Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2025

Le maintien d'un volume constant d'hélium liquide en régime permanent implique que le débit massique de liquide injecté compense exactement le débit massique d'hélium vaporisé, soit un débit de vaporisation D_m = 2 \times 10^{-4}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

La vaporisation a lieu à pression et température constantes (P = 31\text{ kPa}, T = 2{,}0\text{ K}). Le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'hélium en écoulement stationnaire donne l'expression de la puissance thermique reçue par le fluide :

où \mathcal{P}_{\text{diss}} représente la puissance thermique transmise par les parois de la cellule au bain cryogénique.

Application numérique avec les données :

En ne conservant que les chiffres significatifs pertinents :

Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans l'élément de volume délimité par les plans x et x + \mathrm{d}x, de surface transverse S perpendiculaire à l'axe (Ox), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

Le problème étant unidimensionnel selon l'axe (Ox), la température ne dépend que de x : T = T(x). Le vecteur densité de flux thermique s'écrit \vec{j} = j(x)\,\vec{e}_x.

En régime stationnaire et en l'absence de puissance volumique dissipée dans le matériau, le bilan thermique sur cet élément de volume pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit :

où \Phi(x) est le flux thermique traversant la section S à l'abscisse x orientée selon \vec{e}_x :

Par développement de Taylor au premier ordre :

Le bilan d'énergie conduit à :

D'après la loi de Fourier, le transfert conductif vérifie :

En supposant la conductivité thermique \kappa uniforme dans le matériau, on obtient :

soit finalement :

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique au sein du matériau supraconducteur s'écrit :

Par identification avec l'expression donnée \vec{j} = j_0 \, \vec{e}_x, on a :

Comme j_0 et \kappa sont des constantes, l'intégration entre une abscisse x \in [0, \, e] et la face externe x = e donne :

Sachant que T(e) = T_s, on en déduit l'expression du profil de température dans la paroi :

La relation de transfert à l'interface en x = e s'écrit :

D'après le profil de température établi à la question Q3 :

En x = 0, la température de la paroi interne vaut :

En substituant T_s, on obtient :

Applications numériques : Les données communes sont :

• Cas 1 (\kappa = 2{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et h = 1{,}0 \times 10^2\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}) :

  \begin{aligned} T_1(0) &= 2{,}0 + 30 \times \left(\frac{1}{1{,}0 \times 10^2} + \frac{2{,}8 \times 10^{-3}}{2{,}0}\right) \\ &= 2{,}0 + 30 \times (0{,}010 + 0{,}0014) = 2{,}0 + 0{,}342\text{ K} \end{aligned}
  \boxed{T_1(0) \approx 2{,}3\text{ K}}

• Cas 2 (\kappa = 28\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et h = 2{,}4 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}) :

  \begin{aligned} T_2(0) &= 2{,}0 + 30 \times \left(\frac{1}{2{,}4 \times 10^3} + \frac{2{,}8 \times 10^{-3}}{28}\right) \\ &= 2{,}0 + 30 \times (4{,}17 \times 10^{-4} + 1{,}00 \times 10^{-4}) = 2{,}0 + 0{,}0155\text{ K} \end{aligned}
  \boxed{T_2(0) \approx 2{,}02\text{ K}}

Dans le vide régnant à l'intérieur de la cavité, la densité volumique de charge et le vecteur densité de courant sont nuls : \rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}. Les équations de Maxwell s'écrivent :

où c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} est la célérité de la lumière dans le vide.

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la relation vectorielle du formulaire :

car \mathrm{div}\,\vec{E} = 0.

D'autre part, en permutant les dérivées spatiales et temporelles et en injectant l'équation de Maxwell-Ampère :

On en déduit l'équation de d'Alembert pour le champ électrique vectoriel :

Le champ électrique est orienté selon l'axe de la cavité : \vec{E}(M,t) = E(r,t)\,\vec{e}_z. Comme le vecteur unitaire cartésien \vec{e}_z est uniforme et constant dans l'espace, le laplacien vectoriel appliqué à \vec{E} coïncide avec le laplacien scalaire appliqué à sa composante :

En projetant sur \vec{e}_z, on obtient l'équation scalaire recherchée :

D'après le résultat de la question Q5, le champ électrique vérifie dans le vide :

avec, pour un champ ne dépendant que de r et t :

Injectons la forme d'onde stationnaire proposée, E(r,t) = E_0\,\xi(t)\,\psi(r), où E_0 \neq 0 :

En reportant ces dérivées dans l'équation de propagation :

Pour des fonctions non identiquement nulles, divisons par E_0\,\xi(t)\,\psi(r) :

Le membre de gauche est une fonction exclusive de la variable spatiale r, tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de la variable temporelle t. Ces deux variables étant indépendantes, cette égalité impose que chaque membre soit égal à une même constante.

