Feuille d'entraînement : Dipôles électrique et magnétique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q31

   Une ligne de champ magnétique est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ magnétique \vec{B}. Dans un plan méridien (\varphi = \text{cste}, soit \mathrm{d}\varphi = 0), le vecteur déplacement élémentaire s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta

   La colinéarité entre \mathrm{d}\vec{\ell} et \vec{B} se traduit par :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta}

   En utilisant les composantes établies à la question précédente :

   B_r = -\frac{2\mu_0 m}{4\pi r^3}\cos\theta \quad \text{et} \quad B_\theta = -\frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\sin\theta

   on obtient, après simplification des facteurs communs :

   \frac{\mathrm{d}r}{2\cos\theta} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{\sin\theta} \iff \frac{\mathrm{d}r}{r} = 2\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,\mathrm{d}\theta = 2\frac{\mathrm{d}(\sin\theta)}{\sin\theta}

   L'intégration directe donne :

   \ln r = 2\ln(\sin\theta) + \text{cste} = \ln\left(\sin^2\theta\right) + \text{cste}

   soit, en notant r_0 la distance maximale atteinte dans le plan équatorial pour lequel \theta = \frac{\pi}{2} :

   \boxed{r(\theta) = r_0 \sin^2\theta}

   Orientation et allure de la ligne de champ :

   • À l'équateur (\theta = \pi/2) : B_r = 0 et B_\theta < 0, ce qui indique que le champ \vec{B} est dirigé dans le sens opposé à \vec{u}_\theta, c'est-à-dire vers le pôle Nord géographique.
   • Dans l'hémisphère Nord (\theta < \pi/2) : \cos\theta > 0, donc B_r < 0 : le champ \vec{B} rentre vers l'intérieur de la Terre.
   • Dans l'hémisphère Sud (\theta > \pi/2) : \cos\theta < 0, donc B_r > 0 : le champ sort de la Terre.

   Les lignes de champ sortent donc de l'hémisphère Sud et convergent vers l'hémisphère Nord.

   Résultat

   $$r(\theta )=r_0{\sin }^2\theta$$

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2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2022, Q1

   D'après l'énoncé, le champ magnétique créé à l'extérieur de la bille aimantée (0) est assimilable à celui d'un dipôle magnétique ponctuel de moment \vec{\mathcal{M}}_0 = \mathcal{M}\,\vec{e}_z, situé à l'origine \mathrm{O}.

   Les lignes de champ magnétique d'un dipôle s'obtiennent par l'équation différentielle :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta} \iff \frac{\mathrm{d}r}{2\cos\theta} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{\sin\theta}

   ce qui s'intègre sous la forme :

   r(\theta) = r_0 \sin^2\theta \quad (r_0 > 0)

   À l'extérieur de l'aimant, les lignes de champ émergent par le pôle Nord (hémisphère supérieur, z > 0, orienté selon \vec{\mathcal{M}}_0) et se referment vers le pôle Sud (hémisphère inférieur, z < 0).

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3. Exercice 3CCINP Physique MP 2021, Q32

   Trois échelles de longueur pertinentes interviennent dans l'étude du rayonnement dipolaire :

   • d (ou d_{\text{max}}) : la dimension spatiale de la source (taille du dipôle) ;
   • \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} = cT : la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique émis (avec T la période temporelle) ;
   • r = OM : la distance du point d'observation M au centre du dipôle.

   1. Hypothèse non relativiste et approximation dipolaire :

   • Hypothèse non relativiste : la charge mobile a une vitesse de l'ordre de v \sim \omega d. L'hypothèse non relativiste impose v \ll c, soit \omega d \ll c, ce qui s'écrit :

     d \ll \frac{c}{\omega} \sim \lambda

   • Approximation dipolaire (retards internes négligés) : le temps de transit de l'information électromagnétique au sein de la source, \tau_{\text{source}} \sim \frac{d}{c}, doit être négligeable devant le temps caractéristique d'évolution de la source, à savoir la période T = \frac{2\pi}{\omega}. Cela conduit également à :

     \frac{d}{c} \ll T \iff \boxed{d \ll \lambda}

   2. Zone de rayonnement (ou zone d'onde) : Dans cette zone, la distance d'observation r est très grande devant la longueur d'onde émise :

   \boxed{\lambda \ll r}

   À cette distance, les effets de propagation l'emportent sur les effets quasi-statiques : le terme en 1/r dans les champs devient dominant par rapport aux termes d'induction et quasi-statiques en 1/r^2 et 1/r^3. L'onde présente localement une structure d'onde plane progressive.

