Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2026

L'axe (Oz) étant vertical descendant, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{e}_z. Les particules minérales sont modélisées par des sphères indéformables de rayon r, de volume \mathcal{V} = \frac{4}{3}\pi r^3 et de masse volumique \rho_0.

Une particule en mouvement à la vitesse \vec{v} dans l'eau de masse volumique \rho_{\mathrm{e}} et de viscosité dynamique \eta est soumise à trois forces :

• Le poids de la particule :

  \boxed{\vec{P} = m\vec{g} = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0 g\,\vec{e}_z}

• La poussée d'Archimède, opposée au poids du volume d'eau déplacé :

  \boxed{\vec{\Pi} = -\rho_{\mathrm{e}}\mathcal{V}\vec{g} = -\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{\mathrm{e}} g\,\vec{e}_z}

• La force de frottement fluide (formule de Stokes donnée par l'énoncé) :

  \boxed{\vec{F} = -6\pi\eta r \vec{v}}

On étudie une particule sphérique de masse m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0 dans le référentiel lié au bocal, supposé galiléen.

D'après le bilan des forces établi à la question précédente :

En projetant sur l'axe vertical descendant orienté par le vecteur unitaire \vec{e}_z :

En divisant par la masse m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0, on obtient l'équation différentielle :

Soit sous forme canonique :

Lorsque la vitesse limite est atteinte, l'accélération s'annule (\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0), d'où :

Ce qui donne l'expression de la vitesse limite :

Puisque la masse volumique des particules est supérieure à celle de l'eau (\rho_0 > \rho_{\mathrm{e}}), on en déduit immédiatement :

D'après la question Q2, l'équation différentielle régissant la vitesse v_z(t) s'écrit :

En introduisant la vitesse limite v_\ell = \dfrac{2(\rho_0 - \rho_{\mathrm{e}})g r^2}{9\eta}, cette équation se met sous la forme canonique :

On identifie ainsi le temps caractéristique de relaxation visqueuse :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est la somme de la solution particulière (le régime permanent v_\ell) et de la solution générale de l'équation homogène :

où A est une constante déterminée par la condition initiale v_z(0) = 0 :

On en déduit l'expression temporelle de la vitesse de la particule :

D'après la question 3, l'évolution temporelle de la vitesse verticale d'une particule lâchée sans vitesse initiale est donnée par :

Par intégration directe par rapport au temps entre 0 et t :

En utilisant la condition initiale z(0) = 0, on obtient la loi horaire de la cote z(t) :

D'après l'énoncé, le temps de sédimentation \tau_s est la durée nécessaire pour qu'une particule lâchée sans vitesse initiale à la surface (z(0) = 0) atteigne le fond du bocal, situé à la cote z = p.

Ce temps vérifie donc la condition :

En utilisant la loi horaire z(t) établie à la question Q4 :

on obtient immédiatement :

D'après la question 5, le temps de sédimentation \tau_s vérifie l'équation :

Pour les particules de sable (r = 2\text{ mm}), le tableau fournit :

Étapes de la démarche graphique sur le document annexe :

1. Repérage de l'ordonnée : Sur l'axe des ordonnées en échelle logarithmique, on repère la graduation correspondant à f(x) = 5 \times 10^{-2} (cinquième ligne de la décade comprise entre 10^{-2} et 10^{-1}).
2. Intersection avec la courbe : On trace un segment horizontal d'ordonnée 5 \times 10^{-2} jusqu'au point d'intersection avec la courbe représentative de f(x).
3. Lecture de l'abscisse : Depuis ce point d'intersection, on abaisse un segment vertical vers l'axe des abscisses.

Entre les graduations 10^{-1} = 0{,}1 et 10^0 = 1, l'intersection se situe un peu au-dessus de la troisième subdivision (0{,}3). On lit :

On en déduit la valeur prise par le temps de sédimentation \tau_s :

La fonction f est définie pour tout x \ge 0 par :

Lorsque x \gg 1, le terme exponentiel devient négligeable devant 1 (\mathrm{e}^{-x} \ll 1), et 1 est lui-même négligeable devant x (1 \ll x). On obtient donc l'équivalent :

En coordonnées logarithmiques (\log_{10}(x), \log_{10}(f(x))), cette relation asymptotique se traduit par :

Il s'agit de l'équation d'une droite de pente unité passant par l'origine en repère log-log (la première bissectrice).

Sur le graphe de la figure 3, on constate en effet que :

• Pour x \ge 10, la courbe est une droite rectiligne ;
• Pour chaque décade franchie en abscisse, l'ordonnée augmente exactement d'une décade : pour x = 10^1, on lit f(x) = 10^1 ; pour x = 10^2, f(x) = 10^2 ; pour x = 10^3, f(x) = 10^3 ; et pour x = 10^4, f(x) = 10^4.