En notant A la constante définie par \frac{1}{\xi(t)}\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2} = A, on obtient immédiatement l'équation différentielle temporelle :

Le membre de gauche s'écrit alors :

ce qui conduit à l'équation différentielle spatiale :

Signe de la constante A : Une onde stationnaire dans une cavité résonnante correspond à un régime entretenu où les grandeurs physiques oscillent périodiquement dans le temps et restent bornées :

• Si A > 0, l'équation temporelle admet pour solution générale \xi(t) = C_1\mathrm{e}^{\sqrt{A}t} + C_2\mathrm{e}^{-\sqrt{A}t}, qui diverge pour t \to +\infty (sauf condition initiale triviale), ce qui est physiquement inacceptable pour un mode propre résonnant.
• Si A = 0, la solution est affine \xi(t) = C_1 t + C_2, ce qui correspond à une divergence ou à un état statique, exclu pour une onde.
• Si A < 0, la solution est purement oscillatoire \xi(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t) avec \omega = \sqrt{-A} > 0, décrivant un mode d'oscillation stable et borné à la pulsation \omega.

Par conséquent, la constante A est strictement négative.

Le champ électrique s'écrit sous la forme séparée :

La condition aux limites en r = R impose la présence d'un nœud pour le champ électrique pour tout instant t :

Le produit kR doit donc être une racine strictement positive de la fonction de Bessel J_0. Notons x_{0n} ces zéros classés par ordre strictement croissant :

Le vecteur d'onde k ne peut ainsi prendre que des valeurs discrètes k_n vérifiant :

Puisque dans le vide la relation de dispersion s'écrit k = \dfrac{\omega}{c}, les pulsations propres discrètes associées sont données par :

Les trois plus petites pulsations propres sont donc :

D'après l'expression de la plus petite pulsation propre obtenue à la question Q7 :

On en déduit l'expression du rayon intérieur de la cavité :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• x_{01} = 2{,}405 (donné dans le formulaire) ;
• \omega_1 = 2\pi \times 1{,}3 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

Le calcul numérique donne :

Dans le vide, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(r,t) = E(r,t)\,\vec{e}_z. À l'aide de l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques fournie dans le formulaire :

Puisque le champ magnétique est de la forme \vec{B}(r,t) = B(r,t)\,\vec{e}_\theta, on a :

Pour la pulsation propre \omega_1, avec k_1 = \dfrac{\omega_1}{c}, le champ électrique s'écrit :

L'énoncé définissant la fonction J_1 comme la dérivée de J_0 (J_1(x) = \dfrac{\mathrm{d}J_0}{\mathrm{d}x}), la dérivée spatiale de E vaut :

On en déduit :

En intégrant par rapport au temps t :

La condition d'une valeur moyenne temporelle nulle impose C(r) = 0.

Le champ magnétique dans la cavité s'écrit donc :

D'après l'expression établie à la question Q9, le champ magnétique dans la cavité s'écrit :

avec k = \dfrac{\omega_1}{c}.

L'amplitude temporelle du champ magnétique à la distance r de l'axe est donc :

À la paroi interne, pour r = R, l'argument de la fonction de Bessel vaut :

d'après la condition aux limites étudiée aux questions Q7 et Q8.

Par lecture graphique sur la courbe représentative de J_1(x) (courbe en pointillés du formulaire) pour x = x_{01} \approx 2{,}4, on relève :

On en déduit l'amplitude du champ magnétique en r = R :

Pour que la paroi de la cavité reste dans l'état supraconducteur, le matériau doit vérifier simultanément à tout instant et en tout point :

D'après les applications numériques précédentes :

• La température maximale de la paroi (face interne en x = 0) calculée à la question Q4 vaut :

  T(0) \approx 2{,}02\text{ K} \quad (\text{matériau de bonne qualité}) \quad \text{à} \quad 2{,}3\text{ K} \quad (\text{mauvaise qualité})

  Cette température est très inférieure aux températures critiques T_c des trois matériaux proposés (7{,}1\text{ K}, 9{,}2\text{ K} et 93\text{ K}). Le critère thermique est donc vérifié pour chacun d'entre eux.

