Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2024

L'équation de conservation de la masse s'écrit sous forme locale :

L'écoulement étant unidimensionnel selon l'axe (Ox), le vecteur vitesse s'écrit \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{e}_x, d'où :

En introduisant les grandeurs perturbées \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et v(x,t) = v_1(x,t), et sachant que la masse volumique à l'équilibre \mu_0 est uniforme et indépendante du temps :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, le produit \mu_1 v_1 est un infiniment petit du second ordre que l'on néglige devant les termes du premier ordre. L'équation locale linéarisée s'écrit donc :

On applique le principe fondamental de la dynamique à une particule fluide de volume \mathrm{d}\tau, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}\tau, dans le référentiel d'étude galiléen. Les forces de viscosité et de pesanteur étant négligées, le bilan des forces appliquées se résume aux forces de pression :

L'équation d'Euler s'écrit alors :

Compte tenu de l'écoulement unidimensionnel suivant l'axe (Ox), le champ de vitesse s'écrit \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{e}_x et la pression P(x,t) = P_0 + P_1(x,t) où la pression d'équilibre P_0 est uniforme. La projection sur \vec{e}_x donne :

En introduisant \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et P(x,t) = P_0 + P_1(x,t), on obtient :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations \mu_1, P_1 et v_1 sont des infiniment petits du premier ordre. Les termes convectif v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} et mixte \mu_1 \frac{\partial v_1}{\partial t} sont donc du second ordre et sont négligés. L'équation linéarisée devient :

L'évolution du fluide étant supposée isentropique, la masse volumique \mu peut être considérée comme une fonction de la seule pression P (à entropie S fixée).

Au voisinage de l'état d'équilibre caractérisé par (P_0, \mu_0), un développement de Taylor au premier ordre donne :

En introduisant les grandeurs perturbées du premier ordre \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et P(x,t) = P_0 + P_1(x,t), il vient :

D'après la définition du coefficient de compressibilité isentropique donnée dans l'énoncé :

On en déduit la relation linéaire entre la surpression P_1(x, t) et la surmasse volumique \mu_1(x, t) :

D'après la question Q3, la relation thermodynamique s'écrit :

En injectant cette expression dans l'équation de conservation de la masse linéarisée (question Q1) :

En dérivant cette relation par rapport au temps t :

Par ailleurs, l'équation d'Euler linéarisée (question Q2) fournit :

En dérivant celle-ci par rapport à l'espace x et en appliquant le théorème de Schwarz (\frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t} = \frac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x}) :

En substituant (2) dans (1), on obtient l'équation de propagation satisfaite par la surpression :

Il s'agit d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle \frac{\partial^2 P_1}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial t^2} = 0, où la célérité c s'identifie par :

Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique, la loi de Laplace s'écrit :

Par différentiation logarithmique à entropie S fixée, on obtient :

Le coefficient de compressibilité isentropique s'en déduit à l'état d'équilibre :

Par ailleurs, l'équation d'état du gaz parfait pour une masse m de volume V donne :

D'après l'expression établie à la question Q4, la célérité c_1 des ondes acoustiques dans l'air s'écrit :

soit finalement :

Application numérique :

• T_0 = 293\text{ K}
• \gamma = 1{,}40
• M_{\text{air}} = 29{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

D'après l'expression établie à la question Q4, la célérité d'une onde acoustique longitudinale dans un fluide s'écrit en fonction de la masse volumique \mu_0 et du coefficient de compressibilité isentropique \chi_s :

Avec les données numériques fournies pour l'eau liquide à 293\text{ K} :

On en déduit :

D'après l'énoncé, la contrainte mécanique interne T_c joue le rôle de -P_1, de sorte que \mathrm{d}T_c \leftrightarrow -\mathrm{d}P.

Pour une déformation purement longitudinale selon l'axe (Ox), la variation relative de longueur \frac{\mathrm{d}\ell}{\ell} correspond à la variation relative de volume \frac{\mathrm{d}V}{V} du tronçon de barreau. En comparant la définition du module d'Young :

à celle du coefficient de compressibilité isentropique :

on identifie directement :

En transposant la formule de la célérité acoustique c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_s}} établie à la question Q4, on en déduit l'expression de la célérité c_\ell des ondes longitudinales dans le barreau :

Application numérique : Pour le fer à 293\text{ K}, avec E = 196\text{ GPa} = 196 \times 10^9\text{ Pa} et \mu_{\text{Fe}} = 7{,}87 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

Les résultats numériques obtenus aux questions précédentes révèlent la hiérarchie suivante :

D'un point de vue mécanique, la célérité d'une onde élastique dépend de deux propriétés antagonistes du milieu :

• un terme de raideur ou de rappel élastique, caractérisé par le module d'incompressibilité K_s = 1/\chi_s (pour les fluides) ou le module d'Young E (pour le solide), qui favorise une propagation rapide de la perturbation ;
• un terme d'inertie, caractérisé par la masse volumique \mu_0, qui tend à freiner la propagation.

