Feuille d'entraînement : Mouvement dans un champ de force centrale

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q16

   Considérons une source ponctuelle située à l'origine O.

   • En électrostatique, une charge ponctuelle q crée en un point M repéré par \vec{r} = \vec{OM} = r\vec{e}_r le champ :

     \vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{e}_r

   • En gravitation, une masse ponctuelle m crée en ce même point le champ :

     \vec{\mathcal{G}} = -\frac{Gm}{r^2}\,\vec{e}_r

   Par identification formelle entre ces deux expressions, on dégage le dictionnaire d'analogie :

   \vec{E} \;\longleftrightarrow\; \vec{\mathcal{G}}, \qquad q \;\longleftrightarrow\; m, \qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \;\longleftrightarrow\; -G \quad\text{soit}\quad \frac{1}{\varepsilon_0} \;\longleftrightarrow\; -4\pi G

   Pour une distribution continue de matière, la densité volumique de charge \rho est remplacée par la masse volumique locale \mu.

   L'équation locale de Maxwell-Gauss pour le champ électrostatique s'écrit :

   \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

   En appliquant les règles d'analogie précédentes, on obtient directement l'équation locale régissant le champ gravitationnel :

   \boxed{\operatorname{div}\vec{\mathcal{G}} = -4\pi G\mu}

   Intégrons cette équation sur un volume V délimité par une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur par son vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}}. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky :

   \oiint_{\Sigma} \vec{\mathcal{G}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \iiint_V \operatorname{div}\vec{\mathcal{G}}\,\mathrm{d}\tau = -4\pi G \iiint_V \mu\,\mathrm{d}\tau

   Or l'intégrale volumique de la masse volumique représente la masse intérieure totale M_{\text{int}} contenue dans le volume V. On en déduit l'énoncé du théorème de Gauss pour la gravitation :

   \boxed{\oiint_{\Sigma} \vec{\mathcal{G}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = -4\pi G M_{\text{int}}}

   Énoncé : Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}} à travers toute surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est égal à -4\pi G fois la masse intérieure totale M_{\text{int}} délimitée par cette surface.

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{\mathcal{G}}=-4\pi G\mu$$

   $$\iint \vec{\mathcal{G}}\cdot \mathrm{d}{\vec{S}}_{\text{ext}}=-4\pi G{M}_{\text{int}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q17

   On repère tout point de l'espace par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) de centre O et de base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi).

   Symétries et invariances :

   • Tout plan passant par le centre O est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(M) appartient à l'intersection de tous ces plans : il est purement radial, \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(M) = \mathcal{G}(r, \theta, \varphi)\,\vec{e}_r.

   • La distribution de masse est invariante par toute rotation autour de O, donc par rapport aux angles \theta et \varphi. La composante radiale ne dépend ainsi que de la coordonnée radiale r :

     \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = \mathcal{G}(r)\,\vec{e}_r

   Théorème de Gauss : On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur par \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_r. Le flux gravitationnel sortant à travers \Sigma s'écrit :

   \begin{aligned} \Phi_{\mathcal{G}} &= \oiint_{\Sigma} \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \mathcal{G}(r) \oiint_{\Sigma} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 \mathcal{G}(r) \end{aligned}

   D'après le théorème de Gauss de la gravitation (question Q16), ce flux vaut :

   4\pi r^2 \mathcal{G}(r) = -4\pi G M_{\text{int}}(r) \implies \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = -\frac{G M_{\text{int}}(r)}{r^2}\,\vec{e}_r

   où M_{\text{int}}(r) est la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r.

   La masse totale s'écrit M_T = \frac{4}{3}\pi R_T^3 \mu_0, soit une masse volumique moyenne \mu_0 = \frac{3M_T}{4\pi R_T^3}.

   • À l'extérieur de la Terre (r \ge R_T) : La surface de Gauss englobe toute la masse de la Terre, soit M_{\text{int}}(r) = M_T :

     \boxed{ \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = -\frac{G M_T}{r^2}\,\vec{e}_r = -\frac{4\pi G \mu_0 R_T^3}{3 r^2}\,\vec{e}_r }

   • À l'intérieur de la Terre (r \le R_T) : La masse intérieure correspond au volume de la boule de rayon r de masse volumique \mu_0 :

     \begin{aligned} M_{\text{int}}(r) &= \mu_0 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = M_T \left(\frac{r}{R_T}\right)^3 \end{aligned}

     On en déduit :

     \boxed{ \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r) = -\frac{4}{3}\pi G \mu_0 r\,\vec{e}_r = -\frac{G M_T}{R_T^3} r\,\vec{e}_r }

   Le champ est continu en r = R_T et vaut \vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(R_T) = -\frac{G M_T}{R_T^2}\,\vec{e}_r.

