Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2024 (page 2/3 : Parties II et III)

Considérons une source ponctuelle située à l'origine O.

• En électrostatique, une charge ponctuelle q crée en un point M repéré par \vec{r} = \vec{OM} = r\vec{e}_r le champ :

  \vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{e}_r

• En gravitation, une masse ponctuelle m crée en ce même point le champ :

  \vec{\mathcal{G}} = -\frac{Gm}{r^2}\,\vec{e}_r

Par identification formelle entre ces deux expressions, on dégage le dictionnaire d'analogie :

Pour une distribution continue de matière, la densité volumique de charge \rho est remplacée par la masse volumique locale \mu.

L'équation locale de Maxwell-Gauss pour le champ électrostatique s'écrit :

En appliquant les règles d'analogie précédentes, on obtient directement l'équation locale régissant le champ gravitationnel :

Intégrons cette équation sur un volume V délimité par une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur par son vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}}. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky :

Or l'intégrale volumique de la masse volumique représente la masse intérieure totale M_{\text{int}} contenue dans le volume V. On en déduit l'énoncé du théorème de Gauss pour la gravitation :

Énoncé : Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}} à travers toute surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est égal à -4\pi G fois la masse intérieure totale M_{\text{int}} délimitée par cette surface.

On repère tout point de l'espace par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) de centre O et de base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi).

Symétries et invariances :

• Tout plan passant par le centre O est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(M) appartient à l'intersection de tous ces plans : il est purement radial, \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(M) = \mathcal{G}(r, \theta, \varphi)\,\vec{e}_r.

• La distribution de masse est invariante par toute rotation autour de O, donc par rapport aux angles \theta et \varphi. La composante radiale ne dépend ainsi que de la coordonnée radiale r :

  \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = \mathcal{G}(r)\,\vec{e}_r

Théorème de Gauss : On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur par \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_r. Le flux gravitationnel sortant à travers \Sigma s'écrit :

D'après le théorème de Gauss de la gravitation (question Q16), ce flux vaut :

où M_{\text{int}}(r) est la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r.

La masse totale s'écrit M_T = \frac{4}{3}\pi R_T^3 \mu_0, soit une masse volumique moyenne \mu_0 = \frac{3M_T}{4\pi R_T^3}.

• À l'extérieur de la Terre (r \ge R_T) : La surface de Gauss englobe toute la masse de la Terre, soit M_{\text{int}}(r) = M_T :

  \boxed{ \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = -\frac{G M_T}{r^2}\,\vec{e}_r = -\frac{4\pi G \mu_0 R_T^3}{3 r^2}\,\vec{e}_r }

• À l'intérieur de la Terre (r \le R_T) : La masse intérieure correspond au volume de la boule de rayon r de masse volumique \mu_0 :

  \begin{aligned} M_{\text{int}}(r) &= \mu_0 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = M_T \left(\frac{r}{R_T}\right)^3 \end{aligned}

  On en déduit :

  \boxed{ \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = -\frac{4}{3}\pi G \mu_0 r\,\vec{e}_r = -\frac{G M_T}{R_T^3} r\,\vec{e}_r }

Le champ est continu en r = R_T et vaut \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(R_T) = -\frac{G M_T}{R_T^2}\,\vec{e}_r.

D'après les résultats de la question Q17, l'expression de la norme \mathcal{G}(r) = \|\vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r)\| du champ gravitationnel créé par la boule homogène est donnée par :

où \mathcal{G}_0 = \dfrac{G M_T}{R_T^2} est la valeur du champ à la surface.

Le profil de la norme \mathcal{G}(r) présente ainsi les propriétés remarquables suivantes :

• pour r \in [0, R_T], la norme croît linéairement de 0 à \mathcal{G}_0 avec une pente positive égale à \dfrac{\mathcal{G}_0}{R_T} ;
• en r = R_T, la fonction est continue et atteint son maximum \mathcal{G}_0 ;
• pour r \ge R_T, elle décroît en 1/r^2 et tend vers 0 lorsque r \to +\infty ;
• la dérivée par rapport à r présente un saut en r = R_T (pente \dfrac{\mathcal{G}_0}{R_T} à gauche, et -\dfrac{2\mathcal{G}_0}{R_T} à droite), traduisant la discontinuité de la masse volumique de \mu_0 à 0.

