Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2026

Le point M est repéré par \vec{OM} = r\vec{u}_r par rapport à l'origine O où se trouvent les sources ponctuelles.

1. Expressions des champs :

   • Le champ gravitationnel créé en M par une masse ponctuelle m placée en O s'écrit :

     \boxed{\vec{G}(M) = -\frac{Gm}{r^2}\,\vec{u}_r}

   • Le champ électrostatique créé en M par une charge ponctuelle q placée en O s'écrit :

     \boxed{\vec{E}(M) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_r}

2. Analogues gravitationnels : En identifiant terme à terme les deux expressions :

   \vec{E}(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\vec{u}_r \quad \longleftrightarrow \quad \vec{G}(M) = -G\frac{m}{r^2}\,\vec{u}_r

   on en déduit les correspondances suivantes :

   \boxed{q \longleftrightarrow m \quad \text{et} \quad \frac{1}{\varepsilon_0} \longleftrightarrow -4\pi G \quad \left(\text{soit } \varepsilon_0 \longleftrightarrow -\frac{1}{4\pi G}\right)}

3. Théorème de Gauss intégral relatif au champ gravitationnel : En électrostatique, le théorème de Gauss pour une distribution volumique de charge \rho s'énonce :

   \oiint_S \vec{E}(M) \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V \rho(P)\,\mathrm{d}V

   Par analogie gravitationnelle, en remplaçant \vec{E} par \vec{G}, Q_{\text{int}} par la masse intérieure M_{\text{int}} = \iiint_V \mu(P)\,\mathrm{d}V et \frac{1}{\varepsilon_0} par -4\pi G :

   Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{G}(M) à travers une surface fermée S orientée vers l'extérieur est égal à -4\pi G fois la masse totale contenue dans le volume V délimité par S :

   \boxed{\oiint_S \vec{G}(M) \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = -4\pi G \iiint_V \mu(P)\,\mathrm{d}V = -4\pi G\, M_{\text{int}}}

La distribution de masse présente les symétries suivantes :

• Tout plan contenant le centre O est plan de symétrie matérielle, donc le champ gravitationnel est porté par leur intersection : \vec{G}_T(M) = G_r(r,\theta,\varphi)\,\vec{u}_r.
• La distribution est invariante par toute rotation autour de O, donc la composante radiale ne dépend que de la distance r = OM : \vec{G}_T(M) = G_r(r)\,\vec{u}_r.

On choisit pour surface de Gauss \mathcal{S} la sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur par le vecteur unitaire normal \vec{n} = \vec{u}_r. Le flux du champ gravitationnel à travers \mathcal{S} s'écrit :

D'après le théorème de Gauss gravitationnel établi à la question Q1 :

Distinguons les deux domaines de l'espace :

• À l'extérieur de la Terre (r \ge R_T) : toute la masse terrestre est incluse dans la surface de Gauss, soit M_{\text{int}}(r) = M_T = \frac{4}{3}\pi \mu_T R_T^3. D'où :

  \vec{G}_T(M) = -\frac{G M_T}{r^2}\,\vec{u}_r = -\frac{4\pi G \mu_T R_T^3}{3 r^2}\,\vec{u}_r

• À l'intérieur de la Terre (r < R_T) : seule la boule de rayon r contribue à la masse intérieure :

  M_{\text{int}}(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \mu_T = M_T \left(\frac{r}{R_T}\right)^3

  On en déduit :

  \vec{G}_T(M) = -\frac{4\pi G \mu_T}{3}r\,\vec{u}_r = -\frac{G M_T}{R_T^3}r\,\vec{u}_r

En résumé :

D'après le principe de superposition, la présence de la poche de pétrole équivaut à la superposition de :

• la Terre supposée pleine et homogène de rayon R_T et de masse volumique uniforme \mu_T ;
• une sphère de centre C, de rayon r' et de masse volumique fictive \Delta \mu = \mu_p - \mu_T.

Le point M se situe à l'extérieur de cette sphère (d > r'). D'après le résultat de la question Q2, le champ gravitationnel créé en M par cette sphère fictive est :

Or, M est sur la demi-droite [OC) orientée par \vec{u}_z, de sorte que \vec{u}_{CM} = \vec{u}_z et CM = d. Par ailleurs, le champ gravitationnel de la Terre homogène en M vaut :

Par superposition :

En factorisant, on obtient :

La variation relative s'en déduit directement :

soit :

Intensité du champ gravitationnel :
Comme \mu_p = 900\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} < \mu_T = 5400\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, il y a un déficit local de masse sous le point M. Ainsi :

Comme G_T(M) < 0 et 0 < \varepsilon < 1, la norme du champ vérifie :

Le champ gravitationnel devient donc moins intense en présence de la poche de pétrole.

Estimation numérique de \varepsilon :
Avec \frac{\mu_p}{\mu_T} = \frac{1}{6}, \frac{r'}{d} = \frac{1}{2} et \frac{r'}{R_T} = \frac{10^{-3}}{4} :

Commentaire :
L'anomalie relative induite par le gisement est de l'ordre de 5\cdot 10^{-5}, valeur très nettement supérieure au seuil de détection des gravimètres actuels (10^{-8}). Les mesures gravimétriques de surface constituent ainsi un outil de prospection géophysique particulièrement performant pour détecter et cartographier les gisements pétrolifères ou les cavités souterraines.

