Feuille d'entraînement : Diffusion thermique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2026, Q22

   Considérons comme système la tranche d'ailette comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite transverse S = L e.

   En régime stationnaire, l'énergie interne du système est constante :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = 0 = \Phi_{\text{entrant}} - \Phi_{\text{sortant}}

   Les transferts thermiques s'effectuent par :

   • conduction thermique à travers les sections d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, selon la loi de Fourier \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \vec{u}_x :

     \begin{aligned} \Phi_{\mathrm{cond}}(x) &= - \lambda S \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}(x) = - \lambda L e \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}(x) \\ \Phi_{\mathrm{cond}}(x + \mathrm{d}x) &= \Phi_{\mathrm{cond}}(x) + \frac{\mathrm{d}\Phi_{\mathrm{cond}}}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x = \Phi_{\mathrm{cond}}(x) - \lambda L e \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}

   • conducto-convection latérale avec l'air ambiant, dont l'expression a été déterminée à la question Q21 :

     \delta P_{\mathrm{cc}} = 2 h L \left(T(x) - T_a\right) \mathrm{d}x

   Le bilan énergétique en régime permanent s'écrit donc :

   \Phi_{\mathrm{cond}}(x) - \Phi_{\mathrm{cond}}(x + \mathrm{d}x) - \delta P_{\mathrm{cc}} = 0

   Soit, en remplaçant par les expressions précédentes :

   \lambda L e \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) \, \mathrm{d}x - 2 h L \left(T(x) - T_a\right) \mathrm{d}x = 0

   En divisant par \lambda L e \, \mathrm{d}x \neq 0, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) - \frac{2h}{\lambda e} T(x) = - \frac{2h}{\lambda e} T_a

   Cette relation s'écrit bien sous la forme :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) - m^2 T(x) = -m^2 T_a

   avec, sachant que m > 0 :

   \boxed{m = \sqrt{\frac{2h}{\lambda e}}}

   Résultat

   $$m=\sqrt{\frac{2h}{\lambda e}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2026, Q25

   D'après la question Q22, le champ de température vérifie en régime stationnaire :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) - m^2 T(x) = -m^2 T_a \iff \frac{\mathrm{d}^2(T - T_a)}{\mathrm{d}x^2}(x) - m^2 (T(x) - T_a) = 0

   L'équation caractéristique associée s'écrit r^2 - m^2 = 0, de racines r = \pm m (avec m > 0). La solution générale s'écrit donc :

   T(x) - T_a = A\,\mathrm{e}^{-mx} + B\,\mathrm{e}^{mx}

   où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

   • En x = 0, le contact parfait avec le transistor impose T(0) = T_1 (question Q23) :

     A + B = T_1 - T_a

   • Sous l'hypothèse 1, l'ailette est considérée comme de longueur infinie (m\ell \gg 1). La température ne pouvant pas diverger lorsque x augmente (la température doit rester bornée et tendre vers T_a), le coefficient de la solution divergente est nul :

     B = 0

   On en déduit immédiatement A = T_1 - T_a, ce qui donne pour le champ de température :

   \boxed{T(x) = T_a + (T_1 - T_a)\,\mathrm{e}^{-mx}}

   La grandeur adimensionnée \widetilde{T}(x) s'exprime alors simplement par :

   \boxed{\widetilde{T}(x) = \frac{T(x) - T_a}{T_1 - T_a} = \mathrm{e}^{-mx}}

   Résultat

   $$T(x)=T_a+(T_1-T_a){\mathrm{e}}^{-mx}$$

   $$\tilde{T}(x)=\frac{T(x)-T_a}{T_1-T_a}={\mathrm{e}}^{-mx}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2026, Q26

   D'après l'équation différentielle établie à la question Q22 :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) - m^2 T(x) = -m^2 T_a \iff \frac{\mathrm{d}^2 (T - T_a)}{\mathrm{d}x^2} - m^2 (T - T_a) = 0

   En divisant par la constante T_1 - T_a \neq 0, la variable adimensionnée \widetilde{T}(x) = \frac{T(x) - T_a}{T_1 - T_a} vérifie l'équation différentielle linéaire à coefficients constants :

   \frac{\mathrm{d}^2 \widetilde{T}}{\mathrm{d}x^2}(x) - m^2 \widetilde{T}(x) = 0

   Il est particulièrement judicieux d'écrire la solution générale sous la forme de fonctions hyperboliques centrées en x = \ell :

   \widetilde{T}(x) = A \cosh\big(m(\ell - x)\big) + B \sinh\big(m(\ell - x)\big)

   où A et B sont deux constantes réelles. Sa dérivée spatiale s'écrit alors :

