Le sujet suit la conception d'un système d'irrigation en trois parties largement indépendantes. La première, la plus longue, caractérise un sol par décantation fractionnée, mesure sa teneur en eau par une résistance et construit le signal de commande d'une électrovanne (ALI, comparateur à hystérésis, diode). La deuxième modélise l'écoulement laminaire dans les pores d'un tuyau poreux, et la troisième dimensionne la pompe et le vase d'expansion.

1Partie I : arroser juste quand il fautChute d'une particule dans l'eau et temps de sédimentation, champ et résistance d'un échantillon de sol entre deux électrodes, puis chaîne de commande de l'électrovanne à ALI.
2Partie II : arroser juste où il fautNombre de Reynolds, champ eulérien des vitesses, force visqueuse, profil de Poiseuille et débit dans un pore.
3Partie III : dimensionnement du système de pompageRelation de Bernoulli généralisée et choix de la pompe, puis compression lente du gaz dans le vase d'expansion.

Difficulté moyenne. Le jury évoque un classement satisfaisant et un nombre encourageant d'excellentes copies, mais la sous-partie I.2 a été plus difficile et la partie III globalement mal traitée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Échelle logarithmique mal lue · Sol traité comme un condensateur · Cycle d'hystérésis mal tracé

Le sujet a bien classé les candidats et produit de très bonnes copies. Le jury déplore toutefois une rédaction moins soignée que l'an passé et surtout un manque d'honnêteté scientifique : théorèmes appliqués sans hypothèses, résultats affirmés sans justification, signes ajustés pour retrouver le résultat attendu. Ces pratiques sont lourdement sanctionnées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Échelle logarithmique mal lueQ6, Q7, Q9
Une droite en échelle log-log ne confirme pas l'approximation f(x) = x aux grandes valeurs, et plusieurs lectures de la figure 3 sont erronées.
« ne permet pas de confirmer l’approximation f(x)=x à x grand »
2
Sol traité comme un condensateurQ11 à Q16
L'énoncé orientait vers une résistance, mais l'erreur la plus fréquente a été de raisonner sur un condensateur. Les plans de symétrie doivent passer par le point M et non par O.
3
Cycle d'hystérésis mal tracéQ21, Q24, Q25
Beaucoup produisent un chronogramme, un cycle sans sens de parcours ou centré sur l'axe des ordonnées. Les justifications sur le régime des ALI sont souvent absentes.
4
Reynolds et masse volumique de l'eauQ32
Expression inversée, unité fantaisiste, masse volumique prise égale à 1 ou 10^-3 kg·m⁻³, et écoulement déclaré laminaire sans calcul.
« qui vaut 1 000 kg·m−3 en unités SI »
5
Profil de Poiseuille et débitQ37, Q38, Q39
La condition d'adhérence s'applique sur la paroi et non au centre, et l'élément de surface en coordonnées polaires est r dr dθ. Le signe de la force visqueuse traduit le cisaillement local, pas une opposition au mouvement.
« la vitesse est nulle sur la paroi »
6
Bernoulli sans conditions ni comparaison chiffréeQ42, Q43
Les conditions d'application ne sont jamais rappelées et le terme cinétique est déclaré négligeable sans comparaison numérique. La limite classique d'une pompe émergée n'est pas connue.
« un manque d’honnêteté scientifique de candidats désireux de confirmer à peu de frais ce que demande l’énoncé »

Ce qui a été bien réussi

La décantation fractionnée (I.1) est plutôt bien traitée : bilan des forces, vitesse limite et temps caractéristique.
Le signal de commande de l'électrovanne (I.3) est plutôt réussi, en particulier le calcul des tensions seuils (questions 27 et 28).
Les dernières questions de la partie III.1 sont plutôt bien menées par les rares copies qui les abordent.