• L'amplitude du champ magnétique à la surface interne de la cavité (r = R) déterminée à la question Q10 vaut :

  B_{\text{amp}}(R) \approx 87\text{ mT}

Comparons cette valeur aux champs magnétiques critiques B_c du tableau 1 :

• YBaCuO : B_c = 10\text{ mT} < 87\text{ mT}, la supraconductivité est détruite par le champ magnétique ;
• Plomb (Pb) : B_c = 80\text{ mT} < 87\text{ mT}, le champ magnétique appliqué excède également le champ critique ;
• Niobium (Nb) : B_c = 200\text{ mT} > 87\text{ mT}, le matériau reste supraconducteur avec une marge de sécurité confortable (B_{\text{amp}} \approx 0{,}44\,B_c).

Considérons un électron de masse m_e et de charge q = -e. Le poids de l'électron a pour norme :

La force électrique subie par l'électron dans un champ de norme E a pour intensité :

Le rapport des deux forces s'écrit donc :

Avec les données numériques fournies :

• m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C} ;
• E \sim 10\text{ MV}\cdot\text{m}^{-1} = 1{,}0 \times 10^7\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}.

On obtient :

D'où le rapport :

Le poids est donc totalement négligeable devant la force électrique (d'un facteur d'environ 10^{17}).

Par définition du facteur de Lorentz :

En élevant au carré puis en inversant, on obtient :

En factorisant la différence de deux carrés, il vient :

soit encore :

Lorsque la vitesse v est très proche de c, on peut effectuer l'approximation au premier ordre :

On en déduit ainsi la relation demandée :

Le facteur de Lorentz s'écrit :

Lorsque v \ll c, le terme u = -\dfrac{v^2}{c^2} est petit devant 1. On effectue le développement limité au premier ordre selon la formule usuelle (1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + o(u) avec \alpha = -\frac{1}{2} :

Il vient ainsi pour l'écart (\gamma - 1) :

En reportant cette approximation dans l'expression relativiste de l'énergie cinétique E_c = (\gamma - 1)mc^2, on obtient :

soit finalement :

On retrouve bien l'expression newtonienne classique de l'énergie cinétique à la limite des faibles vitesses.

L'énergie cinétique relativiste s'écrit :

d'où l'expression du facteur de Lorentz :

Calculons au préalable l'énergie de masse de l'électron en électron-volts :

Pour E_c = 2 \times 10^{10}\text{ eV} = 20\text{ GeV}, comme E_c \gg m_e c^2, on a :

En conservant un seul chiffre significatif, conformément aux conventions des colonnes précédentes du tableau 2 :

D'après la relation établie à la question Q13, l'écart relatif à la vitesse de la lumière vaut :

En utilisant la valeur non arrondie de \gamma :

Soit, avec deux chiffres significatifs comme dans le tableau :

L'électron entre dans la cavité à l'instant t = 0 en z = -H/2 et en ressort à l'instant t = T_1/2 en z = H/2. La distance parcourue selon l'axe (Oz) est donc :

Pendant cette traversée, sa vitesse est supposée constante et égale à c le long de (Oz). La durée du parcours étant \Delta t = \frac{T_1}{2}, on a :

Or, la période temporelle T_1 du champ électrique est liée à la pulsation \omega_1 par T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} (ou à la fréquence propre f_1 = 1{,}3\text{ GHz} par T_1 = \frac{1}{f_1}). On en déduit :

Avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f_1 = 1{,}3 \times 10^9\text{ s}^{-1} (\omega_1 = 2\pi \times 1{,}3 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) :

Le long de l'axe (Oz), le champ électrique est donné par :

L'électron possède une charge électrique q = -e. Il subit donc une force électrique orientée selon +\vec{e}_z :

Sa vitesse restant constante en norme et alignée selon l'axe (\vec{v} = c\,\vec{e}_z), le théorème de la puissance cinétique adapté à la relativité restreinte s'écrit :

L'électron traverse la cavité entre les instants t = 0 et t = \frac{T_1}{2} = \frac{\pi}{\omega_1}. La variation de son énergie cinétique vaut donc :

On obtient ainsi :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• E_0 = 50\text{ MV}\cdot\text{m}^{-1} = 5{,}0 \times 10^7\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}
• \omega_1 = 2\pi \times 1{,}3 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

Exprimée en électron-volts (\Delta E_c / e) :

Le gain total d'énergie cinétique que doivent acquérir les électrons est :

D'après le résultat de la question Q17, chaque cavité fournit un surcroît d'énergie cinétique de :

Le nombre de cavités nécessaires s'écrit donc :

Application numérique :

soit environ :

En première approximation, si les cavités étaient jointives sans espaces interstitiels, la longueur totale de l'accélérateur serait :