   Résultat

   $${\vec{\mathcal{G}}}_{T_{\text{h}}}(r)=-\frac{G{M}_T}{r^2}{\vec{e}}_r=-\frac{4\pi G{\mu }_0{R}_T^3}{3r^2}{\vec{e}}_r$$

   $${\vec{\mathcal{G}}}_{T_{\text{h}}}(r)=-\frac{4}{3}\pi G{\mu }_{0}r{\vec{e}}_r=-\frac{G{M}_T}{R_T^3}r{\vec{e}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q18

   D'après les résultats de la question Q17, l'expression de la norme \mathcal{G}(r) = \|\vec{\mathcal{G}}_{T_{\text{h}}}(r)\| du champ gravitationnel créé par la boule homogène est donnée par :

   \mathcal{G}(r) = \begin{cases} \dfrac{G M_T}{R_T^3}\,r = \mathcal{G}_0\,\dfrac{r}{R_T} & \text{pour } r \le R_T \\[8pt] \dfrac{G M_T}{r^2} = \mathcal{G}_0\left(\dfrac{R_T}{r}\right)^2 & \text{pour } r \ge R_T \end{cases}

   où \mathcal{G}_0 = \dfrac{G M_T}{R_T^2} est la valeur du champ à la surface.

   Le profil de la norme \mathcal{G}(r) présente ainsi les propriétés remarquables suivantes :

   • pour r \in [0, R_T], la norme croît linéairement de 0 à \mathcal{G}_0 avec une pente positive égale à \dfrac{\mathcal{G}_0}{R_T} ;
   • en r = R_T, la fonction est continue et atteint son maximum \mathcal{G}_0 ;
   • pour r \ge R_T, elle décroît en 1/r^2 et tend vers 0 lorsque r \to +\infty ;
   • la dérivée par rapport à r présente un saut en r = R_T (pente \dfrac{\mathcal{G}_0}{R_T} à gauche, et -\dfrac{2\mathcal{G}_0}{R_T} à droite), traduisant la discontinuité de la masse volumique de \mu_0 à 0.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2024, Q[34]

   Le système étudié est l'électron de masse m_e et de charge q_e, repéré par sa position \vec{r} par rapport au proton placé à l'origine. Le proton étant supposé ponctuel et infiniment lourd, le référentiel d'étude centré sur le proton est galiléen.

   Le proton possède une charge opposée à celle de l'électron, soit -q_e = |q_e| > 0. L'électron subit la force d'interaction électrostatique de Coulomb attractive exercée par le proton :

   \vec{F} = \frac{(-q_e) q_e}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_r = -\frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_r

   En introduisant la convention de notation définie en préambule, e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0}, la force s'écrit :

   \boxed{\vec{F} = -\frac{e^2}{r^2}\,\vec{u}_r = -\frac{e^2}{r^3}\,\vec{r}}

   Dans le référentiel galiléen lié au proton, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m_e \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{e^2}{r^2}\,\vec{u}_r}

   Résultat

   $$\vec{F}=-\frac{e^2}{r^2}{\vec{u}}_r=-\frac{e^2}{r^3}\vec{r}$$

   $$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=m_e\frac{{\mathrm{d}}^2\vec{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{e^2}{r^2}{\vec{u}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2024, Q[35]

   Le moment cinétique de l'électron par rapport au proton (choisi comme origine O du référentiel galiléen d'étude) est défini par :

   \vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p}.

   En dérivant cette relation par rapport au temps :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \wedge \vec{p} + \vec{r} \wedge \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} \\ &= \vec{v} \wedge (m_e \vec{v}) + \vec{r} \wedge \vec{F}. \end{aligned}

   D'une part, le produit vectoriel d'un vecteur par lui-même est nul :

   \vec{v} \wedge (m_e \vec{v}) = \vec{0}.

   D'autre part, la force d'interaction coulombienne établie à la question Q[34] est centrale : \vec{F} = -\dfrac{e^2}{r^2} \vec{u}_r, où \vec{u}_r = \dfrac{\vec{r}}{r}. Le moment de cette force en O est donc identiquement nul :

   \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) = \vec{r} \wedge \vec{F} = -\frac{e^2}{r^3} (\vec{r} \wedge \vec{r}) = \vec{0}.

