Systèmes ouverts en écoulement : 280 questions de concours corrigées

Rappeler l'expression du « premier principe industriel » en écoulement stationnaire en définissant rigoureusement le système étudié et en explicitant chaque terme. Que devient cette expression dans…

Sur le schéma de principe de la Figure 1, seul le compresseur est clairement identifié. Quelles sont les dénominations des 3 autres éléments qui apparaissent sur cette figure ? On rédigera, en…

Rappeler le 1er principe pour un système ouvert (ou 1er principe industriel), à plusieurs entrées et sorties, écrit en puissance.

Justifier que l'évolution de l'ammoniac traversant la vanne WV2 est isenthalpique.

Donner l'expression générale du premier principe lorsqu'il est appliqué à un fluide en écoulement stationnaire unidimensionnel en nommant les grandeurs introduites.

En appliquant le premier principe à l'écoulement permanent à travers le détendeur en déduire la nature de la transformation subie par le fluide.

Rappeler l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement stationnaire, dans lequel on néglige les variations d'énergie cinétique massique Δ e_c et d'énergie…

En traduisant la conservation de la masse du fluide contenu dans le système (S*), justifier que le débit massique du fluide en entrée est égal à celui en sortie : (δ m₁)/dt = (δ m₂)/dt = Dₘ.

Rappeler le premier principe avec l'enthalpie massique pour un écoulement stationnaire unidimensionnel d'un système à une entrée et une sortie.

Rappeler, sans la démontrer, l'expression générale du premier principe pour un fluide en écoulement permanent à travers une surface de contrôle Σ. On utilisera les notations suivantes : * m pour le…

Ecrire littéralement le premier principe industriel appliqué à l'installation, en fonction de P_i, P_th et des données, en négligeant les termes liés à la position et à la vitesse du fluide.

Préciser, en justifiant, les caractéristiques thermodynamiques des transformations ayant lieu dans : a- les compresseurs. b- la vanne de détente V. c- les éléments M, S et R. on demande ici de…

Montrer que R (h_s - hₑ) = P_u + Pₜh.

Définir le coefficient de performance (COP) de cette machine puis exprimer le coefficient de performance de la machine de Carnot correspondante.

En repérant la courbe de saturation et les abaques de température, noter sur le diagramme les domaines où le fluide est à l'état liquide, vapeur sèche et vapeur-humide (ou mélange liquide-vapeur)

Montrer que le passage du CO₂ dans la vanne est isenthalpe.

En négligeant tout frottement mécanique à l'intérieur de la pompe, exprimer la puissance P qu'elle fournit en fonction de v₀, Pₑ, P₀, ρ₀ et du débit volumique D_v. Exprimer aussi le rendement…

Placer les points A, B, C, D et E - dont la pression et la température sont données sur la figure 4 - sur le diagramme de Mollier du document réponse et représenter l'évolution de la vapeur dans le…

Évaluer la puissance mécanique transmise à l'axe de rotation par la vapeur d'eau dans la turbine haute pression.

En appliquant le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement permanent et en formulant d’éventuelles hypothèses simplificatrices, calculer le travail massique de compression…

Placer, en les reliant et en précisant le sens du cycle décrit, les quatre points A, B, C et D (Figure 1) sur le diagramme joint en annexe, à rendre avec la copie. On justifiera chaque résultat.

Exprimer puis déterminer la valeur numérique du transfert thermique massique, notée q_F, reçu par le fluide R314a dans l'évaporateur.

Exprimer puis déterminer la valeur numérique du travail massique indiqué, noté w_i, reçu par le fluide dans le compresseur.

En réalisant un bilan thermodynamique pendant dt pour l'eau liquide entre les cotes z et z + dz (avec dz ≪ z), en écoulement stationnaire dans l'espace annulaire, justifier que : Dₘ c₅ [T(z + dz) -…

Établir soigneusement la relation vérifiée dans ce cas par h_s - hₑ, w_u et q.

Donner le nom des différentes courbes du diagramme des frigoristes (p, h) du document réponse 1 et y représenter précisément le cycle décrit par le fluide.

Calculer, à partir de données du tableau 1 pour plus de précision, le titre massique en vapeur ainsi que l'enthalpie massique de la vapeur à la sortie de la turbine. Positionner le point…

Déterminer les transferts thermiques massiques reçus par le fluide de la part de la source froide q_F et de la source chaude q_C, ainsi que le travail indiqué (ou utile) massique w reçu au cours du…

À l'aide du document 2 représenter les différents points du cycle effectué par le fluide R410A noté de 1 à 7 sur le diagramme fourni en annexe. On précisera le sens d'évolution le long de ce cycle.

Montrer que le travail massique des forces pressantes reçu par le fluide contenu dans le système (S*) pendant la durée dt s'écrit : w_p = p₁/ρ₁ - p₂/ρ₂.

