Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2020

Pour une pompe à chaleur, l'objectif est de transférer de l'énergie thermique vers la source chaude à la température T_H. L'énergie utile est donc la chaleur reçue par l'enceinte chaude, soit -Q_H (en convention récepteur pour le fluide, Q_H < 0), et l'énergie coûteuse est le travail mécanique net reçu par le fluide, W > 0. Le coefficient de performance s'écrit :

Sur un cycle complet d'évolution du fluide caloporteur :

• D'après le premier principe de la thermodynamique, l'énergie interne étant une fonction d'état :

  \Delta U = W + Q_B + Q_H = 0 \implies W = -(Q_H + Q_B)

• D'après le second principe de la thermodynamique :

  \Delta S = \frac{Q_B}{T_B} + \frac{Q_H}{T_H} + S_c = 0 \quad \text{avec} \quad S_c \ge 0

  où S_c est l'entropie créée au cours du cycle.

On en déduit l'inégalité de Clausius :

En injectant cette relation dans l'expression du travail :

Puisque W > 0 et -Q_H > 0, on obtient :

La valeur maximale du coefficient de performance est donc :

Cette valeur maximale est atteinte sous les conditions du théorème de Carnot :

• réversibilité interne des évolutions subies par le fluide (absence de frottements visqueux ou dissipations mécaniques) ;
• réversibilité externe des échanges thermiques avec les sources, ce qui impose l'absence de gradient de température entre le fluide et les sources (T = T_B lors du contact avec la source froide, T = T_H lors du contact avec la source chaude). Le cycle suivi est alors un cycle réversible de Carnot (deux isothermes et deux isentropiques).

En phase de déstockage, le fluide caloporteur décrit un cycle moteur ditherme au contact des sources de chaleur aux températures T_H et T_B (T_H > T_B). Il reçoit le transfert thermique Q_H > 0 de l'enceinte haute pression (source chaude), cède le transfert thermique Q_B < 0 à l'enceinte basse pression (source froide) et fournit un travail mécanique au milieu extérieur, soit -W > 0.

L'efficacité (ou rendement) \eta de ce moteur thermique est le rapport de l'énergie utile récupérée sur l'énergie thermique consommée :

Sur un cycle complet du fluide :

• d'après le premier principe de la thermodynamique :

  \begin{aligned} \Delta U = W + Q_H + Q_B = 0 \implies -W = Q_H + Q_B \end{aligned}

• d'après le second principe de la thermodynamique :

  \begin{aligned} \Delta S = \frac{Q_H}{T_H} + \frac{Q_B}{T_B} + S_c = 0 \implies Q_B = -T_B\,\frac{Q_H}{T_H} - T_B S_c \end{aligned}

  avec S_c \geqslant 0 l'entropie créée au cours du cycle.

En injectant l'expression de Q_B dans celle du travail :

Comme Q_H > 0 et S_c \geqslant 0, on obtient l'inégalité de Carnot :

La valeur maximale de l'efficacité est donc le rendement de Carnot :

D'après le théorème de Carnot, cette valeur maximale est atteinte lorsque le cycle est entièrement réversible, ce qui impose :

• l'absence d'irréversibilités internes (S_c = 0), notamment mécaniques (pas de frottements visqueux) ou d'inhomogénéités internes ;
• la réversibilité des échanges thermiques avec les sources, c'est-à-dire que les transferts s'effectuent sans écart fini de température (échanges isothermes à T_H et à T_B) ;
• des compressions et détentes adiabatiques réversibles (isentropiques).

Le cycle suivi par le fluide est alors le cycle moteur de Carnot.

Lors de la phase de stockage, la machine fonctionne de manière réversible (conditions de validité du théorème de Carnot). Le fluide caloporteur reçoit le travail mécanique (ou électrique) W_{\text{st}} > 0 et transfère à la source chaude la chaleur reçue par celle-ci, notée Q_{\text{stock}} = -Q_{H,\text{st}} > 0. D'après la question Q1 :

Lors de la phase de déstockage, la machine fonctionne en moteur réversible entre les mêmes sources. Le fluide prélève à la source chaude l'énergie thermique préalablement stockée, soit Q_{H,\text{dést}} = -Q_{H,\text{st}} = Q_{\text{stock}}, et fournit un travail utile à l'extérieur noté W_{\text{rec}} = -W_{\text{dést}} > 0. D'après la question Q2 :

Le travail utile récupéré s'exprime donc par :

Or, le produit des deux grandeurs de Carnot donne :

On en déduit directement :

Le travail récupéré au déstockage est rigoureusement égal au travail fourni au stockage : le rendement global du cycle complet est de 100\,\%, ce qui prouve que l'énergie stockée peut être intégralement récupérée.

En outre, pour la source froide, le premier principe appliqué aux deux cycles donne :

Les deux réservoirs thermiques reviennent donc eux aussi exactement dans leur état initial.

Un cycle de Carnot ditherme entre deux sources aux températures T_B et T_H (T_H > T_B) est constitué de quatre transformations réversibles :

• deux isothermes aux températures T_H et T_B, représentées par des segments horizontaux T = \mathrm{cte} ;
• deux adiabatiques réversibles, donc isentropiques, représentées par des segments verticaux s = \mathrm{cte}.

Le cycle forme ainsi un rectangle dans le diagramme (T, s) entre les températures T_B et T_H et deux entropies massiques extrêmes notées s_1 et s_2 (s_2 > s_1).

D'après le premier principe appliqué au fluide sur un cycle fermé :

L'intégrale \oint T\,\mathrm{d}s représente l'aire algébrique délimitée par le contour :

• Phase de stockage (pompe à chaleur) : la machine est réceptrice d'énergie mécanique, soit w > 0. Par conséquent, q = \oint T\,\mathrm{d}s < 0, ce qui impose un parcours dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique). Le fluide absorbe de la chaleur à basse température (évolution de s_1 à s_2 à T_B), subit une compression isentropique de T_B à T_H, cède de la chaleur à haute température (évolution de s_2 à s_1 à T_H), puis subit une détente isentropique de T_H à T_B.
• Phase de déstockage (moteur thermique) : la machine fournit du travail à l'extérieur, soit w < 0. Ainsi, q = \oint T\,\mathrm{d}s > 0, ce qui impose un parcours dans le sens horaire.

