Banque PT Mathématiques B PT 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Un endomorphisme de polynômes qui est une rotation, et une conique définie par foyer et directrice étudiée avec les nombres complexes et des surfaces

Le sujet comporte deux exercices indépendants. Le premier montre qu'un endomorphisme défini sur un sous-espace H de R3[X], muni d'un produit scalaire, se ramène à une rotation, en passant par une base orthonormée et l'étude d'une rotation de R3. Le second identifie une conique donnée par une relation entre nombres complexes, en détermine les éléments caractéristiques et la trace, puis étudie une surface qui la contient et une surface de révolution.

1Premier exercice, partie ASous-espace H de R3[X] : base, dimension, linéarité et endomorphisme.
2Premier exercice, partie BProduit scalaire sur R3[X], base orthonormée de H, projeté orthogonal et orthogonal de H.
3Premier exercice, partie CMatrice d'une rotation de R3 dans une base orthonormée directe adaptée puis dans la base canonique, et puissances de cette matrice.
4Premier exercice, partie DMatrice de l'endomorphisme dans la base orthonormée de H et interprétation comme rotation.
5Deuxième exercice, partie ATrois questions de cours sur les coniques et sur la transformation z' = exp(iθ)z.
6Deuxième exercice, partie BProjeté orthogonal sur une droite en complexes et identification de la conique par foyer, directrice et excentricité.
7Deuxième exercice, partie CÉquation cartésienne réduite après rotation, éléments caractéristiques, tangente et tracé sur papier millimétré.
8Deuxième exercice, partie DSurface de R3 contenant une courbe, points réguliers, plan tangent, sections planes et surface de révolution.

Accessible. Le jury indique que la grande majorité des candidats a traité l'ensemble du sujet et que de nombreuses copies ont obtenu une excellente note, même si les dernières questions de chaque exercice sont souvent délaissées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Implications et équivalences mal maîtrisées · Sous-espace vectoriel et endomorphisme · Orthogonal et base orthogonale

L'épreuve couvrait une grande part des programmes de géométrie et d'algèbre de PTSI/PT, hors courbes paramétrées et réduction. Elle a bien discriminé les candidats sur tout le spectre des notes. Le jury regrette la baisse des résultats encadrés, une maîtrise insuffisante de la langue et des confusions entre la nature des objets manipulés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Implications et équivalences mal maîtrisées8.a et 11.a (second exercice)
Les raisonnements par équivalence ne vont pas jusqu'au bout ou ne sont pas justifiés, en particulier pour obtenir l'équation de la conique et pour les points réguliers de la surface.
« les candidats confondent « si ... alors », « pour que ..., il faut que » et « si et seulement si »
2
Sous-espace vectoriel et endomorphisme1 et 3 (premier exercice)
La caractérisation d'un sous-espace vectoriel reste mal maîtrisée, certains proposent la base canonique de R3[X] comme base de H, et d'autres démontrent la linéarité admise au lieu de la stabilité de H.
3
Orthogonal et base orthogonale9.b (premier exercice)
Le jury note des confusions entre une base de l'orthogonal de H et une base orthogonale de H, et un oubli fréquent de justifier la dimension de l'orthogonal.
« Les correcteurs constatent des confusions entre « une base de l’orthogonal de H » et « une base orthogonale de H »
4
Base adaptée à une rotation10 et 11 (premier exercice)
La recherche de la base orthonormée directe s'étire souvent sur plus d'une page, la base n'est pas toujours orthonormée ni directe, et la matrice dans la base adaptée est confondue avec la matrice de passage.
« Il n’est pas rare que la recherche de B′ prenne plus d’une page »
5
Questions de cours sur les coniques1 à 3 (second exercice)
Seuls 6 % des candidats ont tous les points de la partie A du second exercice. Le paramétrage d'une branche d'hyperbole et la définition par foyer et directrice sont mal connus.
6
Graphique sans repère ni graduation9.a (second exercice)
Beaucoup de tracés sans repère ou sans graduations claires ont été pénalisés, et l'unité imposée n'est pas toujours respectée.

Ce qui a été bien réussi

La définition d'une application linéaire est bien connue (question 2 du premier exercice).
La démonstration par les coefficients à la question 6 est généralement bien réussie, et le recours à la formule de Taylor pour les polynômes a été apprécié.
La vérification que X et X² sont orthogonaux et unitaires (question 7) est souvent bien réussie.
La grande majorité a compris qu'il fallait savoir trouver l'équation d'un plan tangent (question 11.b du second exercice).

Conseils du jury

Distinguer clairement vecteurs, polynômes, applications linéaires, matrices, courbes et surfaces.
Connaître les formules de changement de base pour un endomorphisme.
Connaître les valeurs usuelles de la fonction arccosinus et les équations des coniques usuelles.
Donner les équations de droites et de plans sous forme simplifiée, avec des coefficients les plus simples possibles.
Accompagner toute réponse oui ou non d'une justification.
Encadrer les résultats à la règle et utiliser une feuille de brouillon pour limiter les ratures.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.
À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte et les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 2 exercices indépendants.