Conseils du jury

Définir systématiquement le système, le référentiel et les hypothèses avant d'appliquer une loi.
Vérifier l'homogénéité de chaque expression et ne jamais égaler un vecteur et un scalaire.
Maîtriser les opérateurs gradient, divergence et laplacien, ainsi que la notion de grandeur eulérienne.
Distinguer transformation isotherme et monotherme, et faire un schéma pour ne pas confondre les volumes en jeu.
Vérifier numériquement les préconisations demandées au lieu de les affirmer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Epreuve de Physique A

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Annexe à rendre obligatoirement en fin d'épreuve même si cette dernière n'a pas été complétée.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES :

-Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
-L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
-Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session. Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
-Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.
-Dans les copies, toutes les questions, y compris celles qui ne sont pas traitées, seront numérotées dans l'ordre croissant. Une question non traitée sera laissée en blanc à la suite de son numéro.
-Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le ou la candidat(e).
-Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne seront pas comptabilisés.

Système automatique d'irrigation maraîchère

Crédit photo : Nicolas Le Beuzit (https ://lavoixdumaraicher.fr)

L'activité maraîchère, c'est-à-dire la production de légumes, est un important secteur d'activité agricole. En France, environ 388000 hectares sont consacrés à la production de 5,5 millions de tonnes de légumes. Le secteur représente en valeur marchande environ 10% de la production agricole française. Avec plus de 200000 emplois directs, le maraîchage constitue le plus gros pourvoyeur d'emplois agricoles en France.

Figure 1: Vue d'ensemble du système d'irrigation automatique.

Pour pousser correctement, un légume a besoin d'un apport d'eau régulier. Malheureusement, le dérèglement climatique rend toujours plus probables et sévères les épisodes de sécheresse des sols. Le recours à l'irrigation est par conséquent de plus en plus fréquent afin d'assurer une production suffisante malgré les aléas climatiques. Il en va de la sécurité alimentaire des consommateurs.

Dans le même temps, l'accès à la ressource en eau est de plus en plus source de conflits d'usage. Les maraîchers se retrouvent donc soumis à la double contrainte de devoir irriguer leur culture afin d'assurer de bons rendements tout en préservant le plus possible la ressource. Il convient donc de trouver des solutions afin d'assurer un arrosage de précision, à la fois efficace et économe en eau.

Dans ce problème, le candidat est amené à modéliser un système d'arrosage maraîcher automatique. Une vue d'ensemble du dispositif est proposée Figure 1.

La partie I s'attache d'abord à montrer qu'il est possible de déterminer la composition d'un sol par décantation. La structure du sol étant connue, l'énoncé propose ensuite d'étudier un capteur de mesure en temps réel de l'humidité du sol. Le signal du capteur est converti électroniquement afin de commander une électrovanne qui régule le débit d'eau d'arrosage. Cette eau est distribuée aux plants maraîchers par un tuyau microporeux (partie II) alimenté grâce à une pompe et à un vase d'expansion (partie III). Les trois parties sont totalement indépendantes.

I Arroser juste quand il faut

1 Connaître son sol par décantation fractionnée

Afin de mettre en place la bonne stratégie d'irrigation, le maraîcher doit d'abord connaître la composition de son sol qui est un mélange en proportions variables :

-de matières organiques (débris végétaux en décomposition);
-d'argiles (particules de taille inférieure à $2μ m$ );
-de limons (particules de taille comprise entre $2μ m$ et $50μ m$ );
-de sables (particules de taille supérieure à $50μ m$ ).

Un sol argileux est réputé pour avoir une bonne capacité de rétention d'eau tandis qu'un sol sableux sera très drainant.

Afin d'estimer grossièrement la composition d'un sol, les jardiniers ont souvent recours au « test du bocal » dont le protocole est défini ainsi :

Test du bocal

-Prélever un échantillon de terre dans le potager et remplir environ le tiers d'un grand bocal en verre de cette terre.
-Compléter le bocal au trois quart avec de l'eau et refermer-le hermétiquement.
-Agiter le bocal vigoureusement pendant trois minutes afin de former un mélange eau/terre homogène.
-Poser le bocal sur un meuble sans y toucher pendant 72 heures.

