Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2024

L'équation de conservation de la masse s'écrit sous forme locale :

L'écoulement étant unidimensionnel selon l'axe (Ox), le vecteur vitesse s'écrit \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{e}_x, d'où :

En introduisant les grandeurs perturbées \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et v(x,t) = v_1(x,t), et sachant que la masse volumique à l'équilibre \mu_0 est uniforme et indépendante du temps :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, le produit \mu_1 v_1 est un infiniment petit du second ordre que l'on néglige devant les termes du premier ordre. L'équation locale linéarisée s'écrit donc :

On applique le principe fondamental de la dynamique à une particule fluide de volume \mathrm{d}\tau, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}\tau, dans le référentiel d'étude galiléen. Les forces de viscosité et de pesanteur étant négligées, le bilan des forces appliquées se résume aux forces de pression :

L'équation d'Euler s'écrit alors :

Compte tenu de l'écoulement unidimensionnel suivant l'axe (Ox), le champ de vitesse s'écrit \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{e}_x et la pression P(x,t) = P_0 + P_1(x,t) où la pression d'équilibre P_0 est uniforme. La projection sur \vec{e}_x donne :

En introduisant \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et P(x,t) = P_0 + P_1(x,t), on obtient :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations \mu_1, P_1 et v_1 sont des infiniment petits du premier ordre. Les termes convectif v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} et mixte \mu_1 \frac{\partial v_1}{\partial t} sont donc du second ordre et sont négligés. L'équation linéarisée devient :

L'évolution du fluide étant supposée isentropique, la masse volumique \mu peut être considérée comme une fonction de la seule pression P (à entropie S fixée).

Au voisinage de l'état d'équilibre caractérisé par (P_0, \mu_0), un développement de Taylor au premier ordre donne :

En introduisant les grandeurs perturbées du premier ordre \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et P(x,t) = P_0 + P_1(x,t), il vient :

D'après la définition du coefficient de compressibilité isentropique donnée dans l'énoncé :

On en déduit la relation linéaire entre la surpression P_1(x, t) et la surmasse volumique \mu_1(x, t) :

D'après la question Q3, la relation thermodynamique s'écrit :

En injectant cette expression dans l'équation de conservation de la masse linéarisée (question Q1) :

En dérivant cette relation par rapport au temps t :

Par ailleurs, l'équation d'Euler linéarisée (question Q2) fournit :

En dérivant celle-ci par rapport à l'espace x et en appliquant le théorème de Schwarz (\frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t} = \frac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x}) :

En substituant (2) dans (1), on obtient l'équation de propagation satisfaite par la surpression :

Il s'agit d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle \frac{\partial^2 P_1}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial t^2} = 0, où la célérité c s'identifie par :

Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique, la loi de Laplace s'écrit :

Par différentiation logarithmique à entropie S fixée, on obtient :

Le coefficient de compressibilité isentropique s'en déduit à l'état d'équilibre :

Par ailleurs, l'équation d'état du gaz parfait pour une masse m de volume V donne :

D'après l'expression établie à la question Q4, la célérité c_1 des ondes acoustiques dans l'air s'écrit :

soit finalement :

Application numérique :

• T_0 = 293\text{ K}
• \gamma = 1{,}40
• M_{\text{air}} = 29{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

D'après l'expression établie à la question Q4, la célérité d'une onde acoustique longitudinale dans un fluide s'écrit en fonction de la masse volumique \mu_0 et du coefficient de compressibilité isentropique \chi_s :

Avec les données numériques fournies pour l'eau liquide à 293\text{ K} :

On en déduit :

D'après l'énoncé, la contrainte mécanique interne T_c joue le rôle de -P_1, de sorte que \mathrm{d}T_c \leftrightarrow -\mathrm{d}P.

Pour une déformation purement longitudinale selon l'axe (Ox), la variation relative de longueur \frac{\mathrm{d}\ell}{\ell} correspond à la variation relative de volume \frac{\mathrm{d}V}{V} du tronçon de barreau. En comparant la définition du module d'Young :

à celle du coefficient de compressibilité isentropique :

on identifie directement :

En transposant la formule de la célérité acoustique c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_s}} établie à la question Q4, on en déduit l'expression de la célérité c_\ell des ondes longitudinales dans le barreau :

Application numérique : Pour le fer à 293\text{ K}, avec E = 196\text{ GPa} = 196 \times 10^9\text{ Pa} et \mu_{\text{Fe}} = 7{,}87 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

Les résultats numériques obtenus aux questions précédentes révèlent la hiérarchie suivante :

D'un point de vue mécanique, la célérité d'une onde élastique dépend de deux propriétés antagonistes du milieu :

• un terme de raideur ou de rappel élastique, caractérisé par le module d'incompressibilité K_s = 1/\chi_s (pour les fluides) ou le module d'Young E (pour le solide), qui favorise une propagation rapide de la perturbation ;
• un terme d'inertie, caractérisé par la masse volumique \mu_0, qui tend à freiner la propagation.

La célérité s'exprime génériquement sous la forme :

Lorsqu'on passe de l'air à l'eau, puis au fer :

• la masse volumique augmente considérablement : d'environ 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour l'air à 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour l'eau, puis 7{,}87 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour le fer ;

• en contrepartie, la cohésion microscopique et la force des interactions interatomiques augmentent dans des proportions encore bien plus spectaculaires :

  • dans l'air (gaz), les molécules sont quasi-libres sans interaction à distance : K_{s,\text{air}} = \gamma P_0 \approx 1{,}4 \times 10^5\text{ Pa} ;
  • dans l'eau (liquide), la matière est condensée avec de fortes liaisons intermoléculaires (liaisons hydrogène, interactions de van der Waals) : K_{s,\text{eau}} \approx 2{,}0 \times 10^9\text{ Pa}, soit un facteur 10^4 par rapport au gaz ;
  • dans le fer (solide cristallin), les atomes sont liés par des liaisons métalliques très rigides au sein d'un réseau cristallin : E \approx 196 \times 10^9\text{ Pa}, soit un facteur 10^2 supplémentaire par rapport à l'eau.

