Corrigé détaillé X ENS Physique U PSI 2024

D'après les conventions de l'énoncé, chaque grandeur réelle A_i(t) s'exprime à l'aide de sa grandeur complexe associée \underline{A}_i(t) par la relation d'Euler :

où \underline{A}_i^* désigne le complexe conjugué de \underline{A}_i.

Le produit instantané des deux grandeurs s'écrit alors :

Étudions le comportement temporel de chacun de ces termes :

• Les termes \underline{A}_1(t)\underline{A}_2^*(t) = \underline{A}_{0,1}\underline{A}_{0,2}^* et \underline{A}_1^*(t)\underline{A}_2(t) = \underline{A}_{0,1}^*\underline{A}_{0,2} sont indépendants du temps (les facteurs e^{i\omega t} et e^{-i\omega t} se compensent). Leur valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} est donc égale à leur valeur instantanée.

• Les termes \underline{A}_1(t)\underline{A}_2(t) = \underline{A}_{0,1}\underline{A}_{0,2}e^{2i\omega t} et \underline{A}_1^*(t)\underline{A}_2^*(t) = \underline{A}_{0,1}^*\underline{A}_{0,2}^*e^{-2i\omega t} oscillent à la pulsation 2\omega. Leur moyenne sur une période T est strictement nulle :

  \frac{1}{T}\int_0^T e^{\pm 2i\omega t} \, dt = 0

En prenant la moyenne temporelle, il vient :

L'atome considéré est électriquement neutre et constitué d'un unique électron de charge q_e (q_e < 0) et d'un noyau modélisé par une boule de rayon \mathcal{R}_0 uniformément chargée avec la densité volumique de charge \rho.

La neutralité électrique globale de l'atome impose :

Le noyau étant une sphère homogène de rayon \mathcal{R}_0, son volume vaut :

La charge totale du noyau s'exprime donc en fonction de \rho par :

On en déduit l'expression de la densité volumique de charge :

1. Symétries et invariances :

• La distribution de charge du noyau présente une invariance sous toute rotation de centre O. Le champ électrique ne dépend donc que de la distance radiale r.
• Tout plan contenant l'origine O et le point M(\vec{r}) est un plan de symétrie de la distribution. Le champ électrique en M appartient à l'intersection de tous ces plans : il est purement radial.

On peut donc poser :

2. Théorème de Gauss : On choisit pour surface de Gauss \mathcal{S}_r une sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur. Le flux du champ électrique sortant de cette surface s'écrit :

D'après le théorème de Gauss, \Phi = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}.

3. Calcul de la charge intérieure et du champ :

• À l'intérieur du noyau (r < \mathcal{R}_0) : La charge comprise à l'intérieur de la sphère de rayon r vaut :

  Q_{\text{int}}(r) = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \left(-\frac{3q_e}{4\pi \mathcal{R}_0^3}\right) \frac{4}{3}\pi r^3 = -q_e \frac{r^3}{\mathcal{R}_0^3}.

  On en déduit :

  4\pi r^2 E(r) = -\frac{q_e}{\varepsilon_0} \frac{r^3}{\mathcal{R}_0^3} \implies E(r) = -\frac{q_e \, r}{4\pi\varepsilon_0 \mathcal{R}_0^3}.

  Soit :

  \boxed{\vec{E}(\vec{r}) = -\frac{q_e \, r}{4\pi\varepsilon_0 \mathcal{R}_0^3} \, \vec{u}_r = -\frac{q_e}{4\pi\varepsilon_0 \mathcal{R}_0^3} \, \vec{r} \quad (r < \mathcal{R}_0)}

• À l'extérieur du noyau (r \ge \mathcal{R}_0) : La charge intérieure est la charge totale du noyau Q_{\text{noyau}} = -q_e :

  Q_{\text{int}}(r) = -q_e.

  On obtient :

  4\pi r^2 E(r) = -\frac{q_e}{\varepsilon_0} \implies E(r) = -\frac{q_e}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.

  Soit :

  \boxed{\vec{E}(\vec{r}) = -\frac{q_e}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \, \vec{u}_r = -\frac{q_e}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \, \vec{r} \quad (r \ge \mathcal{R}_0)}

Le champ électrostatique \vec{E}(\vec{r}) dérive du potentiel électrostatique U(\vec{r}) selon la relation locale :

soit, sous forme intégrale pour un déplacement élémentaire d\vec{r} :

À la traversée de la surface du noyau sphérique (en r = \mathcal{R}_0) :

• Le potentiel électrostatique est partout défini et continu dans l'espace en l'absence de double couche de charges. Ainsi, à l'interface :

  \boxed{U(\mathcal{R}_0^-) = U(\mathcal{R}_0^+)}

• La distribution de charge ne comportant pas de nappe surfacique (\sigma = 0), le champ électrique \vec{E} est également continu à la traversée de la frontière. En coordonnées sphériques, avec \vec{E} = -\frac{dU}{dr}\vec{u}_r, il en résulte la continuité de la dérivée normale du potentiel :

  \boxed{\left.\frac{dU}{dr}\right|_{r = \mathcal{R}_0^-} = \left.\frac{dU}{dr}\right|_{r = \mathcal{R}_0^+}}

Le potentiel U est donc de classe \mathcal{C}^1 en tout point de l'espace.