Le comportement asymptotique linéaire de pente 1 est donc parfaitement confirmé par le graphe.

D'après la question Q5, le temps de sédimentation \tau_s vérifie l'équation adimensionnée :

D'après la question Q7, pour x \gg 1, la fonction f se réduit à son comportement asymptotique :

On en déduit l'expression approchée du temps de sédimentation :

Pour les limons (r = 20\text{ }\mu\mathrm{m}) : D'après le tableau, \dfrac{p}{v_\ell \tau_c} = 5 \times 10^6 \gg 1, ce qui valide pleinement l'hypothèse x \gg 1. On obtient :

Pour les argiles (r = 1\text{ }\mu\mathrm{m}) : D'après le tableau, \dfrac{p}{v_\ell \tau_c} = 8 \times 10^{11} \gg 1, ce qui valide également l'approximation x \gg 1. On obtient :

En convertissant en heures :

D'après la question Q3, les argiles possèdent un temps caractéristique de relaxation visqueuse :

Puisque la durée de sédimentation des sables (\tau_{s,\text{sables}} \approx 0{,}3\text{ s}) vérifie très largement \tau_{s,\text{sables}} \gg \tau_{c,\text{argiles}}, les particules d'argile se déplacent à leur vitesse limite v_{\ell,\text{argiles}} dès le début du mouvement. La distance parcourue par les particules d'argile issues de la surface vaut ainsi :

Or, d'après la question Q8, la hauteur du bocal p est parcourue par les argiles en un temps \tau_{s,\text{argiles}} à cette même vitesse limite :

On en déduit l'expression littérale du rapport :

Avec \tau_{s,\text{sables}} \approx 0{,}3\text{ s} (question Q6) et \tau_{s,\text{argiles}} \approx 1{,}6 \times 10^5\text{ s} (question Q8) :

Puisque \epsilon / p \ll 1, lorsque la totalité des grains de sable a atteint le fond du bocal, les argiles sont quasiment immobiles à l'échelle du récipient (pour un bocal de hauteur p \sim 15\text{ cm}, \epsilon \sim 0{,}3\,\mu\text{m}). Les sables se déposent donc au fond sans emprisonner d'argiles.

Les échelles de temps de décantation étant très nettement séparées :

les particules sédimentent par étapes successives bien distinctes. La décantation fractionnée est donc extrêmement efficace pour séparer les différents constituants en strates granulométriques bien délimitées.

D'après les résultats obtenus aux questions précédentes, les temps caractéristiques de sédimentation pour chaque classe granulométrique valent :

• pour les sables (r \sim 2\text{ mm}) : \tau_{s,\text{sables}} \approx 0{,}3\text{ s} ;
• pour les limons (r \sim 20\text{ }\mu\text{m}) : \tau_{s,\text{limons}} \approx 450\text{ s} \approx 7{,}5\text{ min} ;
• pour les argiles (r \sim 1\text{ }\mu\text{m}) : \tau_{s,\text{argiles}} \approx 1{,}6 \times 10^5\text{ s} \approx 44{,}4\text{ h}.

Une durée d'attente de 72\text{ h} est nettement supérieure au temps nécessaire à la sédimentation des argiles (72\text{ h} > 44{,}4\text{ h}).

Cette durée permet donc :

• le dépôt complet de toutes les particules minérales, y compris les particules d'argile les plus fines (dont le rayon est de l'ordre du micromètre) ;
• la clarification du mélange eau/sol ;
• la formation de strates bien délimitées et nettes (sables au fond, limons au centre, argiles au-dessus), rendant possible la mesure précise de leurs épaisseurs respectives et l'estimation fidèle de la texture du sol.

L'armature de gauche étant reliée à la masse, son potentiel électrique est nul :

Le générateur idéal impose une différence de potentiel égale à sa force électromotrice U. D'après les polarités indiquées sur la figure 4 (l'armature de droite porte une charge positive +Q et l'armature de gauche une charge négative -Q, la flèche de tension étant orientée vers la droite) :

On en déduit immédiatement le potentiel de l'armature de droite :

1. Condition sur les dimensions :

Les effets de bord peuvent être négligés lorsque l'espacement c entre les électrodes est très inférieur à leurs dimensions caractéristiques a et b :

Ici, c = 1\text{ cm} alors que a = 12\text{ cm} et b = 10\text{ cm}, ce qui assure un rapport de l'ordre de 1/10. Les armatures peuvent donc être modélisées par des plans infinis selon les directions transverses.