On applique le principe fondamental de la dynamique au plan atomique de rang n, de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Le mouvement étant purement transverse selon la direction (Oz), le vecteur accélération s'écrit :

Le plan de rang n est soumis uniquement aux forces de rappel élastique exercées par ses deux plus proches voisins, les plans de rang n+1 et n-1 :

• le plan n+1 exerce la force donnée par l'énoncé :

  \vec{F}_{n+1\to n} = C \big(\xi_{n+1}(t) - \xi_n(t)\big)\,\vec{e}_z

• le plan n-1 exerce, d'après le principe des actions réciproques ou par invariance par translation/symétrie d'indice, la force :

  \vec{F}_{n-1\to n} = C \big(\xi_{n-1}(t) - \xi_n(t)\big)\,\vec{e}_z

En projetant la relation fondamentale de la dynamique m \vec{a}_n = \vec{F}_{n+1\to n} + \vec{F}_{n-1\to n} sur le vecteur unitaire \vec{e}_z, on obtient :

L'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de \xi_n(t) est donc :

D'après la question Q9, l'équation régissant le déplacement du plan de rang n s'écrit :

En injectant la solution cherchée sous forme complexe \underline{\xi}_n(t) = \underline{A}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(nkd - \omega t)}, la dérivée temporelle seconde vaut :

Le membre de droite s'exprime quant à lui sous la forme :

Comme \underline{A} \neq 0, l'équation du mouvement implique, pour tout t :

avec \omega_0 = \sqrt{C/m}. La pulsation \omega étant par définition une constante réelle strictement positive, on en déduit la relation de dispersion :

D'après la question Q10, la pulsation \omega > 0 vérifie pour tout k \in ]-\pi/d, \pi/d[ :

La fonction est paire. Au voisinage de k = 0, \omega(k) \sim \omega_0 d |k|, ce qui correspond à une vitesse de groupe finie \pm \omega_0 d avec un point anguleux en k = 0. Lorsque |k| \to \pi/d, \omega atteint sa borne supérieure 2\omega_0 avec une tangente horizontale puisque :

Comportement de filtre passe-bas :

• Pour une pulsation \omega \le 2\omega_0, l'équation \sin(kd/2) = \omega/(2\omega_0) admet des solutions k \in \mathbb{R}. L'onde \underline{\xi}_n(t) = \underline{A}\exp(\mathrm{i}(nkd - \omega t)) se propage sans atténuation spatiale le long de la chaîne : le signal est transmis.
• Pour une pulsation imposée \omega > 2\omega_0, il n'existe aucune solution réelle pour k. On a alors \sin(kd/2) > 1, ce qui impose à k d'être complexe avec une partie imaginaire non nulle : k = \pm \pi/d - \mathrm{i}\kappa (\kappa > 0). L'onde présente une décroissance spatiale exponentielle en \mathrm{e}^{-n\kappa d} : il s'agit d'une onde évanescente (bande interdite). L'onde ne peut pas se propager dans le réseau sans être amortie exponentiellement.

Le cristal filtre donc les hautes pulsations et laisse passer sans atténuation les ondes de pulsations inférieures à une pulsation de coupure \omega_c. Il se comporte comme un filtre passe-bas de pulsation de coupure :

D'après la question Q10, la relation de dispersion s'écrit :

Pour k \in \left]0, \frac{\pi}{d}\right[, on a \frac{kd}{2} \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, d'où \sin\left(\frac{kd}{2}\right) > 0. La pulsation s'écrit donc simplement :

Vitesse de phase Par définition, la vitesse de phase est donnée par :

En injectant l'expression de \omega(k), on obtient :

Vitesse de groupe Par définition, la vitesse de groupe correspond à la dérivée de la pulsation par rapport au vecteur d'onde :

Soit :

L'approximation des milieux continus correspond à une longueur d'onde grande devant la distance interatomique :

Pour kd \ll 1, effectuons un développement limité à l'ordre 1 de la relation de dispersion obtenue à la question Q10 :

La pulsation \omega devient proportionnelle au nombre d'onde k. Dès lors, la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont égales et indépendantes de la pulsation :

Le milieu se comporte donc comme un milieu non dispersif, et les ondes transversales s'y propagent à une célérité c_t constante. En rappelant que \omega_0 = \sqrt{C/m}, on obtient :

1. Discussion de la relation c_t = \sqrt{L/µ} :

À la question Q13, l'approche microscopique dans l'approximation des milieux continus a conduit à :

Considérons une tranche de solide de section \Sigma orthogonale à (Ox) et d'épaisseur d (associée à un plan atomique). Sa masse est :

Par ailleurs, dans le cadre de l'élasticité linéaire, la contrainte de cisaillement s'écrit \sigma = L\,\frac{\partial \xi}{\partial x}. La force nette transverse s'exerçant sur une tranche comprise entre x et x+d est :

En identifiant cette expression à la force de rappel discrète au second ordre C\,d^2\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}, on obtient la correspondance microscopique-macroscopique :

En injectant ces relations dans l'expression microscopique :

L'expression macroscopique est donc en parfaite cohérence avec le modèle microscopique. De plus, elle présente une structure analogue à celle des ondes longitudinales établie à la question Q7 (c_\ell = \sqrt{E/\mu}), où le module d'Young E (associé à une élongation/compression axiale) est remplacé par le module de cisaillement L (associé au glissement relatif des couches).