Après 72 heures de repos, le bocal ressemble à la figure 2. On peut distinguer des strates de matériaux de différentes granulométrie, les plus gros grains reposant au fond du bocal. En mesurant les épaisseurs respectives de chacune des strates, on peut alors déterminer les proportions de sables, limons et argiles de la terre récoltée. On remarque que la matière organique, de densité inférieure à celle de l'eau, surnage en haut du bocal. Dans la suite de cette partie, nous allons chercher un modèle permettant d'expliquer la stratification du contenu du bocal.

Le bocal est de section

S

et de profondeur

p

. On note respectivement

η

ρ_e

la viscosité dynamique et la masse volumique de l'eau.

η

ρ_e

sont supposées constantes.

On définit le repère

(O, e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to)

lié au bocal. L'axe

(O_z)

est vertical descendant. L'interface du mélange terre/eau avec l'air dans le bocal correspond à la cote

z = 0

On suppose que les particules minérales (sables, limons ou argiles) sont sphériques, de rayon

r

(qui dépend de la particule considérée), et qu'elles sont soumises, entre autres, à la force de frottement fluide

F⃗ = - 6πηrv⃗

, où

v⃗

est la vitesse des particules et à la poussée d'Archimède dont l'énoncé historique peut se formuler ainsi :
« Tout corps plongé dans un fluide au repos subit une force verticale de norme égale et opposée au poids du volume de fluide déplacé. »

Tournez la page S.V.P.

Figure 2: Résultat du « test du bocal » après 72 heures de décantation.

On note enfin

ρ_0

(avec

ρ_0 > ρ_e

) la masse volumique des particules, supposée constante et identique pour toutes les particules.

Donner les expressions des trois forces s'exerçant sur une particule en mouvement durant la décantation.
À partir de la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle sur $v_z$ , projection selon $e_z\to$ de la vitesse de la particule. Déterminer alors, en fonction de $ρ_0, ρ_e, r, η$ et de l'accélération $g$ de la pesanteur, la vitesse limite $v_ℓ\to = v_ℓ \cdot e_z\to$ atteinte par ces particules. Quel est le signe de $v_ℓ$ ?
Introduire un temps caractéristique $τ_c$ que l'on exprimera en fonction de $ρ_0, r$ et de $η$ puis donner la solution $v_z(t)$ de l'équation différentielle en supposant qu'initialement $v_z(t = 0) = 0$ .

On appelle temps de sédimentation noté

τ_s

la durée nécessaire pour qu'une particule initialement à

z = 0

se retrouve au fond du bocal, c'est-à-dire en

z = p

.
4. Déterminer l'évolution de

z(t)

en supposant une particule initialement à la surface

z(t = 0) = 0

avec une vitesse nulle

v_z(t = 0) = 0

.
5. Montrer que le temps de sédimentation

τ_s

est à chercher comme solution de l'équation :

v_ℓ[τ_s + τ_c{exp(− τ_s/τ_c) − 1}] = p

On ne cherchera pas à résoudre cette équation.
On donne Figure 3 la représentation graphique, en échelle log-log, de la fonction

f : x \to x - 1 + exp(- x)

Figure 3: Représentation graphique de la fonction

f

en échelle

log - log

On récapitule également dans un tableau les valeurs de

τ_c

et du rapport

p/(v_ℓ τ_c)

pour trois types de particules :

	$argiles(r = 1μ m)$	limons $(r = 20μ m)$	sables ( $r = 2 mm$ )
$τ_c(ens)$	$2 \times 10^(- 7)$	$9 \times 10^(- 5)$	0,9
$p/(v_ℓ τ_c)$	$8 \times 10^(11)$	$5 \times 10^6$	$5 \times 10^(- 2)$

Déterminer graphiquement la valeur prise par $τ_s$ pour les sables $r = 2 mm$ . Vous compléterez la reproduction de la figure 3 présente en annexe de l'épreuve et vous expliciterez avec précision toutes les étapes de votre démarche.
Faire une approximation de $f(x)$ lorsque $x≫1$ . Cela se confirme-t-il sur le graphe de la figure 3?
En déduire alors les valeurs prises par $τ_s$ pour les limons et les argiles.
Introduisons $ε$ la distance parcourue par les argiles durant la durée de sédimentation des sables (c'està-dire la durée du dépôt de tous les sables du bocal au fond de celui-ci). En exprimant littéralement puis numériquement le rapport $ε/p$ , conclure quant à l'efficacité de la sédimentation fractionnée pour obtenir une séparation des différentes particules.
Justifier que le protocole indique d'attendre 72 heures avant d'analyser les résultats de la décantation.