2. Étude des invariances :

En négligeant les effets de bord, la distribution de charges est invariante par toute translation selon l'axe (Oy) et selon l'axe (Oz). Par conséquent, le potentiel et le champ électrique ne dépendent pas des coordonnées y et z :

3. Étude des symétries :

Considérons un point M(x, y, z) quelconque situé dans l'espace inter-électrodes :

• Le plan passant par M et de vecteur normal \vec{u}_y (parallèle au plan (Oxz)) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique en M est donc contenu dans ce plan, d'où :

  E_y(x) = 0

• Le plan passant par M et de vecteur normal \vec{u}_z (parallèle au plan (Oxy)) est également un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique en M est donc contenu dans ce plan, d'où :

  E_z(x) = 0

Le champ électrique n'a donc qu'une composante selon \vec{u}_x.

On en déduit bien :

L'équation de Poisson reliant le potentiel électrostatique V à la densité volumique de charge \rho s'écrit :

où \varepsilon désigne la permittivité diélectrique du milieu considéré (ici le sol).

D'après le préambule de la sous-partie, le sol reste électriquement neutre, ce qui se traduit par une densité volumique de charge nulle dans l'espace inter-électrodes : \rho = 0. L'équation de Poisson devient alors l'équation de Laplace :

D'après l'étude d'invariance menée à la question Q12, le potentiel ne dépend que de la seule coordonnée spatiale x, soit V(x,y,z) = V(x). Le laplacien se réduit donc à sa dérivée seconde spatiale :

En intégrant deux fois successivement par rapport à x, on obtient une fonction affine :

Les constantes d'intégration se déterminent à l'aide des conditions aux limites établies à la question Q11 :

• en x = 0 (armature de gauche) : V(0) = V_g = 0 \implies B = 0 ;
• en x = c (armature de droite) : V(c) = V_d = U \implies A\,c = U \implies A = \dfrac{U}{c}.

On en déduit l'expression du potentiel dans l'espace inter-électrodes :

Le champ électrostatique dérive du potentiel électrique selon la relation locale :

Comme le potentiel ne dépend que de la coordonnée x, l'expression du gradient en coordonnées cartésiennes se réduit à :

En utilisant l'expression du potentiel obtenue à la question Q13, V(x) = \dfrac{U}{c}x, on en déduit directement :

Dans le sol assimilé à un conducteur ohmique de conductivité \gamma_{\text{sol}}, la loi d'Ohm locale s'écrit :

En utilisant l'expression du champ électrique obtenue à la question Q14, \vec{E} = -\dfrac{U}{c}\vec{u}_x, on a :

Le courant circule physiquement dans le sens des potentiels décroissants, soit de l'armature de droite (à potentiel V_d = U) vers l'armature de gauche (à potentiel V_g = 0), c'est-à-dire dans le sens opposé à \vec{u}_x.

On choisit d'orienter l'intensité I de l'électrode droite vers l'électrode gauche, en définissant le vecteur unitaire normal sortant de la section transverse par \vec{n} = -\vec{u}_x.

L'intensité totale I traversant une section droite de sol de surface S = ab s'exprime par le flux du vecteur densité de courant :

Comme \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S = ab, on obtient :

Par définition de la résistance électrique R d'un conducteur ohmique soumis à une différence de potentiel U = V_d - V_g et traversé par un courant d'intensité I, la loi d'Ohm macroscopique s'écrit :

En utilisant l'expression de l'intensité I = \gamma_{\text{sol}}\,\frac{ab}{c}\,U établie à la question Q15, on obtient :

D'où l'expression de la résistance électrique de l'échantillon de sol :

D'après l'expression de la résistance obtenue à la question Q16 :

En analysant les dimensions des grandeurs physiques mises en jeu :

• la distance c entre les électrodes s'exprime en mètres (\text{m}) ;
• l'aire de la section des armatures S = ab s'exprime en mètres carrés (\text{m}^2) ;
• la résistance R s'exprime en ohms (\Omega).

L'unité de la conductivité électrique \gamma_{\text{sol}} est donc :

Dans le Système international d'unités (SI), l'inverse d'un ohm est le siemens (\text{S} = \Omega^{-1}). Ainsi :

En divisant par \rho_0 et en appliquant le logarithme népérien à la loi phénoménologique proposée, on obtient :

En posant les variables Y = \ln(\rho_{\text{sol}}/\rho_0) et X = \frac{1}{Hr}, la relation s'écrit sous la forme d'une fonction affine :

Sur la figure 5 (droite), le nuage de points expérimentaux représentant \ln(\rho_{\text{sol}}/\rho_0) en fonction de 1/Hr est distribué le long d'une droite de régression linéaire. La modélisation de la résistivité par cette loi exponentielle est donc parfaitement justifiée.