2. Calcul de c_t pour le fer à 293\text{ K} :

On a L \approx 0{,}4\,E, d'où :

Avec E = 196\text{ GPa} = 196 \times 10^9\text{ Pa} et \mu_{\mathrm{Fe}} = 7{,}87 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

D'après les expressions fournies par l'énoncé :

Les modules élastiques K et L étant strictement positifs dans un milieu solide, on a :

Dans un fluide, le module de cisaillement est nul (L = 0), ce qui entraîne :

Sur la figure 3 :

• Le profil en tirets présente toujours les valeurs les plus élevées et ne s'annule jamais : il correspond à la vitesse des ondes P (v_P).
• Le profil en pointillés présente des valeurs plus faibles et s'annule complètement entre r \approx 1\,220\text{ km} et r \approx 3\,480\text{ km} : il correspond à la vitesse des ondes S (v_S).

Cohérence avec la structure interne de la Terre :

• Graine (noyau interne, 0 \le r \lesssim 1\,220\text{ km}) : Les ondes S s'y propagent (v_S \approx 3{,}5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}), ce qui confirme le caractère solide de la graine. La masse volumique y est maximale (\mu \approx 13\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}).
• Discontinuité de Lehmann (C, à r \approx 1\,216\text{ km}) : Elle sépare nettement la graine solide du noyau externe liquide, marquée par l'annulation brutale de v_S et une chute de v_P.
• Noyau externe (1\,220\text{ km} \lesssim r \lesssim 3\,486\text{ km}) : L'absence d'ondes S (v_S = 0) prouve que cette couche est un fluide liquide. Son épaisseur correspond bien à 2\,270\text{ km} (1\,216 + 2\,270 = 3\,486\text{ km}).
• Discontinuité de Gutenberg (B, à r = R_T - 2\,885\text{ km} \approx 3\,486\text{ km}) : Elle marque la frontière noyau-manteau par un saut très net de la masse volumique (chute brutale de \sim 10 à \sim 5{,}5\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}), la réapparition des ondes S et un bond de la vitesse v_P (qui passe de 8 à près de 14\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}).
• Manteau (3\,486\text{ km} \lesssim r \lesssim 6\,340\text{ km}) : v_S > 0, le manteau est donc entièrement solide (comportement élastique aux échelles de temps des ondes sismiques), de masse volumique intermédiaire (\mu entre 3{,}5 et 5{,}5\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}).
• Croûte terrestre et discontinuité de Mohorovičić (A) : Au voisinage immédiat de la surface (r > 6\,300\text{ km}), on observe une forte décroissance des vitesses et une baisse de \mu vers \approx 2{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}.

Le modèle PREM est donc en accord remarquable avec la structure en couches concentriques présentée en introduction.

Considérons une source ponctuelle située à l'origine O.

• En électrostatique, une charge ponctuelle q crée en un point M repéré par \vec{r} = \vec{OM} = r\vec{e}_r le champ :

  \vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{e}_r

• En gravitation, une masse ponctuelle m crée en ce même point le champ :

  \vec{\mathcal{G}} = -\frac{Gm}{r^2}\,\vec{e}_r

Par identification formelle entre ces deux expressions, on dégage le dictionnaire d'analogie :

Pour une distribution continue de matière, la densité volumique de charge \rho est remplacée par la masse volumique locale \mu.

L'équation locale de Maxwell-Gauss pour le champ électrostatique s'écrit :

En appliquant les règles d'analogie précédentes, on obtient directement l'équation locale régissant le champ gravitationnel :

Intégrons cette équation sur un volume V délimité par une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur par son vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}}. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky :

Or l'intégrale volumique de la masse volumique représente la masse intérieure totale M_{\text{int}} contenue dans le volume V. On en déduit l'énoncé du théorème de Gauss pour la gravitation :

Énoncé : Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}} à travers toute surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est égal à -4\pi G fois la masse intérieure totale M_{\text{int}} délimitée par cette surface.

On repère tout point de l'espace par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) de centre O et de base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi).

Symétries et invariances :

• Tout plan passant par le centre O est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(M) appartient à l'intersection de tous ces plans : il est purement radial, \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(M) = \mathcal{G}(r, \theta, \varphi)\,\vec{e}_r.

• La distribution de masse est invariante par toute rotation autour de O, donc par rapport aux angles \theta et \varphi. La composante radiale ne dépend ainsi que de la coordonnée radiale r :

  \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = \mathcal{G}(r)\,\vec{e}_r

Théorème de Gauss : On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur par \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_r. Le flux gravitationnel sortant à travers \Sigma s'écrit :

D'après le théorème de Gauss de la gravitation (question Q16), ce flux vaut :

où M_{\text{int}}(r) est la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r.

La masse totale s'écrit M_T = \frac{4}{3}\pi R_T^3 \mu_0, soit une masse volumique moyenne \mu_0 = \frac{3M_T}{4\pi R_T^3}.

• À l'extérieur de la Terre (r \ge R_T) : La surface de Gauss englobe toute la masse de la Terre, soit M_{\text{int}}(r) = M_T :

  \boxed{ \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = -\frac{G M_T}{r^2}\,\vec{e}_r = -\frac{4\pi G \mu_0 R_T^3}{3 r^2}\,\vec{e}_r }

• À l'intérieur de la Terre (r \le R_T) : La masse intérieure correspond au volume de la boule de rayon r de masse volumique \mu_0 :

  \begin{aligned} M_{\text{int}}(r) &= \mu_0 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = M_T \left(\frac{r}{R_T}\right)^3 \end{aligned}

  On en déduit :

  \boxed{ \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = -\frac{4}{3}\pi G \mu_0 r\,\vec{e}_r = -\frac{G M_T}{R_T^3} r\,\vec{e}_r }

Le champ est continu en r = R_T et vaut \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(R_T) = -\frac{G M_T}{R_T^2}\,\vec{e}_r.

