Feuille d'entraînement : Fluides visqueux

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q38

   L'eau étant un fluide visqueux en contact avec la paroi solide du pore supposée immobile en r = R = d/2, elle vérifie la condition d'adhérence à la paroi :

   v(r = R) = 0

   L'équation différentielle régissant la vitesse s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} = -\frac{P_{\text{int}} - P_0}{2\eta e}\,r

   Par intégration directe par rapport à r, on obtient :

   v(r) = -\frac{P_{\text{int}} - P_0}{4\eta e}\,r^2 + C

   où C est une constante d'intégration.

   En appliquant la condition aux limites en r = R :

   v(R) = 0 \implies C = \frac{P_{\text{int}} - P_0}{4\eta e}\,R^2

   On en déduit l'expression du champ de vitesse dans le pore :

   \boxed{v(r) = \frac{P_{\text{int}} - P_0}{4\eta e}\left(R^2 - r^2\right) = \frac{P_{\text{int}} - P_0}{4\eta e}\left(\frac{d^2}{4} - r^2\right)}

   Le champ eulérien des vitesses s'écrit donc \vec{v}(r) = v(r)\vec{u}_z.

   Résultat

   $$v(r)=\frac{P_{\text{int}}-P_0}{4\eta e}\left(R^2-r^2\right)=\frac{P_{\text{int}}-P_0}{4\eta e}\left(\frac{d^2}{4}-r^2\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2026, Q39

   Le débit volumique D_1 traversant la section droite d'un pore correspond au flux du vecteur vitesse à travers cette section circulaire de rayon R :

   D_1 = \iint_{\text{section}} \vec{v}(r)\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \int_0^R v(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r

   En utilisant l'expression du profil de vitesse obtenue à la question Q38 :

   v(r) = \frac{P_{\text{int}} - P_0}{4\eta e}\left(R^2 - r^2\right)

   l'intégration s'écrit :

   \begin{aligned} D_1 &= 2\pi \frac{P_{\text{int}} - P_0}{4\eta e} \int_0^R \left(R^2 r - r^3\right)\mathrm{d}r \\ &= \frac{\pi(P_{\text{int}} - P_0)}{2\eta e} \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^R \\ &= \frac{\pi(P_{\text{int}} - P_0)}{2\eta e} \times \frac{R^4}{4} \end{aligned}

   On obtient ainsi la loi de Poiseuille pour un pore de rayon R (ou de diamètre d = 2R) :

   \boxed{D_1 = \frac{\pi(P_{\text{int}} - P_0)R^4}{8\eta e} = \frac{\pi(P_{\text{int}} - P_0)d^4}{128\eta e}}

   Application numérique :

   • P_{\text{int}} - P_0 = 1{,}5\text{ bar} - 1{,}0\text{ bar} = 0{,}5\text{ bar} = 5{,}0 \times 10^4\text{ Pa} ;
   • R = \frac{d}{2} = 10\,\mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-5}\text{ m} ;
   • \eta = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
   • e = 1{,}0\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}.

   \begin{aligned} D_1 &= \frac{\pi \times 5{,}0 \times 10^4 \times (1{,}0 \times 10^{-5})^4}{8 \times 1{,}0 \times 10^{-3} \times 1{,}0 \times 10^{-3}} \\ &= \frac{5\pi}{8} \times \frac{10^4 \times 10^{-20}}{10^{-6}} = \frac{5\pi}{8} \times 10^{-10}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   Avec \frac{5\pi}{8} \approx \frac{5 \times 3{,}14}{8} \approx 1{,}96 :

   \boxed{D_1 \approx 2{,}0 \times 10^{-10}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}}

   Exprimé en litres par minute (1\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} = 6 \times 10^4\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}) :

   D_1 \approx 2{,}0 \times 10^{-10} \times 60 \times 10^3 \approx 1{,}2 \times 10^{-5}\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}

   Résultat

   $$D_1=\frac{\pi (P_{\text{int}}-P_0)R^4}{8\eta e}=\frac{\pi (P_{\text{int}}-P_0)d^4}{128\eta e}$$

   $$D_1\approx 2,0\times 10^{-10}{\text{ m}}^3\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2025, Q41

   Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension défini, pour un écoulement en conduite cylindrique de diamètre intérieur d, par :

   \boxed{Re = \frac{\rho v d}{\eta}}

   où \rho est la masse volumique du fluide, \eta sa viscosité dynamique et v la vitesse débitante (vitesse moyenne de l'écoulement).