   3. Approximation de source quasi-ponctuelle : Pour observer le rayonnement d'ensemble de la source et négliger les effets de géométrie locale, la distance d'observation doit être grande devant la taille de la source :

   \boxed{d \ll r}

   Cette condition est automatiquement assurée dès lors que les deux précédentes sont remplies.

   En résumé, ces approximations se traduisent par la hiérarchie d'échelles de longueur :

   \boxed{d \ll \lambda \ll r}

   Résultat

   $$d\ll \lambda$$

   $$\lambda \ll r$$

   $$d\ll r$$

   $$d\ll \lambda \ll r$$

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4. Exercice 4X-ENS Physique MP 2020, Q15

   La sphère de rayon R_0 porte la charge totale +e uniformément répartie en volume, soit une densité volumique de charge :

   \rho = \frac{e}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}.

   La distribution présente une symétrie sphérique par rapport au centre \mathrm{O}. Le champ électrostatique \vec{E}_{\mathrm{sph}}(\vec{r}) est donc purement radial et ne dépend que de la distance r = \|\vec{r}\| : \vec{E}_{\mathrm{sph}}(\vec{r}) = E(r)\vec{e}_r.

   Appliquons le théorème de Gauss à travers une sphère \Sigma centrée en \mathrm{O} et de rayon r \leqslant R_0 :

   \iint_{\Sigma} \vec{E}_{\mathrm{sph}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = E(r) \times 4\pi r^2 = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{\rho \times \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0} = \frac{e}{\varepsilon_0}\frac{r^3}{R_0^3}.

   Le champ électrostatique à l'intérieur de la sphère s'écrit donc :

   \vec{E}_{\mathrm{sph}}(\vec{r}_{\mathrm{e}}) = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 R_0^3} \vec{r}_{\mathrm{e}}.

   La force électrostatique subie par l'électron de charge -e placé en \vec{r}_{\mathrm{e}} est alors :

   \vec{F}_{\mathrm{el}} = -e \vec{E}_{\mathrm{sph}}(\vec{r}_{\mathrm{e}}) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R_0^3}\vec{r}_{\mathrm{e}}.

   Cette force est bien proportionnelle et opposée au déplacement \vec{r}_{\mathrm{e}} : c'est une force de rappel élastique linéaire de la forme \vec{F}_{\mathrm{el}} = -k_{\mathrm{el}}\vec{r}_{\mathrm{e}}, avec :

   \boxed{k_{\mathrm{el}} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R_0^3}}

   L'équation du mouvement de l'électron libre de toute autre sollicitation s'écrit m_{\mathrm{e}}\ddot{\vec{r}}_{\mathrm{e}} + k_{\mathrm{el}}\vec{r}_{\mathrm{e}} = \vec{0}, soit \ddot{\vec{r}}_{\mathrm{e}} + \omega_0^2\vec{r}_{\mathrm{e}} = \vec{0}, où la pulsation caractéristique associée vérifie k_{\mathrm{el}} = m_{\mathrm{e}}\omega_0^2 :

   \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k_{\mathrm{el}}}{m_{\mathrm{e}}}} = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_{\mathrm{e}} R_0^3}}}

   Application numérique :
   Avec 2R_0 = 0{,}1\text{ nm}, soit R_0 = 5\times 10^{-11}\text{ m}, et \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx \dfrac{1}{4\pi \times 8{,}9\times 10^{-12}} \approx 9\times 10^9\text{ F}^{-1}\cdot\text{m} :

   \begin{aligned} k_{\mathrm{el}} &\approx 9\times 10^{9} \times \frac{(1{,}6\times 10^{-19})^2}{(5\times 10^{-11})^3} = 9\times 10^{9} \times \frac{2{,}6\times 10^{-38}}{1{,}25\times 10^{-31}} \approx 2\times 10^3\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}, \\ \omega_0 &\approx \sqrt{\frac{2\times 10^3}{9{,}1\times 10^{-31}}} \approx \sqrt{2\times 10^{33}} \approx 4\times 10^{16}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. \end{aligned}

   \boxed{\omega_0 \approx 4\times 10^{16}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$k_{\mathrm{el}}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}_0^3}$$

   $${\omega }_0=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{el}}}{m_{\mathrm{e}}}}=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_{\mathrm{e}}{R}_0^3}}$$

   $${\omega }_0\approx 4\times 10^{16}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

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5. Exercice 5X-ENS Physique MP 2020, Q20

   L'équation différentielle établie à la question Q19 s'écrit en représentation complexe :

   \frac{\mathrm{d}^2\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t^2} + \Gamma\frac{\mathrm{d}\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2\,\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}} = -\frac{e}{m_{\mathrm{e}}}\underline{\vec{E}}(\vec{r},t)

   où le champ électrique excitateur au niveau de l'atome est \underline{\vec{E}}(\vec{r},t) = \underline{\vec{E}}(\vec{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}.