D'après les résultats de la question Q17, l'expression de la norme \mathcal{G}(r) = \|\vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r)\| du champ gravitationnel créé par la boule homogène est donnée par :

où \mathcal{G}_0 = \dfrac{G M_T}{R_T^2} est la valeur du champ à la surface.

Le profil de la norme \mathcal{G}(r) présente ainsi les propriétés remarquables suivantes :

• pour r \in [0, R_T], la norme croît linéairement de 0 à \mathcal{G}_0 avec une pente positive égale à \dfrac{\mathcal{G}_0}{R_T} ;
• en r = R_T, la fonction est continue et atteint son maximum \mathcal{G}_0 ;
• pour r \ge R_T, elle décroît en 1/r^2 et tend vers 0 lorsque r \to +\infty ;
• la dérivée par rapport à r présente un saut en r = R_T (pente \dfrac{\mathcal{G}_0}{R_T} à gauche, et -\dfrac{2\mathcal{G}_0}{R_T} à droite), traduisant la discontinuité de la masse volumique de \mu_0 à 0.

D'après les résultats établis aux questions Q17 et Q18, la norme du champ gravitationnel à la surface de la Terre (r = R_T) s'exprime par :

Avec les données numériques fournies :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_T = 5{,}972 \times 10^{24}\text{ kg} ;
• R_T = 6371\text{ km} = 6{,}371 \times 10^6\text{ m}.

On obtient :

La répartition de masse dans ce second modèle conserve une symétrie sphérique de centre O. Les invariances par rotation autour de tout axe passant par O et le fait que les plans contenant O soient des plans de symétrie de la distribution imposent que le champ gravitationnel est purement radial et ne dépend que de la coordonnée radiale r :

Appliquons le théorème de Gauss pour la gravitation (établi à la question Q16) à une surface fermée \Sigma constituée par la sphère de centre O et de rayon r = R_T :

Or, la masse intérieure à la surface terrestre (r = R_T) correspond à la masse totale de la Terre M_T, qui reste inchangée :

On en déduit immédiatement la norme du champ gravitationnel à la surface :

Ce résultat dépend uniquement de la masse totale M_T et du rayon extérieur R_T, et est totalement indépendant de la répartition radiale de la masse à l'intérieur de la sphère, dès lors que celle-ci présente une symétrie sphérique. La valeur de \mathcal{G}_0 est donc rigoureusement identique à celle obtenue à la question Q19.

D'après la figure 4, le champ gravitationnel intérieur \vec{\mathcal{G}}_T(r) = -\mathcal{G}_T(r)\vec{e}_r présente deux régimes :

D'après la question Q16, le champ gravitationnel vérifie l'équation locale de Gauss :

En coordonnées sphériques, le champ étant purement radial et ne dépendant que de r, la divergence s'écrit d'après le formulaire :

On en déduit l'expression générale de la masse volumique locale :

1. Dans le noyau (0 \le r \le R_2) :

La masse volumique est donc uniforme dans le noyau :

Or, d'après les questions Q17 et Q19, \mathcal{G}_0 = \dfrac{4}{3}\pi G \mu_0 R_T. On obtient ainsi :

2. Dans le manteau (R_2 < r \le R_T) :

Il vient :

En exprimant \mathcal{G}_0 en fonction de la masse totale de la Terre M_T, \mathcal{G}_0 = \dfrac{G M_T}{R_T^2} :

D'après les données de l'énoncé et la figure 1 :

• Masse volumique moyenne :

  \mu_0 = \frac{3M_T}{4\pi R_T^3} = \frac{3 \times 5{,}972 \times 10^{24}}{4\pi \times (6{,}371 \times 10^6)^3} \approx 5{,}51 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 5{,}51\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}

• Rayon à la discontinuité de Gutenberg : R_2 = R_T - 2885\text{ km} = 3486\text{ km}, soit un rapport :

  \frac{R_T}{R_2} = \frac{6371}{3486} \approx 1{,}828

On en déduit les valeurs remarquables de la distribution établie à la question précédente :

• Dans le noyau (0 \le r \le R_2) :

  \mu_{\text{noyau}} = \mu_0 \frac{R_T}{R_2} \approx 5{,}51 \times 1{,}828 \approx \mathbf{10{,}1\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}} \quad (1{,}01 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3})

• Dans le manteau à la base (r \to R_2^+) :

  \mu(R_2^+) = \frac{2}{3}\mu_{\text{noyau}} \approx \mathbf{6{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}} \quad (6{,}7 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3})

• À la surface de la Terre (r = R_T) :

  \mu(R_T) = \frac{2}{3}\mu_0 \approx \mathbf{3{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}} \quad (3{,}7 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3})

Comparaison avec le modèle PREM (figure 3) :

• Similitudes :

  • On retrouve une nette discontinuité de masse volumique à la frontière manteau-noyau (r \approx 3500\text{ km}), avec un saut brutal de densité.
  • Les ordres de grandeur sont très bien restitués : PREM donne \mu \approx 10\text{ à }12\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} dans le noyau externe et \mu \approx 3{,}4\text{ à }5{,}6\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} dans le manteau, en accord avec les valeurs trouvées (10{,}1 et 3{,}7\text{ à }6{,}7\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}).
  • La décroissance globale de \mu(r) avec la distance r au centre est respectée.

