Banque PT Mathématiques B PT 2023Sujet et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de maths B banque PT 2023 ?

Le sujet couvre la réduction des endomorphismes, les rotations de l'espace, les systèmes différentiels, les courbes paramétrées, les surfaces de révolution ainsi que des questions de séries et d'intégrales en fin de sujet.

Q: Le sujet de maths B banque PT 2023 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un peu long malgré un raccourcissement par rapport aux années précédentes, et souligne les difficultés des candidats à enchaîner les questions sans être guidés.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet maths B PT 2023 ?

Le jury relève surtout un manque de justification des résultats, des confusions entre notions voisines (matrice orthogonale et orthonormée, égalité et équivalence) et une présentation des copies jugée insuffisante.

Q: Le sujet de maths B banque PT 2023 permet-il de bien classer les candidats ?

Oui, le rapport indique que ce sujet a parfaitement permis de classer les candidats.

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Présentation du sujet

Difficile

Diagonalisation de deux matrices sans polynôme caractéristique, courbes intégrales d'un système différentiel, surface de révolution et projeté orthogonal d'une courbe

Le sujet se compose de quatre parties largement indépendantes. La première diagonalise deux matrices sans passer par le polynôme caractéristique, en s'appuyant sur une rotation. La deuxième étudie les courbes intégrales des solutions d'un système différentiel associé à l'une de ces matrices. La troisième porte sur l'une de ces courbes et sur une surface de révolution la contenant, et la quatrième étudie le projeté orthogonal de cette courbe sur un plan.

1Première partie : diagonalisation de deux matrices sans polynôme caractéristiqueÉtude d'une rotation associée à une matrice, puis diagonalisation de deux matrices A et B en exploitant une décomposition en symétrie et projection.
2Deuxième partie : courbes intégrales d'un système différentielÉtude d'un sous-espace vectoriel de fonctions et des courbes intégrales des solutions d'un système différentiel associé à l'une des matrices de la première partie.
3Troisième partie : étude d'une courbe et d'une surface de révolutionÉtude d'une courbe paramétrée particulière et de la surface de révolution obtenue en la faisant tourner autour d'un axe.
4Quatrième partie : projeté orthogonal de la courbe sur le plan (x0y)Étude du tableau de variations, des tangentes et asymptotes du projeté orthogonal de la courbe de la partie III, avec une question de convergence de série en fin de sujet.

Difficile. Le rapport indique que le sujet, bien que plus court que les années précédentes, reste sans doute un peu long, et qu'il a particulièrement mis en évidence les difficultés des candidats à enchaîner les questions et à faire preuve d'initiative.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre matrice orthogonale et orthonormée · Diagonalisation B = QDQ^-1 non reconnue comme telle · Résultats donnés dans l'énoncé non justifiés en détail

Le sujet, composé de quatre parties largement indépendantes, a mis en évidence les difficultés des candidats à enchaîner les questions, à produire une démonstration en plusieurs étapes sans être guidés et à choisir une méthode parmi plusieurs. Le nombre de copies extrêmement faibles a fortement diminué par rapport aux années précédentes, et le sujet a bien permis de classer les candidats. La présentation des copies reste jugée insuffisante par le jury.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre matrice orthogonale et orthonorméePremière partie, Q1
Beaucoup de candidats oublient de démontrer que R est une matrice orthogonale et se contentent de calculer le déterminant.
2
Diagonalisation B = QDQ^-1 non reconnue comme tellePremière partie, Q5(c)
Les correcteurs ont l'impression que de nombreux candidats n'ont pas vu ou compris que l'écriture B = QDQ^-1 était une diagonalisation de B.
3
Résultats donnés dans l'énoncé non justifiés en détail
Quand un résultat est fourni par l'énoncé, il est impératif que le détail des calculs figure sur la copie ; les mentions de calcul fait au brouillon ne sont pas acceptées.
4
Question de cours sur les génératrices mal réussieTroisième partie, Q3(e)
Confusions avec les génératrices ou les parallèles, avec seulement 17% de bonnes réponses sur cette question de cours.
5
Confusion entre égalité, équivalence et appartenance
Le rapport note de nombreuses confusions entre les symboles =, équivalence et équivalent, ainsi qu'entre un ensemble singleton contenant l'ensemble vide et l'ensemble vide lui-même.
6
Encadrement d'intégrales mal maîtriséQuatrième partie, Q2(b)
Le calcul de deux intégrales a posé problème, avec des confusions entre primitive et intégrale conduisant à des encadrements où le minorant est plus grand que le majorant.