   En régime sinusoïdal forcé, on injecte la forme recherchée \underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}(t) = \underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}. Les dérivées temporelles successives s'expriment par :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} &= -\mathrm{i}\omega\,\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \\ \frac{\mathrm{d}^2\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t^2} &= -\omega^2\,\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \end{aligned}

   En substituant dans l'équation différentielle et en simplifiant par \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, il vient :

   \left(\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\Gamma\omega\right)\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0} = -\frac{e}{m_{\mathrm{e}}}\underline{\vec{E}}(\vec{r})

   On en déduit l'amplitude complexe du déplacement de l'électron :

   \boxed{\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0} = -\frac{e}{m_{\mathrm{e}}\left(\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\Gamma\omega\right)}\underline{\vec{E}}(\vec{r})}

   Le moment dipolaire de l'atome est défini par \underline{\vec{d}}_{\mathrm{at}}(t) = -e\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}(t) = -e\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}. On obtient directement :

   \boxed{\underline{\vec{d}}_{\mathrm{at}}(t) = \frac{e^2}{m_{\mathrm{e}}\left(\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\Gamma\omega\right)}\underline{\vec{E}}(\vec{r},t)}

   Résultat

   $${\underline{\vec{r}}}_{\mathrm{e},0}=-\frac{e}{m_{\mathrm{e}}\left({\omega }_0^2-{\omega }^2-\mathrm{i}\Gamma \omega \right)}\underline{\vec{E}}(\vec{r})$$

   $${\underline{\vec{d}}}_{\mathrm{at}}(t)=\frac{e^2}{m_{\mathrm{e}}\left({\omega }_0^2-{\omega }^2-\mathrm{i}\Gamma \omega \right)}\underline{\vec{E}}(\vec{r},t)$$

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6. Exercice 6CCINP Physique MP 2026, Q31

   L'ordre de grandeur de la taille d'un atome (diamètre typique ou dimension du cortège électronique) est :

   a_{\text{atome}} \sim 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}\quad (1\text{ \AA}).

   Pour un rayonnement ultra-violet de longueur d'onde dans le vide \lambda \sim 200\text{ nm} = 2\cdot 10^{-7}\text{ m}, le rapport des échelles spatiales vaut :

   \frac{a_{\text{atome}}}{\lambda} \sim \frac{10^{-10}}{2\cdot 10^{-7}} \approx 5\cdot 10^{-4} \ll 1.

   La variation spatiale de la phase du champ électrique sur une distance de l'ordre de la taille atomique \Delta z \sim a_{\text{atome}} s'écrit :

   \Delta \varphi = k\,\Delta z \sim \frac{2\pi}{\lambda}\,a_{\text{atome}} \approx 2\pi \times 5\cdot 10^{-4} \approx 3\cdot 10^{-3}\text{ rad} \ll 1.

   Par conséquent, sur toute l'étendue de l'atome, le terme spatial d'onde vérifie :

   e^{-\iota k z} \simeq 1 \quad \text{soit} \quad \vec{E}(z,t) \simeq \vec{E}(0,t).

   \boxed{\text{Le champ électrique est spatialement uniforme à l'échelle atomique.}}

   Résultat

   $$\text{Le champ eˊlectrique est spatialement uniforme aˋ l’eˊchelle atomique.}$$

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7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q30

   Le point M est repéré par son vecteur position :

   \vec{r} = \overrightarrow{OM} = r\,\vec{u}_r

   Le vecteur unitaire \vec{u}_z de l'axe des pôles se projette dans la base sphérique sous la forme :

   \vec{u}_z = \cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta

   D'après l'énoncé, le moment dipolaire s'écrit \vec{m} = -m\,\vec{u}_z (avec m > 0), soit :

   \vec{m} = -m\cos\theta\,\vec{u}_r + m\sin\theta\,\vec{u}_\theta

   Le produit scalaire avec le vecteur position \vec{r} = r\,\vec{u}_r vaut :

