Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q7

   L'onde se propage dans le vide selon +\vec{u}_x et est polarisée linéairement selon \vec{u}_y. En choisissant l'origine des phases nulle, le champ électrique s'écrit en coordonnées réelles :

   \boxed{\vec{E}(M, t) = E_0 \cos(\omega t - k x) \vec{u}_y}

   D'après l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide (ou la relation de structure d'une onde plane progressive sinusoïdale), le champ magnétique est transverse et vérifie :

   \vec{B}(M, t) = \frac{\vec{u}_x \wedge \vec{E}(M, t)}{c}

   Comme \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z, il vient directement :

   \boxed{\vec{B}(M, t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - k x) \vec{u}_z}

   Le vecteur de Poynting instantané est défini par :

   \vec{\Pi}(M, t) = \frac{\vec{E}(M, t) \wedge \vec{B}(M, t)}{\mu_0}

   En utilisant la relation liant la célérité de la lumière dans le vide à ses constantes diélectrique et magnétique, \mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}, on obtient :

   \vec{\Pi}(M, t) = \epsilon_0 c^2 \left( E_0 \cos(\omega t - k x)\vec{u}_y \right) \wedge \left( \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - k x)\vec{u}_z \right)

   Puisque \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x, on aboutit à :

   \boxed{\vec{\Pi}(M, t) = \epsilon_0 c E_0^2 \cos^2(\omega t - k x) \vec{u}_x}

   En moyenne temporelle sur une période optique, sachant que \langle \cos^2(\omega t - k x) \rangle = \frac{1}{2}, la densité surfacique moyenne de puissance vaut :

   \langle \vec{\Pi}(M, t) \rangle = \frac{1}{2}\epsilon_0 c E_0^2 \vec{u}_x

   Résultat

   $$\vec{E}(M,t)=E_0\cos (\omega t-kx){\vec{u}}_y$$

   $$\vec{B}(M,t)=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kx){\vec{u}}_z$$

   $$\vec{\Pi }(M,t)={ϵ}_{0}c{E}_0^2{\cos }^2(\omega t-kx){\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2025, Q2

   On étudie le mouvement d'un électron de conduction, de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   L'électron est soumis à :

   • la force électrique : \vec{F}_e = -e\,\vec{E} ;
   • la force de frottement visqueux modélisant l'effet des collisions sur le réseau : \vec{f}_{\mathrm{v}} = -\frac{m}{\tau}\,\vec{v} ;
   • la force de pesanteur, négligée conformément aux consignes.

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron :

   m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\,\vec{E} - \frac{m}{\tau}\,\vec{v}

   En divisant par la masse m, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la vitesse :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\vec{v}}{\tau} = -\frac{e}{m}\,\vec{E}}

   En régime permanent, la vitesse moyenne de dérive devient constante, soit \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}. L'équation précédente donne alors :

   \vec{v} = -\frac{e\tau}{m}\,\vec{E}

   La vitesse \vec{v} et le champ électrique \vec{E} sont donc colinéaires et de sens opposés. En introduisant la mobilité \mu définie comme un coefficient de proportionnalité positif tel que \vec{v} = -\mu\,\vec{E}, il vient :

   \boxed{\mu = \frac{e\tau}{m}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}+\frac{\vec{v}}{\tau }=-\frac{e}{m}\vec{E}$$

   $$\mu =\frac{e\tau }{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2025, Q3

   Les porteurs de charge responsables de la conduction sont les électrons libres, de densité volumique n, de charge -e et de vitesse d'ensemble \vec{v}. Le vecteur densité volumique de courant s'écrit donc :

   \vec{j} = -n e \vec{v}.

   En utilisant la relation entre vitesse d'entraînement et champ électrique établie à la question 2, \vec{v} = -\frac{e\tau}{m}\vec{E}, il vient :

   \begin{aligned} \vec{j} &= -n e \left(-\frac{e\tau}{m}\vec{E}\right) \\ &= \frac{n e^2 \tau}{m}\vec{E}. \end{aligned}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale en régime permanent \vec{j} = \gamma_0 \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité statique (formule de Drude) :

   \boxed{\gamma_0 = \frac{n e^2 \tau}{m}}

   Résultat

   $${\gamma }_0=\frac{n{e}^2\tau }{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2025, Q4

   En régime permanent continu, le champ électrique au sein du barreau conducteur cylindrique de longueur \ell, orienté selon l'axe (\mathrm{O}x), est uniforme et relié à la différence de potentiel V_1 - V_2 par :

   \vec{E} = \frac{V_1 - V_2}{\ell}\,\vec{u}_x.