À partir d'un bilan énergétique pour le fluide contenu dans le système (S*) pendant la durée dt, établir l'expression du premier principe pour un écoulement stationnaire : Dₘ [ (h₂ + e_c,2 + e_p,2)…

Rappeler la démonstration à l'aide du premier principe pour un écoulement stationnaire unidimensionnel dans un système ouvert (à une entrée et une sortie) du « principe industriel » : Δ h + Δ e_mec…

Reproduire sommairement sur votre copie l'allure du diagramme log (P)-h de l'eau fourni en fin de sujet, en veillant à retranscrire au mieux la courbe de saturation et y superposer l'allure du cycle…

Exprimer en fonction des enthalpies massiques aux points 1, 2, 3 et 4 : - le travail utile massique de la turbine (w_iT). Ce travail est parfois dénommé travail indiqué massique ; - le transfert…

Montrer qu'une détente de Joule-Thomson est isenthalpe (H = constante). Ensuite montrer qu'elle est isotherme (T = constante) pour un gaz parfait (GP). Dans un diagramme log (P),h quelles sont donc…

Calculer les valeurs des enthalpies massiques h_B et h_G à partir des données numériques fournies.

Comparer T₁, la température réelle en sortie de compresseur et T_1 is cette température dans les conditions isentropiques. Justifier.

On note hₑₜ, h_st, h_ec et h_sc les enthalpies massiques réelles du fluide en entrée et sortie de la turbine et du compresseur et h_st is et h_sc is les enthalpies massiques du fluide en sortie de…

Justifier cette expression.

Établir l'expression littérale et la valeur numérique de c₆, vitesse du gaz du flux chaud à la sortie de la tuyère.

Noter sur le diagramme, pour chacune des quatre transformations, la nature de la transformation et l'organe (compresseur, condenseur, détendeur, évaporateur) traversé par le fluide.

Compléter le tableau du document réponse en s'aidant du diagramme.

Établir l'expression du travail massique utile w_comp fourni à l'air par le compresseur. En prenant T₃ = 480 K, calculer la puissance P_comp de ce dernier.

A partir de l'identité thermodynamique avec l'enthalpie, exprimer puis calculer le travail massique nécessaire pour compresser l'eau liquide de l'état A à l'état B.

Exprimer puis calculer le rendement du cycle thermodynamique en considérant que l'objectif est de produire du travail mécanique par détente de la vapeur.

Déterminer T₃ en fonction de T₂, γ, r_c et η_c ainsi que la puissance apportée par le compresseur P_comp, en fonction du débit massique d'air Dₘₐ, de R, Mₐ, γ, T₂, r_c et η_c.

Placer sur le document-réponse les points allant de 1 à 6 et dessiner la courbe qui les relie.

En négligeant toutes pertes de charge, déterminer littéralement la puissance mécanique P que la pompe doit développer pour assurer le débit D_p lorsque la pression dans le vase d'expansion est…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la température du fluide θ(x) en régime permanent. On fera apparaître les termes Dₘ, R_th-eq, c_dio, L et θₑ, la température à l'extérieur de la…

Placer les points A, B, C et D du cycle de transformations sur le DR. Tracer l’allure du cycle de transformations sur le même document en indiquant son sens de parcours.

Représenter sur les diagrammes (P, h) et (T, s) des documents réponses 3 et 4 le cycle effectué par l'ammoniac dans le dispositif ETM. On fera apparaître en particulier les points 1, 2, 2', 3, 4 et…

Établir l'expression suivante du premier principe industriel dans le cas d'un système ouvert à une entrée et une sortie, en écoulement permanent avec un débit massique Dₘ, en explicitant bien toutes…

En régime stationnaire, montrer que, en négligeant la diffusion thermique interne à l'eau, le champ de température T(x) dans l'eau vérifie : dT/dx + T/ξ = Tₑ/ξ (II.1) avec ξ = Qₘ c r où c est la…

Tracer le cycle thermodynamique sur le diagramme (p, h) du fluide R407C (figure C du document réponse).

Démontrer, à l'aide d'un bilan d'énergie sur un système judicieusement choisi et en explicitant toute hypothèse éventuellement utile, l'équation P = Dₘ(h_s - hₑ) où h_s et hₑ sont les enthalpies…

Évaluer la puissance mécanique que la pompe doit fournir au fluide. L'évolution du fluide est supposée adiabatique à l'intérieur de celle-ci.

Établir le premier principe pour un kilogramme de fluide frigorifique en écoulement stationnaire unidimensionnel dans un système à une entrée et une sortie. On notera h l'enthalpie massique, w_i le…

Exprimer, puis calculer, le coefficient de performance de cette installation frigorifique. Le comparer au coefficient de performance de la machine de Carnot correspondante et interpréter la…

Faire deux bilans enthalpiques locaux puis montrer que (d(T_C-T_F))/((T_C-T_F))=(-h· L)/c_EAU(1/D_C-1/D_F)dx (1) on posera α=(h· L)/c_EAU(1/D_C-1/D_F).

Représenter le cycle thermodynamique sur le diagramme des frigoristes (figure A du document réponse).

Montrer que le passage du CO₂ dans chaque compresseur est isentrope.

Le rendement de la conversion électro-mécanique du moteur de la pompe est estimé η_élec = 70 % et le rendement de la turbine de la pompe (conversion de l'énergie mécanique de rotation de la turbine…

Définir puis calculer le rendement thermodynamique du cycle. On arrondira le résultat au dixième. Le comparer au rendement de Carnot calculé à la question 3.

Déterminer le nombre d'étages n de détente contenus dans la turbine haute pression.

Calculer la puissance mécanique totale réellement transmise à l'arbre à travers tous les étages de la turbine haute pression. Commenter.

Déterminer, par un raisonnement similaire, l’énergie thermique massique q_cond échangée par le fluide au niveau du condenseur.