   \frac{\mathrm{d}\widetilde{T}}{\mathrm{d}x}(x) = -m A \sinh\big(m(\ell - x)\big) - m B \cosh\big(m(\ell - x)\big)

   Appliquons les deux conditions aux limites associées à l'hypothèse 2 :

   • En x = \ell (extrémité adiabatique, d'après Q24) :

     \left.\frac{\mathrm{d}\widetilde{T}}{\mathrm{d}x}\right|_{x=\ell} = -m B = 0 \implies B = 0

   • En x = 0 (contact thermique parfait avec le transistor, d'après Q23) :

     \widetilde{T}(0) = \frac{T_1 - T_a}{T_1 - T_a} = 1 \implies A \cosh(m\ell) = 1 \implies A = \frac{1}{\cosh(m\ell)}

   On en déduit l'expression du profil de température adimensionné :

   \boxed{\widetilde{T}(x) = \frac{\cosh\big(m(\ell - x)\big)}{\cosh(m\ell)}}

   Résultat

   $$\tilde{T}(x)=\frac{\cosh (m(\ell -x))}{\cosh (m\ell )}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2026, Q15

   Considérons un élément de volume parallélépipédique \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, centré en (x, y, z), compris entre les abscisses x - \frac{\mathrm{d}x}{2} et x + \frac{\mathrm{d}x}{2}, les ordonnées y - \frac{\mathrm{d}y}{2} et y + \frac{\mathrm{d}y}{2}, et les cotes z - \frac{\mathrm{d}z}{2} et z + \frac{\mathrm{d}z}{2}.

   Le flux thermique élémentaire net entrant dans le volume \mathrm{d}V à travers les deux faces d'aire \mathrm{d}S_x = \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, situées en x - \frac{\mathrm{d}x}{2} (flux entrant) et en x + \frac{\mathrm{d}x}{2} (flux sortant), s'écrit :

   \begin{aligned} \delta\Phi_x &= \left[ j_{Q,x}\left(x - \frac{\mathrm{d}x}{2}, y, z, t\right) - j_{Q,x}\left(x + \frac{\mathrm{d}x}{2}, y, z, t\right) \right]\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z. \end{aligned}

   Au premier ordre en \mathrm{d}x, le développement limité donne :

   \begin{aligned} j_{Q,x}\left(x \pm \frac{\mathrm{d}x}{2}, y, z, t\right) &= j_{Q,x}(x, y, z, t) \pm \frac{\partial j_{Q,x}}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{2}, \end{aligned}

   d'où :

   \begin{aligned} \delta\Phi_x &= -\frac{\partial j_{Q,x}}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = -\frac{\partial j_{Q,x}}{\partial x}\,\mathrm{d}V. \end{aligned}

   En procédant de manière totalement analogue pour les faces perpendiculaires à (Oy) et (Oz), les flux nets entrants valent respectivement :

   \begin{aligned} \delta\Phi_y &= -\frac{\partial j_{Q,y}}{\partial y}\,\mathrm{d}V, \qquad \delta\Phi_z = -\frac{\partial j_{Q,z}}{\partial z}\,\mathrm{d}V. \end{aligned}

   Le flux thermique net total entrant dans l'élément de volume est la somme de ces trois contributions :

   \begin{aligned} \delta\Phi &= \delta\Phi_x + \delta\Phi_y + \delta\Phi_z = -\left(\frac{\partial j_{Q,x}}{\partial x} + \frac{\partial j_{Q,y}}{\partial y} + \frac{\partial j_{Q,z}}{\partial z}\right)\mathrm{d}V = -\operatorname{div}\vec{j}_Q\,\mathrm{d}V. \end{aligned}

   Le transfert thermique \delta Q reçu par le volume pendant la durée \mathrm{d}t est relié à ce flux par \delta Q = \delta\Phi\,\mathrm{d}t, ce qui conduit directement à :

   \boxed{\delta Q = -\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t\,\operatorname{div}\vec{j}_Q}

   Résultat

   $$\delta Q=-\mathrm{d}V\mathrm{d}t\mathrm{div}{\vec{j}}_Q$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2026, Q16

   La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique \vec{j}_Q au gradient du champ de température T(\vec{r}, t) dans un milieu isotrope :

   \boxed{\vec{j}_Q = -\kappa \, \vec{\operatorname{grad}} T(\vec{r}, t)}

   où \kappa désigne la conductivité thermique du milieu (\kappa > 0). Comme la température d'équilibre T_0 est uniforme, le gradient de la température totale T_0 + T(\vec{r}, t) s'identifie simplement à celui de la perturbation de température T(\vec{r}, t).