Avec H \approx 11{,}5\text{ cm} = 0{,}115\text{ m} (d'après la question Q16) :

soit :

Considérons la maille associée à la cavité n. Elle est parcourue par le courant de maille i_n(t) et est constituée :

• d'une bobine d'inductance L, aux bornes de laquelle la tension vaut :

  u_{L,n} = L \frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t}

• d'un condensateur propre de capacité C, parcouru par l'intensité i_n(t), dont la tension u_n vérifie :

  i_n = C \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n}{C}

• d'un condensateur de couplage de capacité C_c partagé avec la maille n-1, parcouru par le courant net (i_n - i_{n-1}) dans le sens de circulation de la maille n, de sorte que sa tension vérifie :

  \frac{\mathrm{d}u_{C,n-1}}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n - i_{n-1}}{C_c}

• d'un condensateur de couplage de capacité C_c partagé avec la maille n+1, parcouru par le courant net (i_n - i_{n+1}) dans le sens de circulation de la maille n, de sorte que sa tension vérifie :

  \frac{\mathrm{d}u_{C,n}}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n - i_{n+1}}{C_c}

En convention récepteur, la loi des mailles appliquée à la maille n s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps t, on obtient :

Soit en remplaçant par les expressions des dérivées des tensions :

En regroupant les termes selon les courants i_{n-1}, i_n et i_{n+1}, on aboutit à la relation différentielle :

D'après la question Q19, la relation couplant les intensités dans les cavités successives distantes de H s'écrit :

En introduisant la capacité équivalente \Gamma définie par \dfrac{1}{\Gamma} = \dfrac{1}{C} + \dfrac{2}{C_c}, cette équation devient :

On recherche les modes propres de cette structure périodique discrète de pas spatial H sous la forme d'une onde harmonique progressive :

La dérivée temporelle seconde de \underline{i}_n s'écrit :

Pour les mailles voisines n-1 et n+1, la somme des intensités vaut :

En injectant ces relations dans l'équation différentielle, on obtient :

Pour une solution non triviale (\underline{i}_n \neq 0), la relation de dispersion s'en déduit :

En posant \Omega_a^2 = \dfrac{1}{\Gamma L} et \beta = \dfrac{2\Gamma}{C_c}, on retrouve bien :

avec

Pour une corde idéale de longueur L fixée à ses deux extrémités (x = 0 et x = L), le déplacement transversal y(x,t) d'un mode propre s'écrit sous la forme stationnaire :

Chaque mode i comporte i fuseaux (ou ventres de vibration) et i-1 nœuds internes de vibration :

La fréquence propre du mode i s'écrit f_i = i\,\frac{c_s}{2L} = i f_1 (où c_s est la célérité des ondes transversales sur la corde).

1. Expression du produit kH

La cellule TESLA est constituée de N = 9 cavités élémentaires de longueur H, soit une longueur totale :

L'énoncé précise qu'il y a un nœud de champ électrique aux deux extrémités de la cellule (z = 0 et z = L_{\text{tot}}). Par analogie directe avec la corde vibrante fixée à ses deux extrémités étudiée à la question précédente, le vecteur d'onde k est quantifié selon :

On en déduit l'expression du produit kH pour le mode propre numéro m :

2. Identification des trois modes de la figure 7

Le déphasage de l'onde stationnaire entre deux cavités consécutives distantes de H vaut \Delta \phi = kH. D'après la relation de dispersion établie en Q20, \Omega^2 = \Omega_a^2(1 - \beta\cos(kH)), la pulsation propre est une fonction strictement croissante de kH (car \beta > 0 et -\cos(kH) est croissant sur [0, \pi]). La fréquence propre f_m croît donc avec l'indice m.

• Courbe du bas (courbe 3) : Le champ E_z change de signe d'une cavité à la suivante avec une amplitude quasi identique dans chaque cavité (+, -, +, -, …). Le déphasage inter-cavités est de \pi : il s'agit du mode \pi correspondant à k_9 H = \pi, soit :

  m = 9 \implies k_9 H = \pi

  D'après le tableau 3, la fréquence de résonance associée est :

  \boxed{f_9 = 1{,}2983\text{ GHz}}

• Courbe du milieu (courbe 2) : Le profil présente une périodicité spatiale de 3 cavités (les cavités 1, 4, 7 présentent des extremums de même signe). Le déphasage par cavité vaut donc \Delta \phi = \frac{2\pi}{3}, ce qui correspond au mode 2\pi/3 :

  m = 6 \implies k_6 H = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3}

  D'après le tableau 3, la fréquence de résonance associée est :