Le potentiel électrostatique est défini à une constante additive près. Comme la distribution de charges est bornée dans l'espace (contenue dans la sphère de rayon \mathcal{R}_0), le champ électrique décroît en 1/r^2 à l'infini : l'intégrale \int_r^{+\infty} E(r')\,\mathrm{d}r' converge. Il est donc physiquement légitime et usuel de choisir l'infini comme référence de potentiel :

D'après les questions Q3 et Q4, le champ est radial et dérive du potentiel selon :

1. À l'extérieur du noyau (r \ge \mathcal{R}_0) :

La condition U(r \to +\infty) = 0 impose C_1 = 0, soit :

2. À l'intérieur du noyau (r \le \mathcal{R}_0) :

La continuité du potentiel en r = \mathcal{R}_0 (établie en Q4) impose :

On en déduit l'expression du potentiel à l'intérieur :

D'après la question Q[5], en posant U_0 = U(\mathcal{R}_0) = -\dfrac{q_e}{4\pi\varepsilon_0 \mathcal{R}_0} > 0 (puisque q_e < 0) :

• pour r \le \mathcal{R}_0 : U(r) = U_0 \left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{r}{\mathcal{R}_0}\right)^{\!2} \right) ;
• pour r \ge \mathcal{R}_0 : U(r) = U_0 \dfrac{\mathcal{R}_0}{r}.

Les caractéristiques remarquables du tracé sont :

• Signe et valeur centrale : q_e < 0, donc U(r) > 0 partout, avec un maximum au centre U(0) = \dfrac{3}{2}U_0.
• Tangente au centre : \dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(0) = -E(0) = 0, la tangente est horizontale en r = 0.
• Continuité et dérivabilité en r = \mathcal{R}_0 : le potentiel U et le champ E = -\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r} sont continus en r = \mathcal{R}_0, ce qui garantit l'absence de point anguleux. La pente vaut \dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(\mathcal{R}_0) = -\dfrac{U_0}{\mathcal{R}_0}.
• Courbure : pour r < \mathcal{R}_0, U''(r) < 0 (courbe concave vers le bas) ; pour r > \mathcal{R}_0, U''(r) > 0 (courbe convexe). Le point r = \mathcal{R}_0 est un point d'inflexion.
• Comportement asymptotique : U(r) \xrightarrow[r \to \infty]{} 0 par valeurs positives, en 1/r.

L'électron, de charge q_e, est soumis au champ électrostatique \vec{E}(\vec{r}) créé par la répartition sphérique de charge du noyau. La force électrostatique subie par l'électron s'écrit :

D'après le résultat de la question Q3, pour r < \mathcal{R}_0, le champ électrique vaut :

On en déduit l'expression de la force :

Comme q_e^2 > 0, cette force est colinéaire à -\vec{r} et peut s'identifier à une force de rappel élastique de la forme demandée :

avec

Pour une onde électromagnétique plane et monochromatique (OPPM) se propageant dans le vide à la célérité c, les amplitudes E_0 et B_0 des champs électrique et magnétique sont reliées par :

Plus précisément, en notation complexe, la structure d'onde plane impose la relation locale :

où \vec{u} = \vec{k}/\|\vec{k}\| est le vecteur unitaire dans la direction de propagation.

Dans le référentiel lié au noyau supposé fixe en \vec{r} = \vec{0}, l'électron (masse m_e, charge q_e, position \vec{r}, vitesse \vec{v} = \dot{\vec{r}}) est soumis à :

• la force de rappel électrostatique exercée par le noyau de Thomson pour r < \mathcal{R}_0 (d'après la question Q[7]) :

  \vec{F}_{\text{noyau}} = -m_e \omega_0^2 \vec{r} ;

• la force de Lorentz exercée par l'onde électromagnétique incidente :

  \vec{F}_L = q_e \big( \vec{E}(\vec{r},t) + \vec{v} \wedge \vec{B}(\vec{r},t) \big).

La force totale s'exerçant sur l'électron s'écrit donc :

1. Négligence de la composante magnétique de la force de Lorentz :
D'après la question Q[8], l'amplitude du champ magnétique d'une onde plane monochromatique dans le vide est reliée à celle du champ électrique par B \sim E/c. L'ordre de grandeur du rapport des forces magnétique et électrique est ainsi :

Dans le cadre de l'approximation non relativiste, v \ll c, la force magnétique est donc totalement négligeable devant la force électrique :

2. Négligence de la dépendance spatiale du champ électrique :
Le mouvement de l'électron s'effectue à l'échelle atomique avec une vitesse caractéristique v \sim \omega r. L'argument spatial dans l'onde est contrôlé par le produit scalaire \vec{k}\cdot\vec{r}, dont l'ordre de grandeur vaut :

La variation de phase spatiale est donc négligeable sur l'étendue de la trajectoire :

Par ailleurs, l'énoncé précise que l'amplitude \vec{E}_0(\vec{r}) varie lentement à l'échelle de la longueur d'onde \lambda, donc a fortiori à l'échelle sub-longueur d'onde de l'atome (r < \mathcal{R}_0 \ll \lambda) : \vec{E}_0(\vec{r}) \approx \vec{E}_0(\vec{0}).

On peut ainsi assimiler le champ électrique ressenti par l'électron à sa valeur en \vec{r} = \vec{0} (approximation dipolaire électrique) :

D'après la question Q[9], le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron de masse m_e et de charge q_e s'écrit :

soit l'équation différentielle du mouvement :

En adoptant la notation complexe avec une dépendance temporelle en e^{i\omega t}, le champ au centre du noyau s'écrit \underline{\vec{E}}(\vec{0}, t) = \vec{E}_0(\vec{0})\, e^{i\omega t}. On cherche la réponse en régime forcé oscillant à la pulsation \omega sous la forme \underline{\vec{r}}(t) = \underline{\vec{r}}_0\, e^{i\omega t}.