Le référentiel terrestre \mathcal{R}', en rotation uniforme de vecteur rotation \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_z autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R} supposé galiléen, n'est pas galiléen.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à un point matériel M de masse m dans \mathcal{R}', la somme des forces effectives comprend les forces réelles et les forces d'inertie :

Par définition, le poids \vec{P} = m\vec{g}(M) regroupe l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre \vec{F}_G et la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} :

• Terme d'attraction gravitationnelle : en modélisant la Terre comme une sphère à répartition sphérique de masse M_T, le champ gravitationnel extérieur créé en M vaut (d'après la question Q2) :

  \vec{F}_G = m \vec{G}_T(M) = - \frac{G M_T m}{r^2} \vec{u}_r

• Terme d'inertie d'entraînement (force centrifuge) : l'axe de rotation passant par l'origine O et le vecteur rotation \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_z étant constant, l'accélération d'entraînement est purement centripète :

  \vec{a}_e(M) = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{HM}) = -\Omega^2 \vec{HM}

  car \vec{u}_z \wedge (\vec{u}_z \wedge \vec{HM}) = - \vec{HM}. La force d'inertie d'entraînement s'écrit alors :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e(M) = m \Omega^2 \vec{HM}

En sommant ces deux contributions, on obtient le champ de pesanteur :

Ordre de grandeur à la surface de la Terre (r = R_T) :

• Champ gravitationnel :

  G_T(R_T) = \frac{G M_T}{R_T^2} \approx \frac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \times 6{,}0 \cdot 10^{24}}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2} = \frac{40{,}2 \cdot 10^{13}}{41 \cdot 10^{12}} \approx 9{,}8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

• Terme centrifuge (maximal à l'équateur où HM = R_T) :

  \Omega^2 R_T \approx (7{,}3 \cdot 10^{-5})^2 \times 6{,}4 \cdot 10^6 \approx 5{,}3 \cdot 10^{-9} \times 6{,}4 \cdot 10^6 \approx 0{,}034 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

Le terme centrifuge étant négligeable devant le terme d'attraction gravitationnelle, la norme du champ de pesanteur à la surface vaut :

Dans le référentiel terrestre \mathcal{R}', en rotation uniforme de vecteur rotation \vec{\Omega} par rapport au référentiel géocentrique, un point matériel M de masse m animé d'une vitesse relative \vec{v}_r subit la force d'inertie de Coriolis :

La norme de cette force est maximale lorsque la vitesse relative \vec{v}_r est perpendiculaire à l'axe de rotation terrestre :

Le poids du train a pour norme P = mg, avec g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} à la surface terrestre (d'après Q4). Le rapport des normes est donc majoré par :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• \Omega = 7{,}3\cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1},
• v_r = 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
• g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},

on obtient :

La force de Coriolis représente au maximum environ 0{,}15\,\% du poids du TGV : elle est donc tout à fait négligeable devant le poids dans l'étude de la dynamique locale du mobile.

À la surface de la Terre (r = R_T), le terme d'accélération gravitationnelle a pour norme :

Le terme d'inertie d'entraînement (accélération centrifuge) a pour norme :

où \theta désigne la colatitude (angle entre l'axe polaire (Oz) et \overrightarrow{OM}).

Le rapport des normes s'écrit donc :

Comme 0 \le \sin\theta \le 1, ce rapport est maximal à l'équateur (\theta = \frac{\pi}{2}) et se trouve majoré par :

Application numérique :

À l'aide des données du tableau en annexe :

La lecture du graphe de \log_{10}(x) en annexe donne pour 0{,}54 la valeur x \approx 3{,}5. Avec un seul chiffre significatif, on obtient :

Commentaire : La valeur \eta \ll 1 (environ 0{,}3\,\%) montre que le terme d'inertie d'entraînement est très faible devant le terme gravitationnel. Par conséquent :

• en première approximation, le champ de pesanteur est purement gravitationnel : \vec{g} \approx \vec{g}_G ;
• la force centrifuge entraîne toutefois une légère dépendance de la pesanteur avec la latitude (la pesanteur est minimale à l'équateur et maximale aux pôles) ainsi qu'un léger aplatissement de la Terre aux pôles.

a) D'après la question Q2, le champ gravitationnel extérieur créé par la Terre s'écrit \vec{G}_T(M) = -\frac{G M_T}{r^2}\vec{u}_r. La force d'attraction gravitationnelle exercée sur la masse m est donc :

Cette force dérive de l'énergie potentielle E_{pG}(M) telle que \vec{F}_G = -\vec{\mathrm{grad}}\, E_{pG}. Pour un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta + r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi, le travail élémentaire s'écrit :

On en déduit par intégration :

La constante d'intégration est nulle compte tenu de la référence E_{pG}(r \to \infty) = 0, d'où :

b) La force d'inertie d'entraînement s'écrit \vec{F}_e = m \Omega^2 \vec{HM}. En notant que le vecteur position s'écrit \vec{OM} = \vec{OH} + \vec{HM}, avec \vec{OH} = z\,\vec{u}_z parallèle à l'axe des pôles et \vec{HM} \perp \vec{u}_z, le déplacement élémentaire est \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}\vec{OH} + \mathrm{d}\vec{HM}. Puisque \vec{HM} \cdot \mathrm{d}\vec{OH} = 0, le travail élémentaire de cette force s'exprime par :

Par intégration, avec (HM)^2 = (\vec{HM})^2, on obtient :

En r = 0, le point M coïncide avec l'origine O, si bien que H = O et HM = 0. La condition E_{pe}(r = 0) = 0 impose donc une constante d'intégration nulle :

c) Le poids est la résultante de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement : \vec{P} = \vec{F}_G + \vec{F}_e. Par additivité, l'énergie potentielle de pesanteur est la somme des deux énergies potentielles :

Dans le triangle rectangle OHM rectangle en H, la distance du point M à l'axe de rotation OZ est donnée par :

où \theta désigne la colatitude. En reportant cette relation ainsi que les expressions de E_{pG} et E_{pe}, il vient :

D'après la question Q7.c, l'énergie potentielle de pesanteur d'une masse m en coordonnées sphériques s'écrit :

Au pôle Nord N, la colatitude est \theta = 0 et le rayon vaut r_n = ON, d'où :

L'équation définissant la surface équipotentielle (\Sigma) passant par N est E_{pp}(r,\theta) = E_{pp}(N), soit :

En divisant par -G M_T m et en introduisant le paramètre sans dimension \eta = \frac{\Omega^2 R_T^3}{G M_T} défini à la question Q6 :

Comme \eta \ll 1 (\eta \approx 3\cdot 10^{-3}), l'écart entre r(\theta) et r_n est d'ordre 1 en \eta. On peut donc remplacer au premier ordre r(\theta) par r_n dans le terme correctif :

En inversant au premier ordre selon (1-u)^{-1} \approx 1+u pour u \ll 1 :

