Banque PT Mathématiques B PT 2022Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Algèbre linéaire et bilinéaire dans M2(R), géométrie plane (coniques et probabilités) et géométrie dans l'espace

Le sujet s'ouvre sur des questions de cours puis se compose de trois parties indépendantes : une importante partie d'algèbre linéaire et bilinéaire autour de sous-espaces de matrices 2x2, une partie de géométrie plane mêlant étude de coniques et probabilités, et une partie de géométrie dans l'espace. Le rapport le juge un peu trop long mais bien classant.

1Questions de cours9 éléments de cours à restituer, préalables aux trois parties indépendantes.
2Première partieÉtude de sous-espaces vectoriels de M2(R) stables par produit, produit scalaire, orthogonalité et réduction de matrices.
3Deuxième partieÉtude d'une conique (ellipse), tracé associé, puis un exercice de probabilités mêlant lois géométriques et variables aléatoires.
4Troisième partieGéométrie dans l'espace : plans, droites, gradients et surfaces réglées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Tentatives de retrouver un résultat fourni sans le démontrer · Ellipse rarement menée sans erreur · Confusion entre discriminant et déterminant

Le sujet, un peu trop long, a parfaitement permis de classer les candidats. Le jury déplore une présentation des copies toujours insuffisante et une rédaction souvent réduite à des affirmations non justifiées. De nombreuses tentatives visant à retrouver un résultat fourni par l'énoncé sans en détailler le calcul ont été sanctionnées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Tentatives de retrouver un résultat fourni sans le démontrer
Le jury relève de nombreuses tentatives d'arnaque, en particulier des candidats qui effectuent un calcul à l'envers pour retrouver un résultat donné par l'énoncé, ce qui est sanctionné.
« Ces tentatives d'arnaque indisposent les correcteurs et sont sanct ionnées »
2
Ellipse rarement menée sans erreurDeuxième partie, question 1.(a)
Sur l'étude de la conique, seuls 10% des candidats sont arrivés au bout sans erreur, notamment à cause d'une matrice de passage non orthogonale ou d'un centre donné dans le mauvais repère.
« Malheureusement, peu (10%) sont arrivés au bou t sans »
3
Confusion entre discriminant et déterminantPremière partie, question 3.(a)
Sur la question 3.(a) de la première partie, un candidat sur trois seulement donne une réponse correcte, avec une confusion fréquente entre discriminant et déterminant.
« Un candidat sur trois parvient à donner une réponse correcte »
4
Justification de la convergence d'une série insuffisanteDeuxième partie, question 3.(a)
Le calcul de la question 3.(a) de la deuxième partie est souvent réussi mais peu de candidats justifient spontanément la convergence de la série, l'argument avancé étant insuffisant.
5
Surfaces réglées développables hors programmeTroisième partie, question 1.(c)
L'argument selon lequel les cylindres ou les cônes sont des surfaces réglées développables n'est plus recevable, cette notion ayant disparu du programme depuis le concours 2015.
« ne figurent plus au programme depuis l e concours 2015 »
6
Présentation des copies négligée
Moins d'un candidat sur quatre a obtenu les points de présentation cette année, la présentation restant jugée insuffisante.
« moins d'un candidat sur quatre a obtenu les points de pr ésentation »

Ce qui a été bien réussi

75% des candidats répondent correctement à la première question de cours.
La majorité des candidats connaissent le principe d'étude d'une conique et ont reconnu une ellipse.
De nombreux candidats se sont lancés, avec plus ou moins de succès, dans le tracé de la conique.
Les candidats connaissant les probabilités associées à la loi géométrique n'ont pas rencontré de problème sur la question 3.(d) de la deuxième partie.

Conseils du jury

Justifier tous les résultats, y compris ceux qui sont fournis par l'énoncé, en détaillant les calculs.
Respecter scrupuleusement les notations et les consignes de l'énoncé.
Soigner la présentation : écriture lisible, résultats encadrés, questions numérotées.
Illustrer les réponses par un schéma dans une épreuve de géométrie.
Vérifier la nature des objets mathématiques manipulés pour éviter les erreurs de type (par exemple dériver une courbe).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé, hors questions de cours, de 3 parties indépendantes.

