_1 = V_G - V_D vaut alors :

   U_1 = \frac{\vec{p}\cdot\vec{OG} - \vec{p}\cdot\vec{OD}}{4\pi\varepsilon_0 d^3} = \frac{\vec{p}\cdot(\vec{OG} - \vec{OD})}{4\pi\varepsilon_0 d^3} = \frac{\vec{p}\cdot\vec{DG}}{4\pi\varepsilon_0 d^3}

   D'après la figure 11, le vecteur unitaire \vec{u}_x est orienté suivant la droite joignant le poignet droit D au poignet gauche G, de D vers G. On a donc :

   \vec{DG} = DG\,\vec{u}_x

   On en déduit :

   U_1 = \left(\frac{DG}{4\pi\varepsilon_0 d^3}\right)(\vec{p}\cdot\vec{u}_x)

   La tension U_1 est donc bien proportionnelle à la projection du dipôle cardiaque sur l'axe \vec{u}_x, soit U_1 = K\,(\vec{p}\cdot\vec{u}_x), avec :

   \boxed{K = \frac{DG}{4\pi\varepsilon_0 d^3}}

   Résultat

   $$K=\frac{DG}{4\pi {\epsilon }_0{d}^3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q41

   D'après la question Q40, la tension mesurée entre le poignet gauche et le poignet droit s'écrit :

   U_1(t) = K \left(\vec{p}(t)\cdot\vec{u}_x\right) = K\,p_x(t) \quad \text{avec} \quad K = \frac{\text{DG}}{4\pi\varepsilon_0 d^3} > 0

   Le signe et l'amplitude de U_1(t) sont donc directement proportionnels à la composante algébrique p_x(t) du dipôle cardiaque le long de l'axe horizontal \vec{u}_x, orienté vers la droite.

   Analysons l'évolution temporelle de cette projection à l'aide de la figure 12 :

   • Phase 1 (t_0 à t_4) : le dipôle est d'abord nul en t_0, vertical en t_1, puis orienté vers le bas et vers la droite en t_2 et t_3 (p_x > 0), avant de s'annuler en t_4. Il apparaît ainsi une première ondulation positive modérée : l'onde P (dépolarisation auriculaire).

   • Phase 2 (t_5 à t_{11}) :

     • À l'instant t_8, le dipôle cardiaque atteint sa plus grande amplitude et est très nettement orienté vers la droite : sa projection est très largement positive (p_x(t_8) \gg 0). Cela impose l'apparition d'un pic très aigu de grande amplitude dirigé vers le haut : l'onde R.
     • À l'instant t_9, le dipôle est incliné vers la gauche (p_x(t_9) < 0), ce qui produit une déflexion brève vers le bas : l'onde S.
     • En t_{11}, le dipôle s'annule (retour à la ligne isoélectrique).
   • Phase 3 (t_{12} à t_{16}) : de t_{13} à t_{15}, le vecteur dipolaire est à nouveau dirigé vers la droite (p_x > 0) avec une amplitude intermédiaire, avant de s'annuler en t_{16}. Cela correspond à une déflexion positive arrondie : l'onde T (repolarisation ventriculaire).

   Comparons cette signature aux graphes de la figure 13 :

   • Les tracés (a) et (b) présentent une déflexion ventriculaire principale dirigée vers le bas (déflexion négative prédominante), ce qui est strictement incompatible avec p_x(t_8) > 0.
   • Le tracé (c) ne présente pas la morphologie classique d'un complexe QRS physiologique avec onde R dominante positive.
   • Le tracé (d) présente l'onde P positive, le pic principal aigu et de grande amplitude orienté vers le haut (onde R positive en t_8), le creux consécutif négatif (onde S en t_9) et l'onde de repolarisation positive (onde T en t_{13}\text{--}t_{15}).

   \boxed{\text{L'enregistrement correspond au graphe (d).}}

   Résultat

   $$\text{L’enregistrement correspond au graphe (d).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique MPI 2025, Q8

   La sphère est globalement neutre : la charge totale des ions compense exactement celle des électrons (Q_{\text{tot}} = 0).

   Le déplacement d'ensemble des électrons d'un vecteur -\vec{x} par rapport aux ions sépare les barycentres des charges positives et négatives, conférant à la sphère un moment dipolaire électrostatique non nul :

   \vec{p} = Q_{\text{ions}}\,\vec{x} = \left(\frac{4}{3}\pi R^3 N e\right) \vec{x}

   Le terme monopolaire étant nul, le développement multipolaire du potentiel à grande distance (r \gg R) est dominé par le terme dipolaire. On retrouve ainsi :

   \boxed{\text{un champ dipolaire électrostatique (champ d'un dipôle électrostatique)}}

   Résultat

   $$\text{un champ dipolaire eˊlectrostatique (champ d’un dipoˆle eˊlectrostatique)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique MPI 2025, Q9

    D'après les questions précédentes :

    • À l'intérieur de la sphère : le champ électrique est uniforme (question 5) et dirigé des charges positives vers les charges négatives, c'est-à-dire vers le bas (selon -\vec{u}_x). Les lignes de champ sont donc des segments de droite rectilignes, parallèles à l'axe x, orientés vers le bas et régulièrement espacés.
    • À l'extérieur de la sphère : le champ est un champ dipolaire pur (question 8) associé au moment dipolaire \vec{p} dirigé vers le haut (selon +\vec{u}_x). Les lignes de champ partent des charges positives de l'hémisphère supérieur (sources), s'évasent dans l'espace en formant des boucles dipolaires et convergent vers les charges négatives de l'hémisphère inférieur (puits).

    Indice, stratégie et pièges de cette question