La trace de la surface équipotentielle dans un plan méridien s'écrit donc bien sous la forme :

avec la constante \varepsilon donnée par :

Dans le plan équatorial, la colatitude est \theta = \frac{\pi}{2}, ce qui donne \sin\theta = 1, d'où :

Le paramètre d'aplatissement \varepsilon' s'en déduit immédiatement :

a) Justification de la constance de g :

En négligeant le terme d'entraînement devant l'attraction gravitationnelle (ce qui est justifié car \eta \approx 3\cdot 10^{-3} \ll 1 d'après Q6), la norme du champ de pesanteur à une altitude z au-dessus du sol s'écrit :

Pour une faible variation d'altitude z \ll R_T, un développement limité à l'ordre 1 donne :

Pour une élévation d'altitude h, la variation relative est donc :

(Remarque : si h représente la hauteur de chute vers le sol, le corps se rapproche du centre de la Terre et le champ varie de +2h/R_T. Dans les deux cas, la valeur absolue reste la même).

Application numérique : avec h = 1\text{ m} et R_T = 6{,}4\cdot 10^6\text{ m} :

Cette variation relative est infime (de l'ordre de quelques dixièmes de partie par million sur un mètre). Il est donc parfaitement légitime de considérer la norme g comme constante au cours de la chute.

b) Équation horaire du mouvement de O_1 :

• Système : le solide C_1 assimilé à son centre O_1, de masse m.
• Référentiel : référentiel terrestre lié au laboratoire, muni d'un axe vertical (Oz) descendant de vecteur unitaire \vec{u}_z. Pour une durée de chute de l'ordre de t = \sqrt{2h/g} \approx 0{,}45\text{ s}, le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen (la force de Coriolis est négligeable d'après Q5).

• Bilan des forces : la chambre étant sous vide, le solide est uniquement soumis à son poids :

  \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_z

D'après la deuxième loi de Newton :

Une première intégration avec la condition initiale de vitesse nulle (\dot{z}_1(0) = 0) donne :

Une seconde intégration avec l'origine choisie en O_{10} à t=0 (z_1(0) = 0) conduit à :

a) Expression de la différence de chemins optiques \delta(P, t)

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1. Un miroir en coin de cube renvoie tout rayon incident parallèlement à lui-même dans le sens opposé. Ainsi, lorsque le sommet du coin de cube se déplace d'une distance \Delta z, le chemin optique correspondant varie de 2\Delta z en raison du trajet aller-retour.

D'après la question Q9.b, la cote verticale descendante du sommet O_1 de C_1 vaut :

Le coin de cube C_2 est fixe à la cote z_2 = 0{,}3\text{ m}. En choisissant la convention \delta(P, t) = L_2 - L_1, la différence de chemins optiques entre le rayon passant par O_2 et celui passant par O_1 s'écrit, à une constante géométrique près (nulle si l'interféromètre est parfaitement symétrique pour les parties fixes) :

Si l'on adopte la convention inverse \delta(P, t) = L_1 - L_2, on obtient de même \delta(P, t) = gt^2 - 2z_2.

b) Expression de \Delta_q et de l'accélération de la pesanteur g

L'intensité résultant de l'interférence à deux ondes s'écrit selon la formule de Fresnel :

Les minima d'intensité correspondent à des interférences destructives, vérifiant :

Entre l'instant t_0 (premier minimum) et l'instant t_q correspondant au q-ième minimum suivant (q \in \mathbb{N}^*), l'ordre d'interférence varie de q unités. La variation en valeur absolue de la différence de marche est donc :

Avec \delta(P, t) = 2z_2 - gt^2, on a \Delta_q = \delta(P, t_q) - \delta(P, t_0) = -g(t_q^2 - t_0^2). En grandeur algébrique orientée selon le défilement (ou en valeur absolue) :

Comme t_q > t_0 et g > 0, on en déduit :

soit :

c) Détermination de la valeur locale de g

D'après la relation précédente, on a :

Sur la figure 3(b), le temps est mesuré en microsecondes (\mu\text{s}). Exprimons les temps en microsecondes en posant \tilde{t} = t / (10^{-6}\text{ s}). Alors :

La fonction linéaire y(q) exploitée expérimentalement est donc :

Le tracé de y(q) en fonction de q est une droite passant par l'origine de pente :

L'ajustement expérimental donnant y(q) = 64\,598\,q, la pente vaut a = 64\,598. On en déduit l'expression de g :

Avec \lambda = 632{,}82\text{ nm} = 632{,}82 \cdot 10^{-9}\text{ m} :

a) D'après l'approximation d'Ellingham, l'enthalpie libre standard de réaction s'écrit sous la forme :

Par identification avec l'expression donnée par l'énoncé \Delta_r G_1^0(T) = 177{,}4 - 0{,}1589\,T (avec \Delta_r G_1^0 en \text{kJ}\cdot\text{mol}^{-1}), on obtient :

L'enthalpie standard de réaction étant strictement positive (\Delta_r H_1^0 > 0), la réaction (1) est endothermique.

b) Par la même identification, le terme d'entropie standard vaut :

Commentaire : L'entropie standard de réaction est strictement positive (\Delta_r S_1^0 > 0). Cela est cohérent avec la stœchiométrie de la réaction, qui produit une mole de gaz (\Delta \nu_g = +1) à partir d'espèces condensées pures :

L'état gazeux étant beaucoup plus désordonné que l'état solide (entropie molaire standard d'un gaz bien supérieure à celle d'un solide), cette transformation s'accompagne d'une forte augmentation du désordre du système.

c) La constante thermodynamique d'équilibre K_1^0(T) est reliée à l'enthalpie libre standard de réaction par :

En explicitant avec les expressions fournies :

ou sous la forme factorisée :

La température T_{1,i} telle que K_1^0(T_{1,i}) = 1 vérifie :

Soit, d'après l'expression factorisée 0{,}1589\,(1116 - T_{1,i}) = 0 :

d) Pour les phases en présence :

• \mathrm{CaCO}_{3,\mathrm{(s)}} et \mathrm{CaO}_{\mathrm{(s)}} sont des solides purs seuls dans leur phase, leur activité est donc unitaire : a(\mathrm{CaCO}_{3,\mathrm{(s)}}) = 1 et a(\mathrm{CaO}_{\mathrm{(s)}}) = 1 ;
• \mathrm{CO}_{2,\mathrm{(g)}} est assimilé à un gaz parfait, son activité s'exprime par le rapport de sa pression partielle à la pression standard : a(\mathrm{CO}_{2,\mathrm{(g)}}) = \dfrac{P_{\mathrm{CO}_2}}{P^\circ}.