• Différences :

  • Le présent modèle considère un noyau homogène (\mu = \text{cste}), ignorant l'existence de la graine solide dense (\mu \approx 13\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}) et la discontinuité de Lehmann (r \approx 1216\text{ km}).
  • Dans le manteau, le modèle impose une loi continue en 1/r, alors que le profil PREM présente des sauts associés aux transitions de phase minéralogiques (manteau supérieur/inférieur vers 410 et 660 km de profondeur) ainsi que la croûte superficielle peu dense.

Le fer étant un élément métallique (Z = 26), la cohésion du cristal de fer solide est assurée par la liaison métallique.

Dans le modèle du gaz d'électrons (ou modèle de Drude-Lorentz), le cristal est décrit comme un empilement périodique d'ions positifs fixes (\text{Fe}^{n+}) baignant dans un fluide d'électrons de valence délocalisés sur l'ensemble du réseau (le « gaz » ou « mer » d'électrons). L'attraction électrostatique entre ce nuage électronique délocalisé et les cations assure la cohésion et la stabilité mécanique du solide.

1. Représentation de la maille cubique à faces centrées

Dans le réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes sont situés aux 8 sommets du cube et aux centres des 6 faces.

2. Population de la maille

Les atomes sont partagés entre plusieurs mailles adjacentes :

• 8 atomes aux sommets, partagés chacun par 8 mailles (multiplicité 1/8) ;
• 6 atomes aux centres des faces, partagés chacun par 2 mailles (multiplicité 1/2).

Le nombre N d'atomes appartenant en propre à la maille vaut donc :

3. Condition de contact et compacité

Dans le modèle des sphères dures indéformables de rayon R, la tangence a lieu le long de la diagonale d'une face de côté a :

Le volume propre occupé par les 4 atomes dans la maille s'écrit :

Le volume total de la maille cubique vaut :

La compacité c est le rapport du volume occupé au volume disponible :

Numériquement :

La masse volumique du fer \gamma est définie par le rapport de la masse du contenu de la maille sur son volume V = a^3 :

où N = 4 correspond au nombre d'atomes de fer par maille dans le réseau cubique à faces centrées (d'après la question Q24).

Par définition de la densité d'un solide par rapport à l'eau liquide (\rho_{\text{eau}} = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), on a :

D'après la question Q24, la condition de tangence des sphères dures le long de la diagonale d'une face s'écrit :

En injectant cette relation dans l'expression de la masse volumique, le volume de la maille devient :

d'où :

On en déduit l'expression du rayon atomique :

Application numérique : Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• M_{\text{Fe}} = 55{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 55{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
• d_{\text{Fe}_\gamma} = 7{,}87 et \rho_{\text{eau}} = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;

il vient :

soit :

1. Conditions thermodynamiques du noyau

• Dans la graine (r \in [0\,;\,1216\text{ km}]), la pression varie entre 330\text{ GPa} et 350\text{ GPa} et la température dépasse 5000\text{ K}.
• Dans le noyau externe (r \in [1216\,;\,3486\text{ km}]), la pression varie d'environ 135\text{ GPa} (discontinuité de Gutenberg, r=R_2) à 330\text{ GPa} (discontinuité de Lehmann, r=R_1), pour des températures comprises entre T_2 = 3800\text{ K} et T_1 = 5000\text{ K}.

2. Comparaison des masses volumiques

• Dans la graine (fer \varepsilon solide) : D'après la figure 6 (droite), à P \approx 330\text{--}350\text{ GPa}, par interpolation entre les isothermes à 4000\text{ K} et 7000\text{ K}, la masse volumique du fer pur solide à T \approx 5000\text{ K} vaut :

  \mu_{\text{Fe},\varepsilon} \approx 13{,}3\text{ à }13{,}5\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}

  Or, le profil PREM (figure 3) indique pour la graine (r < 1216\text{ km}) une masse volumique comprise entre :

  \mu_{\text{PREM}} \approx 12{,}8\text{ et }13{,}1\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}

  Le fer pur est donc environ 3\text{ à }5\,\% plus dense que le milieu réel de la graine.

• Dans le noyau externe (fer liquide) : D'après la courbe du fer liquide (figure 6, droite), la masse volumique varie de \approx 10{,}8\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} (à 135\text{ GPa}) à \approx 12{,}8\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} (à 330\text{ GPa}). Sur le profil PREM (figure 3), \mu varie de 9{,}9\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} à 12{,}1\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}. Le fer liquide pur est là encore trop dense d'environ 6\text{ à }10\,\%.

3. Comparaison des vitesses sismiques dans la graine D'après la figure 6 (gauche), à P \approx 330\text{ GPa}, le fer pur possède :

Avec \mu \approx 13{,}4 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, les relations rappelées en partie I.B donnent pour le fer pur :

Or, le modèle PREM (figure 3) donne pour la graine :

Les vitesses prévues pour le fer pur sont significativement supérieures aux vitesses réelles mesurées, en particulier pour l'onde S.