   \vec{m}\cdot\vec{r} = -m\,r\cos\theta

   Calculons le numérateur de l'expression intrinsèque du champ dipolaire :

   \begin{aligned} 3(\vec{m}\cdot\vec{r})\vec{r} - r^2\vec{m} &= 3(-m\,r\cos\theta)(r\,\vec{u}_r) - r^2\left(-m\cos\theta\,\vec{u}_r + m\sin\theta\,\vec{u}_\theta\right) \\ &= -3m\,r^2\cos\theta\,\vec{u}_r + m\,r^2\cos\theta\,\vec{u}_r - m\,r^2\sin\theta\,\vec{u}_\theta \\ &= -2m\,r^2\cos\theta\,\vec{u}_r - m\,r^2\sin\theta\,\vec{u}_\theta \end{aligned}

   En injectant dans l'expression du champ magnétique :

   \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\vec{m}\cdot\vec{r})\vec{r} - r^2\vec{m}}{r^5} = -\frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\left(2\cos\theta\,\vec{u}_r + \sin\theta\,\vec{u}_\theta\right)

   On en déduit immédiatement les trois composantes du champ magnétique dans la base sphérique :

   \boxed{ B_r = -\frac{2\mu_0 m}{4\pi r^3}\cos\theta, \quad B_\theta = -\frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\sin\theta, \quad B_\varphi = 0 }

   Résultat

   $$B_r=-\frac{2{\mu }_{0}m}{4\pi r^3}\cos \theta ,B_{\theta }=-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^3}\sin \theta ,B_{\phi }=0$$

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8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q32

   La latitude d'un point à la surface de la Terre est reliée à la colatitude \theta par :

   \theta = \frac{\pi}{2} - \Lambda

   On en déduit immédiatement les relations trigonométriques :

   \begin{aligned} \cos\theta &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \Lambda\right) = \sin\Lambda \\ \sin\theta &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \Lambda\right) = \cos\Lambda \end{aligned}

   D'après le résultat de la question Q30, le champ magnétique créé par le dipôle \vec{m} = -m\vec{u}_z en coordonnées sphériques s'écrit pour r = R_T :

   \begin{aligned} B_r(R_T, \theta) &= -\frac{2\mu_0 m}{4\pi R_T^3} \cos\theta = -\frac{2\mu_0 m}{4\pi R_T^3} \sin\Lambda \\ B_\theta(R_T, \theta) &= -\frac{\mu_0 m}{4\pi R_T^3} \sin\theta = -\frac{\mu_0 m}{4\pi R_T^3} \cos\Lambda \\ B_\varphi &= 0 \end{aligned}

   Définissons le repère local terrestre au point M :

   • Le vecteur unitaire vertical ascendant est \vec{u}_r (vers le zénith).
   • Le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud géographique est \vec{u}_\theta (puisque \theta croît du pôle Nord vers le pôle Sud), le vecteur unitaire dirigé vers le Nord magnétique et géographique est donc \vec{u}_{\mathrm{Nord}} = -\vec{u}_\theta.

   La composante horizontale \vec{B}_h, tangente au sol terrestre, est orientée vers le Nord géographique :

   \vec{B}_h = B_\theta \vec{u}_\theta = -B_\theta \vec{u}_{\mathrm{Nord}} = B_h \vec{u}_{\mathrm{Nord}}

   soit une composante horizontale :

   \boxed{B_h = \frac{\mu_0 m}{4\pi R_T^3}\cos\Lambda}

   La composante verticale locale, projetée sur l'axe vertical ascendant \vec{u}_r, s'écrit :

   \boxed{B_{v,\mathrm{asc}} = B_r = -\frac{2\mu_0 m}{4\pi R_T^3}\sin\Lambda}

   Si l'on adopte la convention usuelle en géomagnétisme où la composante verticale B_v est comptée positivement vers le bas (axe orienté vers le centre de la Terre, selon -\vec{u}_r) :

   \boxed{B_{v,\mathrm{desc}} = -B_r = \frac{2\mu_0 m}{4\pi R_T^3}\sin\Lambda}

   Résultat

   $$B_h=\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi R_T^3}\cos \Lambda$$

   $$B_{v,\mathrm{asc}}=B_r=-\frac{2{\mu }_{0}m}{4\pi R_T^3}\sin \Lambda$$

   $$B_{v,\mathrm{desc}}=-B_r=\frac{2{\mu }_{0}m}{4\pi R_T^3}\sin \Lambda$$

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9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q18

   Soit un point d'observation M(r, \theta, \varphi). Notons \Pi_M le plan méridien passant par M et contenant l'axe Oz. Dans la base sphérique locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), ce plan est engendré par les vecteurs \vec{e}_r et \vec{e}_\theta, tandis que le vecteur \vec{e}_\varphi lui est orthogonal :

   \Pi_M = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta), \quad \vec{e}_\varphi \perp \Pi_M.