   On en déduit :

   \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{0},

   ce qui démontre que le moment cinétique est une constante du mouvement :

   \boxed{\vec{L} = \vec{\mathrm{cte}}.}

   Résultat

   $$\vec{L}=\overrightarrow{\mathrm{cte}}.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique U PSI 2024, Q[36]

   Par définition du produit vectoriel et des propriétés du produit mixte, le vecteur position \vec{r}(t) et le moment cinétique \vec{L} = \vec{r}(t) \wedge \vec{p}(t) vérifient à chaque instant :

   \vec{r}(t) \cdot \vec{L} = \vec{r}(t) \cdot (\vec{r}(t) \wedge \vec{p}(t)) = 0.

   D'après le résultat de la question Q[35], le moment cinétique \vec{L} est un vecteur constant au cours du temps.

   • Si \vec{L} \neq \vec{0}, la relation \vec{r}(t) \cdot \vec{L} = 0 montre que le vecteur position \vec{r}(t) est à chaque instant confiné dans le plan fixe passant par l'origine O (position du proton) et orthogonal au vecteur constant \vec{L}.
   • Si \vec{L} = \vec{0}, le mouvement est rectiligne le long d'une droite passant par l'origine, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

   Dans tous les cas :

   \boxed{\text{La trajectoire de l'électron est entièrement contenue dans un plan.}}

   En choisissant l'axe (Oz) colinéaire à \vec{L}, c'est-à-dire dirigé par le vecteur unitaire \vec{u}_z = \frac{\vec{L}}{\|\vec{L}\|} (pour \vec{L}\neq \vec{0}), le plan de la trajectoire est le plan (Oxy), défini par l'équation z = 0.

   Résultat

   $$\text{La trajectoire de l’eˊlectron est entieˋrement contenue dans un plan.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q16

   La Terre possédant une distribution de masse à symétrie sphérique, le théorème de Gauss gravitationnel permet de l'assimiler, pour tout point extérieur (r \geqslant R_T), à une masse ponctuelle M_T concentrée en son centre O. La force de gravitation exercée sur le satellite de masse M, situé à la distance r = R_T + h du centre terrestre, s'écrit :

   \vec{F}_g = -\frac{\mathcal{G} M M_T}{r^2}\,\vec{e}_r

   Au sol (r = R_T), l'identification du champ de gravitation au champ de pesanteur g_0 donne :

   g_0 = \frac{\mathcal{G} M_T}{R_T^2} \iff \mathcal{G} M_T = g_0 R_T^2

   L'énergie potentielle de gravitation E_p vérifie \vec{F}_g = -\vec{\nabla} E_p, soit :

   \frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}r} = \frac{\mathcal{G} M M_T}{r^2} \implies E_p(r) = -\frac{\mathcal{G} M M_T}{r} + \text{cte}

   Avec la convention adoptée en l'infini (E_p \to 0 lorsque h \to +\infty, c'est-à-dire r \to +\infty), la constante d'intégration est nulle. En substituant \mathcal{G} M_T et r = R_T + h, on obtient :

   \boxed{E_p = -\frac{M g_0 R_T^2}{R_T + h}}

   Résultat

   $$E_p=-\frac{M{g}_0{R}_T^2}{R_T+h}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q17

   On étudie le satellite, assimilé à un point matériel de masse M, en orbite circulaire de rayon r = R_T + h dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen.

   Il est soumis uniquement à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

   \vec{F} = -\frac{\mathcal{G} M_T M}{r^2}\,\vec{u}_r

   Dans le repère de Frenet lié au satellite, pour une orbite circulaire de rayon r, l'accélération est purement centripète :

   \vec{a} = -\frac{v^2}{r}\,\vec{u}_r

   Le principe fondamental de la dynamique projeté selon la normale centripète donne :

   M \frac{v^2}{r} = \frac{\mathcal{G} M_T M}{r^2} \implies v^2 = \frac{\mathcal{G} M_T}{r}

   En utilisant la relation \mathcal{G} M_T = g_0 R_T^2 établie à la question Q16 et en remplaçant r par R_T + h, on obtient :

   \boxed{v = R_T \sqrt{\frac{g_0}{R_T + h}}}

   L'énergie cinétique du satellite s'en déduit :

   E_c = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} \frac{M g_0 R_T^2}{R_T + h}

   Avec l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question Q16, E_p = -\dfrac{M g_0 R_T^2}{R_T + h}, l'énergie mécanique totale E = E_c + E_p vaut :

   \boxed{E = -\frac{1}{2} \frac{M g_0 R_T^2}{R_T + h}}

   Résultat

   $$v=R_T\sqrt{\frac{g_0}{R_T+h}}$$

   $$E=-\frac{1}{2}\frac{M{g}_0{R}_T^2}{R_T+h}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique PSI 2024, Q3

   On étudie la goutte d'eau, assimilée à un point matériel \mathrm{M} de masse m et de charge q, dans le référentiel de l'ISS supposé galiléen (situation de microgravité, frottements négligés). Elle est uniquement soumise à la force électrostatique :

   \vec{F} = q\vec{E} = \frac{q\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\vec{e}_r.