   D'après la loi d'Ohm locale établie à la question précédente (\vec{j} = \gamma_0 \vec{E}), le vecteur densité volumique de courant est uniforme et axial :

   \vec{j} = \gamma_0\,\frac{V_1 - V_2}{\ell}\,\vec{u}_x.

   L'intensité I du courant électrique traversant une section droite du barreau, d'aire S = \pi a^2, s'écrit :

   I = \iint_{S} \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = j\,S = \gamma_0\,\pi a^2\,\frac{V_1 - V_2}{\ell}.

   Par définition de la résistance électrique R_{\mathrm{el}} = \frac{V_1 - V_2}{I}, on en déduit :

   \boxed{R_{\mathrm{el}} = \frac{\ell}{\gamma_0\,\pi a^2}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{el}}=\frac{\ell }{{\gamma }_0\pi a^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2024, Q[8]

   Pour une onde électromagnétique plane et monochromatique (OPPM) se propageant dans le vide à la célérité c, les amplitudes E_0 et B_0 des champs électrique et magnétique sont reliées par :

   \boxed{E_0 = c B_0 \quad \Longleftrightarrow \quad B_0 = \frac{E_0}{c}}

   Plus précisément, en notation complexe, la structure d'onde plane impose la relation locale :

   \underline{\vec{B}}(\vec{r}, t) = \frac{\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}(\vec{r}, t)}{\omega} = \frac{\vec{u} \wedge \underline{\vec{E}}(\vec{r}, t)}{c}

   où \vec{u} = \vec{k}/\|\vec{k}\| est le vecteur unitaire dans la direction de propagation.

   Résultat

   $$E_0=c{B}_0⟺B_0=\frac{E_0}{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique U PSI 2024, Q[9]

   Dans le référentiel lié au noyau supposé fixe en \vec{r} = \vec{0}, l'électron (masse m_e, charge q_e, position \vec{r}, vitesse \vec{v} = \dot{\vec{r}}) est soumis à :

   • la force de rappel électrostatique exercée par le noyau de Thomson pour r < \mathcal{R}_0 (d'après la question Q[7]) :

     \vec{F}_{\text{noyau}} = -m_e \omega_0^2 \vec{r} ;

   • la force de Lorentz exercée par l'onde électromagnétique incidente :

     \vec{F}_L = q_e \big( \vec{E}(\vec{r},t) + \vec{v} \wedge \vec{B}(\vec{r},t) \big).

   La force totale s'exerçant sur l'électron s'écrit donc :

   \boxed{\vec{F}_{\text{tot}} = -m_e \omega_0^2 \vec{r} + q_e \vec{E}(\vec{r},t) + q_e \vec{v} \wedge \vec{B}(\vec{r},t)}

   1. Négligence de la composante magnétique de la force de Lorentz :
   D'après la question Q[8], l'amplitude du champ magnétique d'une onde plane monochromatique dans le vide est reliée à celle du champ électrique par B \sim E/c. L'ordre de grandeur du rapport des forces magnétique et électrique est ainsi :

   \frac{\|\vec{F}_{\text{mag}}\|}{\|\vec{F}_{\text{él}}\|} = \frac{\|q_e \vec{v} \wedge \vec{B}\|}{\|q_e \vec{E}\|} \sim \frac{v B}{E} \sim \frac{v}{c}

   Dans le cadre de l'approximation non relativiste, v \ll c, la force magnétique est donc totalement négligeable devant la force électrique :

   \vec{F}_L \approx q_e \vec{E}(\vec{r},t).

   2. Négligence de la dépendance spatiale du champ électrique :
   Le mouvement de l'électron s'effectue à l'échelle atomique avec une vitesse caractéristique v \sim \omega r. L'argument spatial dans l'onde est contrôlé par le produit scalaire \vec{k}\cdot\vec{r}, dont l'ordre de grandeur vaut :

   \|\vec{k}\cdot\vec{r}\| \sim k r = \frac{\omega}{c} r \sim \frac{v}{c} \ll 1

   La variation de phase spatiale est donc négligeable sur l'étendue de la trajectoire :

   e^{-i \vec{k}\cdot\vec{r}} \approx 1.

   Par ailleurs, l'énoncé précise que l'amplitude \vec{E}_0(\vec{r}) varie lentement à l'échelle de la longueur d'onde \lambda, donc a fortiori à l'échelle sub-longueur d'onde de l'atome (r < \mathcal{R}_0 \ll \lambda) : \vec{E}_0(\vec{r}) \approx \vec{E}_0(\vec{0}).