La célérité s'exprime génériquement sous la forme :

Lorsqu'on passe de l'air à l'eau, puis au fer :

• la masse volumique augmente considérablement : d'environ 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour l'air à 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour l'eau, puis 7{,}87 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour le fer ;

• en contrepartie, la cohésion microscopique et la force des interactions interatomiques augmentent dans des proportions encore bien plus spectaculaires :

  • dans l'air (gaz), les molécules sont quasi-libres sans interaction à distance : K_{s,\text{air}} = \gamma P_0 \approx 1{,}4 \times 10^5\text{ Pa} ;
  • dans l'eau (liquide), la matière est condensée avec de fortes liaisons intermoléculaires (liaisons hydrogène, interactions de van der Waals) : K_{s,\text{eau}} \approx 2{,}0 \times 10^9\text{ Pa}, soit un facteur 10^4 par rapport au gaz ;
  • dans le fer (solide cristallin), les atomes sont liés par des liaisons métalliques très rigides au sein d'un réseau cristallin : E \approx 196 \times 10^9\text{ Pa}, soit un facteur 10^2 supplémentaire par rapport à l'eau.

On applique le principe fondamental de la dynamique au plan atomique de rang n, de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Le mouvement étant purement transverse selon la direction (Oz), le vecteur accélération s'écrit :

Le plan de rang n est soumis uniquement aux forces de rappel élastique exercées par ses deux plus proches voisins, les plans de rang n+1 et n-1 :

• le plan n+1 exerce la force donnée par l'énoncé :

  \vec{F}_{n+1\to n} = C \big(\xi_{n+1}(t) - \xi_n(t)\big)\,\vec{e}_z

• le plan n-1 exerce, d'après le principe des actions réciproques ou par invariance par translation/symétrie d'indice, la force :

  \vec{F}_{n-1\to n} = C \big(\xi_{n-1}(t) - \xi_n(t)\big)\,\vec{e}_z

En projetant la relation fondamentale de la dynamique m \vec{a}_n = \vec{F}_{n+1\to n} + \vec{F}_{n-1\to n} sur le vecteur unitaire \vec{e}_z, on obtient :

L'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de \xi_n(t) est donc :

D'après la question Q9, l'équation régissant le déplacement du plan de rang n s'écrit :

En injectant la solution cherchée sous forme complexe \underline{\xi}_n(t) = \underline{A}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(nkd - \omega t)}, la dérivée temporelle seconde vaut :

Le membre de droite s'exprime quant à lui sous la forme :

Comme \underline{A} \neq 0, l'équation du mouvement implique, pour tout t :

avec \omega_0 = \sqrt{C/m}. La pulsation \omega étant par définition une constante réelle strictement positive, on en déduit la relation de dispersion :

D'après la question Q10, la pulsation \omega > 0 vérifie pour tout k \in ]-\pi/d, \pi/d[ :

La fonction est paire. Au voisinage de k = 0, \omega(k) \sim \omega_0 d |k|, ce qui correspond à une vitesse de groupe finie \pm \omega_0 d avec un point anguleux en k = 0. Lorsque |k| \to \pi/d, \omega atteint sa borne supérieure 2\omega_0 avec une tangente horizontale puisque :

Comportement de filtre passe-bas :

• Pour une pulsation \omega \le 2\omega_0, l'équation \sin(kd/2) = \omega/(2\omega_0) admet des solutions k \in \mathbb{R}. L'onde \underline{\xi}_n(t) = \underline{A}\exp(\mathrm{i}(nkd - \omega t)) se propage sans atténuation spatiale le long de la chaîne : le signal est transmis.
• Pour une pulsation imposée \omega > 2\omega_0, il n'existe aucune solution réelle pour k. On a alors \sin(kd/2) > 1, ce qui impose à k d'être complexe avec une partie imaginaire non nulle : k = \pm \pi/d - \mathrm{i}\kappa (\kappa > 0). L'onde présente une décroissance spatiale exponentielle en \mathrm{e}^{-n\kappa d} : il s'agit d'une onde évanescente (bande interdite). L'onde ne peut pas se propager dans le réseau sans être amortie exponentiellement.