   1. Caractère plan du mouvement :

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la goutte s'écrit :

   m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{F}.

   En projetant sur l'axe \vec{e}_z, on obtient :

   m\ddot{z} = 0 \implies \dot{z}(t) = \dot{z}(0) = 0 \implies z(t) = z(0) = 0.

   La trajectoire de la goutte est donc rigoureusement plane et contenue dans le plan (x\mathrm{O}y) défini par z=0.

   2. Théorème du moment cinétique et expression de \dot{\theta} :

   Dans le plan z=0, le vecteur position s'écrit \overrightarrow{\mathrm{OM}} = r\vec{e}_r. Le moment de la force \vec{F} par rapport à l'origine \mathrm{O} vaut :

   \vec{\mathcal{M}}_\mathrm{O}(\vec{F}) = \overrightarrow{\mathrm{OM}} \wedge \vec{F} = r\vec{e}_r \wedge \left(\frac{q\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\vec{e}_r\right) = \vec{0}.

   D'après le théorème du moment cinétique en \mathrm{O} :

   \frac{\mathrm{d}\vec{L}_\mathrm{O}}{\mathrm{d}t} = \vec{\mathcal{M}}_\mathrm{O}(\vec{F}) = \vec{0} \implies \vec{L}_\mathrm{O} = \vec{\text{cste}}.

   En coordonnées cylindriques planes, la vitesse s'écrit \vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta, d'où :

   \vec{L}_\mathrm{O} = \overrightarrow{\mathrm{OM}} \wedge m\vec{v} = r\vec{e}_r \wedge m(\dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta) = m r^2 \dot{\theta}\,\vec{e}_z.

   À la date initiale t=0, r(0) = r_0 et \vec{v}(0) = v_0\vec{e}_\theta, ce qui donne :

   \vec{L}_\mathrm{O}(0) = m r_0 v_0\,\vec{e}_z.

   Par conservation du moment cinétique, pour tout instant t :

   m r^2 \dot{\theta} = m r_0 v_0,

   d'où l'expression de \dot{\theta} :

   \boxed{\dot{\theta} = \frac{r_0 v_0}{r^2}}

   Résultat

   $$\dot{\theta }=\frac{r_0{v}_0}{r^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2024, Q4

    Le mouvement de la goutte s'effectuant dans le plan z=0 (d'après la question Q3), la vitesse s'écrit en coordonnées cylindriques :

    \vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta.

    L'énergie cinétique de la goutte de masse m est donc :

    E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m r^2\dot{\theta}^2.

    En utilisant la relation établie à la question Q3, \dot{\theta} = \dfrac{r_0 v_0}{r^2}, le terme orthoradial se réécrit :

    \frac{1}{2}m r^2\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}m r^2 \left(\frac{r_0 v_0}{r^2}\right)^2 = \frac{m r_0^2 v_0^2}{2r^2}.

    Par ailleurs, la force électrostatique étant conservative (\vec{F}_{\mathrm{e}} = -\vec{\nabla} E_{\mathrm{p}}), l'énergie potentielle électrostatique de la charge q dans le potentiel V(r) (question Q2) s'écrit, à une constante additive près arbitrairement choisie nulle :

    E_{\mathrm{p}}(r) = q V(r) = -\frac{q\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r.

    L'énergie mécanique de la goutte s'exprime donc sous la forme :

    E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c}} + E_{\mathrm{p}} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{m r_0^2 v_0^2}{2r^2} - \frac{q\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r.

    Elle se met bien sous la forme demandée :

    E_{\mathrm{m}} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + E_{\mathrm{p,eff}}(r),

    avec :

    E_{\mathrm{p,eff}}(r) = \frac{\alpha}{r^2} + \beta \ln r,

    où les constantes s'identifient par :

    \boxed{\alpha = \frac{1}{2}m r_0^2 v_0^2 \quad \text{et} \quad \beta = -\frac{q\lambda}{2\pi\varepsilon_0}.}

    Les grandeurs m, r_0 et v_0 étant non nulles, on a bien \alpha > 0. De plus, q > 0 et \lambda < 0, ce qui assure \beta > 0.

    Résultat

    $$\alpha =\frac{1}{2}m{r}_0^2{v}_0^2\text{et}\beta =-\frac{q\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}.$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question