Quelques questions de cours.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Donner la dimension de $M_n(ℝ)$ , l'espace vectoriel des matricées carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes.
Soit $z \in ℂ$ . A quelle condition la série géométrique $\sumz^n$ converge-t-elle? Préciser alors la valeur de $\sum_(n = 0)^(+ \infty)z^n$ .
Soit $A$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p \in ]0; 1[$ .
(a) Donner l'univers image $A(Ω)$ , et pour tout $k \in A(Ω)$ , la valeur des probabilités $P(A = k)$ .
(b) Donner l'espérance et la variance de $A$ .
Donner la forme générale des matrices orthogonales de $M_2(ℝ)$ . A quelles isométries sont-elles associées? Les éléments caractéristiques ne sont pas demandés.

Première Partie.

Soit

M

une matrice de

M_2(ℝ)

. On note

^t M

sa transposée,

tr(M)

sa trace et

det(M)

son déterminant.
Un sous-espace vectoriel

F

M_2(ℝ)

est dit stable par produit si pour toutes matrices

M

N

F

, le produit

MN

appartient à

F

.
Soient

a, b

c

trois réels. On note

M(a, b, c)

la matrice

(a, b; c, a)

f_(a, b, c)

l'endomorphisme de

ℝ^2

canoniquement associé à

M(a, b, c)

E

désigne l'ensemble des matrices

M(a, b, c)

E

l'ensemble des endomorphismes

f_(a, b, c)

lorsque

(a, b, c)

parcourt

ℝ^3

.
Enfin on note

I = M(1, 0, 0), J = M(0, 1, 0)

K = M(0, 0, 1)

(a) Démontrer que $E$ est un espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
(b) Donner une base d'un supplémentaire de $E$ dans $M_2(ℝ)$ .
On considère la fonction $φ$ définie sur $(M_2(ℝ))^2$ par :

\forall(M, N) \in (M_2(ℝ))^2, φ(M, N) = tr(^t MN)

(a) Démontrer que

φ

est un produit scalaire sur

M_2(ℝ)

.
(b) Vérifier que les matrices

I

J + K

sont deux vecteurs orthogonaux pour le produit scalaire

φ

.
(c) Déterminer le projeté orthogonal de la matrice

K

sur le sous-espace vectoriel

G

engendré par les matrices

I

J + K

. En déduire la distance

K

G

.
(d) En effectuant un minimum de calculs supplémentaires, donner une base orthonormée de

E

.
(e) Déterminer le supplémentaire orthogonal de

E

dans

M_2(ℝ)

.
3. Dans cette question, on pose

α = \sqrt(|bc|)

et on suppose que

(b, c) \neq (0, 0)

.
(a) Déterminer les valeurs propres réelles ou complexes de la matrice

M(a, b, c)

. On les exprimera en fonction de

a

α

et on discutera suivant le signe de

bc

.
(b) On suppose que

α \neq 0

. La matrice

M(a, b, c)

est-elle diagonalisable dans

M_2(ℝ)

? Dans

M_2(ℂ)

?
(c) On suppose que

α = 0

. La matrice

M(a, b, c)

est-elle diagonalisable dans

M_2(ℝ)

? Dans

M_2(ℂ)

?
4. (a) Quelles sont les isométries positives (ou directes) appartenant à

E

?
(b) Quelles sont les isométries négatives (ou indirectes) appartenant à

E

? On donnera leurs éléments caractéristiques.
5. Soit

p

un projecteur appartenant à

E

distinct de l'identité et de l'application nulle. Il existe donc deux droites vectorielles distinctes