2 Teneur en eau d'un sol

Afin de déterminer s'il est nécessaire d'effectuer un arrosage des cultures, la connaissance de la teneur en eau

Hr

d'un sol est primordiale. Hr est la masse d'eau en grammes contenue dans un gramme de sol. C'est donc une grandeur adimensionnée. Elle varie typiquement entre

Hr = 0

(sol très sec) à

Hr = 0, 40

(sol saturé en eau).

Cette teneur en eau peut être mesurée par conductimétrie. Considérons une sonde constituée de deux électrodes métalliques parallèles et rectangulaires de surface

a \times b = 12 \times 10 cm^2

. Elles sont
séparées de la distance

c = 1 cm

. Ces électrodes sont directement enfoncées dans le sol de conductivité électrique

γ_(sol)

et reliées à un générateur idéal de force électro-motrice

U

constante. On fera l'hypothèse que le sol reste électriquement neutre.

Figure 4: Géométrie de la sonde conductimétrique

En supposant que l'armature de gauche (potentiel $V_g$ ) est à la masse, quel est le potentiel $V_d$ de l'armature de droite?
L'origine du repère est prise au centre de l'armature de gauche. On note respectivement $V$ et $E⃗$ le potentiel et le champ électrique dans l'espace inter-électrodes. On note $Q$ la charge portée par l'électrode de droite et $- Q$ la charge portée par l'électrode de gauche.
On suppose ici que l'on néglige les effets de bords. A quelle condition sur $a, b$ et $c$ cela est-il possible? Montrer que, en négligeant les effets de bord, une étude des invariances et des symétries du problème permet d'obtenir

E⃗ = E(x)u_x^(\to-) et V(x, y, z) = V(x)

Montrer, en utilisant l'équation de Poisson que vous rappelerez, que, dans l'espace inter-électrodes :

V(x) = U/cx

Déterminer l'expression du champ électrique $E⃗$ dans ce même espace.
En déduire, en précisant soigneusement votre choix d'orientation, l'intensité totale $I$ circulant dans l'espace entre les électrodes.
Obtenir alors l'expression de la résistance électrique $R$ de l'échantillon de sol contenu entre les deux électrodes.
Déterminer l'unité de la conductivité électrique.

La conductivité

γ_(sol)

n'est pas constante et dépend en particulier de la teneur en eau du sol Hr . Il n'existe pas de relation simple entre ces grandeurs et elle dépend de plusieurs paramètres du sol : sa composition (vue dans la sous-partie précédente), son pH, sa teneur en différents minéraux... Le maraîcher a envoyé un échantillon de terre de son terrain pour analyse en laboratoire. Il a alors reçu les résultats suivants (figure 5). La résistivité

ρ_0

introduite correspond à la valeur minimale obtenue par le laboratoire pour le sol testé. Ainsi,

ρ_(sol)/ρ_0

prend par construction la valeur minimale 1.

La conductivité et la résistivité électrique sont liées par la relation :

ρ_(sol) = 1/(γ_(sol))

Figure 5: (gauche) résistivité

ρ_(sol)/ρ_0

en fonction de l'humidité relative

Hr

. (droite)

ln(ρ_(sol)/ρ_0)

en fonction de

1/Hr

Justifier, à partir de ces courbes, qu'il est possible d'exprimer la résistivité du sol $ρ_(sol)$ en fonction de sa teneur en eau $Hr$ selon l'expression

ρ_(sol) = ρ_0 exp(α/(Hr) + β)