Déterminer la puissance utile du compresseur de cette installation.

Quelle est la température à l'entrée, puis à la sortie du condenseur ?

Quel est le titre massique en vapeur à la sortie du détendeur ?

Exprimer puis calculer le COP (coefficient de performance ou efficacité) de ce « générateur d'eau atmosphérique ».

Calculer la valeur numérique de Xₐ pour T = 27 °C, si Δ T = 10 °C.

Exprimer, en fonction des températures, P_th,ec, la puissance reçue par l'eau chaude au niveau de l'évaporateur (cf. figure 2).

Le rendement obtenu est surestimé. Proposer des justifications.

Expliquer pourquoi T₀ ≃ T₁ et h₀ ≃ h₁. Préciser l'allure d'une transformation isentropique dans le domaine liquide du diagramme des frigoristes (p, h).

Définir et calculer l'efficacité η de ce cycle.

À l'aide du Document 1, identifier la source chaude et la source froide ainsi que le système mécanique qui échange un travail avec le fluide de la pompe à chaleur.

Au contact de quelle source doit être mis le condenseur ? Identifier l'échangeur, présent sur le document 1, concerné en justifiant la réponse.

Au contact de quelle source doit être mis l'évaporateur ? Identifier l'échangeur, présent sur le document 1, concerné en justifiant la réponse.

La transformation subie par le fluide dans le compresseur est considérée isentropique dans un premier temps. Comment peut-on justifier cette hypothèse ?

Quel est l'intérêt de la surchauffe ?

Toujours en mode priorité puissance, combien de pompes à chaleur faut-il associer pour satisfaire le besoin en chauffage de la résidence dans son état actuel ?

Lire graphiquement le titre en vapeur x_v du point 6.

Montrer que la variation d'énergie interne du fluide contenu dans le système (S*) pendant la durée dt s'écrit : dU = Dₘ (u₂ - u₁)dt. Donner, sans calculs supplémentaires, les expressions des…

Donner l'expression littérale du flux thermique P_th,a reçu par l'air insufflé à la température T'ₑₓₜ pour le réchauffer à la température T_int de la pièce. Calculer P_th,a.

La pompe a un rendement de 60 %. En déduire la puissance électrique consommée par cette dernière.

Quel est l'intérêt de pouvoir pomper de l'eau de l'aval à l'amont d'un barrage du point de vue de la production électrique globale d'un pays ?

Déterminer de même la puissance thermique P_ifr reçue depuis la source froide durant le cycle.

Quelle est la relation entre les trois puissances qui ont été définies ? Quelle est l'origine physique de cette relation ?

Évaluer le débit massique en eau du circuit primaire, noté Dₘ₁, pour une production d'électricité d'une puissance P_élec ≈ 250 kW.

Exprimer et calculer le transfert thermique reçu par l'air en contact avec le fluide qui est à maintenir à -70^.

On étudie le turbinage adiabatique réversible d'un air à 220^ d'une pression initiale de 10 bar à une pression finale de 1,0 bar. En utilisant le diagramme en annexe, évaluer la température finale…

Quelle relation lie m, m_air et m_carb ?

Soit Pₘ = -P_u la puissance motrice. Justifier sans calcul quel est le signe de Pₘ.

Quelle est la puissance maximale Pₘboost alors accessible ?

Le kit NOS monté est constitué de deux bouteilles de contenance 7 300 g de N₂O chacune. Calculer la durée maximale du "boost" réalisable avec ce kit.

Déterminer littéralement l'enthalpie massique h₉ au point 9 en fonction de x_g, h₁₀ et h_f. Calculer numériquement h₉ (x_g = 0,6 ; h₁₀ = -400 kJ⁻¹ ; h_f = -911 kJ⁻¹).

Etablir le bilan massique de M et S. En déduire le lien entre D_L et D.

Par lecture graphique, déterminer la valeur de l'enthalpie massique h_F de l'eau dans l'état (F).

Calculer la valeur numérique de e_s avec T₀ₙ = 293 K, T₂ₙ = 773 K, η_cs = η_ts = 0,96 et Ψ = 1,55.

Dans quels cas aurait-on toujours T_0d = T₀ₙ et T_2d = T₂ₙ ? Cela est-il réaliste ?

Le rendement théorique étudié précédemment correspond à la limite supérieure du rendement réel puisqu'il ne prend en compte que les pertes liées aux irréversibilités des turbomachines. Citer…

En utilisant le débit massique, exprimer puis calculer la puissance frigorifique P_f de cette machine.

Donner l'expression de la pression P₂ en fonction de P₁, T₁, T₂ et γ. Effectuer l'application numérique.

On pose vₘ = √(2· c_p · Tₑ). Vérifier que cette quantité est homogène à une vitesse. On évalue vₘ à environ 1 000 m⁻¹.

Exprimer puis calculer le transfert thermique massique total nécessaire pour chauffer l'eau dans les économiseur, ballon et surchauffeur.

Identifier et nommer les courbes (1) et (2).

En déduire la valeur du débit massique de carburant D_mf dans le cadre d'un vol à 6 500 m d'altitude à Mach 0,5.

Donner l'expression de la puissance reçue par l'hélice en fonction des puissances présentes aux différents étages et du rendement mécanique ηₘ.

Quel est l'intérêt d'utiliser deux compresseurs au lieu d'un seul pour amener le CO₂ de 6 bar à 80 bar ?