En dérivant deux fois par rapport au temps, \frac{\mathrm{d}^2\underline{\vec{r}}}{\mathrm{d}t^2} = -\omega^2 \underline{\vec{r}}(t), d'où :

On en déduit l'expression de l'amplitude vectorielle :

Si l'on s'intéresse à la composante selon la direction de polarisation du champ électrique (en notant \vec{E}_0 = E_0 \vec{u} et \vec{r} = r \vec{u}) :

D'après la question Q[10], la réponse en régime sinusoïdal forcé s'écrit en représentation complexe :

où \underline{\vec{E}}(0,t) = \vec{E}_0(\vec{0})\,e^{i\omega t}.

Le moment dipolaire électrique de l'atome est défini par \vec{d}(t) = q_e \vec{r}(t), soit en notation complexe :

En l'absence de terme dissipatif, le coefficient reliant \underline{\vec{d}}(t) à \underline{\vec{E}}(0,t) est réel. En prenant la partie réelle de cette relation, on obtient directement l'égalité instantanée :

En identifiant terme à terme avec la relation phénoménologique proposée \vec{d}(t) = \varepsilon_0 \alpha(\omega) \vec{E}(0,t), il vient :

D'après la relation établie à la question Q[11], on a \vec{d}(t) = \varepsilon_0 \alpha(\omega) \vec{E}(0,t). En termes de dimensions :

Il vient [\varepsilon_0 \vec{E}] = \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^{-2}, d'où :

La polarisabilité \alpha a donc la dimension d'un volume (on parle d'ailleurs souvent de volume de polarisabilité).

D'après les questions Q[7] et Q[11], on a :

Le volume d'une boule de rayon \mathcal{R}_0 est \mathcal{V}_0 = \frac{4}{3}\pi \mathcal{R}_0^3, ce qui donne 4\pi\mathcal{R}_0^3 = 3\mathcal{V}_0. On peut alors écrire :

En injectant cette relation dans l'expression de \alpha(\omega), on obtient :

Interprétation physique au voisinage de \omega = \omega_0 :

• Phénomène de résonance : lorsque la pulsation de l'onde excitatrice \omega est proche de la pulsation propre \omega_0 de l'électron élastiquement lié, l'amplitude de la réponse dipolaire devient très grande. La divergence observée en \omega = \omega_0 est un artefact dû à l'absence de terme dissipatif (frottement fluide ou amortissement radiatif) dans le modèle.

• Déphasage de la réponse :

  • En deçà de la résonance (\omega < \omega_0), on a \alpha > 0 : le dipôle induit oscille en phase avec le champ électrique excitateur.
  • Au-delà de la résonance (\omega > \omega_0), on a \alpha < 0 : l'inertie de l'électron domine la force de rappel élastique, et le dipôle induit oscille en opposition de phase avec le champ excitateur.

D'après la question Q[7], la pulsation propre de l'électron dans le modèle de Thomson est donnée par :

Or, le volume de la boule représentant l'atome vaut \mathcal{V}_0 = \frac{4}{3}\pi \mathcal{R}_0^3, d'où 4\pi \mathcal{R}_0^3 = 3\mathcal{V}_0. On en déduit :

La raie d'absorption à la longueur d'onde \lambda_0 correspond à la résonance du modèle dipolaire à la pulsation :

En injectant cette relation dans l'expression de \mathcal{V}_0, il vient :

Application numérique : Avec les données fournies :

• |q_e| = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C} ;
• \lambda_0 = 780\text{ nm} = 7{,}80 \times 10^{-7}\text{ m} ;
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• m_e = 9{,}10 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• c \simeq 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Le rayon \mathcal{R}_0 associé vaut alors :

Commentaires :

• L'ordre de grandeur obtenu pour le rayon atomique (\mathcal{R}_0 \sim 3{,}5\text{ \AA}) est tout à fait cohérent avec le rayon atomique attendu pour un atome alcalin lourd comme le rubidium (dont le rayon de van der Waals est de l'ordre de 3\text{ \AA}). Il est remarquable qu'un modèle classique aussi élémentaire redonne le bon ordre de grandeur des dimensions atomiques.

• Cependant, ce modèle présente des limites intrinsèques évidentes :

  • Le noyau réel est quasi-ponctuel (rayon \sim 10^{-15}\text{ m}) et concentre la quasi-totalité de la masse, contrairement à la distribution de charge étendue de Thomson réfutée par l'expérience de Rutherford.
  • Il ne prédit qu'une seule fréquence de résonance (la raie D_2 du rubidium à 780\text{ nm}), alors que la mécanique quantique explique l'existence d'un spectre discret complexe de transitions dipolaires (structure fine avec la raie D_1 à 795\text{ nm}, raies de Rydberg, etc.).

L'atome est constitué :

• d'un noyau de charge q_N = -q_e > 0, situé en \vec{R}, animé d'une vitesse \vec{v}_N = \dot{\vec{R}} ;
• d'un électron de charge q_e < 0, situé en \vec{r}_e = \vec{R} + \vec{r}, animé d'une vitesse \vec{v}_e = \dot{\vec{R}} + \dot{\vec{r}}.