   On peut ainsi assimiler le champ électrique ressenti par l'électron à sa valeur en \vec{r} = \vec{0} (approximation dipolaire électrique) :

   \boxed{\vec{E}(\vec{r},t) \approx \vec{E}(\vec{0},t)}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\text{tot}}=-m_e{\omega }_0^2\vec{r}+q_e\vec{E}(\vec{r},t)+q_e\vec{v}\wedge \vec{B}(\vec{r},t)$$

   $$\vec{E}(\vec{r},t)\approx \vec{E}(\vec{0},t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique U PSI 2024, Q[18]

   L'intensité lumineuse (ou éclairement énergétique) I d'une onde électromagnétique plane progressive et monochromatique se propageant dans le vide correspond au module de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting \vec{\Pi} = \frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0} :

   I = \|\langle \vec{\Pi} \rangle\|

   Compte tenu de la relation de structure B_0 = E_0/c et de c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}, on a :

   \boxed{I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2}

   où c désigne la célérité de la lumière dans le vide et E_0 = \|\vec{E}_0\| l'amplitude (valeur crête) du champ électrique.

   Résultat

   $$I=\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_0^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique PSI 2024, Q33

   1. Négligence de la composante magnétique de la force de Lorentz

   La force de Lorentz subie par l'électron de charge -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

   \vec{F}_{\mathrm{L}} = -e \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right).

   Pour une onde électromagnétique plane progressive se propageant dans le vide à la célérité c, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par la relation de structure :

   B = \frac{E}{c}.

   L'ordre de grandeur du rapport des normes des composantes magnétique et électrique est donc majoré par :

   \frac{\|\vec{F}_{\mathrm{mag}}\|}{\|\vec{F}_{\mathrm{el}}\|} = \frac{e \|\vec{v} \times \vec{B}\|}{e E} \le \frac{v B}{E} = \frac{v}{c}.

   La condition pour pouvoir négliger la composante magnétique devant la composante électrique est que le mouvement de l'électron soit non relativiste :

   \boxed{v \ll c}

   2. Justification de l'approximation dipolaire électrique

   Pour une onde plane progressive monochromatique, le champ électrique dépend de la position par le terme de phase spatiale \vec{k}\cdot\vec{r} :

   \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi_0),

   où \|\vec{k}\| = \frac{2\pi}{\lambda}. L'électron étant confiné au sein de l'atome de rayon R, sa position vérifie à tout instant \|\vec{r}\| \le R. La variation spatiale maximale de phase s'évalue par :

   \|\vec{k} \cdot \vec{r}\| \le k R = \frac{2\pi R}{\lambda}.

   D'après les données de l'énoncé, le rayon atomique vaut R \sim 10^{-10}\text{ m} et la longueur d'onde du laser vaut \lambda = 8,0 \times 10^2\text{ nm} = 8,0 \times 10^{-7}\text{ m}, soit :

   k R \approx \frac{2\pi \times 10^{-10}}{8,0 \times 10^{-7}} \approx 8 \times 10^{-4} \ll 1.

   La dimension de l'atome étant négligeable devant la longueur d'onde du rayonnement (R \ll \lambda), le champ électrique est spatialement quasi-uniforme à l'échelle atomique. En choisissant l'origine des temps telle que la phase à l'origine soit nulle (\varphi_0 = 0), on a bien :

   \boxed{\vec{E}(\vec{r}, t) \simeq \vec{E}(\vec{0}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t)}

   Résultat

   $$v\ll c$$

   $$\vec{E}(\vec{r},t)\simeq \vec{E}(\vec{0},t)={\vec{E}}_0\cos (\omega t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q16

   Dans un milieu conducteur ohmique, linéaire et isotrope (conducteur localement neutre et au repos), la loi d'Ohm locale relie directement le vecteur densité volumique de courant de conduction \vec{\jmath} au champ électrique local \vec{E} par la relation :

   \boxed{\vec{\jmath} = \gamma \vec{E}}

   où \gamma désigne la conductivité électrique du milieu, exprimée en siemens par mètre (\text{S}\cdot\text{m}^{-1}).

   Résultat

   $$\vec{ȷ}=\gamma \vec{E}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q17

    L'équation locale de conservation de la charge électrique s'écrit :

    \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{\jmath} = 0

    D'après la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma \vec{E} et en considérant la conductivité \gamma spatiale uniforme dans l'eau de mer, il vient :

    \operatorname{div}\vec{\jmath} = \gamma \, \operatorname{div}\vec{E}

    Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Gauss dans un milieu diélectrique de permittivité \epsilon s'écrit :

    \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon}

    En combinant ces relations dans l'équation de conservation de la charge, on obtient :

    \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\gamma}{\epsilon}\rho = 0

    ce qui correspond bien à l'équation différentielle demandée :

    \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\rho}{\tau} = 0

    avec un temps caractéristique de relaxation diélectrique :

    \boxed{\tau = \frac{\epsilon}{\gamma}}

    Résultat

    $$\tau =\frac{ϵ}{\gamma }$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question