D'après l'énoncé, les structures hexagonale compacte (fer \varepsilon) et cubique à faces centrées (fer \gamma) sont toutes deux compactes ; leurs sites interstitiels présentent donc les mêmes critères géométriques d'habitabilité sans déformation de la maille. En prenant pour référence le rayon atomique du fer r_{\mathrm{Fe}} \approx 128\text{ pm} (déterminé à la question Q25) :

• Sites octaédriques : le rayon maximal d'une sphère pouvant s'y loger sans repousser les atomes voisins vaut :

  r_{\mathrm{octa}} = (\sqrt{2}-1)\,r_{\mathrm{Fe}} \approx 0{,}414 \times 128\text{ pm} \approx 53\text{ pm}

• Sites tétraédriques : le rayon maximal d'insertion sans déformation vaut :

  r_{\mathrm{t\acute{e}tra}} = \left(\sqrt{\frac{3}{2}}-1\right)r_{\mathrm{Fe}} \approx 0{,}225 \times 128\text{ pm} \approx 29\text{ pm}

Analysons les différents éléments présents dans le noyau :

1. Le nickel (r_{\mathrm{Ni}} = 125\text{ pm}) : Son rayon atomique est extrêmement proche de celui du fer :

   \frac{|r_{\mathrm{Ni}} - r_{\mathrm{Fe}}|}{r_{\mathrm{Fe}}} = \frac{|125 - 128|}{128} \approx 2{,}3\% \ll 15\%

   Le nickel peut donc facilement former un alliage de substitution avec le fer. Il est parfaitement soluble dans le réseau cristallin de la graine solide et n'est pas expulsé lors de la cristallisation.

2. L'oxygène (r_{\mathrm{O}} = 60\text{ pm}) : Son rayon est nettement trop petit pour une substitution (r_{\mathrm{O}}/r_{\mathrm{Fe}} \approx 0{,}47), mais il est supérieur au rayon des sites octaédriques (60\text{ pm} > 53\text{ pm}) et bien supérieur à celui des sites tétraédriques (60\text{ pm} \gg 29\text{ pm}). L'oxygène ne peut donc pas s'insérer sans déformer significativement la maille.
3. Le silicium (r_{\mathrm{Si}} = 110\text{ pm}) : Son rayon est beaucoup trop grand pour une insertion (110\text{ pm} \gg 53\text{ pm}). En substitution, la différence de taille avec le fer atteint 14\%, ce qui déstabilise le réseau cristallin compact par rapport à la phase liquide où l'arrangement atomique est plus souple.

Ces éléments légers (O et Si) présentent donc une affinité nettement plus forte pour le liquide magmatique que pour le fer solide compact. Lors de la solidification de la graine, ils sont exclus du réseau cristallin en formation, ce qui valide l'hypothèse de leur expulsion et de l'enrichissement de la base du noyau externe liquide en éléments légers.

Compte tenu de la symétrie sphérique du système et des conditions aux limites, le champ scalaire de température ne dépend que de la coordonnée radiale : T = T(r).

D'après la loi phénoménologique de Fourier, le vecteur densité volumique de courant thermique s'écrit :

Le flux thermique \Phi_{th}(r) traversant la sphère \mathcal{S}(r) de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur (dans le sens radial croissant selon \vec{e}_r), est donné par :

Comme l'aire d'une sphère de rayon r vaut 4\pi r^2, on obtient :

L'étude est menée en régime stationnaire. Par ailleurs, d'après les données de l'énoncé, la radioactivité volumique au sein du noyau est négligeable (elle ne représente qu'environ 0{,}06\,\% du flux thermique total). Le noyau externe est donc dépourvu de terme source ou puits de chaleur volumique (p_{\text{th}} \approx 0).

L'équation locale de l'énergie en régime stationnaire s'écrit ainsi :

En intégrant sur le volume délimité par deux sphères concentriques de rayons R_1 et r (avec R_1 \le r \le R_2) et en appliquant le théorème de Green-Ostrogradski, le flux thermique traversant toute sphère de rayon r est conservatif :

Tout le flux thermique issu des zones profondes (refroidissement séculaire \Phi_{\text{th,i}} et chaleur latente de cristallisation à l'interface \Phi_{\text{th,d}}) traverse ainsi intégralement chaque couche sphérique du noyau externe jusqu'à la limite manteau-noyau en R_2.

D'après le résultat de la question Q28, on a :

En séparant les variables :

On intègre cette relation entre la surface de la graine (r = R_1, T = T_1) et la surface externe du noyau (r = R_2, T = T_2) :

Sachant que T_1 > T_2 et R_2 > R_1, on réécrit :

On en déduit l'expression de la conductivité thermique :

D'après la figure 1 de l'énoncé :

• Le rayon de la graine solide correspond à la discontinuité de Lehmann (point C) :

  R_1 = 1216\text{ km} = 1{,}216 \times 10^6\text{ m}

• Le rayon de la surface externe du noyau liquide correspond à la discontinuité de Gutenberg (point B), située à une profondeur de 2885\text{ km} sous la surface terrestre (rayon R_T = 6371\text{ km}), soit également R_1 + 2270\text{ km} :

  R_2 = 6371 - 2885 = 3486\text{ km} = 3{,}486 \times 10^6\text{ m}

• Les températures aux frontières valent T_1 = 5000\text{ K} et T_2 = 3800\text{ K}, d'où un écart thermique :

  T_1 - T_2 = 1200\text{ K}

• Le flux thermique profond issu du noyau est donné par le texte introductif de la partie IV :

  \Phi_{\text{th,pr}} = 1 \times 10^{13}\text{ W}

En appliquant la formule établie à la question Q29 :

Compte tenu de la précision sur le flux thermique (un seul chiffre significatif), on retient :

D'après la question Q30, pour évacuer l'intégralité du flux thermique profond \Phi_{\text{th,pr}} = 1 \times 10^{13}\text{ W} par conduction pure, il faudrait une conductivité thermique minimale :

Or, les mesures expérimentales indiquent que la conductivité thermique réelle du fer liquide dans ces conditions ne dépasse pas :

Le flux maximal pouvant être évacué par conduction seule est donc :

La conduction thermique est donc nettement insuffisante pour assurer l'évacuation de la totalité de la puissance thermique issue des profondeurs.