   Signification physique Le nombre de Reynolds quantifie le rapport entre les effets d'inertie (terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim \frac{v^2}{d}) et les effets visqueux (terme de diffusion visqueuse \nu \Delta \vec{v} \sim \frac{\eta v}{\rho d^2}) régissant l'écoulement dans l'équation de Navier-Stokes :

   Re \sim \frac{\|\text{forces d'inertie}\|}{\|\text{forces de viscosité}\|}.

   Il permet de caractériser le régime de l'écoulement (laminaire pour Re < 2\,000, turbulent au-delà).

   Application numérique La vitesse débitante dans la conduite de section circulaire S_{\mathrm{t}} = \frac{\pi d^2}{4} s'écrit :

   v = \frac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{t}}} = \frac{4 D_{\mathrm{v}}}{\pi d^2}.

   En injectant cette relation dans l'expression de Re, il vient :

   Re = \frac{4 \rho D_{\mathrm{v}}}{\pi \eta d}.

   Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

   • \rho = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
   • D_{\mathrm{v}} = 2\text{ L}\cdot\text{s}^{-1} = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} ;
   • \eta = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
   • d = 4\text{ cm} = 4{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
   • \pi \approx 3{,}14.

   Le calcul donne :

   \begin{aligned} v &= \frac{4 \times 2{,}0 \cdot 10^{-3}}{\pi \times (4{,}0 \cdot 10^{-2})^2} = \frac{5}{\pi} \approx 1{,}6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \\ Re &= \frac{4 \times 1{,}0 \cdot 10^3 \times 2{,}0 \cdot 10^{-3}}{\pi \times 1{,}0 \cdot 10^{-3} \times 4{,}0 \cdot 10^{-2}} = \frac{2 \cdot 10^5}{\pi} \approx 6{,}4 \cdot 10^4. \end{aligned}

   \boxed{Re \approx 6{,}4 \cdot 10^4}

   Résultat

   $$Re=\frac{\rho vd}{\eta }$$

   $$Re\approx 6,4\cdot 10^4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2024, Q44

   Pour un fluide visqueux (fluide newtonien), les interactions moléculaires à l'interface fluide-solide imposent la condition d'adhérence à la paroi : le fluide prend la vitesse de la paroi solide avec laquelle il est en contact.

   Le capillaire étant fixe dans le référentiel d'étude, la vitesse de l'eau s'annule à la paroi en r = a :

   \boxed{\vec{v}(r=a) = \vec{0} \quad \text{soit} \quad v(a) = 0}

   Par ailleurs, pour assurer la régularité physique de l'écoulement le long de l'axe de symétrie (r = 0), le champ de vitesse doit y rester fini, ce qui impose en outre par symétrie radiale :

   \left. \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right|_{r=0} = 0

   Résultat

   $$\vec{v}(r=a)=\vec{0}\text{soit}v(a)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2024, Q45

   L'axe (Oz) étant vertical descendant, le vecteur accélération de la pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{e}_z. En projetant l'équation donnée par l'énoncé sur la base locale selon \vec{e}_z :

   \rho_{\mathrm{e}} g + \frac{\eta_{\mathrm{e}}}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right) = 0

   soit encore :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right) = -\frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{\eta_{\mathrm{e}}}\,r

   Une première intégration par rapport à r conduit à :

   r\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} = -\frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{2\eta_{\mathrm{e}}}\,r^2 + C_1 \implies \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} = -\frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{2\eta_{\mathrm{e}}}\,r + \frac{C_1}{r}

   où C_1 est une constante d'intégration.

   La vitesse v(r) et le gradient de vitesse (donc la contrainte visqueuse) doivent rester finis sur l'axe de révolution du capillaire en r=0. Le terme en \ln(r) résultant d'une constante non nulle divergerait en r=0 ; par régularité (ou par symétrie de révolution où \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right|_{r=0} = 0), on en déduit :

   C_1 = 0

   On intègre une seconde fois par rapport à r :

   v(r) = -\frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{4\eta_{\mathrm{e}}}\,r^2 + C_2

   où C_2 est une seconde constante d'intégration.