Ce qui a été bien réussi

Le nombre de copies extrêmement faibles où il n'y a quasiment rien de juste est en très forte diminution
La question 5(a) de la première partie a été réussie par les trois quarts des candidats
Le calcul détaillé de Bf(t) en partie II a été fait par l'immense majorité des candidats
La question 2(a) de la troisième partie est plutôt bien traitée

Conseils du jury

Respecter les notations et les consignes de l'énoncé, une réponse juste qui ne les respecte pas n'est pas prise en compte
Justifier tous les résultats, y compris ceux fournis par l'énoncé, en faisant figurer le détail des calculs
Terminer chaque question par une phrase de conclusion encadrée
Illustrer les réponses par un schéma dans un sujet de géométrie
Ne pas abuser des abréviations non définies comme vp, sev ou cc

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 2 feuilles de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 4 parties. La partie 4 est indépendante du reste du sujet.

Première Partie.

On considère les matrices :

A = (0, 2, - 2; 2, - 1, 0; - 2, 0, 1); D = (0, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, - 1); R = 1/3(1, 2, - 2; 2, 1, 2; 2, - 2, - 1); B = (3, 2, - 4; - 2, - 1, 2; 1, 1, - 2) et Q = (0, 1, 1; 2, - 1, 0; 1, 0, 1).

Démontrer que l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $R$ est une rotation dont on déterminera les éléments caractéristiques.
Calculer $A_1 = RDR^(- 1)$ et l'exprimer à l'aide de la matrice $A$ . Les calculs devront figurer sur la copie.
Soit $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $A$ et $f_1$ celui associé à la matrice $A_1$ .
(a) Démontrer que $f_1$ est la composée commutative d'une symétrie $s_1$ et d'une projection $p_1$ dont on exprimera les matrices $S_1$ et $P_1$ dans la base canonique en fonction de $R$ et de deux autres matrices diagonales à préciser.
(b) La symétrie $s_1$ est-elle unique?
(c) La symétrie $s_1$ proposée à la question (a) est-elle orthogonale?
(a) Justifier à l'aide des résultats précédents que la matrice $A$ est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres.
(b) Justifier que $f$ est la composée de trois transformations simples que l'on précisera.
(a) Démontrer que le vecteur $(1; 0; 1)$ est un vecteur propre de la matrice $B$ . Préciser la valeur propre associée.
(b) Justifier que la matrice $Q$ est inversible.
(c) Sans calculer $Q^(- 1)$ , ni le polynôme caractéristique de la matrice $B$ , démontrer que $B = QDQ^(- 1)$ .
Démontrer que les matrices $A_1$ et $B$ sont semblables. On mettra en évidence la relation entre ces deux matrices.

Deuxième Partie.

L'espace affine euclidien

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé (

O; i⃗, j⃗, k⃗

).
Pour

(a, b, c) \in ℝ^3

, on considère la fonction vectorielle

f_(a, b, c)

définie de

ℝ

dans

ℝ^3

par :

\forallt \in ℝ, f_(a, b, c)(t) = (be^t + ce^(- t); 2a - be^t; a + ce^(- t))

On note

F

l'ensemble des fonctions

f_(a, b, c)

lorsque (

a, b, c

) parcourt

ℝ^3

C_(a, b, c)

la courbe paramétrée sur

ℝ

par

f_(a, b, c)

.
Enfin, les matrices

B

Q

sont celles qui ont été définies dans la première partie.

Démontrer que $F$ est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension.
Démontrer que tout élément $f$ de $F$ vérifie

\forallt \in ℝ, f^'(t) = Bf(t)

où

f^'

désigne la dérivée de la fonction

f

.
3. Démontrer que toutes les courbes

C_(a, b, c)

sont planes et qu'il est possible de choisir des plans qui les contiennent qui soient tous parallèles.
4. On considère la base (

u⃗, v⃗, w⃗

) de

ℝ^3

telle que la matrice de passage de la base

(i⃗, j⃗, k⃗)

à la base

(u⃗, v⃗, w⃗)

est la matrice

Q

.
(a) Exprimer chacun des vecteurs

u⃗, v⃗

w⃗

en fonction des vecteurs

i⃗, j⃗, k⃗

.
(b) Justifier qu'une représentation paramétrique de

C_(a, b, c)

dans le repère (

O; u⃗, v⃗, w⃗

) est

{X(t) = a; Y(t) = be^t; Z(t) = ce^(− t), t ∈ ℝ

C_(a, b, c)

est incluse dans une hyperbole éventuellement dégénérée.

Troisième Partie.