Déterminons graphiquement les constantes \alpha et \beta. Sur la droite moyenne tracée en figure 5 (droite), on relève deux points bien identifiables :

• pour X_1 = 5{,}0, on lit Y_1 \approx 0{,}90 ;
• pour X_2 = 10{,}0, on lit Y_2 \approx 2{,}00 (on peut également noter que pour X_3 = 11{,}0, Y_3 \approx 2{,}22).

Le coefficient directeur \alpha vaut :

L'ordonnée à l'origine \beta s'en déduit à l'aide du point (X_2, Y_2) :

Puisque la teneur en eau Hr est un rapport de masses (exprimée en g d'eau par g de sol, donc sans dimension), les coefficients \alpha et \beta sont tous deux sans dimension.

D'après la question Q16 et la définition de la résistivité \rho_{\text{sol}} = 1/\gamma_{\text{sol}}, la résistance de l'échantillon de sol s'écrit :

En utilisant l'expression établie à la question Q18 :

Le paramètre \alpha étant strictement positif (\alpha > 0), la fonction Hr \mapsto \frac{\alpha}{Hr} + \beta est strictement décroissante sur ]0, +\infty[. La fonction exponentielle étant strictement croissante, on en déduit que :

Pour une teneur en eau comprise dans la plage de fonctionnement cible Hr \in [Hr_{\min}, Hr_{\max}], la décroissance de R implique que la résistance minimale est atteinte pour l'humidité maximale, et la résistance maximale pour l'humidité minimale :

La plage de résistance électrique associée est donc l'intervalle [R_{\min}, R_{\max}].

Si le capteur était soumis à une tension continue U :

• Rupture de l'électroneutralité au voisinage des électrodes : sous l'action d'un champ électrique constant, les ions présents dans l'eau du sol migrent de manière unidirectionnelle (les cations vers la cathode et les anions vers l'anode). Cette migration conduit à l'accumulation d'ions au contact immédiat des surfaces métalliques et à la formation d'une double couche électrochimique. L'hypothèse d'électroneutralité locale du sol (\rho = 0) est alors violée près des armatures.
• Polarisation et électrolyse : cette accumulation de charges crée une différence de potentiel d'interface (tension de polarisation) opposée à la tension appliquée et engendre des réactions d'oxydoréduction (électrolyse) aux électrodes. Il en résulte un dégagement gazeux, une dégradation chimique des électrodes et une modification de la composition ionique locale du sol. La relation linéaire U = R I n'est plus vérifiée, faussant la mesure de la conductivité.

L'utilisation d'une tension alternative sinusoïdale u(t) = U\cos(2\pi f t) à la fréquence f = 200\text{ Hz} (période T = 5\text{ ms}) résout ces difficultés :

• Le champ électrique s'inverse périodiquement : les ions oscillent sur place avec une amplitude de déplacement infime devant la distance inter-électrodes c = 1\text{ cm}.
• Aucun ion n'a le temps de s'accumuler durablement sur les armatures : la double couche ne s'établit pas et l'hypothèse d'électroneutralité du milieu reste parfaitement vérifiée en tout point du sol à chaque instant.
• Les réactions électrochimiques d'électrolyse n'ont pas le temps de s'amorcer, ce qui préserve l'intégrité des électrodes ainsi que la stabilité chimique du sol.
• La fréquence f = 200\text{ Hz} est suffisamment basse pour que les effets capacitifs parasites du sol restent négligeables, garantissant un comportement purement résistif conforme au modèle étudié.

L'ALI 1 est modélisé comme un amplificateur opérationnel idéal. Ses courants de polarisation d'entrée sont donc nuls :

Aucun courant ne dérivant vers la borne non-inverseuse reliée au nœud A, le courant qui traverse la résistance R traverse intégralement la résistance R_3. Ces deux dipôles sont donc en association série.

La branche constituée de l'association série de R et R_3 est soumise à la tension constante V_0, avec la borne inférieure de R_3 reliée à la masse de référence (V = 0\text{ V}). Par la formule du diviseur de tension, le potentiel au nœud A s'écrit :

L'ALI 1 possède une rétroaction négative directe (la sortie B est rebouclée sur l'entrée inverseuse). Il fonctionne donc en régime linéaire, ce qui assure l'égalité des potentiels d'entrée :

Le potentiel au nœud B est par conséquent identique à celui du nœud A :

Le montage réalisé autour de l'ALI 1 présente un bouclage direct de la sortie sur l'entrée inverseuse (e^- = V_B) et reçoit la tension à mesurer sur son entrée non-inverseuse (e^+ = V_A). Un tel montage est appelé un montage suiveur de tension (ou simplement suiveur).