Déduire graphiquement les valeurs numériques de

α

β

.
Pour obtenir une bonne production, le maraîcher cherche à maintenir l'humidité

Hr

de son sol entre

Hr_(min) = 0, 1

Hr_(max) = 0, 2

. Afin de fournir un capteur adapté, on propose de vérifier les performances du capteur sur cette plage de fonctionnement.
19. La résistance électrique est-elle croissante ou décroissante en fonction de

Hr

? Déterminer littéralement la plage de résistance électrique

[R_(min), R_(max)]

associée à la plage de fonctionnement cible. Aucune application numérique n'est attendue.
20. En pratique, le capteur n'est pas soumis à une tension continue

U

mais à une tension sinusoïdale de la forme

Ucos(2πft)

avec

f = 200 Hz

. Expliquer pourquoi. Vous discuterez en particulier l'hypothèse d'électroneutralité du sol.

3 Signal de commande de l'électrovanne

L'objectif de cette partie est de convertir la mesure de la résistance électrique

R

en un signal de commande d'une électrovanne (vanne pilotable électriquement). L'électrovanne considérée fonctionne ainsi :

-Si elle est soumise à une différence de potentiel nulle, elle permet le passage de l'eau (position ouverte);
-Si elle est soumise à une différence de potentiel de 12 V, elle bloque le passage de l'eau (position fermée).

Afin de conserver un niveau d'humidité optimal, on souhaite que l'arrosage soit piloté ainsi :

-Si le taux d'humidité $Hr$ passe en dessous de $Hr_(min)$ (correspondant à une valeur de la résistance supérieure à $R_(max) = 15Ω$ ), l'arrosage se déclenche;
-Si le taux d'humidité $Hr$ passe au dessus de $Hr_(max)$ (correspondant à une valeur de la résistance inférieure à $R_(min) = 5Ω$ ), l'arrosage s'interrompt.

On propose d'intégrer le capteur d'humidité (assimilée à une résistance

R

dépendant de

Hr

) dans le montage de la Figure 6. Afin de simplifier la modélisation, l'électrovanne se comporte comme un dipôle ohmique de résistance

R_C

Figure 6: Electronique de conditionnement du signal

On suppose que tous les amplificateurs linéaires intégrés (notés ALI dans la suite) sont idéaux et qu'ils sont alimentés par une alimentation symétrique

\pm V_0 = \pm 12 V

si bien que leur tension de sortie

s

est telle que

- V_0 \leq s \leq + V_0

21. Étude du bloc 1 : Justifier que les résistances

R_3

R

sont en association série. Déterminer alors

V_A

puis

V_B

, les potentiels respectivement aux nœuds

A

B

en fonction de

V_0

et des résistances.
22. Quel est l'intérêt de l'ALI 1? Comment nomme-t-on un tel montage à ALI?
23. Étude du bloc 2 : Déterminer

V_C

en fonction de

V_0

et des résistances

R_4

R_5

.
24. Étude du bloc 3 : L'ALI 3 fonctionne-t-il en régime linéaire? En justifiant toutes les étapes, exprimer

V_D

(potentiel au nœud

D

) en fonction de

V_E

et de

V_B

. Montrer que la tension

V_E

bascule entre les états

+ V_0

- V_0

pour des valeurs seuils basse et haute de

V_B

respectivement notées

V_b

V_h

. On exprimera

V_b

V_h

en fonction de

V_C, V_0

α = R_1/R_2

.
25. Tracer le graphe

V_E

en fonction de

V_B

pour

V_B

compris entre 0 et

2V_h

.
26. Montrer que

α = (V_h - V_b)/(2V_0) et V_C = (V_h + V_b)/(2(1 + α))