D'après le principe des actions réciproques, la somme des forces d'interaction interne entre le noyau et l'électron est nulle. La résultante des forces électromagnétiques appliquées à l'atome se réduit donc à la somme des forces de Lorentz exercées par l'onde incidente :

L'atome étant de dimensions spatiales très petites devant la longueur d'onde du laser (r \ll \lambda), on effectue un développement de Taylor à l'ordre 1 au voisinage de \vec{R} :

En injectant ces développements dans l'expression de \vec{F} :

La vitesse du centre de masse de l'atome est thermique donc très faible devant celle de l'électron (\|\dot{\vec{R}}\| \ll \|\dot{\vec{r}}\|), et le dernier terme est d'ordre 2 en perturbations. En introduisant le moment dipolaire électrique \vec{d} = q_e \vec{r}, on obtient bien :

où les champs \vec{E} et \vec{B} sont évalués en \vec{R}.

Domaine de validité :

• Approximation dipolaire électrique : la dimension de l'atome doit être très petite devant la longueur d'onde optique incidente (r \ll \lambda, soit kr \ll 1), assurant la convergence rapide du développement de Taylor.
• Approximation non relativiste : la vitesse de l'électron doit rester faible devant c (\|\dot{\vec{r}}\| \ll c), ce qui garantit que les termes d'ordres multipolaires supérieurs (quadripolaire électrique, dipolaire magnétique) sont négligeables.

Rôle de la force magnétique :

• À la question Q[9], on étudiait le mouvement relatif de l'électron dans l'atome : la force électrique dominante était d'ordre 0, à savoir q_e \vec{E}. La force magnétique q_e \dot{\vec{r}} \wedge \vec{B} était d'un facteur v/c \ll 1 plus petite et pouvait être négligée.
• Pour l'atome globalement neutre (q_{\text{tot}} = q_N + q_e = 0), les contributions électriques d'ordre 0 s'annulent exactement : -q_e\vec{E}(\vec{R}) + q_e\vec{E}(\vec{R}) = \vec{0}.

• L'ordre le plus bas de la force électrique est donc le terme dipolaire :

  \|(\vec{d}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{E}\| \sim d \, k E \sim q_e r \, \frac{\omega}{c} E.

• Or, la force magnétique s'écrit :

  \|\dot{\vec{d}} \wedge \vec{B}\| \sim q_e (\omega r) \, B \sim q_e (\omega r) \frac{E}{c} = q_e r \, \frac{\omega}{c} E.

  La force magnétique est donc du même ordre de grandeur que la force électrique dipolaire résiduelle : elle ne peut plus être négligée.

D'après la question Q11, le dipôle induit instantané s'écrit en régime forcé :

où \alpha est la polarisabilité dynamique, qui est réelle ici en l'absence de terme d'amortissement. La dérivée temporelle du dipôle vaut donc :

En injectant ces deux expressions dans la force établie à la question Q14, il vient :

D'après l'identité d'analyse vectorielle donnée en préambule :

L'équation de Maxwell-Faraday \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} permet d'écrire :

La force instantanée prend alors la forme :

Prenons la moyenne temporelle sur une période optique T = \frac{2\pi}{\omega}. Les champs étant périodiques de pulsation \omega, la moyenne temporelle de la dérivée est strictement nulle :

Puisque les opérateurs de dérivation spatiale et de moyenne temporelle commutent, la force moyenne exercée sur l'atome est :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(\vec{R},t) = \vec{E}_0(\vec{R})\cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{R}), où \vec{E}_0 est supposé réel, ce qui donne d'après la formule préliminaire (Q1) :

On obtient ainsi :

Par définition, une force conservative dérive d'une énergie potentielle selon \langle \vec{F} \rangle = -\overrightarrow{\operatorname{grad}} U_{\operatorname{dip}}. En fixant la constante arbitraire à zéro à l'infini (où le champ s'annule), on en déduit :

D'après la question Q[11], la polarisabilité s'écrit :

Avec \omega = \omega_0 + \Delta, factorisons le dénominateur :

À l'ordre 1 en \Delta / \omega_0 \ll 1, on a donc \omega_0^2 - \omega^2 \simeq -2\omega_0 \Delta.

On en déduit l'expression approchée de \alpha au voisinage de la résonance :

D'après la question Q[15], la force moyenne exercée par le faisceau laser sur l'atome dérive de l'énergie potentielle dipolaire :

L'intensité lumineuse locale I(\vec{R}) étant proportionnelle au carré de l'amplitude du champ électrique (\|\vec{E}_0(\vec{R})\|^2 \propto I(\vec{R})), la force moyenne s'écrit :

D'après la question Q[16], pour |\Delta| \ll \omega_0, la polarisabilité s'écrit :

On distingue ainsi deux régimes selon le signe du désaccord à résonance \Delta :

• Désaccord vers le rouge (\Delta < 0, soit \omega < \omega_0) :

  \alpha > 0 \implies \vec{F}_{\operatorname{dip}} \text{ est dirigée dans le sens de } \overrightarrow{\operatorname{grad}} I.

  L'énergie potentielle U_{\operatorname{dip}} est minimale là où l'intensité lumineuse est maximale. L'atome est donc attiré vers les zones de forte intensité lumineuse.

• Désaccord vers le bleu (\Delta > 0, soit \omega > \omega_0) :

  \alpha < 0 \implies \vec{F}_{\operatorname{dip}} \text{ est dirigée dans le sens opposé à } \overrightarrow{\operatorname{grad}} I.

  L'énergie potentielle U_{\operatorname{dip}} est minimale là où l'intensité lumineuse est minimale. L'atome est donc repoussé de la lumière et attiré vers les zones de faible intensité lumineuse.

L'intensité lumineuse (ou éclairement énergétique) I d'une onde électromagnétique plane progressive et monochromatique se propageant dans le vide correspond au module de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting \vec{\Pi} = \frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0} :

Compte tenu de la relation de structure B_0 = E_0/c et de c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}, on a :

où c désigne la célérité de la lumière dans le vide et E_0 = \|\vec{E}_0\| l'amplitude (valeur crête) du champ électrique.