L'intérêt principal de cet étage suiveur réside dans l'adaptation d'impédance (ou l'isolation d'étages) :

• Impédance d'entrée infinie : le courant d'entrée de l'ALI idéal étant nul (i^+ = 0), l'étage amont (le pont diviseur de tension constitué de R et R_3) ne débite aucun courant vers l'ALI. Ainsi, la mesure de tension V_A n'est pas perturbée par l'aval (absence d'effet de charge).
• Impédance de sortie nulle : la sortie de l'ALI impose la tension V_B = V_A quel que soit le courant appelé par le circuit aval (ici la résistance R_1 du bloc 3).

L'amplificateur linéaire intégré \text{ALI}_3 étant supposé idéal, l'intensité du courant entrant sur sa borne d'entrée reliée au nœud C est nulle :

Par conséquent, aucun courant n'est prélevé au nœud C vers le bloc 3. Les résistances R_4 et R_5 sont donc parcourues par le même courant et sont associées en série.

Le dipôle constitué de R_4 en série avec R_5 est soumis à la tension V_0 (par rapport à la masse de référence 0\text{ V}). Par application de la relation du pont diviseur de tension non chargé, on obtient directement le potentiel au nœud C :

1. Régime de fonctionnement de l'ALI 3

La sortie E de l'ALI 3 est reliée à son entrée non-inverseuse (+) (nœud D) par l'intermédiaire du conducteur ohmique R_2. Le montage comporte donc une rétroaction positive (ou réaction positive).

Le point de fonctionnement du régime linéaire étant instable en présence d'une rétroaction positive prépondérante, l'ALI 3 ne fonctionne pas en régime linéaire, mais en régime de saturation (ou régime non linéaire). Sa tension de sortie ne peut prendre que les deux valeurs de saturation :

2. Expression du potentiel au nœud D

L'ALI étant supposé idéal, le courant entrant sur la borne non-inverseuse est nul (i_+ = 0). Le nœud D n'est connecté qu'aux résistances R_1 et R_2. Le théorème de Millman appliqué en D donne :

En introduisant \alpha = \dfrac{R_1}{R_2}, on obtient :

3. Seuils de basculement

La tension différentielle d'entrée s'écrit \varepsilon = V^+ - V^- = V_D - V_C. L'ALI étant idéal :

• si \varepsilon > 0, soit V_D > V_C, la sortie sature à l'état haut : V_E = +V_0 ;
• si \varepsilon < 0, soit V_D < V_C, la sortie sature à l'état bas : V_E = -V_0.

La condition de basculement correspond à l'annulation de la tension différentielle, c'est-à-dire V_D = V_C :

• Supposons la sortie initialement à l'état haut (V_E = +V_0) : Le maintien à cet état nécessite V_D > V_C, soit V_B > (1 + \alpha)V_C - \alpha V_0. Le basculement vers l'état bas (V_E = -V_0) intervient lorsque V_B décroît et franchit la valeur seuil basse notée V_b :

  \boxed{V_b = (1 + \alpha)V_C - \alpha V_0}

• Supposons la sortie initialement à l'état bas (V_E = -V_0) : Le maintien à cet état nécessite V_D < V_C, soit V_B < (1 + \alpha)V_C + \alpha V_0. Le basculement vers l'état haut (V_E = +V_0) intervient lorsque V_B croît et franchit la valeur seuil haute notée V_h :

  \boxed{V_h = (1 + \alpha)V_C + \alpha V_0}

Comme \alpha > 0 et V_0 > 0, on a bien V_b < V_h. La tension V_E bascule ainsi entre +V_0 et -V_0 aux seuils V_b et V_h.

D'après l'étude menée à la question précédente, le montage fonctionne en comparateur à hystérésis non inverseur avec deux seuils V_b et V_h vérifiant 0 < V_b < V_h < 2V_h :

• Si V_B augmente à partir de 0 : tant que V_B < V_h, la sortie reste au niveau bas V_E = -V_0. Lorsque V_B atteint V_h, la tension différentielle \varepsilon = V_D - V_C s'annule puis devient positive, provoquant le basculement instantané de la sortie vers le niveau haut V_E = +V_0. Pour tout V_B > V_h, on a V_E = +V_0.
• Si V_B diminue à partir de 2V_h : tant que V_B > V_b, la sortie reste au niveau haut V_E = +V_0. Lorsque V_B atteint V_b, la tension différentielle \varepsilon redevient négative, entraînant le basculement de la sortie vers le niveau bas V_E = -V_0. Pour tout V_B < V_b, on a V_E = -V_0.