Calculer le débit Dₘ₀ du CO₂ à introduire dans l'installation.

Déterminer la température T₂ de l'eau dans l'état 2.

Exprimer puis calculer le transfert thermique massique reçu par le fluide dans le générateur de vapeur puis déterminer de même le transfert thermique massique reçu dans le condenseur. Commenter les…

En déduire le travail massique reçu par le fluide au cours du cycle. Déterminer le travail massique reçu dans la turbine. Pourquoi est-il différent du travail massique total reçu par le fluide au…

Montrer en utilisant le diagramme de Mollier que la détente à travers la turbine haute pression peut être considérée comme isentropique. Déterminer la température que l'on obtiendrait en sortie de…

Calculer la puissance mécanique maximale transmise à l'axe de rotation si l'on utilisait une unique turbine réalisant une détente isentropique ?

Déterminer la puissance thermique fournie par le surchauffeur, puis calculer la puissance mécanique totale transmise à l'axe de rotation en considérant l'ensemble du circuit de vapeur, constitué des…

Estimer la puissance mécanique transmise à l'arbre de la turbine moyenne pression si l'évolution de la vapeur était adiabatique et réversible avec la même pression de sortie p_D = 4 bar ? En déduire…

Établir un critère qualitatif portant sur des durées caractéristiques permettant de justifier que l'évolution du fluide dans le stator est bien adiabatique. On admettra dans la suite que ce critère…

Définir et calculer l’efficacité ε de cette pompe à chaleur.

Calculer le débit massique Dₘ du fluide R290 dans l’installation.

Calculer le travail utile massique fourni par le cœur en supposant que celui-ci fonctionne comme une pompe adiabatique. En déduire la valeur numérique de la puissance fournie.

En utilisant la définition de Xₐ, exprimer le débit massique de vapeur d'eau entrant en A, noté par D_mve, en fonction de Xₐ et Dₘₐ. Effectuer ensuite un bilan de matière, uniquement sur l'eau, en…

La compression isentrope entre les points 4 et 1 est représentée sur le diagramme (P, h) du document réponse 3. Justifier sa forme.

La détente isenthalpe entre les points 2 et 2' est représentée sur le diagramme (T, s) du document réponse 4. À l'aide des deux diagrammes, déterminer la température T_2', l'enthalpie massique h_2'…

La détente isentrope entre les points 2 et 3 est représentée sur le diagramme (P, h) du document réponse 3. À l'aide des deux diagrammes, déterminer la température T₃, l'enthalpie massique h₃ et…

Compléter le tableau du document réponse 5.

Exprimer et calculer P_th,E,R et P_th,E,V, les puissances thermiques reçues par l'ammoniac au niveau de l'évaporateur lors des cycles respectivement réel et virtuel, puis commenter leur signe.

En déduire l'expression et la valeur numérique de mₑ.

Au niveau du surchauffeur, situé entre les points 2' et 3, donner une relation entre m₁, m₂ et m₃. Calculer m₃.

Exprimer et calculer P_C,R et P_C,V, puissances reçues par l'ammoniac au niveau du condenseur lors des cycles respectivement réel et virtuel, puis commenter leur signe.

Exprimer dans le cas réel Pₑf, la puissance reçue par l'eau froide au niveau du condenseur, puis en déduire la valeur de T₈.

Exprimer et calculer P_T,V, puissance utile reçue par l'ammoniac dans la turbine T entre les points 2 et 3 du cycle virtuel. Commenter son signe.

Exprimer et calculer P_P_1,R et P_P_1,V, puissances utiles reçues par l'ammoniac au niveau de la pompe P₁ lors des cycles respectivement réel et virtuel.

Déduire de l'étude précédente le rendement η_V du cycle virtuel.

Exprimer T_s - Tₑ en fonction de R₄, H, Dₘ, c₅ et P₀. Exprimer la température T(z) de l'eau liquide en fonction de Tₑ, T_s, z et H.

En utilisant le diagramme enthalpique ci-dessus, répondre aux questions suivantes. a) Donner les valeurs des pressions Pₑ au sein de l'évaporateur et P_c au sein du condenseur. b) Déterminer le…

Montrer que l'efficacité e₁ de ce réfrigérateur est proche de 3,0.

Déterminer à l'aide du diagramme : — le travail massique indiqué reçu par le fluide de la part du compresseur ; — le transfert thermique massique reçu par le fluide à la traversée du condenseur ; —…

Calculer l'efficacité de la pompe à chaleur fonctionnant avec le fluide R410A (on donnera le résultat avec deux chiffres significatifs). Quel est l'intérêt d'une pompe à chaleur par rapport à un…

Exprimer la température de l'eau juste après le point de jonction J en fonction de Qₘ, Q_m,2, x_J notamment.

Évaluer le débit de masse Dₘ du fluide frigorigène lorsque la pompe à chaleur fonctionne en mode « priorité puissance ». Commenter.

Déterminer l'expression de la puissance échangée entre l'ensemble des accumulateurs et l'air supposé se comporter comme un gaz parfait, puis calculer sa valeur numérique à partir des mesures de…

Relier le sens de parcours du cycle au mode de fonctionnement de la machine.

Qualifier l'état du fluide aux points 3 et 4.

Exprimer puis calculer numériquement le transfert thermique massique q_f reçu par le fluide dans l'évaporateur.

