Corrigé détaillé X ENS Physique U PSI 2024 (page 2/5 : Première partie (questions [21] à [33]))

Les rayons lumineux incidents constituent un faisceau cylindrique parallèle à l'axe optique z, ce qui correspond à un objet ponctuel situé à l'infini sur l'axe optique.

D'après les lois de l'optique géométrique pour une lentille mince convergente, tout faisceau incident parallèle à l'axe optique converge au foyer principal image F' de la lentille.

Le faisceau est donc focalisé dans le plan focal image, à une distance de la lentille égale à sa distance focale f :

Dans le cadre de l'optique géométrique, un faisceau de rayons incidents parallèles à l'axe optique converge rigoureusement en un unique point géométrique : le foyer principal image F' de la lentille.

Le diamètre du faisceau au point de focalisation est donc strictement nul :

La puissance lumineuse totale transportée par le faisceau, \mathcal{P} = I_0 \times \frac{\pi w^2}{4}, étant finie et non nulle, elle se retrouve concentrée sur une surface géométrique nulle (S \to 0). L'intensité lumineuse au foyer est par conséquent infinie :

D'après la figure 1, le faisceau incident, de symétrie cylindrique autour de l'axe optique z, possède un diamètre w. Les rayons marginaux, qui correspondent à la trajectoire la plus inclinée par rapport à l'axe après réfraction, coupent le plan de la lentille à une distance de l'axe optique :

Ces rayons convergent au foyer image F' situé sur l'axe optique à la distance f de la lentille. Dans le triangle rectangle délimité par le centre optique, le bord supérieur du faisceau sur la lentille et le foyer, l'angle maximal d'inclinaison \theta vérifie :

L'énoncé précisant que l'angle \theta est petit (\theta \ll 1), le développement au premier ordre donne :

Dans le vide, la norme du vecteur d'onde \vec{k} d'une onde plane monochromatique de pulsation \omega et de longueur d'onde \lambda est fixée par la relation de dispersion :

Après la traversée de la lentille, les rayons convergent vers le foyer. Pour un rayon incliné de l'angle maximal \theta par rapport à l'axe optique (Oz) dans le plan (xOz), la composante du vecteur d'onde selon l'axe x s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles (\theta \ll 1) et en utilisant le résultat de la question Q[23] (\theta \simeq \frac{w}{2f}), on obtient :

En exprimant k en fonction de la longueur d'onde \lambda ou de la pulsation \omega :

D'après la relation de de Broglie (étendue aux photons par la relation d'Einstein-de Broglie), le vecteur quantité de mouvement \vec{p} d'une particule quantique est proportionnel à son vecteur d'onde \vec{k} selon :

où \hbar = \frac{h}{2\pi} est la constante de Planck réduite.

Après la traversée de la lentille, les photons convergent vers le foyer avec une inclinaison par rapport à l'axe optique z comprise entre -\theta et +\theta, où \theta \simeq \frac{w}{2f} (question Q23). La composante selon x du vecteur d'onde varie donc de façon symétrique dans l'intervalle :

Par conséquent, la composante de la quantité de mouvement selon x, p_x = \hbar k_x, s'étend sur la plage [-p_x^{\max}, \, +p_x^{\max}] avec :

La plage totale \Delta p_x (largeur de l'intervalle) occupée par les photons du faisceau vaut ainsi :

Comme le vecteur d'onde a pour norme k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}, on peut également écrire :

D'après le principe d'incertitude de Heisenberg appliqué à la coordonnée x et à la projection correspondante de la quantité de mouvement, la dispersion spatiale \Delta x et la dispersion en impulsion \Delta p_x vérifient :

La taille minimale transverse \Delta x_{\min} du faisceau au foyer est ainsi atteinte lorsque l'inégalité devient une égalité :

En injectant l'expression de la plage d'impulsion obtenue à la question précédente, \Delta p_x = \hbar k \dfrac{w}{f} = \dfrac{2\pi \hbar}{\lambda} \dfrac{w}{f} :

La formule obtenue à la question précédente est :

Elle ne fait pas intervenir la constante de Planck réduite \hbar.

Physiquement, cela s'explique par le fait que :

• la quantité de mouvement d'un photon est proportionnelle à son vecteur d'onde par la relation de de Broglie : \vec{p} = \hbar \vec{k}, d'où \Delta p_x = \hbar \Delta k_x ;

• l'inégalité d'Heisenberg impose \Delta x \, \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}, soit :

  \Delta x (\hbar \Delta k_x) \ge \frac{\hbar}{2} \iff \Delta x \, \Delta k_x \ge \frac{1}{2}.

La constante \hbar se simplifie rigoureusement. La relation \Delta x \, \Delta k_x \sim 1 est en réalité une propriété générale de l'analyse de Fourier valable pour toute onde classique (le produit de l'extension spatiale par la largeur spectrale spatiale est minoré par une constante d'ordre un). La limitation de la taille du faisceau au foyer est un phénomène purement ondulatoire classique, à savoir la diffraction, et n'a pas une origine intrinsèquement quantique.

L'intensité lumineuse au foyer s'exprime comme le rapport de la puissance lumineuse P à la surface de la tache de focalisation :

D'après la question Q[26], la diffraction impose une taille transverse minimale de la tache focale :

où w désigne le diamètre transverse du faisceau incident intercepté par la lentille. L'intensité au foyer varie donc comme :

Pour une puissance incidente P, une longueur d'onde \lambda et une distance focale f fixées, maximiser l'intensité au foyer exige de minimiser la taille de la tache focale \Delta x, et donc de maximiser la largeur w du faisceau.