Le cristal filtre donc les hautes pulsations et laisse passer sans atténuation les ondes de pulsations inférieures à une pulsation de coupure \omega_c. Il se comporte comme un filtre passe-bas de pulsation de coupure :

D'après la question Q10, la relation de dispersion s'écrit :

Pour k \in \left]0, \frac{\pi}{d}\right[, on a \frac{kd}{2} \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, d'où \sin\left(\frac{kd}{2}\right) > 0. La pulsation s'écrit donc simplement :

Vitesse de phase Par définition, la vitesse de phase est donnée par :

En injectant l'expression de \omega(k), on obtient :

Vitesse de groupe Par définition, la vitesse de groupe correspond à la dérivée de la pulsation par rapport au vecteur d'onde :

Soit :

L'approximation des milieux continus correspond à une longueur d'onde grande devant la distance interatomique :

Pour kd \ll 1, effectuons un développement limité à l'ordre 1 de la relation de dispersion obtenue à la question Q10 :

La pulsation \omega devient proportionnelle au nombre d'onde k. Dès lors, la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont égales et indépendantes de la pulsation :

Le milieu se comporte donc comme un milieu non dispersif, et les ondes transversales s'y propagent à une célérité c_t constante. En rappelant que \omega_0 = \sqrt{C/m}, on obtient :

1. Discussion de la relation c_t = \sqrt{L/µ} :

À la question Q13, l'approche microscopique dans l'approximation des milieux continus a conduit à :

Considérons une tranche de solide de section \Sigma orthogonale à (Ox) et d'épaisseur d (associée à un plan atomique). Sa masse est :

Par ailleurs, dans le cadre de l'élasticité linéaire, la contrainte de cisaillement s'écrit \sigma = L\,\frac{\partial \xi}{\partial x}. La force nette transverse s'exerçant sur une tranche comprise entre x et x+d est :

En identifiant cette expression à la force de rappel discrète au second ordre C\,d^2\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}, on obtient la correspondance microscopique-macroscopique :

En injectant ces relations dans l'expression microscopique :

L'expression macroscopique est donc en parfaite cohérence avec le modèle microscopique. De plus, elle présente une structure analogue à celle des ondes longitudinales établie à la question Q7 (c_\ell = \sqrt{E/\mu}), où le module d'Young E (associé à une élongation/compression axiale) est remplacé par le module de cisaillement L (associé au glissement relatif des couches).

2. Calcul de c_t pour le fer à 293\text{ K} :

On a L \approx 0{,}4\,E, d'où :

Avec E = 196\text{ GPa} = 196 \times 10^9\text{ Pa} et \mu_{\mathrm{Fe}} = 7{,}87 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

D'après les expressions fournies par l'énoncé :

Les modules élastiques K et L étant strictement positifs dans un milieu solide, on a :

Dans un fluide, le module de cisaillement est nul (L = 0), ce qui entraîne :

Sur la figure 3 :

• Le profil en tirets présente toujours les valeurs les plus élevées et ne s'annule jamais : il correspond à la vitesse des ondes P (v_P).
• Le profil en pointillés présente des valeurs plus faibles et s'annule complètement entre r \approx 1\,220\text{ km} et r \approx 3\,480\text{ km} : il correspond à la vitesse des ondes S (v_S).

Cohérence avec la structure interne de la Terre :

• Graine (noyau interne, 0 \le r \lesssim 1\,220\text{ km}) : Les ondes S s'y propagent (v_S \approx 3{,}5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}), ce qui confirme le caractère solide de la graine. La masse volumique y est maximale (\mu \approx 13\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}).
• Discontinuité de Lehmann (C, à r \approx 1\,216\text{ km}) : Elle sépare nettement la graine solide du noyau externe liquide, marquée par l'annulation brutale de v_S et une chute de v_P.
• Noyau externe (1\,220\text{ km} \lesssim r \lesssim 3\,486\text{ km}) : L'absence d'ondes S (v_S = 0) prouve que cette couche est un fluide liquide. Son épaisseur correspond bien à 2\,270\text{ km} (1\,216 + 2\,270 = 3\,486\text{ km}).
• Discontinuité de Gutenberg (B, à r = R_T - 2\,885\text{ km} \approx 3\,486\text{ km}) : Elle marque la frontière noyau-manteau par un saut très net de la masse volumique (chute brutale de \sim 10 à \sim 5{,}5\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}), la réapparition des ondes S et un bond de la vitesse v_P (qui passe de 8 à près de 14\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}).
• Manteau (3\,486\text{ km} \lesssim r \lesssim 6\,340\text{ km}) : v_S > 0, le manteau est donc entièrement solide (comportement élastique aux échelles de temps des ondes sismiques), de masse volumique intermédiaire (\mu entre 3{,}5 et 5{,}5\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}).
• Croûte terrestre et discontinuité de Mohorovičić (A) : Au voisinage immédiat de la surface (r > 6\,300\text{ km}), on observe une forte décroissance des vitesses et une baisse de \mu vers \approx 2{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}.

Le modèle PREM est donc en accord remarquable avec la structure en couches concentriques présentée en introduction.