Banque PT Mathématiques A PT 2013Sujet et corrigé

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Présentation du sujet

Convergence des puissances de matrices, matrices stochastiques et surfaces quadriques de révolution

Le sujet étudie la convergence de la suite des puissances d'une matrice à l'aide de sa diagonalisation, illustrée sur deux exemples numériques, puis établit des propriétés générales des matrices stochastiques (valeurs propres de module au plus 1). Un exercice de géométrie indépendant étudie ensuite la nature d'une surface définie par une équation quadratique et détermine à quelle condition elle est une surface de révolution.

1Question préliminaire : produit et convergence de matricesOn rappelle la définition du produit matriciel et on établit la continuité du produit pour la convergence coefficient par coefficient des suites de matrices.
2Partie I : étude d'une matrice 3x3 diagonalisableOn diagonalise une matrice stochastique explicite, on calcule la limite de ses puissances et on détermine sa loi stationnaire.
3Partie II : étude d'une matrice 2x2 à l'aide d'un polynôme annulateurOn utilise un polynôme annulateur pour calculer les puissances d'une matrice 2x2 et on étudie la convergence de la suite de ses puissances.
4Partie III : matrices stochastiquesOn établit les propriétés générales des matrices stochastiques : coefficients bornés par 1, vecteur propre associé à la valeur propre 1, et majoration du module de toutes les valeurs propres par 1.
5Exercice de géométrie : surfaces quadriquesOn étudie la nature de la surface d'équation alpha*yz + beta*xz + gamma*xy = 0 selon les valeurs des paramètres, et on détermine la condition pour qu'elle soit une surface de révolution.

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Soient

m, n, p, q, r, s

des entiers naturels non nuls.

M_(p, q)(ℂ)

désigne l'ensemble des matrices à

p

lignes et

q

colonnes, à coefficients complexes, et

M_(r, s)(ℂ)

l'ensemble des matrices à

r

lignes et

s

colonnes, à coefficients complexes.

M_n(ℂ)

désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre

n

, à coefficients complexes,

Question préliminaire

Soit $A \in M_(p, q)(ℂ)$ de terme général $a_(ij)$ et $B \in M_(r, s)(ℂ)$ de terme général $b_(ij)$ .
(a) A quelle condition sur $p, q, r, s$ le produit $AB$ est-il bien défini? Quelle est alors la taille de la matrice $AB$ ?
(b) Sous cette condition, on note $c_(ij)$ le terme général de la matrice $AB$ . Exprimer $c_(ij)$ en fonction des $a_(ij)$ et $b_(ij)$ .
Soit $(A_p)_(p \in ℕ)$ une suite de matrices de $M_n(ℂ)$ . On note $a_(ij)^((p))$ le terme général de la matrice $A_p$ .
On dit que la suite de matrices converge vers une matrice $A = (a_(ij))_(1 \leq i, j \leq n)$ si pour tous indices $i, j$ , la suite complexe $(a_(ij)^((p)))_(p \in ℕ)$ converge vers $a_(ij)$ .
(a) Montrer que si la suite de matrices $(A_p)_(p \in ℕ)$ converge vers $A$ et si la suite de matrices $(B_p)_(p \in ℕ)$ converge vers $B$ , alors la suite $(A_p + B_p)_(p \in ℕ)$ converge vers $A + B$ .
(b) Montrer que, sous les mêmes conditions, la suite $(A_p B_p)_(p \in ℕ)$ converge vers $AB$ .

Partie I

On considère la matrice carrée

A

d'ordre 3 définie par

A = (0, 1/2, 1/2; 3/4, 0, 1/4; 1/8, 7/8, 0)

On pose $X_1 = (1; 1; 1)$ . Vérifier que $X_1$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 1.
Déterminer les valeurs propres de la matrice $A$ . Est-elle diagonalisable dans $ℝ$ ? dans $ℂ$ ?
On note

D = (1, 0, 0; 0, - 1/2 - (\sqrt6)/8i, 0; 0, 0, - 1/2 + (\sqrt6)/8i)

Calculer

D^n

, puis

lim_(n \to + \infty)D^n

.
4. En déduire

lim_(n \to + \infty)A^n

. On demande ici une expression explicite de la limite.
5. Déterminer l'unique vecteur ligne

π = (a, b, c)

tel que

$a > 0, b > 0$ , et $c > 0$ ,
$a + b + c = 1$ ,
$πA = π$ .