La longueur d'onde du laser utilisé est \lambda = 850\text{ nm}, supérieure à la raie d'absorption du rubidium \lambda_0 = 780\text{ nm} (question Q[13]). Les pulsations correspondantes vérifient donc :

Le désaccord à résonance étant strictement négatif (désaccord vers le rouge ou red-detuned), on a d'après la question Q[16] :

D'après la question Q[17], l'atome est alors attiré vers les régions de forte intensité lumineuse. Comme un faisceau laser focalisé présente son maximum d'intensité lumineuse au niveau de son foyer (le col ou waist), l'atome y subit une force de rappel le confinant : l'atome est attiré vers le foyer du faisceau laser.

L'énergie potentielle dipolaire s'écrit (question Q[15]) :

En utilisant la relation entre l'intensité lumineuse I et l'amplitude E_0 (question Q[18]), I = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c \|\vec{E}_0\|^2, soit \varepsilon_0 \|\vec{E}_0\|^2 = \frac{2I}{c}, le potentiel dipolaire au foyer (où l'intensité vaut I) s'exprime par :

Loin du foyer (à l'extérieur du faisceau), l'intensité s'annule, ce qui fixe la référence du potentiel à zéro : U_{\operatorname{dip}}(\infty) = 0. La profondeur du puits de potentiel, définie positivement par \Delta U_{\operatorname{dip}} = U_{\operatorname{dip}}(\infty) - U_{\operatorname{dip}}(\text{foyer}), vaut :

D'après la question Q[11], la polarisabilité de l'atome s'écrit :

En exprimant les pulsations en fonction des longueurs d'onde dans le vide \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} et \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda_0}, il vient :

ce qui conduit à :

Avec \lambda_0 = 780\text{ nm} = 7{,}80 \times 10^{-7}\text{ m}, \lambda = 850\text{ nm} = 8{,}50 \times 10^{-7}\text{ m} et c \simeq 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

D'après la question Q[19], la profondeur du puits dipolaire s'écrit :

L'intensité lumineuse au foyer est I = 60\text{ kW}\cdot\text{cm}^{-2} = 6{,}0 \times 10^8\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}. On a donc :

Pour qu'un atome reste piégé au foyer, son énergie d'agitation thermique ne doit pas lui permettre de s'échapper du puits de potentiel, ce qui impose une condition de la forme :

Numériquement, avec k_B = 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} :

Les rayons lumineux incidents constituent un faisceau cylindrique parallèle à l'axe optique z, ce qui correspond à un objet ponctuel situé à l'infini sur l'axe optique.

D'après les lois de l'optique géométrique pour une lentille mince convergente, tout faisceau incident parallèle à l'axe optique converge au foyer principal image F' de la lentille.

Le faisceau est donc focalisé dans le plan focal image, à une distance de la lentille égale à sa distance focale f :

Dans le cadre de l'optique géométrique, un faisceau de rayons incidents parallèles à l'axe optique converge rigoureusement en un unique point géométrique : le foyer principal image F' de la lentille.

Le diamètre du faisceau au point de focalisation est donc strictement nul :

La puissance lumineuse totale transportée par le faisceau, \mathcal{P} = I_0 \times \frac{\pi w^2}{4}, étant finie et non nulle, elle se retrouve concentrée sur une surface géométrique nulle (S \to 0). L'intensité lumineuse au foyer est par conséquent infinie :

D'après la figure 1, le faisceau incident, de symétrie cylindrique autour de l'axe optique z, possède un diamètre w. Les rayons marginaux, qui correspondent à la trajectoire la plus inclinée par rapport à l'axe après réfraction, coupent le plan de la lentille à une distance de l'axe optique :

Ces rayons convergent au foyer image F' situé sur l'axe optique à la distance f de la lentille. Dans le triangle rectangle délimité par le centre optique, le bord supérieur du faisceau sur la lentille et le foyer, l'angle maximal d'inclinaison \theta vérifie :

L'énoncé précisant que l'angle \theta est petit (\theta \ll 1), le développement au premier ordre donne :

Dans le vide, la norme du vecteur d'onde \vec{k} d'une onde plane monochromatique de pulsation \omega et de longueur d'onde \lambda est fixée par la relation de dispersion :

Après la traversée de la lentille, les rayons convergent vers le foyer. Pour un rayon incliné de l'angle maximal \theta par rapport à l'axe optique (Oz) dans le plan (xOz), la composante du vecteur d'onde selon l'axe x s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles (\theta \ll 1) et en utilisant le résultat de la question Q[23] (\theta \simeq \frac{w}{2f}), on obtient :

En exprimant k en fonction de la longueur d'onde \lambda ou de la pulsation \omega :

D'après la relation de de Broglie (étendue aux photons par la relation d'Einstein-de Broglie), le vecteur quantité de mouvement \vec{p} d'une particule quantique est proportionnel à son vecteur d'onde \vec{k} selon :

où \hbar = \frac{h}{2\pi} est la constante de Planck réduite.