On souhaite l'ouverture de l'électrovanne quand $V_B$ devient inférieur à $V_b$ et la fermeture de celle-ci lorsque $V_B$ devient supérieur à $V_h$ . En déduire, en utilisant l'expression de $V_B$ obtenue à la question 21, les expressions littérales de $V_b$ et $V_h$ en fonction de $R_(min), R_(max), R_3$ et $V_0$ . Faire les applications numériques en prenant $R_3 = 5Ω$ .
En déduire les valeurs numériques à donner à $α$ et $V_C$ . On fixe $R_1 = R_5 = 1kΩ$ . En déduire les valeurs à choisir pour $R_1$ et $R_4$ .
A partir du tracé $V_E$ en fonction de $V_B$ obtenu à la question 25, réaliser le tracé $V_E$ en fonction de $Hr$ pour $Hr$ compris entre 0 et 0,4 . On identifiera en particulier les valeurs de $Hr$ associées au basculement de $V_E$ .
On rappelle Figure 7 l'allure de la relation courant-tension aux bornes de la diode (bloc 4) supposée idéale. En déduire, en justifiant rigoureusement votre raisonnement, les valeurs prises par $V_F$ en fonction des valeurs prises par $V_E$ .
En utilisant le résultat de la question 29, tracer le graphe $V_F$ en fonction de $Hr$ . Vérifier alors que l'électrovanne est correctement commandée.

Figure 7: Caractéristique courant-tension d'une diode idéale

II Arroser juste où il faut

Afin de réduire sa consommation d'eau, le maraîcher a fait le choix de réaliser son arrosage en utilisant des tuyaux dits micro-poreux. Ces tuyaux sont percés de pores (des trous) de diamètre

d = 20μ m

régulièrement espacés à la surface du tuyau. On note

P_(int) = P_(min) = 1, 5

bar la pression à l'intérieur du tuyau micro-poreux et

e = 1 mm

l'épaisseur de la paroi du tuyau. L'objectif de cette partie est de déterminer combien de pores doivent être percés par mètre de tuyau afin d'obtenir un débit linéique de

D_(lin) = 6, 0 L.min^(- 1).m^(- 1)

. On rappelle que, pour l'eau liquide, la viscosité dynamique vaut

η = 1 \times 10^(- 3)

Pa.s et la masse volumique

ρ = 1, 0 kg.L^(- 1)

.
32. Après avoir rappelé l'expression du nombre de Reynolds Re, évaluer le nombre de Reynolds caractérisant l'écoulement de l'eau à travers un pore. On choisira une valeur raisonnable pour la vitesse étant entendu que l'eau sort des pores au goutte à goutte.
33. Au vu de la valeur du nombre de Reynolds obtenue à la question précédente, comment peut-on qualifier le régime d'écoulement?

Modélisons un pore par un cylindre d'axe

(O, u_z^(\to-))

, de rayon

R = d/2

et de longueur

e

. Considérons le repère cylindrique

(O, u_r^(\to-), u_θ^(\to-), u_z^(\to-))

dans lequel le champ eulérien des vitesses s'écrit

v⃗ = v(r)u_z^(\to-)

. L'écoulement est par ailleurs supposé stationnaire et incompressible.
34. En utilisant l'expression du champ eulérien des vitesses fournie, montrer qualitativement qu'une particule de fluide décrit un mouvement rectiligne uniforme.

Considérons alors un système fermé

(K)

constitué par le fluide contenu dans le cylindre de rayon

r < R

et de longueur

e

centré sur l'axe du pore.
35. A l'aide de la question précédente, que peut-on dire de l'évolution de la quantité de mouvement du système

(K)

au cours du temps?
36. Ecrire alors le théorème de la résultante cinétique pour le système

(K)

. On listera à cette fin les forces qui s'exercent sur le système sans chercher à les expliciter.

La force de viscosité qui s'exerce sur

(K)

s'écrit, en notant

S

la surface latérale de

(K)

F⃗_(visc) = \pm η(dv)/(dr)Su⃗_z

Interpréter les termes intervenant dans son expression et justifier le choix du signe positif ou négatif.