D'après les résultats établis aux questions Q17 et Q18, la norme du champ gravitationnel à la surface de la Terre (r = R_T) s'exprime par :

Avec les données numériques fournies :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_T = 5{,}972 \times 10^{24}\text{ kg} ;
• R_T = 6371\text{ km} = 6{,}371 \times 10^6\text{ m}.

On obtient :

La répartition de masse dans ce second modèle conserve une symétrie sphérique de centre O. Les invariances par rotation autour de tout axe passant par O et le fait que les plans contenant O soient des plans de symétrie de la distribution imposent que le champ gravitationnel est purement radial et ne dépend que de la coordonnée radiale r :

Appliquons le théorème de Gauss pour la gravitation (établi à la question Q16) à une surface fermée \Sigma constituée par la sphère de centre O et de rayon r = R_T :

Or, la masse intérieure à la surface terrestre (r = R_T) correspond à la masse totale de la Terre M_T, qui reste inchangée :

On en déduit immédiatement la norme du champ gravitationnel à la surface :

Ce résultat dépend uniquement de la masse totale M_T et du rayon extérieur R_T, et est totalement indépendant de la répartition radiale de la masse à l'intérieur de la sphère, dès lors que celle-ci présente une symétrie sphérique. La valeur de \mathcal{G}_0 est donc rigoureusement identique à celle obtenue à la question Q19.

D'après la figure 4, le champ gravitationnel intérieur \vec{\mathcal{G}}_T(r) = -\mathcal{G}_T(r)\vec{e}_r présente deux régimes :

D'après la question Q16, le champ gravitationnel vérifie l'équation locale de Gauss :

En coordonnées sphériques, le champ étant purement radial et ne dépendant que de r, la divergence s'écrit d'après le formulaire :

On en déduit l'expression générale de la masse volumique locale :

1. Dans le noyau (0 \le r \le R_2) :

La masse volumique est donc uniforme dans le noyau :

Or, d'après les questions Q17 et Q19, \mathcal{G}_0 = \dfrac{4}{3}\pi G \mu_0 R_T. On obtient ainsi :

2. Dans le manteau (R_2 < r \le R_T) :

Il vient :

En exprimant \mathcal{G}_0 en fonction de la masse totale de la Terre M_T, \mathcal{G}_0 = \dfrac{G M_T}{R_T^2} :

D'après les données de l'énoncé et la figure 1 :

• Masse volumique moyenne :

  \mu_0 = \frac{3M_T}{4\pi R_T^3} = \frac{3 \times 5{,}972 \times 10^{24}}{4\pi \times (6{,}371 \times 10^6)^3} \approx 5{,}51 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 5{,}51\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}

• Rayon à la discontinuité de Gutenberg : R_2 = R_T - 2885\text{ km} = 3486\text{ km}, soit un rapport :

  \frac{R_T}{R_2} = \frac{6371}{3486} \approx 1{,}828

On en déduit les valeurs remarquables de la distribution établie à la question précédente :

• Dans le noyau (0 \le r \le R_2) :

  \mu_{\text{noyau}} = \mu_0 \frac{R_T}{R_2} \approx 5{,}51 \times 1{,}828 \approx \mathbf{10{,}1\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}} \quad (1{,}01 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3})

• Dans le manteau à la base (r \to R_2^+) :

  \mu(R_2^+) = \frac{2}{3}\mu_{\text{noyau}} \approx \mathbf{6{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}} \quad (6{,}7 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3})

• À la surface de la Terre (r = R_T) :

  \mu(R_T) = \frac{2}{3}\mu_0 \approx \mathbf{3{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}} \quad (3{,}7 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3})

Comparaison avec le modèle PREM (figure 3) :

• Similitudes :

  • On retrouve une nette discontinuité de masse volumique à la frontière manteau-noyau (r \approx 3500\text{ km}), avec un saut brutal de densité.
  • Les ordres de grandeur sont très bien restitués : PREM donne \mu \approx 10\text{ à }12\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} dans le noyau externe et \mu \approx 3{,}4\text{ à }5{,}6\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} dans le manteau, en accord avec les valeurs trouvées (10{,}1 et 3{,}7\text{ à }6{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}).
  • La décroissance globale de \mu(r) avec la distance r au centre est respectée.