Après la traversée de la lentille, les photons convergent vers le foyer avec une inclinaison par rapport à l'axe optique z comprise entre -\theta et +\theta, où \theta \simeq \frac{w}{2f} (question Q23). La composante selon x du vecteur d'onde varie donc de façon symétrique dans l'intervalle :

Par conséquent, la composante de la quantité de mouvement selon x, p_x = \hbar k_x, s'étend sur la plage [-p_x^{\max}, \, +p_x^{\max}] avec :

La plage totale \Delta p_x (largeur de l'intervalle) occupée par les photons du faisceau vaut ainsi :

Comme le vecteur d'onde a pour norme k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}, on peut également écrire :

D'après le principe d'incertitude de Heisenberg appliqué à la coordonnée x et à la projection correspondante de la quantité de mouvement, la dispersion spatiale \Delta x et la dispersion en impulsion \Delta p_x vérifient :

La taille minimale transverse \Delta x_{\min} du faisceau au foyer est ainsi atteinte lorsque l'inégalité devient une égalité :

En injectant l'expression de la plage d'impulsion obtenue à la question précédente, \Delta p_x = \hbar k \dfrac{w}{f} = \dfrac{2\pi \hbar}{\lambda} \dfrac{w}{f} :

La formule obtenue à la question précédente est :

Elle ne fait pas intervenir la constante de Planck réduite \hbar.

Physiquement, cela s'explique par le fait que :

• la quantité de mouvement d'un photon est proportionnelle à son vecteur d'onde par la relation de de Broglie : \vec{p} = \hbar \vec{k}, d'où \Delta p_x = \hbar \Delta k_x ;

• l'inégalité d'Heisenberg impose \Delta x \, \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}, soit :

  \Delta x (\hbar \Delta k_x) \ge \frac{\hbar}{2} \iff \Delta x \, \Delta k_x \ge \frac{1}{2}.

La constante \hbar se simplifie rigoureusement. La relation \Delta x \, \Delta k_x \sim 1 est en réalité une propriété générale de l'analyse de Fourier valable pour toute onde classique (le produit de l'extension spatiale par la largeur spectrale spatiale est minoré par une constante d'ordre un). La limitation de la taille du faisceau au foyer est un phénomène purement ondulatoire classique, à savoir la diffraction, et n'a pas une origine intrinsèquement quantique.

L'intensité lumineuse au foyer s'exprime comme le rapport de la puissance lumineuse P à la surface de la tache de focalisation :

D'après la question Q[26], la diffraction impose une taille transverse minimale de la tache focale :

où w désigne le diamètre transverse du faisceau incident intercepté par la lentille. L'intensité au foyer varie donc comme :

Pour une puissance incidente P, une longueur d'onde \lambda et une distance focale f fixées, maximiser l'intensité au foyer exige de minimiser la taille de la tache focale \Delta x, et donc de maximiser la largeur w du faisceau.

Comme le diamètre utile du faisceau est limité par l'ouverture de la lentille (w \le D, où D désigne le diamètre de la lentille), il convient de choisir :

de façon à maximiser l'angle d'ouverture numérique \theta \simeq \frac{D}{2f} (ou à minimiser le rapport d'ouverture f/D).

Un faisceau laser collimaté incliné d'un angle \theta_0 par rapport à l'axe optique est constitué de rayons mutuellement parallèles : il correspond à un objet situé à l'infini dans la direction \theta_0.

En l'absence d'aberrations (conditions de Gauss), la lentille forme de cet objet une image stigmatique située dans le plan focal image, à la distance z = f de la lentille. Ce point de convergence est le foyer secondaire image.

Pour déterminer sa position :

• Le rayon incident passant par le centre optique O de la lentille n'est pas dévié ;
• Il émerge donc de la lentille en formant toujours l'angle \theta_0 avec l'axe optique z ;

• Il coupe le plan focal image en un point situé à la coordonnée transverse :

  \Delta x = f \tan\theta_0

Comme l'inclinaison par rapport à l'axe optique est supposée faible (\theta_0 \ll 1), on effectue l'approximation paraxiale \tan\theta_0 \simeq \theta_0 :

Ainsi, modifier l'angle d'incidence \theta_0 permet de translater continûment le foyer du laser dans le plan focal image, transversalement à l'axe de propagation.

Une onde plane progressive monochromatique de pulsation \omega se propageant dans le vide admet pour champ électrique scalaire complexe :

La condition imposée dans le plan z = 0 s'écrit :

Par identification pour tout x, y et tout t, on obtient :

Dans le vide, l'onde satisfait l'équation de d'Alembert \Delta \underline{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \underline{E}}{\partial t^2} = 0, ce qui conduit à la relation de dispersion :

Pour une onde se propageant vers les z croissants, la phase \phi(x,z,t) = k_x x + k_z z - \omega t doit vérifier \frac{\partial z}{\partial t}\Big|_{\phi = \text{cte}} = \frac{\omega}{k_z} > 0, ce qui impose de retenir la racine positive :

Le champ électrique généré en tout point de l'espace (z \ge 0) est donc :

Le SLM, assimilé à une lame mince sans absorption située dans le plan z = 0, applique au champ incident une transmittance purement de phase :

En adoptant la convention de dépendance temporelle en e^{-i\omega t} introduite à la question Q[30], l'onde plane incidente de pulsation \omega et d'amplitude E_0, se propageant selon les z croissants, s'écrit en z = 0^- :

Le champ électrique immédiatement en sortie du SLM (en z = 0^+) est donc donné par :

Pour une modulation de faible amplitude (\Phi_1 \ll 1), effectuons un développement de Taylor au premier ordre de l'exponentielle :

En injectant ce développement, le champ électrique à la sortie du SLM s'écrit au premier ordre en \Phi_1 :

En utilisant les formules d'Euler, on peut également l'écrire sous forme décomposée :

D'après le résultat de la question Q31, le champ électrique à la sortie du modulateur spatial de lumière (z = 0) s'écrit au premier ordre en \Phi_1 :

Par linéarité des équations de propagation, le champ pour z > 0 est la superposition de trois ondes planes, dont la forme est donnée par la question Q30 avec respectivement k_x = 0, k_x = +q et k_x = -q :

• Faisceau d'ordre 0 (k_{x,0} = 0) : Le vecteur d'onde est purement longitudinal, dirigé selon l'axe optique \vec{u}_z. L'angle avec l'axe optique est :

  \theta_0 = 0.