CONSIGNES :

-Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
-L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
-Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
-Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
-Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.

Premier exercice.

On rappelle que si

P

est un polynôme et

k

un entier naturel,

P^((k))

désigne la dérivée

k

-ème de

P

Dans cet exercice, on considère :

◇ l'espace vectoriel $ℝ_3[X]$ des polynômes à coefficients réels de degré au plus 3.
◇ l'ensemble $H = {P ∈ ℝ_3[X]; 6P(0) = P^((3))(0)}$ .
◇ l'application $f$ définie sur $H$ par

\forallP \in H, f(P) = (X + X^2)P(0) - 1/2(X^3 + X^2 - X + 1)P^'(0) - 1/4(X^3 - X^2 + X + 1)P^('')(0)

Partie A

1.Démontrer que $H$ est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension.
2.Démontrer que l'application $h$ définie sur $H$ par
$\forallP \in H, h(P) = P^'(0)$
est linéaire.
Dans quel espace vectoriel $h$ prend-elle ses valeurs? On sera le plus précis possible.
3.On admet que $f$ est linéaire. Démontrer que $f$ est un endomorphisme de $H$ .

Partie B

4.Donner la définition d'un produit scalaire $φ$ sur $ℝ_3[X]$ .
5.Soit $φ$ une application définie sur $(ℝ_3[X])^2$ , linéaire par rapport à sa première variable et symétrique. Démontrer soigneusement que $φ$ est bilinéaire.
6.Démontrer de deux façons différentes que si un polynôme $P$ de $ℝ_3[X]$ vérifie
$P(0) = P^'(0) = P^('')(0) = P^((3))(0) = 0$
alors $P$ est le polynôme nul.

On considère désormais l'application

φ

définie sur

(ℝ_3[X])^2

par

\forall(P, Q) \in (ℝ_3[X])^2, φ(P, Q) = \sum_(k = 0)^3(P^((k))(0)Q^((k))(0))/((k!)^2).

On admet que

φ

est un produit scalaire sur

ℝ_3[X]

et on suppose désormais que

ℝ_3[X]

est muni de ce produit scalaire.

7.Vérifier que $X$ et $X^2$ sont deux vecteurs orthogonaux et unitaires de $H$ .
8.Déterminer une base orthonormée $B$ de $H$ contenant les deux vecteurs $X$ et $X^2$ . Les éléments de cette base seront classés par ordre décroissant de degré.
9.(a) Déterminer le projeté orthogonal du polynôme constant 1 sur $H$ .
- (b)En déduire une base de l'orthogonal de $H$ dans $ℝ_3[X]$ .

Partie C
L'espace euclidien

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et de sa base canonique

(i⃗, j⃗, k⃗)

.
On considère la rotation

r

d'axe

Δ

dirigé et orienté par le vecteur

u⃗ = j⃗ - k⃗

et d'angle

θ = - π/2

. On note

R

la matrice de

r

dans la base

(i⃗, j⃗, k⃗)

10.Déterminer une base orthonormée directe $B^' = (u⃗^', v⃗^', w⃗^')$ telle que $u⃗$ et $u⃗^'$ sont colinéaires et de même sens.
Donner la matrice $R^'$ de $r$ dans cette base.
11.Déterminer $R$ .
12.Quels sont les endomorphismes canoniquement associés à $R^⊤$ , $R^(2025)$ et à $R^(2026)$ ? On donnera deux réponses distinctes pour cette dernière matrice.

Partie D

13.Déterminer la matrice de $f$ dans la base $B$ déterminée dans la partie B.
14.Justifier qu'il existe une base $B^('')$ de $H$ à préciser dans laquelle la matrice de $f$ est :
$(1, 0, 0; 0, 0, 1; 0, - 1, 0).$
La base $B^('')$ est-elle orthogonale pour le produit scalaire $φ$ de la partie $B$ ?

Deuxième exercice.

Dans les 3 premières parties de cet exercice, l'espace euclidien

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct

(O; e⃗_1, e_2^(\to-))

.
Dans la dernière partie de l'exercice, indépendante des 3 premières, l'espace euclidien

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct

(O; e_1^(\to-), e_2^(\to-), e_3^(\to-))

Partie A

1.Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
- (a)Donner la nature et le paramétrage usuel de la conique d'équation cartésienne
  $(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1.$
- (b)Donner la nature et le paramétrage usuel de chaque branche de la conique d'équation cartésienne
  $(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1.$
2.Soit $F$ un point, $D$ une droite ne contenant pas $F$ et $ε$ un réel strictement positif.
- (a)Donner la définition de la conique de foyer $F$ , de directrice $D$ et d'excentricité $ε$ .
- (b)Quelle est la nature de cette conique ?
3.Soient $M$ et $M^'$ deux points d'affixes complexes respectives $z$ et $z^'$ et $θ$ un nombre réel tels que $z^' = e^(iθ)z$ .
Quelle transformation permet de passer de $M$ à $M^'$ ?