• Différences :

  • Le présent modèle considère un noyau homogène (\mu = \text{cste}), ignorant l'existence de la graine solide dense (\mu \approx 13\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}) et la discontinuité de Lehmann (r \approx 1216\text{ km}).
  • Dans le manteau, le modèle impose une loi continue en 1/r, alors que le profil PREM présente des sauts associés aux transitions de phase minéralogiques (manteau supérieur/inférieur vers 410 et 660 km de profondeur) ainsi que la croûte superficielle peu dense.

Le fer étant un élément métallique (Z = 26), la cohésion du cristal de fer solide est assurée par la liaison métallique.

Dans le modèle du gaz d'électrons (ou modèle de Drude-Lorentz), le cristal est décrit comme un empilement périodique d'ions positifs fixes (\text{Fe}^{n+}) baignant dans un fluide d'électrons de valence délocalisés sur l'ensemble du réseau (le « gaz » ou « mer » d'électrons). L'attraction électrostatique entre ce nuage électronique délocalisé et les cations assure la cohésion et la stabilité mécanique du solide.

1. Représentation de la maille cubique à faces centrées

Dans le réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes sont situés aux 8 sommets du cube et aux centres des 6 faces.

2. Population de la maille

Les atomes sont partagés entre plusieurs mailles adjacentes :

• 8 atomes aux sommets, partagés chacun par 8 mailles (multiplicité 1/8) ;
• 6 atomes aux centres des faces, partagés chacun par 2 mailles (multiplicité 1/2).

Le nombre N d'atomes appartenant en propre à la maille vaut donc :

3. Condition de contact et compacité

Dans le modèle des sphères dures indéformables de rayon R, la tangence a lieu le long de la diagonale d'une face de côté a :

Le volume propre occupé par les 4 atomes dans la maille s'écrit :

Le volume total de la maille cubique vaut :

La compacité c est le rapport du volume occupé au volume disponible :

Numériquement :

La masse volumique du fer \gamma est définie par le rapport de la masse du contenu de la maille sur son volume V = a^3 :

où N = 4 correspond au nombre d'atomes de fer par maille dans le réseau cubique à faces centrées (d'après la question Q24).

Par définition de la densité d'un solide par rapport à l'eau liquide (\rho_{\text{eau}} = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), on a :

D'après la question Q24, la condition de tangence des sphères dures le long de la diagonale d'une face s'écrit :

En injectant cette relation dans l'expression de la masse volumique, le volume de la maille devient :

d'où :

On en déduit l'expression du rayon atomique :

Application numérique : Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• M_{\text{Fe}} = 55{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 55{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
• d_{\text{Fe}_\gamma} = 7{,}87 et \rho_{\text{eau}} = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;

il vient :

soit :

1. Conditions thermodynamiques du noyau

• Dans la graine (r \in [0\,;\,1216\text{ km}]), la pression varie entre 330\text{ GPa} et 350\text{ GPa} et la température dépasse 5000\text{ K}.
• Dans le noyau externe (r \in [1216\,;\,3486\text{ km}]), la pression varie d'environ 135\text{ GPa} (discontinuité de Gutenberg, r=R_2) à 330\text{ GPa} (discontinuité de Lehmann, r=R_1), pour des températures comprises entre T_2 = 3800\text{ K} et T_1 = 5000\text{ K}.

2. Comparaison des masses volumiques

• Dans la graine (fer \varepsilon solide) : D'après la figure 6 (droite), à P \approx 330\text{--}350\text{ GPa}, par interpolation entre les isothermes à 4000\text{ K} et 7000\text{ K}, la masse volumique du fer pur solide à T \approx 5000\text{ K} vaut :

  \mu_{\text{Fe},\varepsilon} \approx 13{,}3\text{ à }13{,}5\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}

  Or, le profil PREM (figure 3) indique pour la graine (r < 1216\text{ km}) une masse volumique comprise entre :

  \mu_{\text{PREM}} \approx 12{,}8\text{ et }13{,}1\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}

  Le fer pur est donc environ 3\text{ à }5\,\% plus dense que le milieu réel de la graine.