Le quotient réactionnel s'écrit ainsi :

Soit :

a) Description du chauffage et étude de la simultanéité des équilibres

Les deux réactions de calcination s'écrivent :

Sous la pression de travail P = P^\circ = 1\text{ bar}, la décomposition d'un carbonate débute dès que sa pression d'équilibre en dioxyde de carbone atteint la pression extérieure, soit P_{\mathrm{CO}_2}^{\text{eq}} = K^\circ(T) P^\circ = P^\circ, c'est-à-dire K^\circ(T) = 1 (\Delta_r G^\circ(T) = 0) :

• pour \mathrm{MgCO}_{3,(s)} : T_{2,i} = 674\text{ K} (401\text{ }^\circ\text{C}) ;
• pour \mathrm{CaCO}_{3,(s)} : T_{1,i} = 1116\text{ K} (843\text{ }^\circ\text{C}).

Description des phénomènes au cours du chauffage :

• Pour T < 674\text{ K} : les pressions d'équilibre sont inférieures à 1 bar, les deux carbonates sont stables.
• À T = 674\text{ K} : \mathrm{MgCO}_{3,(s)} se décompose intégralement en \mathrm{MgO}_{(s)} et \mathrm{CO}_{2,(g)} qui s'échappe, occasionnant une première perte de masse. \mathrm{CaCO}_{3,(s)} reste intact car K_1^\circ(674\text{ K}) \ll 1.
• Pour 674\text{ K} < T < 1116\text{ K} : le solide est constitué du mélange de \mathrm{CaCO}_{3,(s)} et de \mathrm{MgO}_{(s)}.
• À T = 1116\text{ K} : \mathrm{CaCO}_{3,(s)} se décompose à son tour en \mathrm{CaO}_{(s)} et \mathrm{CO}_{2,(g)}, ce qui produit une deuxième perte de masse.

Simultanéité des deux équilibres :

Si les deux équilibres coexistaient en présence d'une même phase gazeuse, la pression partielle de \mathrm{CO}_2 devrait vérifier simultanément :

Or :

ce qui est physiquement impossible.

Autre justification (variance) : Le système contient 5 constituants (\mathrm{CaCO}_3, \mathrm{CaO}, \mathrm{MgCO}_3, \mathrm{MgO}, \mathrm{CO}_2) formant 4 phases solides non miscibles et 1 phase gazeuse (\varphi = 5). Avec r = 2 équilibres indépendants, la variance de Gibbs vaut :

Un équilibre invariant ne peut pas subsister si la pression est fixée arbitrairement à P^\circ = 1\text{ bar}.

Les deux équilibres ne peuvent donc pas être simultanés sous P^\circ = 1\text{ bar} : les décompositions sont successives.

b) Composition massique en carbonate de magnésium

Les masses molaires utiles sont :

Soit m_0 la masse initiale de calcaire. La première perte de masse \Delta m_1 = 0{,}022\,m_0 correspond exclusivement au départ du dioxyde de carbone formé lors de la décomposition complète de \mathrm{MgCO}_3. D'après la stœchiométrie de la réaction (2) :

La fraction massique x en \mathrm{MgCO}_3 vaut donc :

Application numérique :

Commentaire : La fraction massique obtenue vérifie x = 4{,}2\% \le 6\%. L'impureté en carbonate de magnésium ne dépasse pas le seuil limite imposé par le cahier des charges cimentier : le calcaire analysé est donc de qualité satisfaisante pour la fabrication du ciment.

À partir des formules chimiques et de l'écriture en oxydes données dans le tableau 2, les équations des réactions de synthèse des quatre constituants principaux du ciment (appelés phases de Bogue) à partir des oxydes réactifs s'écrivent :

• Pour le composé A (alite ou silicate tricalcique, noté \mathrm{C_3S}) :

  \boxed{3\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{SiO_{2,(s)}} = \mathrm{Ca_3SiO_{5,(s)}}}

  (ou sous forme d'oxydes associés : 3\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{SiO_{2,(s)}} = 3\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{SiO_{2,(s)}})

• Pour le composé B (bélite ou silicate dicalcique, noté \mathrm{C_2S}) :

  \boxed{2\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{SiO_{2,(s)}} = \mathrm{Ca_2SiO_{4,(s)}}}

  (ou sous forme d'oxydes associés : 2\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{SiO_{2,(s)}} = 2\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{SiO_{2,(s)}})

• Pour le composé C (aluminate tricalcique, noté \mathrm{C_3A}) :

  \boxed{3\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{Al_2O_{3,(s)}} = \mathrm{Ca_3Al_2O_{6,(s)}}}

  (ou sous forme d'oxydes associés : 3\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{Al_2O_{3,(s)}} = 3\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{Al_2O_{3,(s)}})

• Pour le composé D (ferrite tétra-calcique ou aluminoferrite tétracalcique, noté \mathrm{C_4AF}) :

  \boxed{4\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{Al_2O_{3,(s)}} + \mathrm{Fe_2O_{3,(s)}} = \mathrm{Ca_4Al_2Fe_2O_{10,(s)}}}

  (ou sous forme d'oxydes associés : 4\,\mathrm{CaO_{(s)}} + \mathrm{Al_2O_{3,(s)}} + \mathrm{Fe_2O_{3,(s)}} = 4\,\mathrm{CaO}\cdot\mathrm{Al_2O_3}\cdot\mathrm{Fe_2O_{3,(s)}})

Soit un échantillon de ciment de masse totale m. Les masses des constituants \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} et \mathrm{D} sont données par m_j = p_j\,m pour j \in \{5, 6, 7, 8\}. Les quantités de matière correspondantes sont :

D'après les équations de réaction de la question Q13 :