Lors de la phase de stockage (fonctionnement en pompe à chaleur), l'argon subit les quatre étapes suivantes :

• Compresseur (T_{2n} \to T_{1\,\mathrm{is}}) : compression adiabatique réversible (donc isentropique à entropie massique s = \mathrm{cte}) de la basse pression P_B à la haute pression P_H. La température du gaz s'élève de T_{2n} = 773\text{ K} à T_{1\,\mathrm{is}}. C'est un segment vertical ascendant.
• Enceinte haute pression H (T_{1\,\mathrm{is}} \to T_{0n} running) : refroidissement isobare à P = P_H au contact du milieu poreux chaud. La température décroît de T_{1\,\mathrm{is}} à T_{0n} = 293\text{ K}. L'entropie massique décroît (\mathrm{d}s = c_p\,\frac{\mathrm{d}T}{T} < 0).
• Turbine (T_{0n} \to T_{3\,\mathrm{is}}) : détente adiabatique réversible (isentropique, s = \mathrm{cte}) de P_H à P_B. La température chute de T_{0n} = 293\text{ K} à T_{3\,\mathrm{is}}. C'est un segment vertical descendant.
• Enceinte basse pression B (T_{3\,\mathrm{is}} \to T_{2n}) : réchauffement isobare à P = P_B au contact du milieu poreux froid. La température remonte de T_{3\,\mathrm{is}} à T_{2n} = 773\text{ K}. L'entropie massique augmente.

Le cycle est représenté schématiquement ci-dessous :

La traversée du compresseur est modélisée par un écoulement stationnaire sans échange thermique avec l'extérieur (q = 0), en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques.

Le premier principe appliqué au fluide en écoulement stationnaire relie le travail massique transvasé w_c à la variation d'enthalpie massique :

Pour une évolution isentropique de référence entre les mêmes pressions P_B et P_H, le travail massique s'écrit de même :

Une compression nécessite un apport de travail mécanique de l'extérieur, soit w_{c\text{ is}} > 0. Les irréversibilités intrinsèques (frottements fluides, turbulences, dissipations visqueuses) imposent de fournir davantage de travail que dans le cas réversible idéal :

La capacité thermique massique c_p étant strictement positive, il vient :

Considérons le fluide caloporteur en écoulement stationnaire à travers une turbomachine (compresseur ou turbine).

Le premier principe de la thermodynamique pour une unité de masse de fluide en système ouvert s'écrit :

où :

• w est le travail massique échangé avec les parties mobiles ;
• q = 0 car les transformations dans les turbomachines sont adiabatiques ;
• \Delta e_c \approx 0 et \Delta e_p \approx 0 car les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur du gaz sont négligeables devant les variations d'enthalpie.

On a donc simplement :

Pour le compresseur : Le fluide pénètre à l'enthalpie h_{ec} et ressort à l'enthalpie h_{sc} (cas réel) ou h_{sc\text{ is}} (cas isentropique idéal). Les travaux massiques reçus par le fluide s'écrivent :

En utilisant la définition du rendement isentropique du compresseur :

Pour la turbine : Le fluide pénètre à l'enthalpie h_{et} et ressort à l'enthalpie h_{st} (cas réel) ou h_{st\text{ is}} (cas isentropique idéal). Les travaux massiques reçus s'écrivent :

En utilisant la définition du rendement isentropique de la turbine :

Soit finalement :

L'argon est assimilé à un gaz parfait de capacité thermique massique c_p constante, de sorte que pour toute évolution :

D'après les résultats de la question Q7, les rendements par rapport à l'isentropique s'expriment en fonction des températures réelles et idéales :

Pour une transformation adiabatique et réversible (isentropique) d'un gaz parfait, la loi de Laplace s'écrit T P^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{cte}. En introduisant le rapport adimensionné \Psi = \left(\frac{P_H}{P_B}\right)^{1-1/\gamma} :

• pour la compression isentropique de P_B à P_H :

  T_{1\text{ is}} = T_{2n} \left(\frac{P_H}{P_B}\right)^{1-1/\gamma} = T_{2n} \Psi

• pour la détente isentropique de P_H à P_B :

  T_{3\text{ is}} = T_{0n} \left(\frac{P_B}{P_H}\right)^{1-1/\gamma} = \frac{T_{0n}}{\Psi}

En injectant ces relations dans l'expression des rendements :

• pour le compresseur :

  T_1 - T_{2n} = \frac{T_{1\text{ is}} - T_{2n}}{\eta_{cs}} = \frac{T_{2n}(\Psi - 1)}{\eta_{cs}}

  soit :

  \boxed{T_1 = T_{2n} \left(1 + \frac{\Psi - 1}{\eta_{cs}}\right)}

• pour la turbine :

  T_{0n} - T_3 = \eta_{ts} (T_{0n} - T_{3\text{ is}}) = \eta_{ts} \, T_{0n} \left(1 - \frac{1}{\Psi}\right)

  soit :

  \boxed{T_3 = T_{0n} \left(1 + \frac{\eta_{ts}(1-\Psi)}{\Psi}\right)}

Considérons une unité de masse d'argon circulant en régime stationnaire à travers les composants du système en mode stockage (figure 1). Les variations d'énergie cinétique et potentielle macroscopiques étant négligeables, le premier principe pour un système ouvert s'écrit entre l'entrée e et la sortie s d'un organe adiabatique (q = 0) :

où w_u est le travail massique d'arbre (échangé avec les parties mobiles).

L'argon étant modélisé par un gaz parfait, son enthalpie ne dépend que de la température (seconde loi de Joule), de sorte que \Delta h = c_p \Delta T :

• Dans le compresseur (adiabatique, traversé de T_{2n} à T_1) :

  w_c = h_1 - h_{2n} = c_p (T_1 - T_{2n}) > 0

• Dans la turbine (adiabatique, traversée de T_{0n} à T_3) :

  w_t = h_3 - h_{0n} = c_p (T_3 - T_{0n}) < 0

Le compresseur et la turbine étant mécaniquement couplés sur le même arbre entraîné par le moteur électrique, le travail massique net d'origine électrique fourni au fluide lors du cycle de stockage vaut :

L'énergie massique mise en jeu pour assurer le stockage s'identifie à ce travail net consommé :

D'après la question Q8, les températures de sortie s'écrivent :

En injectant ces deux expressions dans celle de l'énergie massique nette de stockage e_s (question Q9) :

En mettant en facteur le terme (\Psi - 1), on obtient l'expression finale :

D'après la question Q10, l'énergie massique nette mise en jeu lors du stockage s'écrit :

L'argon est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M et de coefficient isentropique \gamma. La relation de Mayer c_p - c_v = \frac{R}{M} et la définition \gamma = \frac{c_p}{c_v} conduisent à la capacité thermique massique isobare :

Avec les données de l'énoncé :

• \gamma = 1,67 ;
• M = 40,0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 40,0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• R = 8,314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.