Le noyau externe étant liquide (viscosité relativement faible), le mécanisme prépondérant de transfert thermique est la convection thermique (mouvements macroscopiques de fluide sous l'effet de la poussée d'Archimède induite par les gradients de masse volumique).

Considérons la pellicule sphérique de fluide comprise entre les rayons R_1 et R_1 + \mathrm{d}r qui cristallise entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

L'épaisseur \mathrm{d}r étant infinitésimale devant R_1, le volume de cette couche sphérique s'écrit :

La masse de liquide se solidifiant pendant l'intervalle \mathrm{d}t est donc :

La cristallisation s'effectue à pression et température constantes à l'interface. La variation d'enthalpie associée à la solidification de cette masse \mathrm{d}m est :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système fermé subissant une transformation monobare sans travail utile, l'énergie thermique reçue par la pellicule est \delta Q = \mathrm{d}H. L'énergie thermique libérée (cédée au milieu extérieur) au cours de la durée \mathrm{d}t vaut donc :

Par définition, le flux thermique de différenciation \Phi_{th,d} représente la puissance thermique libérée par cette cristallisation à l'interface graine-noyau externe :

En identifiant le taux de croissance \tau = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}, on obtient :

D'après la relation obtenue à la question Q32 :

On en déduit l'expression de l'enthalpie massique de solidification :

D'après les données de l'énoncé et la figure 1 :

• \Phi_{th,d} = 1 \times 10^{12}\text{ W} ;
• R_1 = 1216\text{ km} = 1{,}216 \times 10^6\text{ m} (rayon de la graine solide) ;
• \mu_N = 1 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \tau \approx 0{,}3\text{ mm/an} = \frac{0{,}3 \times 10^{-3}}{365{,}25 \times 24 \times 3600}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 9{,}5 \times 10^{-12}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Calculons le débit massique de matière cristallisée :

On obtient ainsi :

Soit, en conservant un chiffre significatif compte tenu de la précision sur \tau :

Par définition, la fraction massique w d'un constituant dans un mélange est le rapport de la masse de ce constituant sur la masse totale du mélange considéré :

En appliquant cette définition aux différentes phases décrites :

• À l'instant t, dans la phase liquide de masse totale m_L(t), la masse d'élément i s'écrit :

  \boxed{m_L^i(t) = w_L^i(t)\, m_L(t)}

• À l'instant t+\mathrm{d}t, dans la phase liquide restante de masse totale m_L(t+\mathrm{d}t), la masse d'élément i s'écrit :

  \boxed{m_L^i(t+\mathrm{d}t) = w_L^i(t+\mathrm{d}t)\, m_L(t+\mathrm{d}t)}

• Dans la masse infinitésimale de solide formé \mathrm{d}m_S entre t et t+\mathrm{d}t, la masse d'élément i incorporée vaut :

  \boxed{m_S^i(t+\mathrm{d}t) = w_S^i(t+\mathrm{d}t)\, \mathrm{d}m_S}

Considérons le système fermé constitué de la masse de magma liquide m_L(t) à l'instant t. Entre t et t+\mathrm{d}t, ce système évolue en une masse résiduelle de liquide m_L(t+\mathrm{d}t) = m_L(t) + \mathrm{d}m_L et une masse solide nouvellement cristallisée \mathrm{d}m_S.

1. Conservation de la matière totale La conservation de la masse totale s'écrit :

D'où :

(la masse liquide diminuant par cristallisation, \mathrm{d}m_L < 0, ce qui assure \mathrm{d}m_S > 0).

2. Conservation de l'élément i La masse totale d'élément i se conserve au cours de cette transformation :

En utilisant les résultats de la question précédente et la définition D_i = \frac{w_S^i(t+\mathrm{d}t)}{w_L^i(t)}, il vient :

En substituant ces expressions dans le bilan de conservation :

En développant et en négligeant le terme du second ordre \mathrm{d}w_L^i\,\mathrm{d}m_L :

Ce qui se simplifie en :

En divisant par le produit m_L\,w_L^i, on obtient la relation différentielle cherchée :

3. Établissement de la loi de Rayleigh Le coefficient D_i étant constant au cours de la différenciation, on intègre cette relation entre l'état initial avant différenciation (m_L = m_{L,0}, w_L^i = w_{L,0}^i) et l'état à l'instant t :

En introduisant le degré de différenciation f = \frac{m_L(t)}{m_{L,0}} et en prenant l'exponentielle :

Par identification avec la forme w_L^i(t) = \beta\,f^{D_i - 1}, on déduit :

D'après la loi de Rayleigh établie à la question Q35, la fraction massique d'un élément i dans la phase liquide au cours de la cristallisation fractionnée s'écrit :

où w_{L,0}^i est la fraction massique initiale dans le magma primaire et f = m_L(t)/m_{L,0} est le degré de différenciation.