  \boxed{f_6 = 1{,}2924\text{ GHz}}

• Courbe du haut (courbe 1) : Le profil présente une demi-période spatiale sur 3 cavités, soit une période complète sur 6 cavités. Le déphasage par cavité vaut \Delta \phi = \frac{\pi}{3}, ce qui correspond au mode \pi/3 :

  m = 3 \implies k_3 H = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}

  D'après le tableau 3, la fréquence de résonance associée est :

  \boxed{f_3 = 1{,}2807\text{ GHz}}

D'après la question Q22, les trois modes étudiés sont les modes m \in \{3, 6, 9\}, pour lesquels k_m H = \frac{m\pi}{9} :

• Mode 3 :

  -\cos(k_3 H) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0{,}50 \quad \text{et} \quad f_3 = 1{,}2807\text{ GHz} \implies f_3^2 \approx 1{,}640\text{ GHz}^2

• Mode 6 :

  -\cos(k_6 H) = -\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = +0{,}50 \quad \text{et} \quad f_6 = 1{,}2924\text{ GHz} \implies f_6^2 \approx 1{,}670\text{ GHz}^2

• Mode 9 :

  -\cos(k_9 H) = -\cos(\pi) = +1{,}00 \quad \text{et} \quad f_9 = 1{,}2983\text{ GHz} \implies f_9^2 \approx 1{,}686\text{ GHz}^2

Ces trois points (-0{,}50\,;\,1{,}640), (+0{,}50\,;\,1{,}670) et (+1{,}00\,;\,1{,}686) se placent directement sur le graphe de la figure 1 du document réponse.

En divisant la relation de dispersion de la question Q20 par (2\pi)^2, on obtient :

La théorie prédit donc une dépendance affine de f^2 en fonction de -\cos(kH), de la forme :

Les points s'alignent remarquablement sur la droite tracée : la relation de dispersion est donc validée.

Le coefficient de couplage s'en déduit par le rapport de la pente à l'ordonnée à l'origine données sur le graphique :

Avec a = 3{,}01 \times 10^{-2}\text{ GHz}^2 et b = 1{,}66\text{ GHz}^2 :

Le mode propre numéro 9 correspond à une onde stationnaire pour laquelle chaque cavité présente une demi-alternance spatiale avec une opposition de phase d'une cavité à la suivante (k_9 H = \pi). Sa composante axiale s'écrit sous la forme :

où \mathcal{E}(z) s'annule aux étranglements (iris) entre cavités et change de signe d'une cavité à l'autre.

L'électron, de charge q = -e, subit la force électrique :

Pour que l'accélérateur remplisse son rôle, l'électron doit être accéléré dans le sens de son mouvement (selon +\vec{e}_z), ce qui impose \vec{F}_e \cdot \vec{e}_z > 0, soit E_z < 0 au point où se trouve l'électron. D'après le tracé du mode 9 de la figure 7, le champ est bien négatif dans la première cavité lorsque \sin(\omega_9 t) > 0.

Examinons les quatre instants représentés :

• À t = 0 : \sin(0) = 0, le champ électrique est nul partout (E_z(z) = 0, déjà tracé sur le document réponse). La force électrique sur l'électron est donc nulle :

  \vec{F}_e = \vec{0}

• À t = \frac{T}{4} : \sin\left(\omega_9 \frac{T}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = +1, le champ atteint son amplitude maximale :

  • Dans la cavité 1 : E_z < 0 (ventre négatif).
  • Dans la cavité 2 : E_z > 0 (ventre positif).
  • Dans la cavité 3 : E_z < 0 (ventre négatif).
  • Dans la cavité 4 : E_z > 0 (ventre positif).

  L'électron est au centre de la cavité 1 où E_z < 0 : la force électrique \vec{F}_e = -e E_z \vec{e}_z est dirigée vers la droite (+\vec{e}_z).

• À t = \frac{T}{2} : \sin\left(\omega_9 \frac{T}{2}\right) = \sin(\pi) = 0, le champ électrique est à nouveau nul partout (E_z(z) = 0, déjà tracé sur le document réponse). L'électron se trouve à l'iris entre les cavités 1 et 2 et subit une force nulle :

  \vec{F}_e = \vec{0}

• À t = \frac{3T}{4} : \sin\left(\omega_9 \frac{3T}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1, le champ s'inverse par rapport à t = T/4 :

  • Dans la cavité 1 : E_z > 0 (ventre positif).
  • Dans la cavité 2 : E_z < 0 (ventre négatif).
  • Dans la cavité 3 : E_z > 0 (ventre positif).
  • Dans la cavité 4 : E_z < 0 (ventre négatif).