On obtient :

Calculons à présent le terme entre crochets avec T_{0n} = 293\text{ K}, T_{2n} = 773\text{ K}, \eta_{cs} = \eta_{ts} = 0,96 et \Psi = 1,55 :

Le facteur multiplicatif vaut \Psi - 1 = 1,55 - 1 = 0,55, d'où :

On en déduit finalement la valeur numérique de l'énergie massique mise en jeu :

D'après la figure 4, le procédé SEPT se caractérise par :

• une capacité énergétique très élevée, comprise entre 10^9\text{ W}\cdot\text{h} et 10^{11}\text{ W}\cdot\text{h} (soit 1\text{ à }100\text{ GW}\cdot\text{h}) ;
• une puissance importante, comprise entre 10^7\text{ W} et 10^9\text{ W} (soit 10\text{ MW à }1\text{ GW}) ;

• une durée typique de décharge à pleine puissance de l'ordre de :

  \tau \sim \frac{E}{P} \sim \frac{10^9\text{ W}\cdot\text{h}}{10^8\text{ W}} \sim 10\text{ h}.

En comparant le procédé SEPT aux autres technologies :

• Stockage massif sur le réseau (Hydraulique gravitaire / STEP et CAES) : Le procédé SEPT occupe une zone très proche de celle des Stations de Transfert d'Énergie par Pompage (STEP) et de l'air comprimé (CAES), avec des puissances comparables (10^7 - 10^9\text{ W}) et une capacité maximale potentiellement supérieure (pouvant atteindre 10^{11}\text{ W}\cdot\text{h}). Le procédé SEPT constitue donc une solution de stockage massif d'électricité à l'échelle du réseau, avec l'avantage décisif de ne pas dépendre de contraintes géographiques ou géologiques strictes (dénivelé naturel pour les STEP, cavités salines étanches pour le CAES).
• Batteries électrochimiques : Les batteries couvrent une très vaste plage de puissances (10^3\text{ à }10^7\text{ W}) et de capacités (10^2\text{ à }10^8\text{ W}\cdot\text{h}), mais restent limitées à des échelles plus petites que le SEPT (applications mobiles, résidentielles ou soutien local de réseau).
• Stockage magnétique supraconducteur (SMES) : Ce procédé délivre une puissance élevée (10^6\text{ à }10^8\text{ W}) mais pour une très faible capacité (10^2\text{ à }10^5\text{ W}\cdot\text{h}, temps de décharge de l'ordre de la seconde). Il est destiné à la qualité du réseau et à la compensation de creux de tension, à l'opposé du SEPT qui assure un lissage énergétique sur plusieurs heures.
• Hydrogène : Sur le diagramme, il est positionné à des puissances et capacités intermédiaires (P \sim 10^4 - 10^5\text{ W}, E \sim 10^5 - 10^7\text{ W}\cdot\text{h}), bien inférieures à celles visées par les installations industrielles SEPT.

D'après la figure 4, une installation SEPT opère à une échelle de puissance industrielle comprise entre 3 \times 10^7\text{ W} et 3 \times 10^8\text{ W}, soit typiquement :

Cette valeur est par ailleurs cohérente avec la capacité de stockage typique E \sim 10^9\text{ W}\cdot\text{h} \approx 1\text{ GW}\cdot\text{h} (également visible sur la figure 10) associée à une durée de charge d'environ 5 heures (figure 14) :

Lors de la phase de stockage, l'énergie massique nette fournie au fluide par les parties mobiles des turbomachines (moteur électrique) est e_s. La puissance électrique consommée s'écrit donc :

où D_m est le débit massique d'argon. On en déduit :

D'après le résultat de la question Q11, e_s \approx 1,78 \times 10^5\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}. L'ordre de grandeur du débit massique d'argon est ainsi :

Par définition, la porosité \varepsilon représente la fraction volumique occupée par le fluide dans le volume total V_e des enceintes :

Le volume total d'argon contenu dans les enceintes est donc :

En négligeant la masse d'argon présente dans les tuyauteries et turbomachines, la masse totale d'argon m_{\text{Ar}} dans l'installation s'exprime par :

Application numérique :

• \rho_{\text{Ar}} = 1,8\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• \varepsilon = 0,40
• V_e = 20\,000\text{ m}^3

Avec deux chiffres significatifs :

1. Énergie massique de la batterie automobile

Une batterie de tension nominale U = 12\text{ V} et de capacité de charge Q = 50\text{ A}\cdot\text{h} peut stocker une énergie électrique :

Pour une masse m_{\text{bat}} = 10\text{ kg}, l'énergie massique de la batterie s'élève à :

2. Énergie massique d'une installation SEPT typique

La masse du fluide caloporteur (argon) calculée en Q14 (m_{\text{Ar}} \approx 14\text{ tonnes}) est totalement négligeable devant la masse du milieu solide de stockage.

Dans le volume total d'enceintes V_e = 20\,000\text{ m}^3 de porosité \varepsilon = 40\,\%, le volume de solide réfractaire vaut :

Avec la masse volumique du solide \rho_s = 2{,}5 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, la masse totale du solide est :

D'après la figure 4 (ou la figure 10 en régime établi), la capacité énergétique typique d'une installation SEPT est de l'ordre de :

L'énergie massique de l'installation SEPT est donc :

3. Comparaison

Les énergies massiques d'une batterie au plomb automobile et du procédé SEPT sont du même ordre de grandeur (\sim 10^5\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} ou quelques dizaines de \text{W}\cdot\text{h}\cdot\text{kg}^{-1}).

D'après la figure 2, en phase de déstockage, le sens de parcours du fluide est inversé par rapport au stockage :

• le gaz issu de l'enceinte haute pression à la température T_1 et à la pression P_H traverse la turbine pour être détendu jusqu'à la pression P_B et la température T_{2d} ;
• le gaz issu de l'enceinte basse pression à la température T_3 et à la pression P_B traverse le compresseur pour être comprimé jusqu'à la pression P_H et la température T_{0d}.

1. Détente dans la turbine en déstockage :

Pour une détente isentropique idéale de la pression P_H à P_B à partir de T_1, la relation de Laplace s'écrit :

Par définition du rendement isentropique de la turbine en déstockage \eta_{td} (modèle du gaz parfait à capacité thermique massique c_p constante) :

On en déduit l'expression de la température réelle T_{2d} :

Or, d'après le résultat de la question Q8, la température T_1 en sortie de compresseur lors du stockage vaut :

En reportant cette expression dans celle de T_{2d}, on obtient :

2. Compression dans le compresseur en déstockage :

Pour une compression isentropique idéale de la pression P_B à P_H à partir de T_3, la relation de Laplace s'écrit :

Par définition du rendement isentropique du compresseur en déstockage \eta_{cd} :

On en déduit l'expression de la température réelle T_{0d} :

Or, d'après le résultat de la question Q8, la température T_3 en sortie de turbine lors du stockage s'exprime par :

En substituant T_3, on parvient directement à l'expression attendue :

Puisque P_H > P_B et \gamma > 1, on a :

Posons x = \Psi - 1 > 0. Les expressions obtenues à la question Q16 font intervenir un produit de la forme :

où \eta_c est le rendement isentropique d'une compression et \eta_t celui d'une détente.