En négligeant les effets gravitationnels, on peut montrer, par application du théorème de la résultante cinétique sur

(K)

, que le champ de vitesse est solution de l'équation suivante :

(dv)/(dr) = (- r)/(2η) \times (P_(int) - P_0)/e

Avec

P_0

la pression atmosphérique.
38. Identifier une condition aux limites adaptée et en déduire le champ de vitesse dans le pore.
39. En déduire le débit volumique

D_1

pour un pore puis faire l'application numérique.
40. Expliciter la densité linéique de pores

n_t

(en

m^(- 1)

) permettant d'obtenir le débit linéique spécifié

D_(lin)

. Faire l'application numérique pour

n_t

III Dimensionnement du système de pompage

1 Choix de la pompe

Figure 8: Représentation du dispositif hydraulique de puisage

L'eau servant à l'irrigation est pompée dans un puits de section constante

S = 1 m^2

à une profondeur de

h + h^' = 28 m

sous le niveau du sol au point

A

. Le puits est au contact de l'atmosphère, sa surface libre est donc à la pression atmosphérique

P_0

et à une profondeur

h = 25 m

(on note

A_0

un point de la surface libre). Elle est alors acheminée jusqu'à un réservoir tampon (appelé vase d'expansion et étudié dans la partie suivante) dans laquelle elle doit atteindre une pression maximale de

P_(max) = 6

bar. La pompe est asservie en puissance afin d'assurer un débit constant

D_p = 1000 L.min^(- 1)

à l'entrée du vase d'expansion quelle que soit la pression dans celui-ci. Le réseau hydraulique dans son ensemble est représenté sur la Figure 8 avec deux positions possibles pour la pompe (montage A et montage B). On fera dans toute cette partie l'hypothèse d'un écoulement incompressible homogène et stationnaire.
La conduite d'acheminement a un diamètre intérieur

δ = 100 mm

et une longueur totale jusqu'au vase d'expansion de

ℓ = 100 m

. En entrée du système, on dispose un filtre grossier (pour éviter d'aspirer des feuilles, des branchages, des graviers...) puis un micro-filtre constitué d'un tampon en fibres végétales (afin d'éviter que du sable entre dans le corps de pompe).
41. Définir puis déterminer littéralement la vitesse débitante au point

B

(conduite de diamètre intérieur

δ

). Faire l'application numérique.
42. Justifier avec rigueur que l'une des configurations ne peut pas fonctionner, indépendemment de la puissance de la pompe. On pourra montrer que la pression atteint en certains points du circuit hydraulique des valeurs absurdes physiquement. Quel scientifique italien a montré en son temps la limite de fonctionnement d'une pompe?

Dans toute la suite, on étudiera la seule configuration qui peut fonctionner. On s'intéresse maintenant à dimensionner la puissance de la pompe afin de répondre aux contraintes.
43. Que dire de la vitesse du fluide en

A_0

? Montrer alors qu'entre les points

A_0

D

, la variation d'énergie cinétique du fluide est négligeable devant la variation d'énergie potentielle.

Dans toute la suite, on pourra négliger la variation d'énergie cinétique.
44. En négligeant toutes pertes de charge, déterminer littéralement la puissance mécanique

P

que la pompe doit développer pour assurer le débit

D_p

lorsque la pression dans le vase d'expansion est maximale

P_(max) = 6

bar. Réaliser l'application numérique.
45. Déterminer le nombre de Reynolds associé à cet écoulement dans la conduite. Faire l'application numérique et qualifier l'écoulement. Si on souhaitait tenir compte des pertes de charge (ce que nous ne chercherons pas à faire dans le présent problème), est-il possible d'utiliser le modèle développé dans la partie II?
46. Le rendement de la conversion électro-mécanique du moteur de la pompe est estimé

é η_(élec) = 70%

et le rendement de la turbine de la pompe (conversion de l'énergie mécanique de rotation de la turbine en énergie disponible pour le fluide) est estimé à

é η_(méca) = 70%

. En déduire la puissance électrique

é P_(élec)

que doit avoir la pompe afin de répondre au cahier des charges.