En déduire l'efficacité réelle e de la machine frigorifique.

Exprimer puis calculer numériquement la puissance thermique extraite de la chambre froide P_th, f.

Montrer à l'aide de l'expression établie à la Q4 et en précisant les systèmes ouverts choisis que T_int - T'_int = T'ₑₓₜ - Tₑₓₜ. Calculer T'_int.

Déduire des résultats précédents la puissance P_c fournie par le chauffage pour maintenir une température intérieure T_int constante. Calculer P_c.

En déduire que l'équation différentielle vérifiée par T(x) peut s'écrire sous la forme dT/dx + 1/δ T = Tₑₓₜ/δ en précisant expression et dimension de δ.

Déterminer la puissance thermique P_ich reçue depuis la source chaude durant le cycle en fonction de Dₘ, γ, R, M_air et des températures caractérisant le cycle.

En estimant l'échangeur sans perte, lier les différentes grandeurs du tableau.

En déduire l'expression de la température T_eh puis, dans le cas où l'air sortant de l'échangeur est aux environs de T_sa = 100^, estimer sa valeur numérique.

En l'absence de tuyère, déterminer la vitesse v₀ en sortie de cœur de réacteur en fonction de P₀, T₀, S₀, Dₘ et de la constante spécifique du dihydrogène r = R/M_H_2, puis calculer sa valeur. La…

Compléter le schéma en annexe avec les lettres des différents états du cycle.

En utilisant le diagramme log (P),h de l'air (R729) fourni en annexe (unité des isothermes en ^, unité des isentropes en kJ⁻¹⁻¹), exprimer puis calculer le travail massique reçu par l'air lors de la…

En considérant que le travail du compresseur électrique soit la seule énergie dépensée, exprimer et calculer l'efficacité du cycle. Commenter.

Exprimer et calculer le transfert thermique massique reçu du R134a par l'air dans les trois échangeurs « R134a ». En déduire le transfert thermique total reçu par le R134a.

On considère cette fois-ci un turbinage adiabatique irréversible (δ S_i > 0) de 10 bar à 1,0 bar et une température finale T_F-IRREV. Comparer sans calcul T_F-IRREV et T_F-REV en justifiant à l'aide…

Si la température devient trop basse et qu'on se rapproche du domaine diphasé, quelle(s) risque(s) encour(en)t la turbine ? Donner alors un avantage et un inconvénient au turbinage pour…

Donner un avantage et un inconvénient à la détente de Joule-Thomson pour l'abaissement de température. (regarder la forme des isenthalpes dans le diagramme TS)

Calculer le transfert thermique massique q_c reçu par le fluide dans la chaudière.

Calculer le travail massique wₜ reçu de la part de la turbine.

Calculer la puissance thermique reçue par l'eau de chauffage domestique P_d.

Calculer le débit massique D_d que doit posséder l'eau de chauffage domestique.

Calculer la puissance indiquée minimale de la pompe. Commenter.

Considérons (G) à la traversée du bloc moteur. Sa température est T_ad à l'admission et T_ec à l'échappement. En appliquant, d'une part, le premier principe à (G) et en supposant, d'autre part, que…

Montrer que Pₘ peut s'écrire sous la forme suivante : Pₘ = m [ pci/((pco)_air) - c_p(T_ec - T_ad) ].

Établir l'expression de m en fonction de ρ_ad, C et f_vilb.

Expliquer en trois ou quatre lignes au maximum : a) l'obtention d'un débit molaire en air augmenté par rapport à la valeur trouvée en Q26b ; b) l'obtention d'une puissance motrice augmentée par…

La capacité thermique massique du gaz de décomposition de N₂O est c'_p = 1 100 J⁻¹⁻¹. En notant n_N_2O le débit molaire du protoxyde d'azote, la formule de la puissance motrice fournie en Q24…

La valeur de s_f n'est pas facile à lire sur le diagramme P/h de la feuille réponse. Placer les points i, f et 10 sur ce diagramme et donner l'expression littérale permettant le calcul de s_f à…

Ecrire littéralement le deuxième principe appliqué à l'installation, en fonction de P_th et des données, en tenant compte d'un terme de création massique d'entropie s_c (vérifier l'homogénéité de la…

En déduire l'expression de la puissance P_i en fonction de s_c et des données.

Les états i et f étant fixés, montrer qu'il existe une puissance utile minimale P_min nécessaire à la liquéfaction d'un débit massique D de méthane et la déterminer littéralement [numériquement…

On définit le taux de performance TP d'une installation de liquéfaction par : TP = P_min/P_i. En respectant le domaine de définitions des grandeurs, représenter graphiquement TP puis P_i en fonction…

Porter les différents points du cycle (sauf le point 11) sur le diagramme P/h de la feuille réponse et compléter le tableau d'état de la feuille réponse (à joindre à la copie).

A partir d'un bilan énergétique de S, démontrer que, dans le cas où S est parfaitement isolé thermiquement, x_g = D₂/D₁.

En déduire, en fonction de D et x_g, les expressions littérales de D₁ et D₂. Calculer numériquement D₁ et D₂ avec D = 10 g⁻¹ et x_g = 0,6.

Déterminer littéralement l'enthalpie massique h₁₁ au point 11, en fonction de h₀, h₁ et x_g.