Par définition des rendements par rapport à l'isentropique, compte tenu du second principe de la thermodynamique, on a :

Comme x > 0, on en déduit les inégalités suivantes :

• pour le terme de compression :

  \frac{x}{\eta_c} \geqslant x \implies 1 + \frac{x}{\eta_c} \geqslant 1 + x > 0 ;

• pour le terme de détente :

  \eta_t \frac{x}{1 + x} \leqslant \frac{x}{1 + x} \implies 1 - \eta_t \frac{x}{1 + x} \geqslant 1 - \frac{x}{1 + x} = \frac{1}{1 + x} > 0.

Par produit d'inégalités entre grandeurs strictement positives :

En appliquant ce résultat aux deux couples de rendements :

• pour le couple (\eta_{cd}, \eta_{ts}), f(\eta_{cd}, \eta_{ts}) \geqslant 1, ce qui donne :

  \frac{T_{0d}}{T_{0n}} = f(\eta_{cd}, \eta_{ts}) \geqslant 1 \implies \boxed{T_{0d} \geqslant T_{0n}}

• pour le couple (\eta_{cs}, \eta_{td}), f(\eta_{cs}, \eta_{td}) \geqslant 1, ce qui donne :

  \frac{T_{2d}}{T_{2n}} = f(\eta_{cs}, \eta_{td}) \geqslant 1 \implies \boxed{T_{2d} \geqslant T_{2n}}

D'après la question Q16, le rapport des températures s'écrit sous la forme :

Pour \Psi > 1 (rapport de pression strictement supérieur à 1), ces deux facteurs ne sont égaux à 1 que dans le cas où les turbomachines sont idéales, c'est-à-dire si leurs rendements isentropiques sont tous unitaires :

(Le cas trivial \Psi = 1 correspondrait à une absence totale de compression et de détente, ce qui ne permet aucun transfert thermique utile.)

Cette situation correspondrait à des compressions et des détentes purement isentropiques (adiabatiques et réversibles).

Ce cas n'est absolument pas réaliste en pratique :

• L'écoulement rapide du gaz au sein des compresseurs et des turbines s'accompagne inévitablement de frottements visqueux (dissipation visqueuse), de décollements de couches limites et de tourbillons turbulents.
• Il existe également des fuites aux jeux d'aubes et des échanges thermiques parasites avec le carter.

Ces irréversibilités mécaniques et thermiques entraînent nécessairement une création d'entropie s_{\text{créée}} > 0. Les rendements isentropiques des meilleures turbomachines industrielles restent donc toujours strictement inférieurs à l'unité (typiquement \eta \approx 0{,}85 \text{ à } 0{,}96).

Pour éviter l'échauffement progressif des enceintes au cours des cycles successifs, il est nécessaire de dissiper l'énergie thermique excédentaire générée par les irréversibilités.

Plusieurs solutions techniques complémentaires peuvent être envisagées :

• Mise en place d'échangeurs thermiques auxiliaires (refroidisseurs) : On peut insérer sur le circuit de gaz un ou deux échangeurs de chaleur (aérothermes à air ou échangeurs tubulaires à circulation d'eau de refroidissement) :

  • entre la sortie du compresseur et l'entrée de l'enceinte haute pression, pour refroidir l'argon de T_{0d} à T_{0n} ;
  • entre la sortie de la turbine et l'enceinte basse pression, pour ramener le gaz de T_{2d} à T_{2n}.

  L'évacuation de chaleur est particulièrement aisée pour ramener T_{0d} à T_{0n} car cette dernière est proche de la température ambiante (T_{0n} = 293\text{ K} \approx 20\text{ }^\circ\text{C}), ce qui permet d'utiliser simplement l'air atmosphérique ou une source d'eau naturelle comme puits thermique.

• Valorisation de la chaleur fatale : L'énergie thermique évacuée (notamment celle à haute température issue de la détente si T_{2d} > T_{2n} \approx 500\text{ }^\circ\text{C}) peut être valorisée sous forme de cogénération (réseau de chaleur urbain, séchage industriel, ou alimentation d'un cycle de Rankine secondaire).

D'après la question Q16, si le rapport de pression isentropique était identique en stockage et en déstockage (\Psi_d = \Psi), la température du gaz en sortie de turbine lors du déstockage s'écrirait :

Or, d'après l'étude menée à la question Q17, en présence d'irréversibilités réelles (\eta_{cs} < 1 ou \eta_{td} < 1), ce produit est strictement supérieur à 1 : on a nécessairement T_{2d} > T_{2n}.

En introduisant un rapport de pression isentropique propre à la phase de déstockage :

la température en sortie de turbine de déstockage devient :

La condition imposée T_{2d} = T_{2n} requiert donc :

Cette égalité ne peut pas être satisfaite pour \Psi_d = \Psi, ce qui prouve la nécessité d'avoir :

Les turbomachines (compresseurs et turbines) sont des organes conçus pour des conditions nominales de fonctionnement très précises, notamment un taux de compression ou de détente \Pi = P_H / P_B fixé de façon à maximiser leur rendement isentropique et leur stabilité aérodynamique.

Puisque les rapports de pression doivent être différents entre la charge (\Psi) et la décharge (\Psi_d), et que le sens de circulation du fluide est inversé, il est impossible d'utiliser les mêmes machines de manière optimale. Il est donc indispensable d'utiliser deux paires distinctes de turbomachines : l'une dimensionnée pour le stockage, l'autre pour le déstockage.

D'après la question Q20, l'égalité industrielle T_{2d} = T_{2n} impose au gaz caloporteur de retrouver sa température nominale après la détente dans la turbine de déstockage, ce qui se traduit par :

Posons pour alléger l'écriture A = 1 + \dfrac{\Psi - 1}{\eta_{cs}} = \dfrac{\eta_{cs} + \Psi - 1}{\eta_{cs}}. L'égalité précédente devient :

En isolant le terme en 1/\Psi_d :

Or, le quotient \dfrac{A - 1}{A} s'exprime directement à l'aide de \Psi et \eta_{cs} :

On en déduit l'inverse de \Psi_d :

Soit finalement :

Vérification sur un cas limite :

• Turbomachines isentropiques idéales (\eta_{cs} = \eta_{td} = 1) : En remplaçant les rendements par 1 dans l'expression trouvée :

  \Psi_d = \frac{1 \cdot (1 + \Psi - 1)}{1 \cdot 1 - (1 - 1)(\Psi - 1)} = \frac{\Psi}{1} = \Psi

  En l'absence d'irréversibilités mécaniques et thermiques dans les turbomachines, le cycle est idéalement réversible : le rapport de compression en stockage et le rapport de détente en déstockage sont rigoureusement identiques.