   D'après la condition d'adhérence à la paroi établie à la question Q44, la vitesse s'annule en r=a :

   v(a) = 0 \implies -\frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{4\eta_{\mathrm{e}}}\,a^2 + C_2 = 0 \implies C_2 = \frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{4\eta_{\mathrm{e}}}\,a^2

   Le profil radial de vitesse s'écrit donc :

   v(r) = \frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{4\eta_{\mathrm{e}}}\left(a^2 - r^2\right)

   On retrouve bien la forme demandée v(r) = K\left(a^2 - r^2\right) en identifiant la constante K :

   \boxed{K = \frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{4\eta_{\mathrm{e}}}}

   Résultat

   $$K=\frac{{\rho }_{\mathrm{e}}g}{4{\eta }_{\mathrm{e}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2024, Q47

   Par définition, le débit volumique D_{\mathrm{v}} correspond au flux du vecteur vitesse \vec{v}(r) = v(r)\,\vec{e}_z à travers une section transversale du capillaire orientée selon l'axe vertical (Oz) :

   D_{\mathrm{v}} = \iint_{\text{section}} \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \int_0^a v(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r

   En injectant l'expression de la vitesse établie à la question Q45, v(r) = K(a^2 - r^2) avec K = \frac{\rho_{\mathrm{e}} g}{4\eta_{\mathrm{e}}}, on obtient :

   \begin{aligned} D_{\mathrm{v}} &= 2\pi K \int_0^a \left(a^2 r - r^3\right)\mathrm{d}r \\ &= 2\pi K \left[ \frac{a^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^a \\ &= 2\pi K \left( \frac{a^4}{4} \right) = \frac{\pi K a^4}{2} \end{aligned}

   En remplaçant K par son expression en fonction des données de l'énoncé, il vient :

   \boxed{D_{\mathrm{v}} = \frac{\pi \rho_{\mathrm{e}} g a^4}{8\eta_{\mathrm{e}}}}

   Résultat

   $$D_{\mathrm{v}}=\frac{\pi {\rho }_{\mathrm{e}}g{a}^4}{8{\eta }_{\mathrm{e}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique B PT 2023, Q7

   D'après l'énoncé, la force visqueuse par unité de volume s'écrit \vec{f}_v = -\eta\,\Delta\vec{v}.

   • \vec{f}_v est une force par unité de volume :

     [f_v] = \frac{[F]}{[V]} = \frac{\mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^3}} = \mathrm{M\cdot L^{-2}\cdot T^{-2}}

   • Le laplacien vectoriel \Delta\vec{v} correspond spatialement à une dérivée seconde d'une vitesse :

     [\Delta\vec{v}] = \frac{[v]}{\mathrm{L^2}} = \frac{\mathrm{L\cdot T^{-1}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{L^{-1}\cdot T^{-1}}

   On en déduit la dimension de la viscosité dynamique :

   [\eta] = \frac{[f_v]}{[\Delta\vec{v}]} = \frac{\mathrm{M\cdot L^{-2}\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^{-1}\cdot T^{-1}}} = \mathrm{M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}}

   Par ailleurs, une pression P correspond à une force surfacique, de dimension :

   [P] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}}

   On constate immédiatement que :

   [\eta] = [P] \cdot \mathrm{T}

   L'unité de viscosité dynamique du Système International faisant intervenir la pression est donc le pascal-seconde (\mathrm{Pa\cdot s}).

   \boxed{1\text{ Pl} = 1\text{ Pa}\cdot\text{s}}

   Résultat

   $$1\text{ Pl}=1\text{ Pa}\cdot \text{s}$$

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8. Exercice 8Banque PT Physique B PT 2023, Q12

   Pour un fluide réel newtonien, la viscosité engendre des frottements internes et vis-à-vis des parois, responsables d'une dissipation d'énergie mécanique en énergie thermique. La charge totale H n'est donc plus conservée : elle décroît strictement dans le sens de l'écoulement.