   1. Propriétés de symétrie

   • La charge +e est fixe en O \in Oz.
   • L'électron de charge -e se déplace exclusivement le long de l'axe Oz, avec une vitesse \vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t} = -l\omega\sin(\omega t)\,\vec{e}_z.

   Toutes les charges et tous les courants sont portés par l'axe Oz, qui est contenu dans le plan \Pi_M. La réflexion par rapport au plan \Pi_M laisse invariantes les positions des charges et ne modifie pas les vecteurs vitesses : \Pi_M est donc un plan de symétrie de la distribution de charges \rho et de la distribution de courants \vec{\jmath}.

   D'après les propriétés de transformation des champs :

   • Le champ électrique \vec{E}, vecteur polaire, est contenu dans tout plan de symétrie de ses sources :

     \vec{E}(M) \in \Pi_M \implies \vec{E}(M) \cdot \vec{e}_\varphi = 0 \iff \boxed{E_\varphi = 0}

   • Le champ magnétique \vec{B}, vecteur axial (pseudovecteur), est orthogonal à tout plan de symétrie de ses sources :

     \vec{B}(M) \perp \Pi_M \implies \vec{B}(M) \parallel \vec{e}_\varphi \iff \boxed{B_r = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta = 0}

   2. Invariance par rotation La distribution de charges et de courants est strictement confinée sur l'axe Oz. Elle est donc invariante par toute rotation d'angle quelconque autour de l'axe Oz, c'est-à-dire par changement de l'angle azimutal \varphi \to \varphi + \delta\varphi.

   Par invariance des sources, les composantes des champs projetées sur la base locale sphérique ne dépendent pas de l'angle \varphi :

   \boxed{\frac{\partial E_r}{\partial \varphi} = 0, \quad \frac{\partial E_\theta}{\partial \varphi} = 0, \quad \frac{\partial B_\varphi}{\partial \varphi} = 0}

   Résultat

   $$E_{\phi }=0$$

   $$B_r=0\text{et}{B}_{\theta }=0$$

   $$\frac{\partial E_r}{\partial \phi }=0,\frac{\partial E_{\theta }}{\partial \phi }=0,\frac{\partial B_{\phi }}{\partial \phi }=0$$

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10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q19

    1. Expression de l'accélération de l'électron

    Le vecteur position de l'électron au point P est donné par :

    \vec{\mathrm{OP}}(t) = l\cos(\omega t)\,\vec{e}_z

    En dérivant deux fois par rapport au temps t dans le référentiel d'étude, on obtient successivement la vitesse puis l'accélération de l'électron :

    \begin{aligned} \vec{v}(t) &= \frac{\mathrm{d}\vec{\mathrm{OP}}}{\mathrm{d}t} = -l\omega\sin(\omega t)\,\vec{e}_z \\ \vec{a}(t) &= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -l\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{e}_z \end{aligned}

    \boxed{\vec{a}(t) = -l\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{e}_z = -\omega^2\,\vec{\mathrm{OP}}(t)}

    2. Définition du moment dipolaire électrique

    Par définition, le moment dipolaire électrique associé à une distribution discrète de charges \{q_i\} situées aux points M_i est :

    \vec{p}(t) = \sum_i q_i\,\vec{\mathrm{OM}}_i

    Pour le dipôle constitué de la charge fixe +e en O et de l'électron de charge -e en P, il vient :

    \vec{p}(t) = (+e)\,\vec{0} + (-e)\,\vec{\mathrm{OP}}(t) = -e l\cos(\omega t)\,\vec{e}_z

    En posant \vec{p}(t) = \vec{p}_0\cos(\omega t), le vecteur amplitude du moment dipolaire s'écrit :

    \boxed{\vec{p}_0 = -e l\,\vec{e}_z}

    3. Amplitude p_0 en fonction de e, \omega et a

    L'amplitude du moment dipolaire est la norme de \vec{p}_0 :

    p_0 = \|\vec{p}_0\| = e l

    L'amplitude du module de l'accélération de l'électron vaut :

    a = \|\vec{a}\|_{\max} = l\omega^2 \implies l = \frac{a}{\omega^2}

    On en déduit l'expression de l'amplitude p_0 :

    \boxed{p_0 = \frac{e a}{\omega^2}}

    Résultat

    $$\vec{a}(t)=-l{\omega }^2\cos (\omega t){\vec{e}}_z=-{\omega }^2\overrightarrow{\mathrm{OP}}(t)$$

    $${\vec{p}}_0=-el{\vec{e}}_z$$

    $$p_0=\frac{ea}{{\omega }^2}$$

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