• Absence de compression (\Psi = 1) : Pour \Psi = 1, on obtient immédiatement \Psi_d = 1, ce qui est également physiquement attendu.

D'après le résultat de la question Q21, le paramètre \Psi_d s'exprime par :

Calculons la différence \Psi_d - \Psi :

Analysons les termes en jeu :

• La haute pression étant strictement supérieure à la basse pression, P_H > P_B, et comme \gamma > 1, on a \Psi = \left(\frac{P_H}{P_B}\right)^{1 - 1/\gamma} > 1, soit \Psi - 1 > 0.

• Dans une installation réelle, les turbomachines ne sont pas parfaites : 0 < \eta_{cs} < 1 et 0 < \eta_{td} < 1. Par conséquent :

  \eta_{td}(1 - \eta_{cs}) > 0 \quad \text{et} \quad \Psi(1 - \eta_{td}) > 0

  Le numérateur est donc strictement positif.

• Le dénominateur est également positif pour toute valeur physique admissible de \Psi_d > 0.

On en déduit :

Le rapport de pression r_p = \frac{P_H}{P_B} est relié à \Psi par r_p = \Psi^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}}. Comme \frac{\gamma}{\gamma - 1} > 0, la fonction x \mapsto x^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}. Par conséquent :

Le rapport de pression au déstockage est strictement supérieur au rapport de pression au stockage.

Lors de la phase de déstockage, le gaz caloporteur circule en sens inverse et échange du travail avec deux turbomachines :

• Dans le compresseur, il subit une compression adiabatique de la basse pression P_{B,d} (température d'entrée T_3) à la haute pression P_{H,d} (température de sortie T_{0d}) :

  w_{c,d} = h_{0d} - h_3 = c_p(T_{0d} - T_3)

• Dans la turbine, il subit une détente adiabatique de la haute pression P_{H,d} (température d'entrée T_1) à la basse pression P_{B,d} (température de sortie T_{2d}) :

  w_{t,d} = h_{2d} - h_1 = c_p(T_{2d} - T_1)

L'énergie massique nette mise en jeu lors du déstockage s'écrit donc :

Pour le compresseur de déstockage, une évolution isentropique conduirait à la température T_{0d\text{ is}} = T_3 \Psi_d. Par définition du rendement isentropique :

Pour la turbine de déstockage, une évolution isentropique mènerait à la température T_{2d\text{ is}} = \dfrac{T_1}{\Psi_d}. Par définition du rendement isentropique :

En regroupant ces deux termes et en factorisant par (\Psi_d - 1) exactement comme à la question Q10, on obtient :

En tenant compte de la condition industrielle T_{2d} = T_{2n} retenue à la question Q20, on a T_{2d} - T_1 = T_{2n} - T_1 = -T_{2n}\dfrac{\Psi - 1}{\eta_{cs}}, ce qui permet également d'écrire :

où T_3 = T_{0n}\left(1 - \eta_{ts}\dfrac{\Psi - 1}{\Psi}\right) d'après la question Q8.

La figure 7 donne le rendement théorique \Gamma du procédé en fonction de la température d'entrée T_1 (en ^\circ\text{C}) pour différentes valeurs du rendement isentropique \eta supposé commun aux quatre machines.

Pour obtenir un rendement théorique supérieur ou égal à 90\,\% (\Gamma \geqslant 0{,}90) sous la contrainte d'une température maximale T_1 \leqslant 1000\,^\circ\text{C}, on observe l'intersection des courbes avec la ligne horizontale \Gamma = 0{,}90 :

• Pour \eta \leqslant 0{,}92, le rendement maximal à T_1 = 1000\,^\circ\text{C} est inférieur à 0{,}90 (pour \eta = 0{,}92, \Gamma \approx 0{,}84). Le seuil de 90\,\% ne peut donc jamais être atteint sur la plage de température accessible.

• Pour \eta = 0{,}94, la courbe atteint \Gamma = 0{,}90 précisément à la limite technologique :

  T_1 \approx 1000\,^\circ\text{C}

• Pour \eta = 0{,}96, le rendement \Gamma \geqslant 0{,}90 est atteint dès :

  T_1 \geqslant 600\,^\circ\text{C}

• Pour \eta = 0{,}98, la condition est vérifiée dès :

  T_1 \geqslant 300\,^\circ\text{C}

où T_{1,\min} \approx 1000\,^\circ\text{C} pour \eta = 0{,}94, T_{1,\min} \approx 600\,^\circ\text{C} pour \eta = 0{,}96 et T_{1,\min} \approx 300\,^\circ\text{C} pour \eta = 0{,}98.

L'analyse de la figure 7 montre que pour atteindre un rendement global \Gamma élevé du procédé SEPT, il est nécessaire de maximiser simultanément :

• la température haute du cycle T_1 (à rendement isentropique fixé, \Gamma est une fonction strictement croissante de T_1) ;
• le rendement isentropique \eta des turbomachines (à température T_1 fixée, une légère baisse de \eta dégrade considérablement \Gamma).

Or, sur le plan technologique et des matériaux, ces deux exigences s'opposent :

1. Contraintes thermomécaniques à haute température : aux températures considérées (pouvant atteindre 1000\,^\circ\text{C} soit près de 1273\text{ K}), les matériaux des aubages sont soumis à d'intenses contraintes mécaniques et thermiques (dilatations différentielles, risque de fluage).
2. Dégradation du rendement isentropique : pour éviter le contact entre les parties tournantes et le carter lors des dilatations, il est nécessaire de prévoir des jeux de fonctionnement plus larges en extrémité d'aubes. De plus, la tenue thermique impose parfois l'injection d'un débit de fluide de refroidissement. Ces jeux accrus génèrent des écoulements de fuite et des dissipations visqueuses supplémentaires, ce qui diminue directement le rendement isentropique \eta.
3. Exigence de géométrie précise pour \eta élevé : inversement, l'obtention d'un rendement isentropique très élevé (\eta \geqslant 0{,}94) impose des profils aérodynamiques optimisés et des jeux mécaniques extrêmement faibles, incompatibles avec des régimes thermiques trop sévères.