On en déduit le cycle d'hystérésis représenté ci-dessous :

D'après la question Q24, les seuils de basculement bas V_b et haut V_h de la tension d'entrée V_B s'écrivent :

• En calculant la différence membre à membre (2) - (1) :

  V_h - V_b = 2\alpha V_0

  ce qui donne directement :

  \boxed{\alpha = \frac{V_h - V_b}{2V_0}}

• En calculant la somme membre à membre (2) + (1) :

  V_h + V_b = 2(1+\alpha)V_C

  ce qui conduit à :

  \boxed{V_C = \frac{V_h + V_b}{2(1+\alpha)}}

D'après la question Q21, le potentiel au nœud B s'écrit :

La fonction R \mapsto V_B(R) est strictement décroissante car R_3 > 0 et V_0 > 0.

• L'arrosage se déclenche (ouverture de la vanne) lorsque l'humidité descend en dessous de Hr_{\min}, c'est-à-dire lorsque la résistance R dépasse R_{\max}. Par décroissance de V_B, cela correspond à une tension V_B devenant inférieure à un seuil bas V_b. On en déduit :

  \boxed{V_b = \frac{R_3}{R_{\max} + R_3} V_0}

• L'arrosage s'interrompt (fermeture de la vanne) lorsque l'humidité dépasse Hr_{\max}, c'est-à-dire lorsque la résistance R descend en dessous de R_{\min}. Cela correspond à une tension V_B devenant supérieure à un seuil haut V_h. On en déduit :

  \boxed{V_h = \frac{R_3}{R_{\min} + R_3} V_0}

Comme R_{\max} > R_{\min}, on vérifie bien que V_b < V_h.

Application numérique : Avec V_0 = 12\text{ V}, R_3 = 5\ \Omega, R_{\min} = 5\ \Omega et R_{\max} = 15\ \Omega :

D'après les questions Q26 et Q27, nous avons :

1. Calcul numérique de \alpha et V_C L'expression de \alpha s'écrit :

L'expression du potentiel de référence V_C s'écrit :

2. Détermination de R_2 Par définition, \alpha = \frac{R_1}{R_2}, d'où :

3. Détermination de R_4 D'après la question Q23, le potentiel V_C est donné par le pont diviseur :

On en déduit l'expression littérale de R_4 :

Avec R_5 = 1\text{ k}\Omega, V_0 = 12\text{ V} et V_C = 4\text{ V} :

D'après la question Q19, la résistance R du sol est une fonction strictement décroissante de la teneur en eau Hr. D'après la question Q21, le potentiel au nœud B s'écrit :

Comme R décroît lorsque Hr augmente, le dénominateur décroît et donc V_B est une fonction strictement croissante de Hr.

D'après les données de l'énoncé et la question Q27 :

• Pour Hr = Hr_{\min} = 0{,}1, la résistance vaut R = R_{\max} = 15\,\Omega, ce qui correspond au seuil bas :

  V_B = V_b = \frac{5}{15 + 5}\times 12 = 3\text{ V}

• Pour Hr = Hr_{\max} = 0{,}2, la résistance vaut R = R_{\min} = 5\,\Omega, ce qui correspond au seuil haut :

  V_B = V_h = \frac{5}{5 + 5}\times 12 = 6\text{ V}

Les basculements de la tension de sortie V_E de l'ALI 3 ont donc lieu pour :

Le fonctionnement du comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt non-inverseur) établi à la question Q25 se transpose directement :

• Phase d'humidification (Hr croissant) : tant que Hr < Hr_{\max} = 0{,}2, la sortie reste à V_E = -V_0 = -12\text{ V}. Dès que Hr atteint Hr_{\max} = 0{,}2, la tension bascule à V_E = +V_0 = +12\text{ V}.
• Phase d'assèchement (Hr décroissant) : tant que Hr > Hr_{\min} = 0{,}1, la sortie reste à V_E = +V_0 = +12\text{ V}. Dès que Hr atteint Hr_{\min} = 0{,}1, la tension bascule à V_E = -V_0 = -12\text{ V}.

On en déduit le tracé de V_E en fonction de Hr sur l'intervalle [0\,;\,0{,}4] :

D'après la figure 6, l'anode de la diode est au potentiel V_E, sa cathode au potentiel V_F, et le dipôle de charge R_c relie le nœud F à la masse (V_{\text{masse}} = 0\text{ V}).

En adoptant la convention récepteur pour la diode :

• la tension à ses bornes est U_D = V_E - V_F ;

• le courant direct qui la traverse est également celui qui circule dans la résistance R_c, soit par la loi d'Ohm :

  I = \frac{V_F - 0}{R_c} = \frac{V_F}{R_c}

D'après la figure 7, la diode idéale est caractérisée par :

• état passant : U_D = 0 avec la condition I \ge 0 ;
• état bloqué : I = 0 avec la condition U_D \le 0.

La tension V_E issue de l'ALI 3 saturé ne prend que deux valeurs : +V_0 = +12\text{ V} ou -V_0 = -12\text{ V}.