   Résultat

   $${\vec{j}}_Q=-\kappa \overrightarrow{\mathrm{grad}}T(\vec{r},t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique U PSI 2026, Q19

   D'après la relation (7) obtenue à la question Q17, pour une particule fluide subissant de petites variations autour de l'équilibre isobare, la dérivée temporelle de l'entropie massique s'exprime en fonction de celle de la température selon :

   \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{c_P}{T_0} \frac{\partial T}{\partial t}.

   En injectant cette relation dans l'équation (8) établie à la question Q18, on obtient :

   \rho_0 \left( \frac{c_P}{T_0} \frac{\partial T}{\partial t} \right) = \frac{\kappa}{T_0} \Delta T.

   En simplifiant par T_0, il vient directement :

   \rho_0 c_P \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \Delta T.

   On reconnaît l'équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur) :

   \boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = D \Delta T}

   où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) D est défini par :

   \boxed{D = \frac{\kappa}{\rho_0 c_P}}

   Résultat

   $$\frac{\partial T}{\partial t}=D\Delta T$$

   $$D=\frac{\kappa }{{\rho }_0{c}_P}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie PSI 2025, Q2

   Considérons le système fermé constitué par la tranche élémentaire de paroi située entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section S_0 orthogonale à l'axe (Ox), et de masse :

   \mathrm{d}m = \rho\,S_0\,\mathrm{d}x

   Le matériau étant une phase condensée indéformable et en l'absence de source interne, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les dates t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q

   La variation d'énergie interne s'exprime par :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m\,c\,\left[T(x, t+\mathrm{d}t) - T(x, t)\right] = \rho\,c\,S_0\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t

   Le transfert thermique élémentaire reçu par conduction à travers les faces en x et en x+\mathrm{d}x orientées suivant \vec{e}_x vaut :

   \begin{aligned} \delta Q &= \left[\Phi(x,t) - \Phi(x+\mathrm{d}x, t)\right]\mathrm{d}t \\ &= \left[j_{\text{th}}(x,t) - j_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x, t)\right] S_0\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial j_{\text{th}}}{\partial x}(x,t)\,S_0\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   D'après la loi de Fourier unidimensionnelle (question Q1), la projection du vecteur densité de flux thermique selon l'axe (Ox) est :

   j_{\text{th}}(x,t) = -\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}(x,t)

   En supposant la conductivité thermique \lambda uniforme :

   -\frac{\partial j_{\text{th}}}{\partial x}(x,t) = \lambda\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x,t)

   En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U et \delta Q, puis en simplifiant par S_0\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

   \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   soit l'équation de la diffusion thermique :

   \boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}

   où D = \dfrac{\lambda}{\rho\,c} désigne la diffusivité thermique du matériau (en \text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}).

   Résultat

   $$\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie PSI 2025, Q8

   On choisit comme système thermodynamique fermé l'intérieur de la pièce (air, mobilier, doublages intérieurs) à la température uniforme T(t), de capacité thermique C.

   Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation d'énergie interne du système s'écrit :

   \mathrm{d}U = C\,\mathrm{d}T

   Le système échange de l'énergie thermique sous deux formes :

   • la puissance fournie par le radiateur : \mathcal{P}_{\text{rad}} = P ;

   • les pertes thermiques vers l'extérieur à travers les parois modélisées par la résistance thermique R_1. Dans le cadre de l'ARQS, le temps de diffusion à travers les parois est très court devant le temps caractéristique d'évolution de la pièce : le profil de température s'adapte instantanément, de sorte que le flux thermique cédé vers l'extérieur s'écrit :

     \Phi_{\text{pertes}}(t) = \frac{T(t) - T_{\text{ext}}}{R_1}

   Le premier principe appliqué au système entre t et t + \mathrm{d}t donne :

   \mathrm{d}U = \delta Q = \left( P - \Phi_{\text{pertes}}(t) \right)\mathrm{d}t

   D'où l'équation différentielle vérifiée par T(t) :

   C\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{T(t) - T_{\text{ext}}}{R_1} = P

   En introduisant la température finale de régime permanent T_{\text{fin}}, pour laquelle \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = 0, on a P = \dfrac{T_{\text{fin}} - T_{\text{ext}}}{R_1} (d'après la question Q7), ce qui permet de réécrire l'équation différentielle sous la forme canonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{T(t)}{R_1 C} = \frac{T_{\text{fin}}}{R_1 C}}

   Cette équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec second membre constant admet pour solution générale :

   T(t) = T_{\text{fin}} + A\,\exp\left(-\frac{t}{R_1 C}\right)

   où A est une constante déterminée par la condition initiale : à t = 0, la pièce est à la température extérieure, soit T(0) = T_{\text{ext}}, d'où A = T_{\text{ext}} - T_{\text{fin}}.