Le concepteur d'une installation SEPT doit donc nécessairement réaliser un compromis entre le choix de matériaux capables de supporter de très hautes températures T_1 et la préservation d'un rendement isentropique \eta suffisamment élevé pour maintenir la rentabilité du stockage.

Le modèle thermodynamique développé jusqu'ici ne prend en compte que les irréversibilités internes aux turbomachines (rendements isentropiques \eta < 1). Dans une installation réelle, d'autres phénomènes dissipatifs et transferts d'énergie viennent dégrader le rendement global :

1. Pertes électromécaniques : le convertisseur électromécanique (moteur électrique en phase de stockage, génératrice en phase de déstockage) présente un rendement électrique et mécanique inférieur à l'unité en raison de l'effet Joule dans les bobinages, des pertes ferromagnétiques et des frottements mécaniques dans les paliers et les réducteurs.
2. Pertes de charge dans le circuit fluide : l'écoulement du gaz à fort débit à travers le lit granulaire poreux des régénérateurs, les canalisations et les vannes s'accompagne de pertes de charge visqueuses non négligeables, ce qui augmente le travail de compression requis et réduit le travail récupérable à la détente.
3. Pertes thermiques vers l'environnement extérieur : l'isolation thermique des enceintes et des conduites n'étant pas idéale, des fuites de chaleur vers le milieu extérieur ont lieu en continu, particulièrement au niveau de l'enceinte haute température.
4. Irréversibilités des transferts thermiques gaz-solide : l'échange thermique entre l'argon et le matériau granulaire nécessite un écart de température fini entre le fluide et le solide (\Delta T = T_f - T_s \neq 0), ce qui est source d'irréversibilité thermique (création d'entropie). De plus, la diffusion thermique axiale (étudiée en partie ) tend à homogénéiser les températures et dégrade le front thermique.
5. Pertes liées à l'évacuation de l'excédent thermique : comme établi à la question Q17, les irréversibilités provoquent un échauffement résiduel du fluide en sortie d'enceinte (T_{0d} > T_{0n} et T_{2d} > T_{2n}). L'énergie thermique évacuée (par exemple par un aéroréfrigérant) pour stabiliser le cycle est définitivement perdue.

La porosité \varepsilon est le rapport du volume occupé par le fluide (volume des interstices) sur le volume total. En notant C la compacité (fraction volumique occupée par les sphères de rayon R) :

où a désigne le paramètre de la maille cubique et N le nombre de sphères appartenant en propre à la maille.

1. Structure cubique simple (CS) :

• Nombre de sphères par maille : les 8 sommets sont partagés chacun par 8 mailles :

  N_{\text{CS}} = 8 \times \frac{1}{8} = 1

• Condition de contact : les sphères sont tangentes le long des arêtes :

  a = 2R

• Compacité et porosité :

  C_{\text{CS}} = \frac{1 \times \dfrac{4}{3}\pi R^3}{(2R)^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524

2. Structure cubique à faces centrées (CFC) :

• Nombre de sphères par maille : 8 sommets partagés par 8 mailles et 6 centres de faces partagés par 2 mailles :

  N_{\text{CFC}} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

• Condition de contact : les sphères sont tangentes le long de la diagonale d'une face :

  a\sqrt{2} = 4R \implies a = 2\sqrt{2}\,R

• Compacité et porosité :

  C_{\text{CFC}} = \frac{4 \times \dfrac{4}{3}\pi R^3}{(2\sqrt{2}\,R)^3} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}\,R^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}740

3. Qualification d'empilement compact :

• La structure cubique à faces centrées est constituée d'un empilement de plans de compacité bidimensionnelle maximale (plans hexagonaux compacts) suivant la séquence périodique ABCABC\dots
• Chaque sphère est entourée de 12 plus proches voisines tangentes (coordinence maximale égale à 12).
• Sa compacité C_{\text{CFC}} \approx 74\,\% correspond au taux d'occupation spatial maximal possible pour un empilement de sphères rigides identiques dans l'espace à trois dimensions (conjecture de Kepler).

D'après le préambule de la partie II.A, l'efficacité du stockage thermique augmente avec la porosité jusqu'à un optimum situé autour de :

D'après les résultats de la question Q27 :

• l'empilement cubique présente une porosité \varepsilon_{\text{cubique}} \approx 47{,}6\,\%, valeur très proche de l'optimum visé ;
• l'empilement cubique à faces centrées présente une porosité \varepsilon_{\text{CFC}} \approx 26{,}0\,\%, nettement trop éloignée de cet optimum.

Par conséquent, au regard du critère d'efficacité thermique :

À la lecture des courbes de la figure 11 :

• Pour h = 5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, l'écart de température entre le fluide (courbe en pointillés) et le solide (courbe en trait plein) est notable au niveau de la zone de transition du front thermique (pouvant atteindre plusieurs dizaines de kelvins).
• Pour h = 20\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, les deux courbes sont presque confondues tout au long du profil spatial z.

Ainsi, la différence de température |T_f - T_s| diminue lorsque le coefficient d'échange h augmente.

Commentaire physique : Le transfert thermique conducto-convectif surfacique entre le fluide et le solide est régi par la loi de Newton :

où \varphi est la densité de flux thermique échangée.

• Une augmentation de h diminue la résistance thermique d'interface (R_{\text{th}} \propto 1/h) et améliore ainsi le couplage thermique entre le gaz et le solide granulaire.
• Pour transférer un même flux de chaleur, un écart de température plus faible est alors nécessaire. À la limite d'un coefficient h très grand, le fluide et le matériau solide seraient en équilibre thermique local (T_f \approx T_s).

Pendant la phase de stockage, le gaz chaud entre au sommet de l'enceinte (z = 0) à la température T_1 et en ressort au bas (z = 10\text{ m}) à une température qui doit rester aussi proche que possible de la température nominale T_{0n} \approx 300\text{ K} pour assurer le bon fonctionnement de la détente ultérieure dans la turbine. La fin de la charge est donc dictée par la « percée thermique », moment où le front atteint la sortie et où la température en z = 10\text{ m} commence à croître.

D'après la figure 11 :

• Pour h = 5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, le front thermique est très étalé dans l'espace. Dès t = 10\text{ h}, la température en sortie s'élève notablement (T > 300\text{ K}), et à t = 13{,}3\text{ h}, elle dépasse 400\text{ K}. Le stockage doit donc être interrompu prématurément pour ne pas rejeter un gaz anormalement chaud.
• Pour h = 20\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}, le front thermique est beaucoup plus raide et étroit. À t = 10\text{ h}, la température en z = 10\text{ m} est rigoureusement maintenue à 300\text{ K}. Même à t = 13{,}3\text{ h}, le pied du front commence tout juste à atteindre le bas de l'enceinte, maintenant le fluide sortant à une température quasi égale à T_0.