1. Cas où V_E = +V_0 = +12\text{ V} : Supposons la diode passante :

Le courant traversant la diode vaut alors :

Le courant étant strictement positif, l'hypothèse est validée. La diode est donc passante.

2. Cas où V_E = -V_0 = -12\text{ V} : Supposons la diode bloquée :

La tension aux bornes de la diode vaut alors :

La tension étant strictement négative, l'hypothèse est validée. La diode est donc bloquée.

D'après les questions Q29 et Q30, la relation entre V_F et la tension de sortie du comparateur V_E est :

L'évolution de V_F en fonction de l'humidité relative Hr présente donc un cycle d'hystérésis délimité par les seuils Hr_{\min} = 0{,}1 et Hr_{\max} = 0{,}2 :

• Phase d'assèchement (Hr décroissant) : tant que Hr > Hr_{\min}, V_F se maintient à +12\text{ V}. Lorsque le sol s'assèche au point que Hr passe sous le seuil Hr_{\min} = 0{,}1, V_E bascule à -V_0, entraînant la chute brutale de V_F à 0\text{ V}.
• Phase d'arrosage (Hr croissant) : tant que Hr < Hr_{\max}, V_F reste nul. Lorsque le sol est suffisamment humidifié et que Hr dépasse le seuil Hr_{\max} = 0{,}2, V_E bascule à +V_0, ramenant V_F à +12\text{ V}.

On trace ainsi la caractéristique V_F(Hr) :

Vérification du fonctionnement de l'électrovanne :

• Lorsque Hr descend en dessous de Hr_{\min} = 0{,}1, V_F = 0\text{ V} : l'électrovanne est soumise à une tension nulle, elle s'ouvre et l'eau s'écoule (début de l'arrosage).
• Lorsque Hr dépasse Hr_{\max} = 0{,}2, V_F = 12\text{ V} : l'électrovanne est sous 12\text{ V}, elle se ferme et coupe l'arrosage.

Le nombre de Reynolds Re, grandeur adimensionnée quantifiant le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses au sein de l'écoulement, s'exprime par :

où :

• \rho est la masse volumique du fluide : \rho = 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \eta est la viscosité dynamique : \eta = 1 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• d est la dimension caractéristique de l'obstacle ou du conduit (ici le diamètre du pore) : d = 20\ \mu\mathrm{m} = 2{,}0 \times 10^{-5}\text{ m} ;
• v est une vitesse caractéristique de l'écoulement.

L'eau s'écoulant au goutte à goutte, la vitesse d'expulsion à travers les pores est très faible, typiquement de l'ordre de v \sim 1\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (un ordre de grandeur compris entre 1\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} et 0{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est tout aussi recevable).

En réalisant l'application numérique avec v = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Dans une conduite cylindrique, la transition vers le régime turbulent s'effectue typiquement pour un nombre de Reynolds critique :

La valeur obtenue à la question précédente étant Re \sim 0{,}2, on a :

Le régime d'écoulement de l'eau à travers un pore est donc laminaire.

De façon encore plus précise, la condition Re < 1 indique que les termes d'inertie sont négligeables devant les forces de frottement visqueux : l'écoulement est qualifié d'écoulement rampant (ou écoulement de Stokes).

Le champ eulérien des vitesses dans le pore s'écrit :

Considérons une particule de fluide située à l'instant t en un point repéré par ses coordonnées cylindriques (r(t), \theta(t), z(t)). Sa vitesse coïncide avec la vitesse eulérienne locale :

Par identification des composantes :

• \dot{r} = 0 \implies r(t) = r_0 = \text{cste} ;
• r\dot{\theta} = 0 \implies \theta(t) = \theta_0 = \text{cste} ;
• \dot{z} = v(r_0).

La particule de fluide reste donc à une distance fixe r_0 de l'axe et à un angle polaire \theta_0 constant : sa trajectoire est une droite parallèle à l'axe (Oz), le mouvement est donc rectiligne.

De plus, comme le champ de vitesse ne dépend pas de z (écoulement invariant par translation selon l'axe du pore) ni du temps t (écoulement stationnaire), la vitesse de la particule garde une valeur constante tout au long de sa trajectoire :

La vitesse de la particule étant constante en norme, direction et sens, son accélération est nulle :

Le système (\mathcal{K}) est un système fermé constitué d'un ensemble de particules fluides dont la masse totale m est constante au cours du temps. Sa quantité de mouvement s'écrit sous forme lagrangienne :

D'après la question précédente, chaque particule de fluide est en mouvement rectiligne uniforme, si bien que son accélération (dérivée particulaire de la vitesse) est nulle à tout instant :

En dérivant par rapport au temps la quantité de mouvement du système fermé, on obtient :