• Lire sur le diagramme les valeurs de h₀ et h₁ puis faire le calcul numérique de h₁₁. • Positionner le point 11 sur le diagramme P/h de la feuille réponse (à joindre à la copie) et compléter le…

Déterminer numériquement la puissance utile totale à fournir à l'installation pour produire D_L = 10 g⁻¹ de méthane liquide. En déduire la valeur de TP(B).

Estimer la valeur de l'enthalpie massique h_D.

Exprimer les relations simples qui existent entre les débits R₀, R₁ et R₃, puis entre R₂, R₁ et x_B (titre de vapeur au point B) et enfin entre R₄, R₁ et x_B.

Le surchauffeur est un simple échangeur de chaleur entre deux fluides ; il n'y a donc aucune puissance mécanique mise en jeu. En supposant que le surchauffeur soit parfaitement calorifugé, trouver…

Les transformations dans les turbines HP et BP sont-elles réversibles ? Justifier soigneusement votre réponse. Dans le cas où les transformations sont irréversibles, quelles sont les causes de cette…

Reproduire schématiquement le cycle isentropique de la figure 3 en identifiant les éléments traversés par le fluide dans chaque étape du cycle.

En utilisant les rendements par rapport à l'isentropique des deux turbomachines lors du stockage, exprimer les températures T₁ et T₃ en fonction de T₀ₙ, T₂ₙ, Ψ, η_cs et η_ts.

Exprimer e_s en fonction de T₀ₙ, T₂ₙ, Ψ, η_cs et η_ts.

Déterminer un ordre de grandeur du debit massique d'argon dans une installation SEPT typique.

À chaque cycle de déstockage, la température du gaz à la sortie des enceintes doit augmenter, ce qui échauffe le matériau des enceintes. Proposer une solution pour évacuer l'excédent d'énergie en…

Comparer les rapports de pression au déstockage et au stockage.

Par la même méthode qu'à la question 10, exprimer e_d, énergie massique mise en jeu lors du déstockage.

Montrer que le choix des turbomachines nécessite un compromis entre rendement isentropique et résistance aux températures élevées.

Établir également l'expression littérale et la valeur numérique de c₇, vitesse du gaz du flux froid à la sortie de la tuyère.

Sur un schéma de principe, identifier les différents transferts énergétiques qui interviennent au sein de la machine entre les différents éléments schématisés figure 2 et donner leur signe.

Quel est le rôle du condenseur et au contact de quel élément de la figure 2 doit-il être mis ?

Quel est le rôle de l'évaporateur et au contact de quel élément doit-il être mis ?

Montrer que le fluide subit une détente isenthalpique dans D.

Quelle est la forme des isothermes à l'intérieur de la courbe de saturation ? Justifier.

Porter le numéro de chaque état du fluide (2, 3 et 4) dans chaque case prévue.

Exprimer, puis calculer, le travail massique indiqué w_ic reçu par le fluide dans le compresseur.

Exprimer, puis calculer, le transfert thermique massique q_f reçu par le fluide dans l'évaporateur.

Donner l'expression de la température T₂ en fonction de T₁, Vₐ et c_p. Effectuer l'application numérique.

Donner l'expression de la vitesse de sortie du gaz v_s en sortie de tuyère en fonction de T₅, T₆ et c_p. Calculer la valeur de v_s sachant que T₆ = 680 K.

Déterminer la puissance liée à la force propulsive.

Calculer le rendement η du turboréacteur qui correspond au rapport entre la puissance liée à la force propulsive et la puissance qui sert à chauffer le gaz dans la chambre de combustion P_chamb =…

Que vaut α en entrée de la tuyère ? Montrer, à l'aide de la figure 13 et des relations des questions précédentes que pour que la vitesse augmente la tuyère doit d'abord être convergente.

On note S_col la section minimale de la tuyère à l'abscisse x_col lorsque la vitesse est v_lim. Donner l'expression du rapport S_col/Sₑ en fonction de vₑ, vₘ et G(α_c). Donner une valeur numérique…

Pour les avions civils de transport de passagers, les tuyères sont convergentes afin que l'air sorte à une vitesse égale à la vitesse du son. La pression à la sortie de la tuyère est égale à la…

Pour les avions militaires, on souhaite que la vitesse à la sortie de la tuyère soit supersonique (supérieure à la vitesse locale du son). Quelle forme doit-on donner à la tuyère après la partie…

Exprimer puis calculer le rendement du cycle en considérant que l'objectif est de produire du travail mécanique par détente de la vapeur.

On suppose que l'état de l'eau (375^ ; 40 bar) en sortie des deux chaudières de l'unité de valorisation des déchets permet de restituer de l'énergie jusqu'à l'état (25^ ; 1,0 bar). Exprimer puis…

Est ce que la valeur du débit correspond aux besoins de chauffage du lycée ? Justifier par un calcul.

En relevant les températures extrémales, justifier pourquoi on utilise un modèle à contre courant (courants des fluides en sens opposé) plutôt qu'un modèle à co-courant (courants des fluides dans le…

Déterminer l'expression de T₂, puis P₂, en fonction de T₁ (respectivement P₁), γ et µ₁.

À l'aide d'un bilan au niveau de la chambre de combustion, déterminer la température T₄ en fonction de T₃, Mₐ, Δ_r H°, R, et γ.