   L'expression de la température est donc :

   \boxed{T(t) = T_{\text{fin}} + (T_{\text{ext}} - T_{\text{fin}})\,\exp\left(-\frac{t}{R_1 C}\right) = T_{\text{ext}} + (T_{\text{fin}} - T_{\text{ext}})\left(1 - \exp\left(-\frac{t}{R_1 C}\right)\right)}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{T(t)}{R_{1}C}=\frac{T_{\text{fin}}}{R_{1}C}$$

   $$T(t)=T_{\text{fin}}+(T_{\text{ext}}-T_{\text{fin}})\exp \left(-\frac{t}{R_{1}C}\right)=T_{\text{ext}}+(T_{\text{fin}}-T_{\text{ext}})\left(1-\exp \left(-\frac{t}{R_{1}C}\right)\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique PSI 2025, Q13

   Considérons l'élément infinitésimal de câble compris entre x et x+\mathrm{d}x. Le courant dérivé vers la masse à travers la capacité élémentaire \mathrm{d}C = \Gamma\,\mathrm{d}x est lié à la variation de charge portée par cette capacité :

   \mathrm{d}i_C(t) = \frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}q)}{\mathrm{d}t} = \mathrm{d}C\,\frac{\partial V}{\partial t}(x,t) = \Gamma\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial V}{\partial t}(x,t).

   La loi des nœuds appliquée au conducteur s'écrit :

   I(x,t) = I(x+\mathrm{d}x,t) + \mathrm{d}i_C(t),

   soit, à l'ordre 1 en \mathrm{d}x :

   I(x+\mathrm{d}x,t) - I(x,t) = \frac{\partial I}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x = -\Gamma\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial V}{\partial t}(x,t),

   ce qui conduit à :

   \frac{\partial I}{\partial x}(x,t) = -\Gamma\,\frac{\partial V}{\partial t}(x,t).

   D'après la question 12, la loi des mailles donne :

   \frac{\partial V}{\partial x}(x,t) = -\mathcal{R}\,I(x,t).

   En dérivant cette relation par rapport à x et en y injectant l'expression de \frac{\partial I}{\partial x}, on obtient :

   \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}(x,t) = -\mathcal{R}\,\frac{\partial I}{\partial x}(x,t) = \mathcal{R}\Gamma\,\frac{\partial V}{\partial t}(x,t),

   ce qui correspond bien à une équation de diffusion unidimensionnelle :

   \frac{\partial V}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 V}{\partial x^2},

   avec :

   \boxed{D = \frac{1}{\mathcal{R}\,\Gamma}}.

   Pour la dimension de D :

   • La résistance linéique a pour dimension [\mathcal{R}] = [R]\cdot L^{-1}.
   • La capacité linéique a pour dimension [\Gamma] = [C]\cdot L^{-1}.

   Le produit d'une résistance par une capacité ayant la dimension d'un temps ([RC] = T), il vient :

   [\mathcal{R}\Gamma] = [R]\,[C]\cdot L^{-2} = T\cdot L^{-2}.

   Par conséquent :

   \boxed{[D] = L^2\cdot T^{-1} \quad (\text{en }\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1})}.

   Le paramètre D est bien homogène à un coefficient de diffusion.

   Résultat

   $$D=\frac{1}{\mathcal{R}\Gamma }$$

   $$[D]=L^2\cdot T^{-1}(\text{en }{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2025, Q18

    L'hypothèse de réponse linéaire s'applique lorsqu'un système est faiblement éloigné de l'équilibre thermodynamique : le flux associé au transport d'une grandeur extensive (ici, le flux d'énergie thermique représenté par le vecteur densité de courant de chaleur \vec{j}_{\mathrm{Q}}) est proportionnel à la force motrice thermodynamique qui l'engendre (ici, le gradient spatial de température \vec{\operatorname{grad}}\,T). D'un point de vue mathématique, cela correspond à un développement limité au premier ordre du flux en fonction de la perturbation au voisinage de l'équilibre homogène où \vec{\operatorname{grad}}\,T = \vec{0}.

    Dans ce cadre, le vecteur densité volumique de courant thermique obéit à la loi de Fourier :

    \boxed{\vec{j}_{\mathrm{Q}} = -\lambda\,\vec{\operatorname{grad}}\,T}

    où \lambda > 0 désigne la conductivité thermique du matériau (en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}).

    Résultat

    $${\vec{j}}_{\mathrm{Q}}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question