  L'électron a avancé et se trouve maintenant au centre de la cavité 2, où le champ E_z est à nouveau négatif (E_z < 0) : la force électrique \vec{F}_e est toujours dirigée vers la droite (+\vec{e}_z).

On étudie l'électron de charge q = -e et de masse m_e dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. En négligeant le poids devant la force électromagnétique, l'électron n'est soumis dans l'ondulateur qu'à la force magnétique de Lorentz :

La puissance instantanée développée par cette force s'écrit :

car le produit vectoriel \vec{v} \wedge \vec{B} est par définition orthogonal à \vec{v}.

D'après le théorème de la puissance cinétique rappelé dans le formulaire pour la dynamique relativiste :

L'énergie cinétique de l'électron est donc rigoureusement constante tout au long de sa trajectoire dans l'ondulateur :

D'après le formulaire, l'énergie cinétique s'exprime par :

La masse m_e et la vitesse de la lumière c étant constantes, la constance de E_c implique immédiatement que le facteur de Lorentz est constant :

Enfin, le facteur de Lorentz est relié à la norme de la vitesse v = \|\vec{v}\| par :

Puisque \gamma est constant et que la fonction \gamma \mapsto v est bijective sur [1, +\infty[, la norme de la vitesse est également strictement constante :

On étudie le mouvement d'un électron, de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

D'après l'énoncé et la question précédente, le poids est négligé et seul le champ magnétique \vec{B} = B_0 \cos(k_u z)\,\vec{e}_y agit sur la particule par la force de Lorentz magnétique :

D'après le formulaire, la deuxième loi de Newton en relativité restreinte s'écrit :

La constante de Lorentz \gamma étant constante au cours du mouvement (question Q25), cette relation se simplifie en :

En notant le vecteur vitesse \vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y + \dot{z}\vec{e}_z, on calcule le produit vectoriel :

La force magnétique s'exprime donc sous la forme :

Par projection sur les axes de la base cartésienne (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z), on obtient le système d'équations différentielles suivant :

Compte tenu des conditions initiales \vec{r}(0) = \vec{0} et \vec{v}(0) = v_0 \vec{e}_z, l'équation selon y donne immédiatement \dot{y}(t) = 0 et y(t) = 0 pour tout t. Le mouvement s'effectue donc entièrement dans le plan (xOz).

D'après la question Q26, l'équation du mouvement de l'électron projetée selon l'axe (Ox) s'écrit :

où \gamma = \text{cte} d'après la question Q25.

En utilisant l'approximation du mouvement selon (Oz) au premier ordre, à savoir z(t) = v_m t et \dot{z} \approx v_m, l'équation différentielle devient :

Une première intégration par rapport au temps donne :

À l'instant t=0, l'électron pénètre dans l'ondulateur avec une vitesse purement axiale \vec{v}(0) = v_0 \vec{e}_z, de sorte que \dot{x}(0) = 0, ce qui impose C_1 = 0.

Une seconde intégration temporelle conduit à :

À t=0, l'électron entre en O, d'où x(0) = 0, ce qui donne :

La trajectoire transverse s'écrit donc :

En identifiant avec la forme imposée x(t) = K \frac{1}{\gamma k_u} \left(1 - \cos(v_m k_u t)\right), on obtient :

avec :

D'après la question Q27, la position transverse de l'électron s'écrit :

En dérivant par rapport au temps, on obtient la composante transverse de la vitesse :

D'après la question Q25, la norme du vecteur vitesse est constante : v(t) = v_0. Le mouvement étant confiné au plan (xOz), on a :

où la racine est positive car l'électron se propage vers les z croissants (\dot{z} > 0).

Comme la correction de vitesse le long de l'axe longitudinal est d'ordre K^2/\gamma^2 \ll 1, on a au premier ordre v_m \approx v_0, d'où :

Puisque K/\gamma \ll 1, effectuons un développement limité à l'ordre 1 en K^2/\gamma^2 de \sqrt{1 - u} = 1 - \frac{u}{2} + \mathcal{O}(u^2) avec u = \frac{\dot{x}^2}{v_0^2} :

En utilisant la relation trigonométrique rappelée dans le formulaire, \cos(2u) = 1 - 2\sin^2(u), soit \sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2}, il vient :

On aboutit bien à l'expression attendue :

D'après l'expression de \dot{z}(t) obtenue à la question Q28 :

La moyenne temporelle du terme oscillant étant nulle (\langle \cos(2v_m k_u t) \rangle = 0), la vitesse moyenne longitudinale v_m = \langle \dot{z}(t) \rangle s'écrit :