• Faisceaux d'ordre ± 1 (k_{x,\pm 1} = \pm q) : Pour une onde plane de norme d'onde k = \omega/c, la projection de la direction de propagation sur le plan transverse vérifie :

  \sin\theta_{\pm} = \frac{k_{x,\pm 1}}{k} = \pm \frac{qc}{\omega}.

  Puisque le rapport \frac{qc}{\omega} \ll 1, on effectue un développement à l'ordre 1 :

  \theta_{\pm} \simeq \pm \frac{qc}{\omega}.

Le faisceau incident se sépare donc en trois faisceaux transmis, inclinés par rapport à l'axe optique des angles :

À la traversée du modulateur spatial de lumière (SLM), le champ électrique incident subit un déphasage \Phi(x, y). En se plaçant au premier ordre en \Phi_1 \ll 1, le champ complexe en sortie du SLM s'écrit :

En linéarisant le produit des cosinus :

Le champ transmis est donc une superposition d'une onde d'ordre 0 se propageant selon z et d'une collection discrète d'ondes planes inclinées, caractérisées par un vecteur d'onde transverse :

Chaque composante (n, m) correspond à une onde plane inclinée par rapport à l'axe optique z d'angles faibles (au sens de la question Q[32]) :

D'après la question Q[29], la lentille de distance focale f focalise chacune de ces ondes planes en un point du plan focal image décalé transversalement de :

La lentille crée donc une matrice bidimensionnelle régulière de foyers lumineux aux coordonnées (x_n, y_m) espacés d'un pas \Delta x = \Delta y = \frac{q_0 c f}{\omega}.

D'après les questions Q[15] et Q[19], sous un désaccord vers le rouge (\Delta < 0, soit \alpha > 0), l'énergie potentielle dipolaire s'écrit U_{\text{dip}}(\vec{R}) = -\frac{\varepsilon_0 \alpha}{4} \|\vec{E}_0(\vec{R})\|^2. Chaque maximum d'intensité lumineuse au niveau d'un foyer constitue ainsi un puits de potentiel attractif 3D capable de capturer un atome individuel.

Le système étudié est l'électron de masse m_e et de charge q_e, repéré par sa position \vec{r} par rapport au proton placé à l'origine. Le proton étant supposé ponctuel et infiniment lourd, le référentiel d'étude centré sur le proton est galiléen.

Le proton possède une charge opposée à celle de l'électron, soit -q_e = |q_e| > 0. L'électron subit la force d'interaction électrostatique de Coulomb attractive exercée par le proton :

En introduisant la convention de notation définie en préambule, e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0}, la force s'écrit :

Dans le référentiel galiléen lié au proton, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit :

Le moment cinétique de l'électron par rapport au proton (choisi comme origine O du référentiel galiléen d'étude) est défini par :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

D'une part, le produit vectoriel d'un vecteur par lui-même est nul :

D'autre part, la force d'interaction coulombienne établie à la question Q[34] est centrale : \vec{F} = -\dfrac{e^2}{r^2} \vec{u}_r, où \vec{u}_r = \dfrac{\vec{r}}{r}. Le moment de cette force en O est donc identiquement nul :

On en déduit :

ce qui démontre que le moment cinétique est une constante du mouvement :

Par définition du produit vectoriel et des propriétés du produit mixte, le vecteur position \vec{r}(t) et le moment cinétique \vec{L} = \vec{r}(t) \wedge \vec{p}(t) vérifient à chaque instant :

D'après le résultat de la question Q[35], le moment cinétique \vec{L} est un vecteur constant au cours du temps.

• Si \vec{L} \neq \vec{0}, la relation \vec{r}(t) \cdot \vec{L} = 0 montre que le vecteur position \vec{r}(t) est à chaque instant confiné dans le plan fixe passant par l'origine O (position du proton) et orthogonal au vecteur constant \vec{L}.
• Si \vec{L} = \vec{0}, le mouvement est rectiligne le long d'une droite passant par l'origine, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

Dans tous les cas :

En choisissant l'axe (Oz) colinéaire à \vec{L}, c'est-à-dire dirigé par le vecteur unitaire \vec{u}_z = \frac{\vec{L}}{\|\vec{L}\|} (pour \vec{L}\neq \vec{0}), le plan de la trajectoire est le plan (Oxy), défini par l'équation z = 0.

Dans le plan de la trajectoire rapporté au système de coordonnées polaires (r, \theta), le vecteur position de l'électron par rapport au proton et son vecteur vitesse s'écrivent :

La quantité de mouvement s'exprime donc par :

Le moment cinétique de l'électron par rapport à l'origine (position du proton) vaut alors :

Le repère cylindro-polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) étant orthonormé direct, on a \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_z. On en déduit l'expression vectorielle du moment cinétique :

Sa projection scalaire L sur l'axe orthogonal au plan du mouvement s'écrit :

Dérivons le vecteur \vec{A} par rapport au temps :

D'après la question Q[35], le moment cinétique est conservé :

D'après le principe fondamental de la dynamique établi à la question Q[34], la force coulombienne donne :

Le premier terme se réduit donc à :

En utilisant l'expression du moment cinétique en coordonnées polaires obtenue à la question Q[37], \vec{L} = m_e r^2 \dot{\theta} \vec{u}_z, et sachant que \vec{u}_z \wedge \vec{u}_r = \vec{u}_\theta, on calcule :

On en déduit :

Par ailleurs, la dérivée du vecteur unitaire radial \vec{u}_r dans le plan de la trajectoire est :

En sommant ces deux contributions, on obtient :

Le vecteur de Runge-Lenz \vec{A} est donc bien une constante du mouvement.