• Pour \mathrm{CaO} (oxyde 1, masse molaire M_1) : chaque mole de \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} et \mathrm{D} contient respectivement 3, 2, 3 et 4 moles de \mathrm{CaO} :

  \begin{aligned} n_1 &= 3\,n_{\mathrm{A}} + 2\,n_{\mathrm{B}} + 3\,n_{\mathrm{C}} + 4\,n_{\mathrm{D}} \\ p_1 &= \frac{n_1 M_1}{m} = 3\frac{M_1}{M_5}p_5 + 2\frac{M_1}{M_6}p_6 + 3\frac{M_1}{M_7}p_7 + 4\frac{M_1}{M_8}p_8 \end{aligned}

• Pour \mathrm{SiO}_2 (oxyde 2, masse molaire M_2) :

  \begin{aligned} n_2 &= n_{\mathrm{A}} + n_{\mathrm{B}} \\ p_2 &= \frac{n_2 M_2}{m} = \frac{M_2}{M_5}p_5 + \frac{M_2}{M_6}p_6 + 0\cdot p_7 + 0\cdot p_8 \end{aligned}

• Pour \mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3 (oxyde 3, masse molaire M_3) :

  \begin{aligned} n_3 &= n_{\mathrm{C}} + n_{\mathrm{D}} \\ p_3 &= \frac{n_3 M_3}{m} = 0\cdot p_5 + 0\cdot p_6 + \frac{M_3}{M_7}p_7 + \frac{M_3}{M_8}p_8 \end{aligned}

• Pour \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3 (oxyde 4, masse molaire M_4) :

  \begin{aligned} n_4 &= n_{\mathrm{D}} \\ p_4 &= \frac{n_4 M_4}{m} = 0\cdot p_5 + 0\cdot p_6 + 0\cdot p_7 + \frac{M_4}{M_8}p_8 \end{aligned}

Sous forme matricielle \mathrm{oxy} = \mathrm{gob} \cdot \mathrm{cim}, la matrice \mathrm{gob} = (\beta_{ij})_{1\le i,j\le 4} s'écrit :

La ligne 5 du script Python se complète donc par :

gob = np.array([[3*M1/M5, 2*M1/M6, 3*M1/M7, 4*M1/M8],
                [M2/M5,   M2/M6,   0,         0        ],
                [0,       0,       M3/M7,     M3/M8    ],
                [0,       0,       0,         M4/M8    ]])

Considérons un échantillon de ciment de masse totale m_c. Pour chaque composant i \in \{\text{A, B, C, D}\}, repéré par l'indice de masse molaire k \in \{5, 6, 7, 8\} :

• composant A : masse m_{\text{A}}, masse molaire M_5 ;
• composant B : masse m_{\text{B}}, masse molaire M_6 ;
• composant C : masse m_{\text{C}}, masse molaire M_7 ;
• composant D : masse m_{\text{D}}, masse molaire M_8.

Les quantités de matière associées sont données par :

D'après les stœchiométries de réaction fournies par l'énoncé, chaque mole de A, B, C et D consomme respectivement 3, 2, 6 et 10 moles d'eau. La quantité totale d'eau nécessaire à l'hydratation complète du ciment est donc :

La masse d'eau correspondante est :

En divisant par la masse totale de ciment m_c :

1. Si p_5, p_6, p_7, p_8 désignent les fractions massiques (\sum p_i = 1) :

2. Si p_5, p_6, p_7, p_8 sont exprimés en pourcentages massiques comme indiqué dans le tableau 2 (m_i/m_c = p_i/100 avec \sum p_i = 100) :

a) Calcul du \mathrm{pH} d'une solution saturée en \mathrm{Ca(OH)}_{2,(s)}

L'équilibre de dissolution de l'hydroxyde de calcium s'écrit :

En notant s la solubilité de l'hydroxyde de calcium (en \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}), et en négligeant l'apport des ions hydroxyde issus de l'autoprotolyse de l'eau devant s :

Le produit de solubilité s'exprime donc par :

D'où la concentration en ions hydroxyde :

En prenant le logarithme décimal avec \log_{10}(2) \approx 0{,}30 (donnée de la courbe en annexe) et K_s = 10^{-5{,}2} :

À 25\text{ }^\circ\mathrm{C}, avec K_e = 10^{-14} :

L'hypothèse [\mathrm{OH}^-] \approx 2{,}3\cdot 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \gg 10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} est parfaitement vérifiée a posteriori.

b) Oxydation du fer en milieu basique et passivation

En milieu basique, l'espèce stable du fer(III) est l'hydroxyde de fer(III) \mathrm{Fe(OH)}_{3,(s)} (ou l'oxyde hydraté \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_3). Les demi-équations électroniques s'écrivent :

En combinant ces deux demi-équations, les ions \mathrm{OH}^- s'éliminent de part et d'autre :

(Ou, sous forme déshydratée : 4\,\mathrm{Fe}_{(s)} + 3\,\mathrm{O}_{2,(g)} = 2\,\mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_{3,(s)}).

La passivation du fer correspond à la formation à la surface du métal d'une couche d'oxydes ou d'hydroxydes insoluble, compacte et imperméable. Cette pellicule protectrice isole le métal sous-jacent du milieu oxydant extérieur et bloque cinétiquement la poursuite de la corrosion.

c) Comportement en milieu acide

En milieu acide, les oxydes et hydroxydes de fer sont instables et se dissolvent par réaction acido-basique avec les ions \mathrm{H}^+ :

La couche passivante protectrice est alors détruite : c'est la dépassivation. Le fer à l'état métallique se retrouve directement au contact du milieu et subit une corrosion active, oxydé par le dioxygène dissous ou directement par les ions \mathrm{H}^+ :

Commentaire : Dans le béton armé, le milieu fortement basique créé par la chaux (\mathrm{pH} \approx 12\text{--}13) est indispensable pour passiver et préserver les armatures en acier. En cas d'acidification (par carbonatation atmosphérique sous l'effet du \mathrm{CO}_2 ou par des pluies acides), la dépasse de passivation entraîne la corrosion des armatures. La formation de rouille, plus volumineuse que le fer initial, génère des contraintes mécaniques internes considérables qui provoquent la fissuration et l'éclatement du béton.