Par ailleurs, la vitesse initiale v_0 de l'électron à l'entrée de l'ondulateur vérifie la relation établie à la question Q13 (puisque v_0 est très proche de c) :

En injectant cette relation dans l'expression de v_m, on obtient :

Au premier ordre en 1/\gamma^2, en négligeant le terme d'ordre 2 en 1/\gamma^4 devant les autres termes correctifs :

D'après la question Q27, le paramètre sans dimension K de l'ondulateur est relié à l'amplitude B_0 du champ magnétique par :

En utilisant la relation k_u = \dfrac{2\pi}{\lambda_u}, on en déduit l'expression de l'amplitude B_0 :

En prenant v_m \approx c selon l'indication de l'énoncé :

Application numérique :

• K = 2 ;
• \lambda_u = 4{,}0\text{ cm} = 4{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}.

Commentaire : Cette valeur de champ magnétique de l'ordre de 0{,}5\text{ T} est modérée et courante en laboratoire. Elle peut être facilement générée à température ambiante à l'aide d'aimants permanents de forte rémanence (comme des aimants néodyme-fer-bore) disposés en réseau périodique (réseau de Halbach), ou d'électroaimants conventionnels, sans nécessiter le recours à des bobines supraconductrices.

L'électron se déplace selon l'axe (Oz) à la vitesse moyenne v_m. Partant de z=0 à t=0, il atteint l'abscisse de la p-ième source z_p = p\lambda_u à l'instant :

À chaque période spatiale \lambda_u, l'électron effectue la même oscillation transverse dans le champ magnétique et rayonne une onde électromagnétique avec la même amplitude S_0 et la même phase initiale (prise nulle ici). En son point d'émission z_p, le signal temporel s'écrit donc :

Cette onde électromagnétique se propage dans le vide selon la direction des z croissants à la célérité c = \frac{\alpha}{k}. Le signal reçu en un point z > z_p à l'instant t correspond au signal émis en z_p à l'instant retardé t_{\text{émis}} = t - \frac{z - z_p}{c} :

Comme le vecteur d'onde vérifie k = \frac{\alpha}{c} et que z_p = p\lambda_u, on retrouve l'expression donnée :

L'onde électromagnétique se propageant dans le vide, sa pulsation \alpha et son vecteur d'onde k sont reliés par la relation de dispersion :

D'après l'expression établie à la question Q31, le signal émis par la p-ième source (p \in \{0, \dots, N-1\}) s'écrit :

en posant le déphasage entre deux sources consécutives :

Associons à chaque signal s_p(z,t) son amplitude complexe \underline{s}_p(z,t) telle que s_p(z,t) = \mathrm{Re}\left(\underline{s}_p(z,t)\right) :

Le signal total reçu en un point z > N\lambda_u est la somme des N signaux :

On reconnaît la somme des N premiers termes d'une suite géométrique de raison q = \mathrm{e}^{-i\Delta\phi} \neq 1 :

En factorisant par l'angle moitié au numérateur et au dénominateur :

L'amplitude S_{0,N} de l'oscillation résultante s_{\text{tot},N}(t) correspond au module de l'amplitude complexe :

En remplaçant \Delta\phi par son expression, on obtient bien :

D'après l'expression de l'amplitude totale établie à la question Q32 :

La fonction d'interférence présente des maxima principaux lorsque le dénominateur s'annule, c'est-à-dire lorsque les ondes émises par toutes les sources arrivent en phase au point de détection. Ceci a lieu pour :

soit :

En ces points, la limite du rapport des sinus vaut N, et l'amplitude atteint sa valeur maximale absolue :

En reliant la pulsation \alpha à la fréquence F_q par \alpha = 2\pi F_q, la condition de résonance s'écrit :

D'après la question Q29, la vitesse moyenne longitudinale s'écrit :

Comme \gamma \gg 1, le terme correctif est très petit devant 1. Un développement limité à l'ordre 1 donne :

d'où :

En reportant cette approximation dans la condition de maximum, il vient :

On en déduit immédiatement les fréquences discrètes d'émission constructive :

où q est un entier naturel non nul (q=1 correspondant au mode fondamental).

L'onde électromagnétique se propageant dans le vide à la célérité c, la longueur d'onde \lambda_1 associée à la fréquence fondamentale F_1 (obtenue pour q=1 d'après le résultat de la question Q33) s'écrit :

En injectant l'expression de F_1 = \dfrac{c}{\lambda_u} \dfrac{2\gamma^2}{1 + \dfrac{K^2}{2}}, on obtient directement :

Application numérique : Avec les valeurs numériques fournies pour l'ondulateur SASE1 :

• \lambda_u = 4{,}0\text{ cm} = 4{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• K = 2 ;
• \gamma = 3{,}4 \times 10^4.