2 Vase d'expansion

Le vase d'expansion (voir Figure 9) est une cuve métallique indéformable de volume total

V_(tot) =

2000 L . Un piston mobile sépare un gaz supposé parfait et l'eau assimilée à un liquide incompressible. Ce réservoir joue le rôle de tampon, c'est-à-dire qu'il accumule de l'eau. En effet, la pression dans le réservoir évolue entre la pression minimale de fonctionnement du système d'irrigation

P_(min) = 1, 5

bar et la pression maximale de la pompe

P_(max) = 6

bar. Lorsque la pression est maximale, le gaz est fortement comprimé et le volume d'eau dans le réservoir est maximal. A l'inverse, le volume d'eau dans le réservoir est minimal lorsque la pression atteint

P_(min)

. Un régulateur de pression (non étudié ici) permet finalement d'obtenir la pression constante

P_(min)

dans les tuyaux micro-poreux.

On note

T

la température du gaz parfait contenu dans le vase d'expansion et on suppose que ce dernier est au contact thermique avec l'atmosphère extérieur à la température constante

T_0 = 20^\circC

Figure 9: Vue du vase d'expansion

Grâce à ce système, la pompe fonctionne de manière discontinue (elle est allumée quand la pression descend en dessous de

P_(min)

est coupée lorsque la pression dépasse

P_(max)

) bien que l'arrossage soit
continu. Cela permet d'augmenter la longévité de la pompe en ne la sollicitant pas continuement. A cette fin, le constructeur préconise une phase « pompe allumée » de 4 minutes maximum et une durée supérieure à 6 minutes entre deux allumages successifs.

On note respectivement

V_(min)

V_(max)

les volumes d'eau minimum et maximum dans la cuve.
47. On suppose les phases de compression puis de détente lentes. Quelle(s) conséquence(s) cela-a-t-il sur la nature des évolutions du gaz? Une réponse argumentée est attendue.
48. Exprimer

ΔV = V_(max) - V_(min)

en fonction de

V_(tot), V_(min)

et du rapport

α = P_(min)/P_(max)

Afin d'optimiser le fonctionnement de la pompe, on souhaite maximiser le volume d'eau

ΔV

que le vase d'expansion peut stocker. On se place dans ces conditions d'exploitation pour les deux questions suivantes.
49. Dans ces conditions, déterminer littéralement puis numériquement la quantité de matière

n_(gaz)

à utiliser pour remplir le volume au-dessus du piston. La constante des gaz parfaits sera prise égale à

R = 8 J.mol^(- 1).K^(- 1)

.
50. En supposant que le réseau d'irrigation est constitué de

L = 100 m

de tuyaux micro-poreux avec un débit linéique

D_(lin) = 6 L.m^(- 1).min^(- 1)

, déterminer la durée de la phase « pompe allumée » notée

τ_1

puis celle de la phase « pompe éteinte » notée

τ_2

. Les préconisations du constructeur sont-elles respectées?

EPREUVE DE PHYSIQUE A

Document annexe à rendre en fin d'épreuve avec la copie.

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Reproduction de la figure 3 : représentation graphique de la fonction f en échelle log-log

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Physique A Banque PT 2026 ?

Sur un système automatique d'irrigation maraîchère : sédimentation des particules du sol, mesure de la teneur en eau par une résistance, électronique de commande d'une électrovanne, écoulement de Poiseuille dans un tuyau poreux et dimensionnement de la pompe.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Physique A PT 2026 ?

Des résultats affirmés sans justification, le capteur traité comme un condensateur, des cycles d'hystérésis mal tracés, un nombre de Reynolds faux faute de connaître la masse volumique de l'eau, et des conditions aux limites erronées pour le profil de vitesse.

Y avait-il une erreur d'énoncé en Physique A Banque PT 2026 ?

Oui, à la question 28 : R1 étant fourni, c'est R2 qu'il fallait calculer. Le jury a accepté toute réponse adaptée.

Quelle partie de Physique A PT 2026 a été la moins réussie ?

La partie III sur le pompage est globalement mal traitée, et le vase d'expansion en fin d'épreuve a été peu abordé. Dans la partie I, la teneur en eau du sol a aussi donné lieu à davantage de déceptions.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Banque PT Physique A PT 2026

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