D_1

D_2

telles que

p

soit le projecteur sur

D_1

parallèlement à

D_2

.
(a) Ecrire la matrice de

p

dans une base adaptée à la décomposition

ℝ^2 = D_1 \oplus D_2

. En déduire les valeurs propres, la trace et le déterminant de

p

.
(b) En déduire quelles sont les matrices

M(a, b, c)

pour lesquelles

f_(a, b, c)

est un projecteur (distinct de l'identité et de l'application nulle).
(c) Préciser quels sont les projecteurs orthogonaux de

E

et en donner les éléments caractéristiques. On pourra utiliser la question 4.
6. Le produit de deux matrices de

E

est-il toujours une matrice de

E

?
7. L'objectif de cette question est de déterminer les droites vectorielles

Δ

E

qui sont stables par produit.
Soit

Δ

une droite vectorielle engendrée par

M_0 = M(a_0, b_0, c_0)

.
(a) Démontrer que

Δ

est stable par produit si et seulement si

M_0^2 \in Δ

.
(b) On suppose que

M_0^2 \in Δ

.
i. Justifier qu'il existe un réel

λ

tel que

M_0^2 = λM_0

.
ii. Démontrer que si

λ = 0

, alors

M_0

est proportionnelle à

J

K

.
iii. On suppose que

λ \neq 0

. On pose

M_0^' = 1/λM_0

. Démontrer que

M_0^'

est la matrice canoniquement associée à un projecteur.
(c) Conclure
8. L'objectif de cette question est de déterminer les plans vectoriels de

E

stables par produit.
(a) Vérifier que le plan vectoriel engendré par

I

J

est stable par produit.
(b) Le plan vectoriel engendré par

J

K

est-il stable par produit?
(c) Vérifier que l'ensemble des matrices symétriques de

E

est un plan vectoriel stable par produit.
(d) Soit

(b, c) \neq (0, 0)

. Démontrer que le sous-espace vectoriel engendré par

I

bJ + cK

est stable par produit.
(e) Démontrer que les seuls plans vectoriels de

E

stables par produit sont ceux de la question précédente.

Deuxième Partie.

L'espace euclidien

ℝ^2

est muni de son produit scalaire et de son repère orthonormé direct

(O; i⃗, j⃗)

usuels.
Soient

a

b

deux réels tels que

(a, b) \neq (0, 0)

.
On considère alors la conique

C_(a, b)

d'équation :

ax^2 + 2bxy + ay^2 - 4(x + y) = 4

Dans cette question uniquement $a = 5$ et $b = - 3$ .
(a) Etudier la conique $C_(5, - 3)$ .

On donnera en particulier :

une équation réduite en précisant le repère dans lequel elle est obtenue,
sa nature,
les coordonnées dans le repère ( $O; i⃗, j⃗$ ) de son centre,
les coordonnées dans le repère de votre choix (à préciser) de ses sommets.
(b) Tracer la conique $C_(5, - 3)$ dans le repère ( $O; i⃗, j⃗$ ).

On utilisera la feuille de papier millimétré fournie et on prendra une unité de 4 cm .
2. Déterminer en fonction de

a

b

le type de conique qu'est

C_(a, b)

On considère désormais la conique

C_(A, B)

d'équation :

Ax^2 + 2Bxy + Ay^2 - 4(x + y) = 4

où

A

B

sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètres respectifs

p_A \in ]0; 1[

p_B \in ]0; 1[

.
On définit la variable aléatoire

X

par

X(Ω) = { - 1, 0, 1}

et :

$X = 1$ si $C_(A, B)$ est du type ellipse,
$X = 0$ si $C_(A, B)$ est du type parabole,
$X = - 1$ si $C_(A, B)$ est du type hyperbole.