On a 1 + \dfrac{K^2}{2} = 1 + \dfrac{4}{2} = 3 et 2\gamma^2 = 2 \times (3{,}4 \times 10^4)^2 \approx 2{,}31 \times 10^9. Il vient :

D'après l'énoncé, la largeur relative à mi-hauteur des pics d'interférence s'écrit :

On en déduit immédiatement :

Avec la valeur numérique \dfrac{\Delta F}{F_1} = 1{,}5 \times 10^{-3}, on obtient :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Commentaire : La longueur totale de l'ondulateur SASE1 étant L_{\text{tot}} = 175\text{ m} et la période spatiale valant \lambda_u = 4{,}0\text{ cm} = 0{,}040\text{ m}, le nombre total de périodes magnétiques présentes dans la structure est :

On constate que le nombre effectif de sources cohérentes N est nettement inférieur au nombre total de périodes (N \ll N_{\text{tot}}). La longueur d'ondulateur correspondante, L_{\text{eff}} = N\lambda_u \approx 27\text{ m}, est bien plus courte que la longueur totale (175\text{ m}).

Cela s'explique par le fait que l'émission n'est pas cohérente sur l'ensemble des 175\text{ m} en régime spontané : des effets réels comme la dispersion en énergie du faisceau d'électrons (\Delta \gamma / \gamma) et la longueur de cohérence finie du rayonnement limitent l'interférence constructive à un nombre effectif de périodes N. La longueur totale considérable de 175\text{ m} est en réalité nécessaire pour permettre le mécanisme d'amplification exponentielle (processus SASE étudié dans la section suivante) jusqu'à saturation.

Soit un pas temporel de discrétisation \delta t, de sorte que le temps est discrétisé selon :

On note \varphi_i \approx \varphi(t_i) et \eta_i \approx \eta(t_i). Dans le schéma d'Euler explicite, la dérivée première d'une fonction au temps t_i est approchée par le taux d'accroissement vers l'avant :

En évaluant le système différentiel (2) à l'instant t_i :

On en déduit immédiatement les relations de récurrence du schéma d'Euler explicite :

ou, formulées au rang i à partir du rang i-1 (pour i \ge 1) :

avec pour conditions initiales \varphi_0 = \varphi(t=0) et \eta_0 = \eta(t=0).

D'après l'observation de la figure 13 :

• À l'entrée de l'ondulateur (graphique 1) : les électrons sont répartis de manière aléatoire et uniforme le long de la direction de propagation z, au voisinage de l'axe x = 0. Le faisceau ne présente aucune organisation spatiale longitudinale.
• Au milieu de l'ondulateur (graphique 2) : sous l'action couplée du champ magnétique de l'ondulateur et de l'onde électromagnétique qu'ils ont commencé à émettre, les électrons subissent une modulation de vitesse longitudinale. Une inhomogénéité de densité apparaît : les électrons commencent à se concentrer périodiquement le long de l'axe z.

• En sortie de l'ondulateur (graphique 3) : ce regroupement s'est fortement accentué. Les électrons sont désormais concentrés en fines nappes très denses (appelées « micro-paquets » ou micro-bunches), périodiquement espacées d'un pas spatial très précis égal à la longueur d'onde du rayonnement émis :

  \Delta z = \lambda_1

Le problème soulevé au début de la partie III réside dans le caractère continu et aléatoire du flux d'électrons initial : les différents électrons émettent des trains d'ondes déphasés de manière aléatoire. Il en résulte une émission globalement incohérente, perçue par le détecteur comme un rayonnement continu et peu intense (l'intensité totale étant simplement proportionnelle au nombre N_e d'électrons).

Le phénomène de micro-groupement mis en évidence aux questions précédentes résout cette difficulté :

• Les électrons se rassemblent en paquets d'épaisseur faible devant \lambda_1, espacés périodiquement selon z d'une distance \Delta z = \lambda_1.
• Au sein d'un même paquet, les électrons émettent tous en phase. De plus, deux paquets consécutifs étant distants de \lambda_1, le retard de phase géométrique entre leurs rayonnements est un multiple entier de 2\pi dans la direction vers l'avant (z croissants).
• Tous les électrons du faisceau émettent donc de façon constructive et cohérente : les champs électriques s'additionnent en phase, ce qui conduit à une émission coopérative très intense (puissance proportionnelle à N_e^2).