Le processus de stockage peut ainsi être poursuivi plus longtemps (ici au-delà de 13\text{ h} contre moins de 10\text{ h} pour le faible coefficient), ce qui permet d'élever la température d'un volume plus important de solide granulaire jusqu'à T_1 et donc d'accroître l'énergie thermique stockée \Delta U_s = \int_0^{H_e} \rho_s (1-\varepsilon) c_s S (T_s(z) - T_0)\,\mathrm{d}z.

Un transfert thermique est intrinsèquement irréversible dès lors qu'il se produit à travers un écart de température fini. Pour qu'un échange thermique entre un fluide à la température T_f et un solide à la température T_s puisse être considéré comme thermodynamiquement réversible, il faut que la transformation soit quasi-statique d'un point de vue thermique, c'est-à-dire que l'écart de température entre les deux milieux soit infinitésimal à chaque instant et en tout point de contact :

Considérons une surface d'échange A traversée pendant une durée \mathrm{d}t par un transfert thermique élémentaire \delta Q du fluide vers le solide. D'après la loi de Newton du transfert conducto-convectif :

Le bilan entropique appliqué à la frontière de contact fluide-solide donne pour l'entropie créée élémentaire :

En exprimant ce taux de création d'entropie en fonction du flux thermique \Phi = \frac{\delta Q}{\mathrm{d}t} = h A (T_f - T_s), on obtient :

Pour qu'un flux thermique non nul puisse être échangé à travers l'interface tout en annulant l'entropie créée (\delta S_c = 0, soit T_f - T_s \to 0), il faut que la résistance thermique d'interface R_{\text{th}} = \frac{1}{hA} soit nulle, ce qui impose :

D'après la figure 12, le rendement global \Gamma de l'installation est une fonction croissante de la largeur L_e de l'enceinte (il passe d'environ 0{,}42 pour L_e = 22\text{ m} à plus de 0{,}54 pour L_e = 42\text{ m}).

Cette évolution s'explique par deux phénomènes complémentaires :

1. Effet d'échelle sur les pertes thermiques vers l'extérieur :
   Le volume utile de stockage de l'enceinte vaut V_e = L_e^2 H_e, de sorte que l'énergie thermique stockée varie en L_e^2. En revanche, les déperditions thermiques avec le milieu extérieur se font principalement à travers les parois latérales de surface S_{\text{lat}} = 4 L_e H_e \propto L_e. Le ratio des pertes thermiques relatives par rapport à l'énergie emmagasinée s'écrit donc :

   \frac{\mathcal{P}_{\text{pertes}}}{E_{\text{stockée}}} \propto \frac{S_{\text{lat}}}{V_e} = \frac{4}{L_e}

   Lorsque L_e augmente, ce ratio décroît en 1/L_e : l'enceinte est thermiquement mieux isolée par auto-confinement volumique.

2. Amélioration du transfert conducto-convectif interne et diminution des pertes de charge :
   À hauteur H_e et débit massique D_m fixés, la section droite de passage du gaz S = L_e^2 augmente, ce qui réduit la vitesse superficielle du gaz v = \frac{D_m}{\rho S} \propto \frac{1}{L_e^2}.

   • Le temps de séjour \tau = \frac{H_e}{v} \propto L_e^2 augmente, ce qui favorise l'équilibre thermique local entre le fluide et les particules solides. L'écart |T_f - T_s| diminue, réduisant ainsi la création d'entropie par transfert thermique (d'après Q31).
   • La dissipation d'énergie mécanique par pertes de charge au travers du lit poreux (loi de Darcy-Ergun) diminue fortement avec la vitesse d'écoulement.

D'après la figure 13, le rendement \Gamma de l'installation décroît de façon monotone lorsque le débit massique D_m du gaz augmente (il passe d'environ 0{,}56 pour D_m = 0{,}6 à moins de 0{,}50 pour D_m = 1{,}4).

Cette dégradation s'explique par deux phénomènes physiques principaux :

• Diminution de l'efficacité des transferts thermiques : La vitesse moyenne du gaz dans les enceintes poreuses est proportionnelle au débit massique (v \propto D_m). Lorsque D_m augmente, le temps de séjour du fluide dans le régénérateur diminue :

  \tau = \frac{L_e}{v} \propto \frac{1}{D_m}

  De manière équivalente, le nombre d'unités de transfert \mathrm{NUT} = \frac{h A}{D_m c_p} diminue. Le transfert conducto-convectif gaz-solide est donc moins complet, ce qui élargit le front thermique et impose un écart de température |T_f - T_s| plus grand pour transférer la chaleur requise. Comme établi à la question Q31, cela accroît l'irréversibilité thermique (création d'entropie) et abaisse le rendement.

• Augmentation des pertes de charge : L'écoulement de l'argon à travers le milieu poreux granulaire engendre des pertes de charge visqueuses et inertielles \Delta P régies par la loi de Darcy ou la loi d'Ergun, avec \Delta P fonction croissante de la vitesse v (en v puis en v^2). La puissance mécanique dissipée par ces frottements :

  \mathcal{P}_{\text{dissipée}} \approx \frac{D_m}{\rho} \Delta P

  augmente fortement avec D_m (en D_m^2 ou D_m^3), ce qui consomme une fraction plus importante du travail fourni ou récupéré par les turbomachines.

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique associé à la conduction axiale selon l'axe vertical (Oz) s'écrit :

L'enceinte étant à base carrée de côté L_e, la section droite horizontale traversée par le flux thermique a pour aire :

Le flux thermique axial (en valeur absolue) à travers cette section vaut ainsi :

Le gradient thermique étant supposé uniforme et constant durant la pause, l'énergie thermique diffusée pendant la durée \Delta t s'exprime par :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \lambda = 0{,}03\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• L_e = 10\text{ m} ;
• \left|\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right| = 200\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \Delta t = 24\text{ h} = 24 \times 3\,600\text{ s} = 86\,400\text{ s}.

On obtient :

Comparons cette énergie à l'énergie interne stockée dans l'enceinte U = 1{,}7 \times 10^{12}\text{ J} :

L'énergie diffusée axialement représente environ 0{,}003\,\% de l'énergie stockée, ce qui est tout à fait négligeable.

Conclusion : La diffusion thermique axiale au cours des phases de pause (même pour une durée d'une journée entière) n'entraîne aucune dégradation notable de la stratification thermique ; il n'est donc pas nécessaire de la prendre en compte dans l'évaluation de l'efficacité globale du procédé SEPT.