De même, pour l'élément j :

En effectuant le rapport membre à membre de ces deux expressions, on obtient :

Lorsque les deux éléments présentent une très faible affinité pour les phases solides formées, leurs coefficients de partage vérifient D_i \ll 1 et D_j \ll 1. Par conséquent :

On en déduit que le rapport des fractions massiques est indépendant du degré de différenciation f, et donc indépendant du temps au cours du processus de cristallisation :

1. Principe de la simulation de Monte-Carlo et rôle des variables

La méthode de Monte-Carlo permet de propager numériquement les incertitudes de mesure d'un modèle non trivial sans recourir à des formules analytiques approchées de propagation :

• On simule un grand nombre N de réalisations virtuelles de l'expérience (ici N = 10\,000). Pour chaque point de mesure, les valeurs des grandeurs d'entrée sont tirées aléatoirement selon leur loi de probabilité respective (ici une loi normale centrée sur la valeur mesurée et d'écart-type l'incertitude-type associée).
• La variable X (respectivement Y) représente le vecteur des abscisses (respectivement des ordonnées) synthétisé lors d'un tirage donné.
• La variable a est la pente de la droite de régression linéaire ajustée sur ce jeu de données simulé particulier (X, Y) par la fonction np.polyfit.
• La liste A accumule les N valeurs de la pente a calculées au fil des tirages, constituant ainsi l'échantillon statistique de la variable aléatoire associée à la pente.
• La variable u_a est l'écart-type expérimental de cet échantillon de pentes, qui fournit l'estimation de l'incertitude-type u(a) sur la pente.

2. Commentaire détaillé des lignes 25, 36 et 38

• Ligne 25 : x = rd.normal(Th[i], u_Th[i], 1)[0]
  Cette instruction effectue un tirage pseudo-aléatoire d'un flottant scalaire selon une loi normale centrée sur la valeur mesurée Th[i] avec un écart-type égal à son incertitude-type u_Th[i]. L'argument 1 génère un tableau d'un unique élément, extrait par [0]. Cela permet de modéliser la variabilité de la mesure de la teneur en thorium du i-ième échantillon.

• Ligne 36 : am = sum(A)/NbreTirages
  Cette ligne calcule la moyenne arithmétique de la distribution des pentes obtenues sur l'ensemble des N = 10\,000 tirages :

  \overline{a} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} a_j

  Elle donne la meilleure estimation (l'espérance) de la pente de la droite de régression.

• Ligne 38 : u_a = np.sqrt(sum(A_carre)/NbreTirages-am**2)
  Cette ligne calcule l'écart-type empirique des pentes en appliquant le théorème de Koenig-Huygens :

  u(a) = \sqrt{\langle a^2 \rangle - \langle a \rangle^2} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} a_j^2 - \overline{a}^2}

  Cet écart-type caractérise la dispersion de la pente induite par les incertitudes sur les fractions massiques et représente directement l'incertitude-type sur la pente.

Le rubidium (\mathrm{Rb}) et le thorium (\mathrm{Th}) sont deux éléments fortement incompatibles avec les mailles cristallines des minéraux en formation (D_{\mathrm{Rb}} \ll 1 et D_{\mathrm{Th}} \ll 1).

D'après la loi de Rayleigh établie à la question Q36, le rapport de leurs fractions massiques dans le liquide magmatique résiduel doit rester constant au cours de la différenciation :

avec une ordonnée à l'origine théorique rigoureusement nulle :

L'exploitation des mesures expérimentales par la méthode de Monte-Carlo fournit :

L'écart à la valeur théorique normalisé par l'incertitude-type vaut :

La valeur 0\text{ ppm} appartient donc bien à l'intervalle de confiance à 95\,\% de l'ordonnée à l'origine, [b - 2u(b),\, b + 2u(b)] = [-0{,}40,\, 1{,}00]\text{ ppm}. L'ordonnée à l'origine est ainsi statistiquement compatible avec zéro.

De plus, sur la figure 10, la droite de régression affine passe à l'intérieur de l'ensemble des rectangles d'incertitude élargie à 95\,\%. L'alignement remarquable des points de mesures sur cette droite confirme la proportionnalité entre w(\mathrm{Rb}) et w(\mathrm{Th}).

L'exploitation des deux diagrammes de la figure 12 permet de dégager les caractéristiques suivantes :

1. Éruptions de type strombolien (explosives)

• Vitesse de remontée du magma : elle est faible. Le graphe de gauche montre que ce régime correspond à des valeurs de \log(v) \lesssim -1, soit des vitesses v \lesssim 0{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (typiquement comprises entre 10^{-3} et 10^{-1}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Le graphe de droite confirme que le domaine strombolien se situe sous la bande de transition, à des vitesses inférieures à 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.
• Taille des bulles de gaz : les bulles sont de grande taille (métriques). Le graphe de gauche indique \log(d) \in [0\,;\,0{,}5], ce qui correspond à des poches de gaz de diamètre de l'ordre de 1\text{ m} à quelques mètres.
• Abondance de gaz : pour une vitesse d'ascension donnée (par exemple v \sim 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), le régime strombolien est favorisé par de fortes fractions massiques de gaz (typiquement supérieures à 0{,}4\text{ à }0{,}6\,\%).

2. Éruptions de type hawaiien (effusives)

• Vitesse de remontée du magma : elle est élevée. Le graphe de gauche indique \log(v) \gtrsim -0{,}5, soit v \gtrsim 0{,}3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (pouvant atteindre et dépasser 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Le graphe de droite montre que le domaine hawaiien occupe les vitesses supérieures à la zone de transition (v \gtrsim 10^{-2}\text{ à }10^{-1}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).
• Taille des bulles de gaz : les bulles sont de petite taille (millimétriques à centimétriques). Le graphe de gauche indique \log(d) \lesssim -2, soit des diamètres d \sim 10^{-3}\text{ à }10^{-2}\text{ m} (1\text{ mm} à 1\text{ cm}).
• Abondance de gaz : le régime hawaiien prédomine aux plus faibles fractions massiques de gaz (typiquement inférieures à 0{,}3\text{ à }0{,}4\,\% pour des vitesses intermédiaires) ou requiert une vitesse d'ascension d'autant plus grande que la teneur en gaz est élevée.