D'après la question Q[36], le plan de la trajectoire passe par l'origine et admet pour vecteur normal le moment cinétique \vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p}. Un vecteur appartient à ce plan si et seulement s'il est orthogonal à \vec{L}.

Calculons le produit scalaire de \vec{A} avec \vec{L} :

Examinons les deux termes séparément :

• Par orthogonalité du produit vectoriel avec ses facteurs, on a (\vec{L} \wedge \vec{p}) \cdot \vec{L} = 0 ;
• Par définition de \vec{L}, le vecteur position est orthogonal au moment cinétique, d'où \vec{u}_r \cdot \vec{L} = \frac{1}{r} \vec{r} \cdot (\vec{r} \wedge \vec{p}) = 0.

Il s'ensuit immédiatement que :

Le vecteur de Runge-Lenz \vec{A} est donc orthogonal à \vec{L} : il est contenu dans le plan de la trajectoire de l'électron.

En choisissant l'axe x dirigé selon \vec{A}, on a \vec{A} = A \vec{u}_x, et l'angle polaire \theta = (\widehat{\vec{A}, \vec{r}}) repère la direction de l'électron par rapport au vecteur de Runge-Lenz.

D'après la question Q[38], le vecteur de Runge-Lenz s'écrit :

Par projection scalaire sur le vecteur unitaire radial \vec{u}_r, on obtient :

D'une part, comme le vecteur \vec{A} définit la direction de l'axe x et que \theta est l'angle entre \vec{A} et \vec{u}_r (question Q[39]), on a :

D'autre part, en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire et le fait que \vec{p} = m_e \dot{\vec{r}} et \vec{r} = r \vec{u}_r, il vient :

En reportant cette relation et en remarquant que \vec{u}_r \cdot \vec{u}_r = 1, la projection s'écrit :

On isole alors le rayon vecteur r :

Par identification avec l'expression proposée :

on en déduit :

D'après l'équation de la trajectoire obtenue à la question Q[40] :

Pour une excentricité nulle \varepsilon = 0, le rayon vecteur est indépendant de l'angle \theta :

La distance entre l'électron et le proton reste constante au cours du temps. On obtient donc :

De plus, la conservation du moment cinétique L = m_e r_0^2 \dot{\theta} = \mathrm{cte} implique que la vitesse angulaire \dot{\theta} est constante : le mouvement est circulaire et uniforme.

D'après l'équation de la trajectoire établie à la question Q[40] :

En évaluant cette distance pour \theta = 0 et \theta = \pi :

Par définition du demi-grand axe a :

On en déduit :

Sur l'ellipse ci-dessous, le proton occupe le foyer O. L'axe polaire Ox est orienté selon le vecteur de Runge-Lenz \vec{A}. La distance entre les deux sommets (l'apoastre pour \theta = 0 et le périastre pour \theta = \pi) est le grand axe 2a = r(0) + r(\pi), dont la moitié définit le demi-grand axe a :

L'énergie mécanique de l'électron dans le référentiel lié au proton s'écrit comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :

En coordonnées polaires (r, \theta) dans le plan de la trajectoire, le vecteur vitesse s'écrit :

D'après la question Q[37], le moment cinétique est conservé et a pour norme :

En introduisant la variable de Binet u = 1/r, soit r = 1/u, la composante radiale de la vitesse s'exprime selon la règle de dérivation en chaîne :

La composante orthoradiale s'écrit quant à elle :

Le carré de la vitesse de l'électron vaut donc :

ce qui donne pour l'énergie cinétique :

Par ailleurs, la force exercée sur l'électron est purement coulombienne et conservative (question Q[34]) :

En choisissant la référence d'énergie potentielle nulle à l'infini (E_p(r \to \infty) = 0), on a :

En sommant les deux contributions, on obtient bien :

D'après la question Q[40], l'équation de la trajectoire s'écrit :

En dérivant par rapport à \theta, il vient :

Calculons le terme entre crochets intervenant dans l'énergie mécanique :

En remarquant que 1 - \varepsilon \cos\theta = r_0 u, on peut réécrire ce numérateur sous la forme :

L'énergie mécanique s'écrit alors d'après l'expression de la question Q[43] :

Or, d'après la question Q[40], r_0 = \frac{L^2}{m_e e^2}, soit \frac{L^2}{m_e r_0} = e^2. Le terme dépendant de la position u s'annule identiquement, ce qui confirme la conservation de l'énergie mécanique au cours du mouvement :

En utilisant enfin l'expression du demi-grand axe obtenue en Q[42], a = \frac{r_0}{1 - \varepsilon^2}, on obtient :

D'après la question Q[37], la composante scalaire du moment cinétique selon l'axe normal au plan orbital s'écrit :

Ce moment cinétique L étant une constante du mouvement (question Q[35]), on peut isoler l'élément de temps \mathrm{d}t :

Par définition, la période orbitale T est la durée nécessaire à l'électron pour effectuer un tour complet sur son ellipse, c'est-à-dire pour que l'angle polaire \theta varie de 0 à 2\pi :

Le facteur \frac{m_e}{L} étant constant, on le sort de l'intégrale pour obtenir :