La masse molaire du minéral K s'exprime en fonction de x et y par :

D'après les données fournies dans les questions et tableaux précédents :

• M(\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3) = 102\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• M(\mathrm{SiO}_2) = 60\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• M(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) = M_0 = 18\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

Soit numériquement :

1. Perte de masse par chauffage à 550\text{ }^\circ\mathrm{C} : Le chauffage provoque le départ complet de l'eau présente dans la structure minérale sous forme gazeuse selon la réaction de déshydratation :

La perte de masse relative observée (14{,}0\,\%) est donc égale à la fraction massique en eau du minéral K :

2. Teneur massique en silice \mathrm{SiO}_2 : La fraction massique en dioxyde de silicium dans le minéral K est de 46{,}5\,\% :

Le système de deux équations à deux inconnues x et y s'écrit donc :

a) Équilibres acido-basiques et quotients réactionnels

Le dioxyde de carbone dissous se comporte comme un diacide faible noté (\text{CO}_{2\text{,(aq)}}, \text{H}_2\text{O}) ou \text{H}_2\text{CO}_{3\text{,(aq)}}. En prenant l'eau liquide comme solvant d'activité unitaire (a_{\text{H}_2\text{O}} = 1) et en confondant l'activité de chaque soluté avec la valeur numérique de sa concentration molaire (c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) :

• Première acidité :

  \text{CO}_2,\text{H}_2\text{O}_{\text{(aq)}} + \text{H}_2\text{O}_{\text{(l)}} = \text{HCO}_{3\text{,(aq)}}^- + \text{H}_3\text{O}_{\text{(aq)}}^+

  Le quotient réactionnel associé s'écrit :

  \boxed{Q_{r,1} = \frac{[\text{HCO}_3^-][\text{H}_3\text{O}^+]}{[\text{CO}_2,\text{H}_2\text{O}]}}

• Seconde acidité :

  \text{HCO}_{3\text{,(aq)}}^- + \text{H}_2\text{O}_{\text{(l)}} = \text{CO}_{3\text{,(aq)}}^{2-} + \text{H}_3\text{O}_{\text{(aq)}}^+

  Le quotient réactionnel associé s'écrit :

  \boxed{Q_{r,2} = \frac{[\text{CO}_3^{2-}][\text{H}_3\text{O}^+]}{[\text{HCO}_3^-]}}

b) Attribution des courbes de distribution

Lorsque le \text{pH} augmente, les espèces se déprotonent successivement :

• À bas \text{pH}, c'est l'espèce la plus protonée, le diacide, qui prédomine : la courbe (1) correspond à \boxed{\text{CO}_2,\text{H}_2\text{O}\text{ (ou }\text{H}_2\text{CO}_3)}.
• À \text{pH} intermédiaire, c'est l'ampholyte, base conjuguée de la première acidité et acide de la seconde, qui prédomine : la courbe (2) correspond à l'ion hydrogénocarbonate \boxed{\text{HCO}_3^-}.
• À \text{pH} basique, c'est la base la plus déprotonée qui prédomine : la courbe (3) correspond à l'ion carbonate \boxed{\text{CO}_3^{2-}}.

c) Détermination des constantes d'acidité

À l'équilibre chimique, Q_{r,1} = K_{a1} et Q_{r,2} = K_{a2}, ce qui donne les relations de Henderson-Hasselbalch :

• À l'intersection des courbes (1) et (2), [\text{CO}_2,\text{H}_2\text{O}] = [\text{HCO}_3^-] (soit 50\,\% chacun), donc \text{pH} = \text{p}K_{a1}.
  La lecture graphique sur la figure 4 donne directement :

  \text{p}K_{a1} = 6{,}4

  D'où la valeur de la constante d'acidité :

  K_{a1} = 10^{-6{,}4} = 10^{0{,}60} \cdot 10^{-7}

  En lisant sur le graphe de \log_{10}(x) en annexe la valeur x pour laquelle \log_{10}(x) \approx 0{,}60, on trouve x \approx 4{,}0, soit :

  \boxed{K_{a1} \approx 4 \cdot 10^{-7}} \quad (\text{soit } \text{p}K_{a1} = 6{,}4)

• À l'intersection des courbes (2) et (3), [\text{HCO}_3^-] = [\text{CO}_3^{2-}] (soit 50\,\% chacun), donc \text{pH} = \text{p}K_{a2}.
  La lecture graphique sur la figure 4 donne :

  \text{p}K_{a2} = 10{,}3

  D'où la constante d'acidité :

  K_{a2} = 10^{-10{,}3} = 10^{0{,}70} \cdot 10^{-11}

  En lisant sur le graphe de \log_{10}(x) en annexe la valeur x pour laquelle \log_{10}(x) \approx 0{,}70, on trouve x \approx 5{,}0, soit :

  \boxed{K_{a2} \approx 5 \cdot 10^{-11}} \quad (\text{soit } \text{p}K_{a2} = 10{,}3)

1. Constance de la concentration en dioxyde de carbone dissous

À l'équilibre de dissolution :

La constante d'équilibre associée s'écrit en fonction des activités :

L'eau étant le solvant, a(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) = 1. En assimilant le gaz à un gaz parfait (a(\mathrm{CO}_{2,(g)}) = P_{\mathrm{CO}_2}/P^\circ) et la solution à une solution idéale diluée (a(\mathrm{CO}_{2,(aq)}, \mathrm{H}_2\mathrm{O}) = c/c^\circ avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}), il vient :

La pression partielle du dioxyde de carbone atmosphérique sous la pression totale P est P_{\mathrm{CO}_2} = x_{\mathrm{CO}_2} P. On en déduit :

À température T fixée, K^\circ(T) est constante ; à pression atmosphérique P et composition atmosphérique x_{\mathrm{CO}_2} fixées, P_{\mathrm{CO}_2} est constante. Par conséquent, la concentration c est constante.