   Entre une section amont (1) et une section aval (2), en l'absence de machine hydraulique (pompe ou turbine) entre ces deux sections, la relation de Bernoulli généralisée s'écrit sous forme de hauteurs de fluide (en mètres de colonne d'eau) :

   \boxed{H_1 - H_2 = \Delta H_{\mathrm{pc}} \iff \left(\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1\right) - \left(\frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2\right) = \Delta H_{\mathrm{pc}}}

   où \Delta H_{\mathrm{pc}} = \Delta H_{\mathrm{pcl}} + \Delta H_{\mathrm{pca}} > 0 représente la perte de charge totale entre l'amont et l'aval, somme des pertes de charge régulières (ou linéaires) et singulières (ou accidentelles).

   Exprimée en termes de pression volumique (en pascals), cette relation équivaut à :

   \left(P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1\right) - \left(P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2\right) = \rho g \Delta H_{\mathrm{pc}} = \Delta P_{\mathrm{pc}}

   Résultat

   $$H_1-H_2=\Delta H_{\mathrm{pc}}⟺\left(\frac{P_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1\right)-\left(\frac{P_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2\right)=\Delta H_{\mathrm{pc}}$$

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9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2026, Q32

   Le nombre de Reynolds Re, grandeur adimensionnée quantifiant le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses au sein de l'écoulement, s'exprime par :

   Re = \frac{\rho v d}{\eta}

   où :

   • \rho est la masse volumique du fluide : \rho = 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
   • \eta est la viscosité dynamique : \eta = 1 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
   • d est la dimension caractéristique de l'obstacle ou du conduit (ici le diamètre du pore) : d = 20\ \mu\mathrm{m} = 2{,}0 \times 10^{-5}\text{ m} ;
   • v est une vitesse caractéristique de l'écoulement.

   L'eau s'écoulant au goutte à goutte, la vitesse d'expulsion à travers les pores est très faible, typiquement de l'ordre de v \sim 1\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (un ordre de grandeur compris entre 1\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} et 0{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est tout aussi recevable).

   En réalisant l'application numérique avec v = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

   \begin{aligned} Re &= \frac{1{,}0 \times 10^3 \times 1{,}0 \times 10^{-2} \times 2{,}0 \times 10^{-5}}{1 \times 10^{-3}} \\ Re &= 0{,}2 \end{aligned}

   \boxed{Re = \frac{\rho v d}{\eta} \sim 0{,}2 \quad (\text{ou } Re \sim 10^{-1} \text{ à quelques unités selon } v)}

   Résultat

   $$Re=\frac{\rho vd}{\eta }\sim 0,2(\text{ou }Re\sim 10^{-1}\text{ aˋ quelques uniteˊs selon }v)$$

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10. Exercice 10Banque PT Physique B PT 2026, Q27

    Lorsque le fluide est réel (visqueux), la dissipation d'énergie mécanique par frottements visqueux se traduit par des pertes de charge, que l'on classe en deux catégories dans ce dispositif :

    1. Pertes de charge régulières (ou linéaires, réparties) : Elles sont dues au frottement visqueux du fluide le long des parois solides de la conduite. Elles ont lieu sur toute la longueur du débitmètre, particulièrement au niveau du col où la vitesse d'écoulement v est maximale (les pertes de charge par unité de longueur étant proportionnelles au carré de la vitesse d'écoulement).

    2. Pertes de charge singulières (ou localisées) : Elles sont engendrées par les brusques ou rapides variations de section et de géométrie :

       • Dans le convergent : l'accélération du fluide et la convergence des lignes de courant provoquent des déformations et cisaillements visqueux (pertes généralement modérées car le gradient de pression est favorable).
       • Dans le divergent (diffuseur) : le fluide décélère sous un gradient de pression adverse (\mathrm{d}P/\mathrm{d}x > 0). Cela favorise le décollement de la couche limite et la formation de tourbillons dissipatifs. C'est la cause principale de pertes singulières dans un Venturi.

    \boxed{\text{Le dispositif entraîne des pertes de charge régulières (frottements pariétaux) et singulières (convergent et divergent).}}

    Résultat

    $$\text{Le dispositif entraıˆne des pertes de charge reˊgulieˋres (frottements parieˊtaux) et singulieˋres (convergent et divergent).}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question