Comment le graphique précédent est-il modifié si les hypothèses suivantes de la modélisation ne sont pas strictement vérifiées (répondre qualitativement) : ▪ transfert thermique vers l'extérieur…

• Déterminer numériquement la consommation de carburant par passager pour 100 km en vol de croisière (78 passagers dans l'avion). • Comparer avec la donnée constructeur de consommation (tableau de…

Tirer de cette étude trois points clés du développement des avions hybrides dans un contexte de transport aérien inter régions.

Calculer la puissance mécanique totale nécessaire pour alimenter les deux compresseurs C₁ et C₂.

Calculer la puissance mécanique totale nécessaire pour alimenter la machine frigorifique.

Calculer le débit massique Dₘ₁ de CO₂ liquide obtenu en sortie du séparateur S.

Le sous-marin développe, pour la propulsion, une puissance motrice P_méca = 200 kW. Le rendement de l'alternateur est de l'ordre de 95 En supposant que 80

Établir la relation donnant la température θ_s de l'eau de mer rejetée par le condenseur en fonction des données utiles. Calculer θ_s puis commenter la valeur numérique obtenue.

Exprimer, au premier ordre en Δ p₁, la variation de température Δ T₁ = T₁ - T_A du fluide entre l'entrée et la sortie du stator. En appliquant le premier principe des systèmes ouverts dans le…

Appliquer le principe énoncé question 21 au modèle simplifié du psychromètre représenté Figure 4 pour trouver l'expression recherchée de Xₐ. En négligeant les variations d'énergie cinétique et…

En prenant par exemple T_s = 17 °C et Δ T = 10 °C, comparer les ordres de grandeur des différents termes apparaissant dans l'expression de Xₐ, puis montrer que : Xₐ ≈ X_as - cₐ/(ℓ_v(27 °C)) Δ T

Comment nomme-t-on la détente adiabatique et isenthalpique d'un fluide ? La transformation ainsi décrite est-elle réversible ? À quelle condition une détente de ce type permet-elle un…

Représenter précisément le cycle décrit par le fluide dans le diagramme des frigoristes du document réponse 1. Définir et calculer l'efficacité de ce cycle.

En réalité, la transformation subie par le fluide à la traversée du compresseur n'est pas isentropique. L'efficacité réelle vaut 90

Vérifier le gain de performance annoncé dans le Document 3.

Évaluer le COP. Comparer à la documentation technique et expliquer d'éventuelles différences.

Exprimer puis calculer numériquement le transfert thermique massique q_c reçu par le fluide dans le condenseur.

Exprimer puis calculer numériquement le travail indiqué w_i reçu par le fluide de la part du compresseur.

Dans le cas d'une VMC simple flux, calculer le flux thermique P'_th,a reçu par l'air insufflé pour le réchauffer à la température de la pièce, puis la puissance P'_c fournie par le chauffage pour…

On suppose par la suite que la température de l'eau ne dépend que de la variable x, et on néglige les phénomènes de diffusion thermique en son sein. Appliquer l'égalité écrite à la question 16 à la…

Justifier qu'on puisse négliger la variation d'énergie potentielle de pesanteur en question 18 ainsi que la variation de la température avec la variable z dans le tuyau dans la partie II-A.

Estimer littéralement le travail indiqué massique de l'ensemble turbine-alternateur de cette installation dans le cas d'un fonctionnement en régime maximum. Comparer numériquement à l'énergie…

En appliquant le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert au cœur du réacteur, établir l'expression du débit massique Dₘ en fonction de P_th, T₀, T_vap, M_H_2, Δ H_vap, R et γ.

Cette expression permet de calculer un débit massique Dₘ = 27,4 kg⁻¹. Compte tenu des données proposées par la NASA, cette valeur vous semble-t-elle réaliste ?

À partir de la relation établie à la question 32 et en tenant compte du caractère isentropique de l'évolution, établir une relation entre la température et la vitesse dans la tuyère. À quelle loi de…

Compléter le tableau de l'annexe, placer les points et tracer le cycle sur le diagramme log (P),h de l'air en annexe.

On considère une efficacité égale à 2 pour refroidir le fluide R134a par un système complémentaire afin de compenser les échanges avec l'air. Exprimer et calculer une nouvelle efficacité pour le…

La détente de Joule-Thomson du cycle des machines cryogéniques utilisant l'Hélium au CERN se produit à partir de 3,0 bar et 5,5 K. À l'aide du document 5, relever les entropies du diagramme pour…

Compléter le diagramme log (P) = f(h) (figure A du document réponse), en représentant le cycle parcouru par le fluide et en indiquant les étapes 1, 2, 3 et 4.

Justifier la légitimité de l'hypothèse |w_p| ≪ |wₜ|.

Quelle puissance mécanique Pₜ reçoit la turbine ? Faire l'application numérique. Commenter le résultat.

Exprimer puis calculer e_cogen, l'efficacité de la machine utilisant le principe de cogénération. Commenter.

a) En écrivant la loi des gaz parfaits, exprimer puis calculer ρ_ad. b) Pour C = 2 L, calculer m, puis le débit molaire en air n_air. c) Donner la valeur de la puissance motrice pour ce moteur…

Déterminer littéralement (en fonction des enthalpies et débits massiques utiles) la puissance P à fournir à l'ensemble des 3 compresseurs pour produire un débit D_L = 10 g⁻¹ de méthane liquide (on…

Bilan de REF₁ : Déterminer littéralement la puissance thermique totale P_th1 transférée à SF₁ (provenant des 3 échangeurs E₀, E₁ et E₂) et la puissance électrique Pₑ₁ à fournir à REF₁ (on trouve Pₑ₁…

Bilan de REF₂ : Déterminer littéralement la puissance thermique totale P_th2 transférée à SF₂ et la puissance électrique Pₑ₂ à fournir à REF₂ (on trouve Pₑ₂ = 3,3 kW).