Sous la pression atmosphérique standard P = P^\circ = 1\text{ bar} à T = 298\text{ K} :

2. Établissement de l'expression du pH

Le système étant en contact permanent avec l'atmosphère (réservoir infini de \mathrm{CO}_2), la concentration c = [\mathrm{CO}_{2,(aq)}, \mathrm{H}_2\mathrm{O}] reste fixée à sa valeur d'équilibre. Les équilibres acido-basiques en phase aqueuse vérifient :

L'équation d'électroneutralité de la solution s'écrit :

La dissolution de ce gaz acide acidifie l'eau (\mathrm{pH} < 7). Compte tenu des valeurs \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}4 et \mathrm{p}K_{a2} = 10{,}3 déterminées en Q18 :

• en milieu acide, l'autoprotolyse de l'eau est négligeable devant la première acidité : [\mathrm{OH}^-] \ll [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+] ;
• le \mathrm{pH} étant nettement inférieur à \mathrm{p}K_{a2}, la seconde dissociation est négligeable : [\mathrm{CO}_3^{2-}] \ll [\mathrm{HCO}_3^-].

L'électroneutralité se réduit donc à :

En injectant cette relation dans l'expression de K_{a1} :

On en déduit l'expression du \mathrm{pH} :

3. Calcul du pH et des concentrations des espèces à 25 °C

Avec -\log_{10}(c/c^\circ) = -\log_{10}(1{,}05\cdot 10^{-5}) \approx 4{,}98 et \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}4 :

On en déduit les concentrations des différentes espèces :

Validation des hypothèses :

• \frac{[\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+]} = \frac{5\cdot 10^{-9}}{2\cdot 10^{-6}} \approx 2{,}5\cdot 10^{-3} \ll 1 ;
• \frac{2[\mathrm{CO}_3^{2-}]}{[\mathrm{HCO}_3^-]} \approx \frac{10^{-10}}{2\cdot 10^{-6}} = 5\cdot 10^{-5} \ll 1.

Les approximations sont parfaitement légitimes.

Par analogie formelle avec la résistance électrique (R = \frac{U}{I}), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un élément conducteur reliant deux isothermes de températures T_1 et T_2 (T_1 > T_2) est définie par le quotient de la différence de température par le flux thermique (ou puissance thermique) \Phi qui le traverse de la face chaude vers la face froide :

où T_1 - T_2 s'exprime en kelvins (\mathrm{K}), \Phi en watts (\mathrm{W}) et R_{\mathrm{th}} en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}.

Considérons un conducteur cylindrique de longueur l, d'axe (Oz), de section constante s perpendiculaire à (Oz), en régime stationnaire et sans source thermique interne. Le transfert s'effectue selon z : le profil de température ne dépend que de z, T(z), avec T(0) = T_1 et T(l) = T_2.

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique est :

Le flux thermique traversant une section droite s orientée suivant \vec{u}_z s'écrit :

En régime permanent et sans terme source, la conservation de l'énergie implique que le flux \Phi est indépendant de z. Par intégration entre z = 0 et z = l :

On obtient ainsi :

Par identification avec la relation de définition, on en déduit l'expression de la résistance thermique :

En régime stationnaire et en l'absence de pertes latérales (transfert thermique unidimensionnel suivant l'axe Oz), le flux thermique \Phi à travers la section droite s est conservatif : il conserve la même valeur à travers chaque tranche du dispositif.

1. Établissement de la relation :

• À travers le bloc inférieur de laiton de longueur l et de conductivité \lambda_l, le flux s'écrit, d'après la question Q20 :

  T_c - T_1 = R_{\text{th, laiton}} \Phi = \frac{l}{\lambda_l s}\Phi

• Entre les deux interfaces de température T_1 et T_2, la chaleur traverse successivement en série le contact 1, la roche et le contact 2. La résistance thermique équivalente de cet empilement est la somme des trois résistances :

  R_{\text{inter}} = R_{\text{th},1} + R_{\text{th, roche}} + R_{\text{th},2} = \frac{e_1}{\lambda_1 s} + \frac{d}{\lambda s} + \frac{e_2}{\lambda_2 s} = \frac{1}{s} \left(\frac{d}{\lambda} + \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2}\right)

  La différence de température s'exprime donc par :

  T_1 - T_2 = R_{\text{inter}} \Phi = \frac{\Phi}{s} \left(\frac{d}{\lambda} + \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2}\right)

En formant le rapport membre à membre de ces deux expressions, le flux \Phi et la section s se simplifient :

On obtient ainsi la relation souhaitée :

2. Détermination expérimentale de \lambda sans l'effet des contacts :

• La relation obtenue est affine en fonction de l'épaisseur d de l'échantillon de roche :

  \frac{T_1 - T_2}{T_c - T_1} = \left(\frac{\lambda_l}{l\lambda}\right) d + \frac{\lambda_l}{l}\left(\frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2}\right)

• En réalisant plusieurs mesures pour des échantillons de même nature (même conductivité \lambda) mais d'épaisseurs d variables, et en veillant à maintenir une qualité de contact identique (même pression de serrage, même graisse thermique), on peut tracer la courbe :

  Y = \frac{T_1 - T_2}{T_c - T_1} = f(d)

• La pente p de la droite obtenue vaut :

  p = \frac{\lambda_l}{l\lambda} \implies \boxed{\lambda = \frac{\lambda_l}{l\, p}}

  Les termes de contact, regroupés dans l'ordonnée à l'origine, n'affectent pas la pente p et sont ainsi totalement éliminés de la détermination de \lambda.

a) D'après le théorème de Gauss (ou le théorème de Newton), le champ gravitationnel extérieur et à la surface d'une sphère homogène de masse m et de rayon r est identique à celui d'une masse ponctuelle m concentrée en son centre O.