Détermination de la loi de $X$ .
(a) Calculer $S = \sum_(k = 1)^(+ \infty)(1 - p_A)^(k - 1)(1 - p_B)^(k - 1)$ .
(b) Justifier que $P(A + B = 0) = 0$ .
(c) Justifier que $P(X = 0) = P(A = B) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)P(A = k)P(B = k)$ .
(d) En déduire que $P(X = 0) = (p_A p_B)/(p_A - p_A p_B + p_B)$ .
(e) Justifier que pour tout entier $k ⩾ 1, P(B > k) = (1 - p_B)^k$ .
(f) En déduire que $P(B > A) = (p_A(1 - p_B))/(p_A - p_A p_B + p_B)$ .
(g) En déduire $P(X = - 1)$ puis $P(X = 1)$ .
(h) Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ .

Troisième Partie.

L'espace euclidien

ℝ^3

est muni de son produit scalaire et de son repère orthonormé direct

(O; i⃗, j⃗, k⃗)

usuels.
On considère alors la courbe

Γ

d'équations :

{x^2 + 4y^2 = 4; z = 0

On note

S

la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe

Γ

autour de l'axe des ordonnées

(Oy)

(a) Démontrer qu'une équation cartésienne de $S$ est : $x^2 + 4y^2 + z^2 = 4$ .
(b) Démontrer que tous les points de $S$ sont réguliers.
(c) Déterminer une équation du plan tangent à $S$ au point $A$ de coordonnées $(\sqrt2, 0, - \sqrt2)$ .
On note $u⃗$ le vecteur $i⃗ + k⃗$ . On considère $Λ_1$ l'ensemble des points $M$ de $S$ tels que la normale au plan tangent à $S$ en $M$ est orthogonale à $u⃗$ .
(a) Démontrer que des équations cartésiennes de $Λ_1$ sont : ${x^2 + 4y^2 + z^2 = 4; x + z = 0$ .
(b) Déterminer une équation cartésienne de la surface réglée $Σ_1$ engendrée par les droites passant par un point de $Λ_1$ et dirigées par $u⃗$ .
(c) Soit $D_1$ une génératrice de $Σ_1$ . Démontrer que le plan tangent à $Σ_1$ est le même en tout point régulier de $D_1$ .
On note $Ω$ le point de $ℝ^3$ de coordonnées $(0, 0, 4)$ . On considère $Λ_2$ l'ensemble des points $M$ de $S$ tels que la normale au plan tangent à $S$ en $M$ soit orthogonale à la droite ( $ΩM$ ).
(a) Démontrer que des équations cartésiennes de $Λ_2$ sont : ${x^2 + 4y^2 = 3; z = 1$ .
(b) On note $Σ_2$ la surface réglée engendrée par les droites ( $ΩM$ ) où $M$ parcourt $Λ_2$ . Soit $N$ un point de $ℝ^3$ de coordonnées $(x, y, z)$ .
Démontrer que $N \in Σ_2$ si et seulement si $N = Ω$ ou $(3x^2)/((4 - z)^2) + (12y^2)/((4 - z)^2) = 1$ .
(c) En déduire qu'une équation cartésienne de $Σ_2$ est : $3x^2 + 12y^2 = (4 - z)^2$ .
(d) Déterminer les points non réguliers de $Σ_2$ .
(e) Soit $D_2$ une génératrice de $Σ_2$ . Démontrer que le plan tangent à $Σ_2$ est le même en tout point régulier de $D_2$ .

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques B banque PT 2022 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire et bilinéaire dans M2(R), une partie de géométrie plane mêlant coniques et probabilités, et une partie de géométrie dans l'espace.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths B banque PT 2022 ?

Le jury relève des tentatives de retrouver un résultat fourni sans le démontrer, une confusion entre discriminant et déterminant, et une présentation des copies jugée insuffisante.

Le sujet de mathématiques B banque PT 2022 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un peu trop long mais ayant parfaitement permis de classer les candidats, sans donner de moyenne globale.

Quels chapitres réviser pour le sujet de mathématiques B banque PT 2022 ?

Il est utile de réviser l'algèbre linéaire dans M2(R), le produit scalaire et la réduction des matrices, l'étude des coniques, les probabilités et la géométrie de l'espace.

Pas de description pour le moment

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