Partie B

On considère l'ensemble

C

des points

M

ℝ^2

d'affixe complexe

z

vérifiant :

|z| = |z + z¯e^(iπ/3) - 3e^(iπ/6)|

Soit $D$ la droite d'équation $\sqrt3x + y = 3$ .
Pour tout point $M$ du plan, on note $M^'$ son projeté orthogonal sur $D$ .

(a)Déterminer l'expression des coordonnées $(x^', y^')$ de $M^'$ en fonction des coordonnées $(x, y)$ de $M$ .
(b)En déduire que si $z$ est l'affixe complexe de $M$ et $z^'$ celle de $M^'$ alors :
$z^' = 1/2(z - z¯e^(iπ/3) + 3e^(iπ/6))$

Exprimer $z - z^'$ en fonction de $z$ et $z¯$ .
En déduire que $C$ est une conique dont on précisera la nature, un foyer, une directrice et l'excentricité.

Partie C

Soit

u⃗

un vecteur normal à

D

dont l'abscisse est positive.
7. Déterminer l'angle

α = (e_1^(\to-), u⃗)

.
8. On note

C^'

l'ensemble des points

N

d'affixes complexes

Z

tels que le point

M

d'affixe complexe

z = e^(iα)Z

appartienne à

C

(

α

est l'angle déterminé à la question 7.).

(a)Démontrer que
$N \in C^' \Leftrightarrow |Z| = |Z + Z¯ - 3|$
(b)En déduire qu'une équation cartésienne de $C^'$ est
$3x^2 - 12x - y^2 + 9 = 0$
(c)Donner les éléments caractéristiques de la conique $C^'$ à savoir :
◇ les coordonnées (s'il y a lieu) du centre, des sommets;
◇ une équation (s'il y a lieu) des asymptotes.
On rappelle que les sommets d'une conique sont les points d'intersection de la conique avec ses axes de symétrie.
(d)Donner une équation cartésienne de la tangente $T$ à $C^'$ au point $G$ de coordonnées $(0, 3)$ .

(a) Tracer la courbe $C^'$ ainsi que les éléments déterminés dans la question 8.(c). Unité : 1cm (minimum).
On utilisera la feuille de papier millimétré fournie.

(b)Quelle transformation permet d'obtenir la courbe $C$ à partir de la courbe $C^'$ ? Le tracé de $C$ n'est pas demandé.

Partie D

Dans

ℝ^3

, on considère la courbe

C^('')

dont un système d'équations cartésiennes est

{3x^2 − y^2 = 3; z = 1

ainsi que la surface

S

d'équation

- 3x^2 + y^2 + 3z^2 = 0

.
10. Démontrer que

C^('') \subset S

.
11. (a) Déterminer les points réguliers de

S

(b)Déterminer une équation du plan tangent à $S$ au point $J$ de coordonnées (2, -3, -1).
12.Soit $λ \in ℝ$ . On considère les plans $P_λ$ d'équation cartésienne $2x + \sqrt2z = λ$ et on note $C_λ$ l'intersection de $S$ et $P_λ$ .
(a)Démontrer que $C_λ$ est soit vide, soit un cercle.
On pourra utiliser que
$- 3x^2 + y^2 + 3z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (2x - \sqrt2z)(2x + \sqrt2z).$
et/ou se placer dans un repère orthonormé dont le troisième vecteur est colinéaire à $2e⃗_1 + \sqrt2e⃗_3$ .
(b)Cela permet-il de dire que $S$ est une surface de révolution ?

On note $C_+^('')$ l'ensemble des points de $C^('')$ d'abscisse positive.
Déterminer une équation cartésienne de la surface de révolution $Σ$ obtenue en faisant tourner $C_+^('')$ autour de l'axe des abscisses $(Ox)$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Maths B Banque PT 2026 ?

Sur deux exercices : un endomorphisme d'un sous-espace de R3[X] qui s'interprète comme une rotation, puis une conique définie par foyer, directrice et excentricité, étudiée avec les nombres complexes, et des surfaces de R3 qui la contiennent.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes en Mathématiques B PT 2026 ?

Les confusions entre implication et équivalence, la caractérisation d'un sous-espace vectoriel mal appliquée, les formules de changement de base mal connues, et des tracés de coniques sans repère ni graduation.

Les questions de cours sur les coniques de Maths B Banque PT 2026 ont-elles été réussies ?

Non : seuls 6 % des candidats ont obtenu tous les points de ces trois questions, et seulement 20 à 23 % selon la question pour chacune d'elles prise isolément.

Le sujet de Maths B Banque PT 2026 était-il long ?

La grande majorité des candidats a traité l'ensemble du sujet, mais les dernières questions de chaque exercice sont souvent laissées de côté. La question 13 du second exercice n'a été abordée que par très peu de candidats.

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Premier exercice.

Deuxième exercice.

Partie B

Partie C

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Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de Maths B Banque PT 2026 ?

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes en Mathématiques B PT 2026 ?

Les questions de cours sur les coniques de Maths B Banque PT 2026 ont-elles été réussies ?

Le sujet de Maths B Banque PT 2026 était-il long ?

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À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.