D'après le résultat de la question Q7.a, avec la convention d'une énergie potentielle nulle à l'infini, l'énergie potentielle gravitationnelle d'une masse \mathrm{d}m située à la surface de la sphère (soit à une distance r de son centre) s'écrit :

b) À un stade intermédiaire de la formation de la sphère où celle-ci a atteint le rayon r, sa masse est :

La masse de la coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r apportée depuis l'infini et déposée à la surface est :

L'apport de cette couche élémentaire contribue à l'énergie gravitationnelle à hauteur de :

Pour former la sphère complète de rayon R, on intègre de r = 0 à r = R :

La masse totale de la sphère vaut M = \mu \times \frac{4}{3}\pi R^3, ce qui donne M^2 = \frac{16}{9}\pi^2 \mu^2 R^6, soit :

En reportant dans l'expression de E_{pG}(R) :

d'où :

Commentaire du signe : L'énergie potentielle gravitationnelle est négative car l'interaction gravitationnelle est exclusivement attractive. L'assemblage constitue donc un état lié : le système gagne en stabilité lors de son effondrement gravitationnel. Pour dissocier la Terre et éloigner à nouveau tous ses constituants à l'infini (où l'énergie potentielle est conventionnellement nulle), il faudrait lui fournir l'énergie de liaison gravitationnelle -E_{pG}(R) > 0.

Lors de la formation de la Terre par accrétion à partir de matière initialement dispersée à l'infini au repos (E_{pG}(\infty) = 0 et T_i \approx 0\text{ K}), la variation d'énergie potentielle gravitationnelle est, d'après la question Q22.b :

L'énergie gravitationnelle libérée (-\Delta E_{pG} > 0) étant intégralement convertie en énergie thermique, elle correspond à l'augmentation d'énergie interne \Delta U du système constitué par la masse M_T de la Terre :

En modélisant la Terre comme une phase condensée homogène de capacité thermique massique C constante, la variation d'énergie interne liée à l'échauffement depuis T_i \approx 0\text{ K} jusqu'à la température d'équilibre T_{\mathrm{eq}} s'écrit :

En égalant les deux expressions, on obtient :

soit :

Application numérique :

Avec un seul chiffre significatif comme préconisé :

Commentaire :

• Cette température est extraordinairement élevée, très supérieure aux températures de fusion des roches silicatées et des métaux (de l'ordre de 1\,500\text{ K} à 3\,000\text{ K}), ainsi qu'à la température actuelle du centre de la Terre (\approx 5\,000\text{--}6\,000\text{ K}).
• Ce résultat montre que l'énergie d'accrétion gravitationnelle a été largement suffisante pour fondre complètement la Terre primitive (stade d'« océan magmatique »), permettant ainsi la différenciation planétaire : migration du fer et du nickel vers le centre pour former le noyau dense, et flottement des silicates légers pour constituer le manteau et la croûte.
• Il s'agit néanmoins d'une borne supérieure très idéalisée : l'accrétion s'étant étalée sur plusieurs dizaines de millions d'années, une part majeure de cette énergie a été réémise vers l'espace sous forme de rayonnement thermique au fur et à mesure de l'accrétion. De plus, les chaleurs latentes de changement d'état (fusion, vaporisation partielle) ont absorbé une fraction non négligeable de cette énergie.

L'équation différentielle régissant l'évolution temporelle du nombre de noyaux radioactifs N_i(t) par unité de volume s'écrit :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et sans second membre. En séparant les variables :

Par intégration entre l'instant initial t=0 où N_i(0)=N_{i0} et un instant t quelconque :

On en déduit l'expression de la loi de décroissance radioactive :

Considérons un volume unité V = 1\text{ m}^3 de roche du manteau terrestre. Sa masse vaut m_{\text{roche}} = \mu V = \mu.

La masse de l'isotope X_i présente à l'origine des temps dans ce volume est :

Le nombre de noyaux par unité de volume à t=0 s'en déduit à l'aide de la masse molaire M_i et de la constante d'Avogadro N_A :

D'après le résultat de la question Q24, le nombre de noyaux par unité de volume à l'instant t est :

Le nombre de désintégrations par unité de volume et par unité de temps (activité volumique) s'écrit :

Chaque désintégration libérant l'énergie spécifique \varepsilon_i convertie en chaleur, la puissance thermique volumique dégagée par l'élément X_i est :

En substituant l'expression de N_{i0}, on obtient :

Par additivité des puissances thermiques libérées par les trois éléments radioactifs indépendants (i=1 pour ^{238}\text{U}, i=2 pour ^{232}\text{Th}, i=3 pour ^{40}\text{K}), la puissance volumique totale p_v(t) s'écrit :

À l'origine des temps (t = 0), la lecture graphique donne :

Par définition de la date de demi-vie t_{1/2} de la puissance volumique :

En traçant l'horizontale à l'ordonnée p_v \approx 6{,}28\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3} (située entre les graduations 6{,}15 et 6{,}35\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}), on repère l'intersection avec la courbe expérimentale. La projection sur l'axe des abscisses conduit à :

(une valeur comprise entre 4{,}8 et 5{,}0\text{ milliards d'années} est acceptable compte tenu de la précision de lecture).

1. Caractère radial du vecteur densité de courant thermique

La Terre est modélisée par une sphère homogène dont les propriétés physiques (\mu, C, \lambda), les sources internes de chaleur radioactives et les conditions aux limites à la surface (r = R_T) présentent une symétrie sphérique de centre O.

Considérons un point M quelconque de la Terre distinct de O. Tout plan passant par le centre O et par le point M est un plan de symétrie de la distribution matérielle et des sources de chaleur. Le vecteur densité de courant thermique \vec{j}(M,t), étant un vecteur vrai (ou polaire), doit appartenir à tous les plans de symétrie du système passant par M.

L'intersection de ces plans étant la droite radiale (OM), le vecteur \vec{j}(M,t) est nécessairement porté par le vecteur unitaire radial \vec{u}_r :

2. Invariances

Du fait de la symétrie sphérique du problème, le système est invariant par toute rotation autour d'un axe passant par le centre O. En coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) d'origine O :

• la rotation d'angle quelconque autour de l'axe (Oz) confère l'invariance par rapport à l'angle azimutal \varphi : \dfrac{\partial j}{\partial \varphi} = 0 ;
• la rotation autour de tout axe orthogonal à (Oz) assure l'invariance par rapport à la colatitude \theta : \dfrac{\partial j}{\partial \theta} = 0.

Les invariances sont donc les invariances par rotation autour du centre O (\theta et \varphi). Par conséquent, la composante j(M,t) ne dépend spatialement que de la distance radiale r :