Placer tous les états A, B, C, , I sur le diagramme (T, s) de l'eau fourni dans le document réponse.

Calculer numériquement les différents débits.

Déterminer l'expression du débit que doit avoir le circuit tertiaire pour que son élévation de température ne dépasse pas 5 ^. Estimer puis commenter son ordre de grandeur. Justifier l'existence…

Définir et calculer un rendement pour l'ensemble du circuit secondaire. Comparer ce rendement à d'autres rendements connus. (Pour information, chaque réacteur est en fait associé à 4 circuits…

Montrer que T_0d = T₀ₙ (1 + (Ψ - 1)/η_cd)(1 + (η_ts(1 - Ψ))/Ψ) T_2d = T₂ₙ (1 + (Ψ - 1)/η_cs)(1 + (η_td(1 - Ψ))/Ψ) où η_cd et η_td sont les rendements par rapport à l'isentropique du compresseur et…

Montrer que T_0d T₀ₙ et que T_2d T₂ₙ.

Exprimer Ψ_d en fonction des rendements η_cs et η_td et de Ψ. Vérifier le résultat obtenu sur un cas limite.

À quelles conditions peut-on obtenir un rendement théorique de 90 % en supposant que la turbomachine chaude ne peut pas dépasser 1000 °C ?

Dans quel sens est parcouru le cycle ? Lorsqu'un cycle est parcouru dans le sens trigonométrique sur un diagramme de Clapeyron, la quantité de chaleur reçue par cycle est négative et donc fournie à…

Quelle est la forme des isothermes dans le domaine de la vapeur sèche ? Justifier lorsque l'on peut assimiler la vapeur sèche à un gaz parfait.

Sachant que le travail fourni par la détente du gaz dans la turbine est intégralement reçu par le compresseur, déterminer l'expression de la température T₅ en fonction de T₂, T₃ et T₄. Calculer la…

Montrer que le débit massique Dₘ à l'abscisse x a pour expression : Dₘ = ρₑ · vₘ · S(x) · G(x). Donner l'expression de la fonction G(x) en fonction de Pₑ, P(x), vₑ, vₘ et γ.

En considérant que vₑ = 100 m⁻¹, on peut négliger vₑ² devant vₘ². Dans ces conditions, on admet que de la fonction G(α) est maximale pour α_c = [2/(1+γ)]γ/⁽γ⁻¹⁾. Montrer qu'avec une tuyère…

On rappelle que la théorie des ondes sonores permet d'établir que la célérité c du son dans un gaz supposé parfait et subissant une transformation adiabatique réversible est donnée par la relation c…

En période chaude, le revêtement routier peut être à une température uniforme de θₑₓₜ = 70^. L'eau en écoulement, dont la température ne dépend que de z, a une température d'entrée dans le réseau de…

L'eau ainsi chauffée est envoyée dans le réseau enfoui dans le sol de température θ_sol = 5^. On « stocke » ainsi son énergie thermique en remplissant le réseau enfoui. a) Les tuyaux du réseau…

A l'aide des informations annoncées, estimer la consommation énergétique annuelle d'un habitant en chauffage et eau chaude sanitaire collectif. Commenter sachant qu'un logement peu isolé, ayant une…

Faire deux bilans enthalpiques entre les entrées et les sorties en faisant apparaître la puissance totale échangée P > 0 puis montrer que α=(h· L)/P[(T_C(0)-T_F(0))-(T_C(D)-T_F(D))]

Étudier le signe de α en fonction des débits et en fonction de l'évolution du différentiel de température (T_C-T_F)(x). En déduire une information numérique sur le débit du fluide froid qui circule…

Enfin en intégrant l'expression (1) montrer que h=P/(L· D)(ln ((T_C(0)-T_F(0))/(T_C(D)-T_F(D))))/((T_C(0)-T_F(0))-(T_C(D)-T_F(D)))

Déterminer la puissance totale Pₜₒₜ extraite au cours de la détente ④⟹⑤ et ⑤⟹⑥, en fonction de Dₘₐ, T₄, AFR, des différentes constantes et des pressions P₄ et P₁.

Calculer en € le coût en électricité pour produire de quoi remplir 10 000 cartouches de CO₂.

Calculer l'efficacité du cycle en vous appuyant notamment sur les caractéristiques thermodynamiques du cycle fournies dans le tableau 2. En déduire la puissance disponible aux bornes de…

À l'aide d'une démarche à préciser, déterminer une estimation du rendement que l'on obtiendrait en l'absence de surchauffeur. Commenter.

Montrer qu'il y a nécessité d'avoir un rapport de pression isentropique en stockage Ψ différent de celui en déstockage Ψ_d et donc d'utiliser deux paires de turbomachines (compresseur et turbine)…

En exploitant le couplage mécanique entre turbine, compresseur et soufflante, établir les expressions littérales et les valeurs numériques des températures T₂, T₃, T₅ et de la pression P₅ en sortie…

On souhaite améliorer la puissance frigorifique de 5