• Dans le noyau externe (fer liquide) : D'après la courbe du fer liquide (figure 6, droite), la masse volumique varie de \approx 10{,}8\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} (à 135\text{ GPa}) à \approx 12{,}8\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} (à 330\text{ GPa}). Sur le profil PREM (figure 3), \mu varie de 9{,}9\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} à 12{,}1\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}. Le fer liquide pur est là encore trop dense d'environ 6\text{ à }10\,\%.

3. Comparaison des vitesses sismiques dans la graine D'après la figure 6 (gauche), à P \approx 330\text{ GPa}, le fer pur possède :

Avec \mu \approx 13{,}4 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, les relations rappelées en partie I.B donnent pour le fer pur :

Or, le modèle PREM (figure 3) donne pour la graine :

Les vitesses prévues pour le fer pur sont significativement supérieures aux vitesses réelles mesurées, en particulier pour l'onde S.

D'après l'énoncé, les structures hexagonale compacte (fer \varepsilon) et cubique à faces centrées (fer \gamma) sont toutes deux compactes ; leurs sites interstitiels présentent donc les mêmes critères géométriques d'habitabilité sans déformation de la maille. En prenant pour référence le rayon atomique du fer r_{\mathrm{Fe}} \approx 128\text{ pm} (déterminé à la question Q25) :

• Sites octaédriques : le rayon maximal d'une sphère pouvant s'y loger sans repousser les atomes voisins vaut :

  r_{\mathrm{octa}} = (\sqrt{2}-1)\,r_{\mathrm{Fe}} \approx 0{,}414 \times 128\text{ pm} \approx 53\text{ pm}

• Sites tétraédriques : le rayon maximal d'insertion sans déformation vaut :

  r_{\mathrm{t\acute{e}tra}} = \left(\sqrt{\frac{3}{2}}-1\right)r_{\mathrm{Fe}} \approx 0{,}225 \times 128\text{ pm} \approx 29\text{ pm}

Analysons les différents éléments présents dans le noyau :

1. Le nickel (r_{\mathrm{Ni}} = 125\text{ pm}) : Son rayon atomique est extrêmement proche de celui du fer :

   \frac{|r_{\mathrm{Ni}} - r_{\mathrm{Fe}}|}{r_{\mathrm{Fe}}} = \frac{|125 - 128|}{128} \approx 2{,}3\% \ll 15\%

   Le nickel peut donc facilement former un alliage de substitution avec le fer. Il est parfaitement soluble dans le réseau cristallin de la graine solide et n'est pas expulsé lors de la cristallisation.

2. L'oxygène (r_{\mathrm{O}} = 60\text{ pm}) : Son rayon est nettement trop petit pour une substitution (r_{\mathrm{O}}/r_{\mathrm{Fe}} \approx 0{,}47), mais il est supérieur au rayon des sites octaédriques (60\text{ pm} > 53\text{ pm}) et bien supérieur à celui des sites tétraédriques (60\text{ pm} \gg 29\text{ pm}). L'oxygène ne peut donc pas s'insérer sans déformer significativement la maille.
3. Le silicium (r_{\mathrm{Si}} = 110\text{ pm}) : Son rayon est beaucoup trop grand pour une insertion (110\text{ pm} \gg 53\text{ pm}). En substitution, la différence de taille avec le fer atteint 14\%, ce qui déstabilise le réseau cristallin compact par rapport à la phase liquide où l'arrangement atomique est plus souple.

Ces éléments légers (O et Si) présentent donc une affinité nettement plus forte pour le liquide magmatique que pour le fer solide compact. Lors de la solidification de la graine, ils sont exclus du réseau cristallin en formation, ce qui valide l'hypothèse de leur expulsion et de l'enrichissement de la base du noyau externe liquide en éléments légers.