Comme le diamètre utile du faisceau est limité par l'ouverture de la lentille (w \le D, où D désigne le diamètre de la lentille), il convient de choisir :

de façon à maximiser l'angle d'ouverture numérique \theta \simeq \frac{D}{2f} (ou à minimiser le rapport d'ouverture f/D).

Un faisceau laser collimaté incliné d'un angle \theta_0 par rapport à l'axe optique est constitué de rayons mutuellement parallèles : il correspond à un objet situé à l'infini dans la direction \theta_0.

En l'absence d'aberrations (conditions de Gauss), la lentille forme de cet objet une image stigmatique située dans le plan focal image, à la distance z = f de la lentille. Ce point de convergence est le foyer secondaire image.

Pour déterminer sa position :

• Le rayon incident passant par le centre optique O de la lentille n'est pas dévié ;
• Il émerge donc de la lentille en formant toujours l'angle \theta_0 avec l'axe optique z ;

• Il coupe le plan focal image en un point situé à la coordonnée transverse :

  \Delta x = f \tan\theta_0

Comme l'inclinaison par rapport à l'axe optique est supposée faible (\theta_0 \ll 1), on effectue l'approximation paraxiale \tan\theta_0 \simeq \theta_0 :

Ainsi, modifier l'angle d'incidence \theta_0 permet de translater continûment le foyer du laser dans le plan focal image, transversalement à l'axe de propagation.

Une onde plane progressive monochromatique de pulsation \omega se propageant dans le vide admet pour champ électrique scalaire complexe :

La condition imposée dans le plan z = 0 s'écrit :

Par identification pour tout x, y et tout t, on obtient :

Dans le vide, l'onde satisfait l'équation de d'Alembert \Delta \underline{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \underline{E}}{\partial t^2} = 0, ce qui conduit à la relation de dispersion :

Pour une onde se propageant vers les z croissants, la phase \phi(x,z,t) = k_x x + k_z z - \omega t doit vérifier \frac{\partial z}{\partial t}\Big|_{\phi = \text{cte}} = \frac{\omega}{k_z} > 0, ce qui impose de retenir la racine positive :

Le champ électrique généré en tout point de l'espace (z \ge 0) est donc :

Le SLM, assimilé à une lame mince sans absorption située dans le plan z = 0, applique au champ incident une transmittance purement de phase :

En adoptant la convention de dépendance temporelle en e^{-i\omega t} introduite à la question Q[30], l'onde plane incidente de pulsation \omega et d'amplitude E_0, se propageant selon les z croissants, s'écrit en z = 0^- :

Le champ électrique immédiatement en sortie du SLM (en z = 0^+) est donc donné par :

Pour une modulation de faible amplitude (\Phi_1 \ll 1), effectuons un développement de Taylor au premier ordre de l'exponentielle :

En injectant ce développement, le champ électrique à la sortie du SLM s'écrit au premier ordre en \Phi_1 :

En utilisant les formules d'Euler, on peut également l'écrire sous forme décomposée :

D'après le résultat de la question Q31, le champ électrique à la sortie du modulateur spatial de lumière (z = 0) s'écrit au premier ordre en \Phi_1 :

Par linéarité des équations de propagation, le champ pour z > 0 est la superposition de trois ondes planes, dont la forme est donnée par la question Q30 avec respectivement k_x = 0, k_x = +q et k_x = -q :

• Faisceau d'ordre 0 (k_{x,0} = 0) : Le vecteur d'onde est purement longitudinal, dirigé selon l'axe optique \vec{u}_z. L'angle avec l'axe optique est :

  \theta_0 = 0.

• Faisceaux d'ordre ± 1 (k_{x,\pm 1} = \pm q) : Pour une onde plane de norme d'onde k = \omega/c, la projection de la direction de propagation sur le plan transverse vérifie :

  \sin\theta_{\pm} = \frac{k_{x,\pm 1}}{k} = \pm \frac{qc}{\omega}.

  Puisque le rapport \frac{qc}{\omega} \ll 1, on effectue un développement à l'ordre 1 :

  \theta_{\pm} \simeq \pm \frac{qc}{\omega}.

Le faisceau incident se sépare donc en trois faisceaux transmis, inclinés par rapport à l'axe optique des angles :

À la traversée du modulateur spatial de lumière (SLM), le champ électrique incident subit un déphasage \Phi(x, y). En se plaçant au premier ordre en \Phi_1 \ll 1, le champ complexe en sortie du SLM s'écrit :

En linéarisant le produit des cosinus :

Le champ transmis est donc une superposition d'une onde d'ordre 0 se propageant selon z et d'une collection discrète d'ondes planes inclinées, caractérisées par un vecteur d'onde transverse :

Chaque composante (n, m) correspond à une onde plane inclinée par rapport à l'axe optique z d'angles faibles (au sens de la question Q[32]) :

D'après la question Q[29], la lentille de distance focale f focalise chacune de ces ondes planes en un point du plan focal image décalé transversalement de :

La lentille crée donc une matrice bidimensionnelle régulière de foyers lumineux aux coordonnées (x_n, y_m) espacés d'un pas \Delta x = \Delta y = \frac{q_0 c f}{\omega}.

D'après les questions Q[15] et Q[19], sous un désaccord vers le rouge (\Delta < 0, soit \alpha > 0), l'énergie potentielle dipolaire s'écrit U_{\text{dip}}(\vec{R}) = -\frac{\varepsilon_0 \alpha}{4} \|\vec{E}_0(\vec{R})\|^2. Chaque maximum d'intensité lumineuse au niveau d'un foyer constitue ainsi un puits de potentiel attractif 3D capable de capturer un atome individuel.