La quantité de mouvement du système (\mathcal{K}) est donc constante au cours du temps :

Dans le référentiel lié au tuyau, supposé galiléen, le théorème de la résultante cinétique appliqué au système fermé (\mathcal{K}) s'écrit :

D'après la question précédente (Q35), la quantité de mouvement de (\mathcal{K}) est constante au cours du temps (\mathrm{d}\vec{P}_{(\mathcal{K})}/\mathrm{d}t = \vec{0}), ce qui conduit à l'équilibre des forces :

Les actions mécaniques extérieures appliquées au système (\mathcal{K}) sont :

• les forces de pression exercées par le fluide extérieur sur les deux sections planes d'entrée (z = 0) et de sortie (z = e) du cylindre ;
• les forces de frottement visqueux (ou de cisaillement) exercées par le fluide environnant sur la surface latérale du cylindre (en r) ;
• le poids du fluide contenu dans (\mathcal{K}) (actions gravitationnelles).

L'expression de la force visqueuse s'écrit :

1. Interprétation des différents termes :

• \eta est la viscosité dynamique du fluide (en \mathrm{Pa\cdot s}), caractérisant le frottement interne et la résistance au cisaillement entre couches fluides adjacentes.
• \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} est le gradient radial de la vitesse axiale (ou taux de cisaillement, en \mathrm{s}^{-1}). Il mesure la variation de la vitesse selon la direction radiale perpendiculaire à l'écoulement.
• Le produit \tau = \eta \left|\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right| représente la contrainte visqueuse de cisaillement (en \mathrm{N\cdot m^{-2}} ou \mathrm{Pa}) s'exerçant tangentiellement à la surface latérale.
• S = 2\pi r e est l'aire de la surface latérale du cylindre de fluide (\mathcal{K}).
• \vec{u}_z est le vecteur unitaire définissant la direction axiale de l'écoulement.

2. Justification du choix du signe :

• La condition d'adhérence à la paroi impose une vitesse nulle en r = R (v(R) = 0), alors que la vitesse est maximale au centre du pore en r = 0. La vitesse v(r) est donc une fonction décroissante de r, ce qui signifie que :

  \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \leqslant 0
• Le fluide extérieur situé à r' > r s'écoule moins vite que le fluide appartenant au système (\mathcal{K}) (situé à r' < r). Par frottement visqueux, le fluide extérieur tend donc à freiner le système (\mathcal{K}), ce qui se traduit par une force orientée vers les z décroissants, c'est-à-dire selon -\vec{u}_z.
• Puisque \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} < 0, pour obtenir une force orientée selon -\vec{u}_z, il convient de choisir le signe positif :

L'eau étant un fluide visqueux en contact avec la paroi solide du pore supposée immobile en r = R = d/2, elle vérifie la condition d'adhérence à la paroi :

L'équation différentielle régissant la vitesse s'écrit :

Par intégration directe par rapport à r, on obtient :

où C est une constante d'intégration.

En appliquant la condition aux limites en r = R :

On en déduit l'expression du champ de vitesse dans le pore :

Le champ eulérien des vitesses s'écrit donc \vec{v}(r) = v(r)\vec{u}_z.

Le débit volumique D_1 traversant la section droite d'un pore correspond au flux du vecteur vitesse à travers cette section circulaire de rayon R :

En utilisant l'expression du profil de vitesse obtenue à la question Q38 :

l'intégration s'écrit :

On obtient ainsi la loi de Poiseuille pour un pore de rayon R (ou de diamètre d = 2R) :

Application numérique :

• P_{\text{int}} - P_0 = 1{,}5\text{ bar} - 1{,}0\text{ bar} = 0{,}5\text{ bar} = 5{,}0 \times 10^4\text{ Pa} ;
• R = \frac{d}{2} = 10\,\mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-5}\text{ m} ;
• \eta = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• e = 1{,}0\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}.

Avec \frac{5\pi}{8} \approx \frac{5 \times 3{,}14}{8} \approx 1{,}96 :

Exprimé en litres par minute (1\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} = 6 \times 10^4\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}) :

Le débit linéique D_{\text{lin}} correspond au débit volumique total évacué par unité de longueur de tuyau. Chaque pore individuel délivrant un débit volumique D_1, et le nombre de pores par unité de longueur étant noté n_t, la loi des nœuds pour un écoulement incompressible conduit à :

On en déduit l'expression de la densité linéique de pores :

Application numérique : Convertissons les grandeurs dans les unités du système international :

• D_{\text{lin}} = 6{,}0\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} = \frac{6{,}0 \times 10^{-3}}{60}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}
• D'après la question Q39, D_1 = \frac{5\pi}{8}\times 10^{-10}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 1{,}96 \times 10^{-10}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}

Le calcul numérique donne alors :