L'espace affine euclidien

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé (

O; i⃗, j⃗, k⃗

).
Dans cette partie, on note

C

la courbe

C_(1, 1, 1)

définie dans la partie précédente.
Une représentation paramétrique de

C

est donc :

{x(t) = e^t + e^(− t); y(t) = 2 − e^t; z(t) = 1 + e^(− t), t ∈ ℝ

.
On note

M(t)

le point de

C

de paramètre

t

Déterminer une représentation paramétrique et des équations cartésiennes de la tangente à $C$ au point $M(ln(2))$ .
Soit $T$ un réel strictement positif. On note $L(T)$ la longueur de la courbe $C$ entre les points $M(0)$ et $M(T)$ .
(a) Etablir que pour tout $t ⩾ 0, 2(e^t - e^(- t))^2 ⩽ ‖(dOM^(\to-))/(dt)(t)‖^2 ⩽ 2e^(2t)$ .
(b) En déduire un encadrement de $L(T)$ puis un équivalent de $L(T)$ lorsque $T$ tend vers $+ \infty$ .
Soient $Σ$ la surface d'équation $x^2 - (y - 2)^2 - (z - 1)^2 = 2$ et $Ω$ le point de coordonnées $(0, 2, 1)$ .
Pour tout réel $α$ , on note $Π_α$ le plan d'équation $x = α$ .
(a) Démontrer que $C \subset Σ$ .
(b) Déterminer une équation du plan tangent en $M(ln(2))$ à $Σ$ .
(c) Déterminer la nature de la courbe $Λ_α = Σ \cap Π_α$ lorsque $|α| ⩾ \sqrt2$ . On précisera ses élément caractéristiques.
Qu'en est-il lorsque $|α| < \sqrt2$ ?
(d) Justifier soigneusement que $Σ$ est une surface de révolution dont on précisera l'axe $Δ$ .
(e) Rappeler la définition d'une méridienne pour une surface de révolution.
(f) Préciser la nature des méridiennes de $Σ$ .
(g) Sur la première feuille de papier millimétré fournie, tracer l'allure de $Σ$ dans le repère ( $Ω; i⃗, j⃗, k⃗$ ).
Il est conseillé d'orienter $i⃗$ vers le haut.
(h) La surface de révolution obtenue en faisant tourner $C$ autour de $Δ$ est-elle égale à $Σ$ ?

Quatrième Partie.

Le plan affine euclidien

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé

(O; i⃗, j⃗)

.
On considère la courbe

Γ

ℝ^2

de représentation paramétrique

{x(t) = e^t + e^(− t); y(t) = 2 − e^t, t ∈ ℝ.

On note

A(t)

le point de

Γ

de paramètre

t

Etablir les tableaux de variations des fonctions $x$ et $y$ . On précisera les limites aux bornes.
Déterminer la tangente à $Γ$ au point $A(0)$ .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $Γ$ avec l'axe des abscisses et préciser un vecteur directeur et une équation cartésienne de la tangente à $Γ$ en ce point.
Etudier la branche infinie au voisinage de $- \infty$ .
Justifier qu'au voisinage de $+ \infty, Γ$ admet une asymptote oblique $D$ d'équation $y = - x + 2$ .
Préciser la position relative de $Γ$ et $D$ .
Dans le repère ( $O; i⃗, j⃗$ ), tracer la courbe $Γ$ , les tangentes et asymptotes déterminées dans les questions précédentes.
Unité : 3 cm .
On utilisera pour cela la deuxième feuille de papier millimétré fournie.
On note $B(t)$ le point de $D$ ayant la même abscisse que $A(t)$ où $A(t)$ est le point de $Γ$ de paramètre $t$ .
(a) Pour tout $t \in ℝ$ , calculer la longueur $d(t) = A(t)B(t)$ .
(b) Les séries $\sum_(n ⩾ 0)d(n)$ et $\sum_(n ⩾ 1)d(ln(n))$ sont-elles convergentes?

Si oui, préciser leur somme.
(c) On note

S

la partie du plan incluse entre la restriction de la courbe

Γ

ℝ^+

, la droite

D

et la droite d'équation

x = 2

.
La partie

S

est-elle d'aire finie?

Fin d'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths B banque PT 2023 ?

Le sujet couvre la réduction des endomorphismes, les rotations de l'espace, les systèmes différentiels, les courbes paramétrées, les surfaces de révolution ainsi que des questions de séries et d'intégrales en fin de sujet.

Le sujet de maths B banque PT 2023 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un peu long malgré un raccourcissement par rapport aux années précédentes, et souligne les difficultés des candidats à enchaîner les questions sans être guidés.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet maths B PT 2023 ?

Le jury relève surtout un manque de justification des résultats, des confusions entre notions voisines (matrice orthogonale et orthonormée, égalité et équivalence) et une présentation des copies jugée insuffisante.

Le sujet de maths B banque PT 2023 permet-il de bien classer les candidats ?

Oui, le rapport indique que ce sujet a parfaitement permis de classer les candidats.

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