Considérons un bloc élémentaire de milieu poreux de longueur L dans la direction du flux thermique et de section transverse totale S.

1. Modèle parallèle (strates parallèles au flux) Les deux phases s'étendent sur toute la longueur L et sont soumises au même écart de température \Delta T. La section transverse se répartit proportionnellement aux fractions volumiques :

Le flux thermique total est la somme des flux traversant chaque phase, ce qui correspond à deux conductances thermiques en parallèle :

Avec G_{\text{th}} = \frac{\lambda S}{L}, il vient :

Soit, en simplifiant par S/L :

2. Modèle série (strates perpendiculaires au flux) Le flux thermique \Phi traverse successivement la couche solide puis la couche gazeuse à travers la même section S. Les épaisseurs de chaque couche sont proportionnelles aux fractions volumiques, pour une épaisseur totale L :

La différence de température totale est la somme des écarts de température aux bornes de chaque strate, ce qui correspond à deux résistances thermiques en série :

Avec R_{\text{th}} = \frac{L}{\lambda S}, on obtient :

Soit :

En réduisant au même dénominateur :

3. Validation sur les cas limites

• Milieu purement solide (\varepsilon = 0) :

  \lambda_\parallel(\varepsilon = 0) = \lambda_s \quad \text{et} \quad \lambda_\perp(\varepsilon = 0) = \frac{\lambda_s \lambda_g}{\lambda_g} = \lambda_s

• Milieu purement gazeux (\varepsilon = 1) :

  \lambda_\parallel(\varepsilon = 1) = \lambda_g \quad \text{et} \quad \lambda_\perp(\varepsilon = 1) = \frac{\lambda_s \lambda_g}{\lambda_s} = \lambda_g

• Phases de même conductivité (\lambda_s = \lambda_g = \lambda_0) :

  \lambda_\parallel = (1 - \varepsilon)\lambda_0 + \varepsilon\lambda_0 = \lambda_0 \quad \text{et} \quad \lambda_\perp = \frac{\lambda_0^2}{\varepsilon\lambda_0 + (1 - \varepsilon)\lambda_0} = \lambda_0

Les deux expressions redonnent fidèlement le comportement d'un milieu homogène dans ces situations limites, ce qui valide les expressions obtenues.

D'après les résultats de la question Q35, les conductivités thermiques effectives associées aux deux configurations extrêmes s'écrivent :

Calculons la différence \lambda_\parallel - \lambda_\perp en posant, pour alléger l'écriture, a = 1 - \varepsilon et b = \varepsilon (avec a > 0, b > 0 et a + b = 1) :

Comme a + b = 1, on a a^2 + b^2 - 1 = (a + b)^2 - 2ab - 1 = -2ab. Le numérateur devient ainsi :

On en déduit l'expression factorisée de la différence :

Pour un milieu poreux biphasique réel (0 < \varepsilon < 1) et deux phases de conductivités distinctes (\lambda_s > \lambda_g), le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. On en déduit :

La conductivité thermique en mode parallèle est donc toujours supérieure à celle en mode série, ce qui permet d'identifier les bornes extrêmes :

D'après les expressions établies à la question Q36, les conductivités thermiques effectives minimale et maximale s'écrivent :

Avec les valeurs numériques fournies :

• Porosité du milieu granulaire : \varepsilon = 0,47 (d'où 1 - \varepsilon = 0,53) ;
• Conductivité du solide (sable) : \lambda_s = 0,40\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• Conductivité du gaz (argon) : \lambda_g = 0,018\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Pour la borne supérieure :

Pour la borne inférieure :

En conservant deux chiffres significatifs en accord avec les données :

Compte tenu de la longueur supposée infinie du fil et de la symétrie axiale, la température ne dépend ni de la coordonnée axiale z, ni de l'angle azimutal \theta. Le champ scalaire de température s'écrit donc sous la forme T(r, t).

Le vecteur densité de flux thermique est purement radial d'après la loi de Fourier :

Considérons le système fermé constitué par le milieu matériel situé à l'instant t entre les rayons r et r + \mathrm{d}r, sur une longueur L. Son volume s'écrit :

Le milieu étant incompressible et indilatable (\mathrm{d}V = 0), le travail des forces de pression est nul. En l'absence de terme source volumique dans le matériau granulaire pour r > r_0, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants t et t+\mathrm{d}t donne :

où :

• la variation d'énergie interne s'exprime par :

  \mathrm{d}U = \rho c_p \mathrm{d}V \frac{\partial T}{\partial t}(r, t)\,\mathrm{d}t = \rho c_p (2\pi r\,\mathrm{d}r\,L)\frac{\partial T}{\partial t}(r, t)\,\mathrm{d}t

• la chaleur reçue pendant \mathrm{d}t correspond au bilan des flux conductifs nets entrant en r et sortant en r+\mathrm{d}r :

  \delta Q = \left[\Phi(r, t) - \Phi(r+\mathrm{d}r, t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial \Phi}{\partial r}(r, t)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t

Le flux conductif traversant la surface cylindrique latérale de rayon r orientée vers l'extérieur vaut :

D'où :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U et \delta Q :

En introduisant la diffusivité thermique \alpha = \frac{\lambda}{\rho c_p}, on obtient l'équation de diffusion vérifiée par T(r, t) :

D'après la question Q38, la température T(r, t) vérifie l'équation de la diffusion radiale :

Considérons une échelle caractéristique de variation spatiale \delta sur une durée t. En estimant les ordres de grandeur des termes dominants :

L'équilibre entre la variation temporelle et la diffusion thermique impose :

À l'instant t, la longueur caractéristique de pénétration de la chaleur dans le milieu selon la direction radiale est donc :

D'après la loi de Fourier, le transfert thermique s'effectuant uniquement par conduction dans le milieu selon la direction radiale, le vecteur densité de flux de chaleur s'écrit :

Considérons un tronçon de fil de longueur L et de rayon r_0. Le flux thermique évacué par la surface latérale cylindrique d'aire S = 2\pi r_0 L à travers la frontière en r = r_0 s'exprime par :

Par définition, le fil injecte dans le milieu un flux thermique constant par unité de longueur \varphi_L, soit :

En identifiant les deux expressions du flux, on obtient :

Soit finalement :

En r = r_0, la température fournie par l'énoncé s'écrit :

L'échelle de temps caractéristique associée à la diffusion thermique sur le rayon r_0 du fil est :

La condition pour que la variable x soit petite devant 1 (x \ll 1) correspond donc au régime des « temps longs » :

Dans cette limite, on utilise l'approximation proposée :

On en déduit l'expression approchée de la température à la surface du fil :