Partie II

On considère la matrice carrée

B

d'ordre 2 suivante

B = (a, 1 - a; 1 - b, b)

avec

0 < a < 1

0 < b < 1

.
On note

I_2

la matrice identité d'ordre 2 .

On considère le polynôme $P = (X - 1)(X - (a + b - 1))$ .

Calculer

P(B) = (B - I_2)(B - (a + b - 1)I_2)

.
2. Soit

p

un entier strictement positif.
(a) Justifier l'existence d'un polynôme

Q

et de deux réels

α_p

β_p

tels que

X^p = P(X)Q(X) + α_p X + β_p

(b) En évaluant l'expression précédente en des valeurs de

X

bien choisies, déterminer les valeurs de

α_p

β_p

.
(c) En déduire une expression de

B^p

.
3. Montrer que la suite

(B^p)_(p \in ℕ)

converge vers une limite que l'on précisera.

Partie III

Soit

M = (m_(ij))_(1 \leq i, j \leq n)

une matrice carrée d'ordre

n

à coefficients réels.
On dit que la matrice

M

est stochastique si

pour tout couple d'entiers naturels $(i, j)$ tel que $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq n$ :

m_(ij) \geq 0

la somme des termes de chaque ligne est égale à 1 , c'est-à-dire, pour tout entier $i$ tel que $1 \leq i \leq n$ :

\sum_(j = 1)^n m_(ij) = 1

Soit $M = (m_(ij))_(1 \leq i, j \leq n)$ une matrice stochastique.

Montrer que, pour tout couple d'entiers naturels

(i, j)

tels que

1 \leq i \leq n

1 \leq j \leq n

m_(ij) \leq 1

Soit $X_1 = (1; ⋮; 1)$ .
(a) Montrer que si $M$ est stochastique, alors $X_1$ est un vecteur propre associé à la valeur propre 1.
(b) Réciproquement, soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients positifs. Montrer que si $X_1$ est vecteur propre associé à la valeur propre 1, alors $M$ est stochastique.
(c) En déduire que le produit de deux matrices stochastiques est stochastique.
Soit $M$ une matrice stochastique, et $X = (x_1; ⋮; x_n) \in M_(n, 1)(ℂ)$ tel que $max_(1 \leq i \leq n)|x_i| = 1$ .
(a) On pose $Y = (y_1; ⋮; y_n) = MX$ .

Montrer que, pour tout entier

i

tel que

1 \leq i \leq n

|y_i| \leq 1

(b) En déduire que si

X

est un vecteur propre associé à la valeur propre

λ

, alors :

|λ| \leq 1

M

sont de module inférieur à 1 .

Exercice de Géométrie

Dans l'espace affine euclidien

ℝ^3

, muni d'un repère orthonormé (

O; ı⃗, ȷ⃗, k⃗

), on considère la surface

(S)

d'équation paramétrique

αyz + βxz + γxy = 0

où

α, β, γ

sont des paramètres réels non tous nuls.

Quelle est la nature de ( $S$ ) pour $α = 1, β = γ = 0$ ?
De façon générale, quelle est la nature de ( $S$ ) lorsque un ou deux paramètres sont nuls?
Quelle est la nature de ( $S$ ) lorsque $αβγ \neq 0$ ?
On considère la matrice

A = (- λ, γ, β; γ, - λ, α; β, α, - λ)

(a) Montrer qu'il existe un réel

λ

tel que

A

soit de rang 1 si et seulement si

α^2 = β^2 = γ^2.

(b) En déduire que (

S

) est une surface de révolution si et seulement si

α^2 = β^2 = γ^2

.
5. Donner les éléments caractéristiques de la surface (

S

) quand

α = β = γ

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths A banque PT 2013 ?

Il porte sur la diagonalisation des matrices, la convergence des suites de matrices, les matrices stochastiques et la géométrie des surfaces quadriques.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le problème principal (parties I à III) étudie progressivement la convergence des puissances de matrices puis les matrices stochastiques en général ; l'exercice de géométrie sur les surfaces quadriques est indépendant du reste du sujet.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La diagonalisation des matrices, l'utilisation d'un polynôme annulateur pour calculer les puissances d'une matrice, et la notion de rang d'une matrice pour l'exercice de géométrie.

Quel lien y a-t-il entre les parties I, II et III de ce sujet ?

Les parties I et II étudient sur des exemples concrets la convergence des puissances d'une matrice stochastique, avant que la partie III ne démontre les propriétés générales des matrices stochastiques qui expliquent ces observations.

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